江苏省南通市2020届高三数学下学期阶段性试题（Word版带答案）

1 南通市 2020 届高三阶段性练习 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上． 1．已知集合 ，则 = ▲ . 2．已知复数 为纯虚数，其中 为虚数单位，则实数 的值是 ▲ . 3．某同学 次数学练习的得分依次为 则这 次得 分的方差是 ▲ . 4．根据如图所示的伪代码，当输入的 为 时，最后输出的 的值是 ▲ . 5．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心 率为 ，则该双曲线的渐近线的方程是 ▲ . 6．某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从 道题中随机抽取 道作答.若该同 学会其中的 道题，则抽到的 道题他都会的概率是 ▲ . 7．将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象.若 为奇函 数，则 的最小正值是 ▲ . 8．已知非零向量 与 的夹角为 ，且 则 = ▲ . 9．已知等比数列 的各项均为正数，且 成等差数列，则 的值是 ▲ . { } { }22, 1,0,1 , 0M N x x x= − − = + ≤ M N 2 a i i + + i a 5 114,116,114,114,117， 5 x 1− m xOy ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 5 4 2 3 2 ( ) sin 2 3f x x π = +   ϕ ( )g x ( )g x ϕ b a 120 2, 2 4a a b= + = b { }na 1 3 28 , ,6a a a 7 8 5 6 2 2 a a a a + +2 10．在平面直角坐标系 中，已知过点 的圆 与圆 相切于原点， 则圆 的半径是 ▲ . 11．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的 智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体 ( 假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度) ，如图 所示. 已知球的半径 为 ，酒杯内壁表面积为 .设酒杯上部分(圆柱)的体积为 ， 下部分(半球)的体积为 ，则 的值是 ▲ . 12．已知函数 的图象与直线 相交.若其中一个交点的纵 坐标为 ,则 的最小值是 ▲ . 13．已知函数 若关于 的不等式 的解集 是 ， ，则 的取值范围是 ▲ . 14 ．如图，在 中， ，点 分别在 上，且 ， .若 与 相交于点 ，则 的取 值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在斜三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． （1）若 ，且 ，求 B 的值； （2）若 ，求 的值． xOy ( )-10,0 M 2 2 6 6 0x y x y+ − − = M 2 R 214 3 Rπ 1V 2V 1 2 V V ( ) ( )log 1af x x a= > ( )( )1y k x k R= − ∈ 1 k a+ ( ) ( )2 2 4 , 01 2 , 0 x xxf x x x + ≥ +=   + > ba 33 8 )00(: ≠>+= mkmkxyl ， 1k 2k 21 2 kkk ⋅= OPQ△ PQ5 19．（本小题满分 16 分） 已知数列{ }的前 n 项和为 ， ， ， ， ． （1）若 ， ,求 的值； （2）若数列{ }的前 k 项成公差不为 0 的等差数列，求 k 的最大值； （3）若 ，是否存在 ，使{ }为等比数列？若存在，求出所有符合题意的 的 值；若不存在，请说明理由． 20．（本小满分 16 分） 对于定义在 D 上的函数 f（x），若存在 ，使 恒成立，则称 为“ 型函数”；若存在 ，使 恒成立，则称 为“ 型函数”. 已知函数 . （1）设函数 （ ）.若 ，且 为“ 型函数”，求 k 的取值 范围； （2）设函数 .证明：当 ， 为“ 型函数”； na nS 11 =a 2 121 +++ =⋅+ nnnn SSSaλ ∗∈ Nn R∈λ 3−=λ 12 −=a 3a na 02 >a R∈λ na λ R∈k kxxf ( )4 ,0M p l ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y AB x OAB∆ 2 2 AB x T 1 2y y OA TB∥ l *, , .n N k N n k∈ ∈ ≥ 1 1 1 1 2 k k n n k k n n C C C C + + + + + ⋅ ⋅ ( )2 2 2 0 1 2 21- n n nx a a x a x a x= + + + + ( ) ( ) 2 1 1 . n k k kF n n a= = + ∑ ( )F n 2 +1n9 Read x If x < 0 Then m ← 2x +1 Else m ← End If Print m 2 3x−（第 4 题） 南通市 2020 届高三阶段性练习 数学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 1． 已知集合 ， ，则 ▲ ． 【答案】 2． 已知复数 为纯虚数，其中 为虚数单位，则实数 的值是 ▲ ． 【答案】 3． 某同学 5 次数学练习的得分依次为 114，116，114，114，117， 则这 5 次得分的方差是 ▲ ． 【答案】 4． 根据如图所示的伪代码，当输入的 为 时，最后输出的 的值 是 ▲ ． 【答案】 5． 在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则该双曲线 的渐近线的方程是 ▲ ． 【答案】 6． 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从 4 道题中随机抽取 2 道作答．若该同学会 其中的 3 道题，则抽到的 2 道题他都会的概率是 ▲ ． { }2 1 0 1M = − −， ，， { }2 0N x x x= + ≤ M N = { }1 0− ， i 2 i a + + i a 1 2 − 8 5 x 1− m 3 2 xOy 22 2 2 1yx a b − = ( 0 0)a b> >， 5 2y x= ±10 【答案】 7． 将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象．若 为奇函数， 则 的最小正值是 ▲ ． 【答案】 8． 已知非零向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 ▲ ． 【答案】 9． 已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ， 成等差数列，则 的值是 ▲ ． 【答案】 10．在平面直角坐标系 中，已知过点 的圆 与圆 相切于原点， 则圆 的半径是 ▲ ． 【答案】 11．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的 智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半 球 与 圆 柱 的 组 合 体 （ 假 设 内 壁 表 面 光 滑 ， 忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为 ， 酒 杯 内 壁 表 面 积 为 ． 设 酒 杯 上 部 分（圆柱）的体积为 ，下部分（半球）的体积 1 2 ( )π( ) sin 2 3f x x= + ϕ ( )g x ( )g x ϕ π 6 b a 120° | | 2=a | 2 + | 4=a b | |=b 4 { }na 18a 3a 26a 7 8 5 6 2 2 a a a a + + 16 xOy ( 10 0)− ， M 2 2 6 6 0x y x y+ − − = M 5 2 R 214 π3 R 1V （第 11 题 图 1） （第 11 题 图 2） （第 15 题）11 为 ，则 的值是 ▲ ． 【答案】2 12．已知函数 的图象与直线 相交．若其中一个交点的纵坐 标为 1，则 的最小值是 ▲ ． 【答案】 13．已知函数 若关于 的不等式 的解集是 ， ，则 的取值范围是 ▲ ． 【答案】 14 ． 如 图 ， 在 中 ， ， 点 分 别 在 上 ， 且 ， ． 若 与 相交于点 ，则 的取值范围是 ▲ ． 【答案】 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分． 15．（本小题满分 14 分） 在斜三角形 中，角 的对边分别为 ． （1）若 ，且 ，求 的值； 2V 1 2 V V ( ) log ( 1)af x x a= > ( 1)y k x= − ( )k ∈R k a+ 3 2 2 4 01( ) ( 2) 0 x xxf x x x + +=   + (0 )4 α π∈ ， cos sin 0α α− > ( ) 0f α′ < ( )f α ( )4 2 α π π∈ ， cos sin 0α α− < ( ) 0f α′ > ( )f α16 所以当 时， 取得最小值，最小值为 米． 答：景观桥总长度的最小值为 米． …… 14 分 【解】方案 2：（1）因为 ， 所以 ， 在 中， ， 所以 ． 所以 ∽ ， 所以 ． …… 2 分 因为 ， ， ， 所以 ． …… 4 分 ， 所以 ， ． …… 7 分 （2）因为 ， 所以 …… 10 分 4 α π= ( )f α (100 100 2)+ (100 100 2)+ AB AC⊥ 90EAC BAD∠ + ∠ = ° Rt ABD△ 90ABD BAD∠ + ∠ = ° EAC ABD∠ = ∠ Rt CAE△ Rt ABD△ AC EC AB AD = EC x= 2 2 22500AC AE EC x= + = + 50AD = 250 2500 xAB x += ( )2 2 2 2 2 2500 25005000BC AB AC x x xx = + = + + = + 2 2 50 25 250000( ) 2500 ( )xg x x x xx + += + + + 0x > 0x > ( )g x 2 2 50 250 25002 25 2000 xx x x x + ⋅++ ⋅≥ 25002 10050( )xx += +17 ． …… 12 分 当且仅当 ，且 ， 即 时取“ ”． 所以 ， 答：景观桥总长的最小值为 米． …… 14 分 18．（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 短轴的两个顶点与右焦点 的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）直线 与椭圆 交于 两点，设直线 的斜率分别 为 ．已知 ． ① 求 的值； ② 当 的面积最大时， 求直线 的方程． 【解】（1）设椭圆的焦距为 ，则 ． 因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， 所以 ． 25002 100 100 2 102 050 xx + = +× ⋅≥ 2 2 50 25002500 xx x ++ = 2500 xx = 50x = = min( ) 100 100 2g x = + (100 100 2)+ xOy 22 2 2: 1yxC a b + = ( 0 0)a b> >， 8 33 C :l y kx m= + ( 0 0)k m> ≠， C P Q， OP OQ， 1 2k k， 2 1 2k k k= ⋅ k OPQ△ PQ 2c 2 2 2=c a b− 3c b= x y O （第 18 题图） Q P18 又两准线间的距离为 ，则 ， 所以 ， 所以椭圆 的标准方程为 ． …… 3 分 （2）①设 ， ， 联立 消去 得 ， ，化简得 ， 所以 ， ， 又 的斜率 ， 的斜率 ， 所以 ， …… 6 分 化简得 ， 所以 ．又因为 ，即 ， 又 ，所以 ． …… 8 分 ②由①得 ，直线 的方程为 ， 且 ， ， ． 8 33 22 8 33 a c = 2 1a b= =， C 2 2 14 x y+ = 1 1( )P x y， 2 2( )Q x y， 2 2 14 y kx m x y = + + = ， ， y 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 264 4(4 1)(4 4) 0k m k m∆ = − + − > 2 24 1m k< + 1 2 2 8 4 1 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 4 4 1 mx x k −⋅ = + OP 1 1 1 yk x = OQ 2 2 2 yk x = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x mk k k x x x x x x + + + + += ⋅ = = = 2 1 2( ) 0km x x m+ + = 2 2 8 04 1 kmkm mk −⋅ + =+ 0m ≠ 24 1k = 0k > 1 2k = 1 2k = PQ 1 2y x m= + 1 2 2x x m+ = − 2 1 2 2 2x x m⋅ = − 2 2m λ ∈R { }na λ 2 1 2 1n n n na S S Sλ + + ++ ⋅ = ∗20 （1）当 时，（ ）式为 ， 令 得， ，即 ， 由已知 ， ，解得 ． …… 2 分 （2）因为前 k 项成等差数列，设公差为 ，则 ， ， 若 ，则 ， ． 在（ ）式中，令 得， ，所以 ， 化简得 ，① …… 4 分 若 ，则 ， 在 （ ） 式 中 ， 令 得 ， ， 所 以 ， 化简得 ，② ② ①得， ，因为公差不为 0，所以 ， 所以 ，代入①得， ，所以 ， ． 所以 符合题意． …… 6 分 若 ，则 ， , 在 （ ） 式 中 ， 令 得 ， ， 3λ = − ∗ 2 1 2 13 n n n na S S S+ + +− + ⋅ = 1n = 2 2 1 3 23a S S S− + ⋅ = 2 2 1 1 2 3 1 23 ( ) ( )a a a a a a a− + ⋅ + + = + 1 1a = 2 1a = − 3 3a = − d 2 1a d= + 3 1 2a d= + 3k = 2 2S d= + 3 3 3S d= + ∗ 1n = 2 2 1 3 2a S S Sλ + ⋅ = 2(1 ) 3 3 (2 )d d dλ + + + = + 2 1 (1 )d d dλ+ + = + 4k = 4 4 6S d= + ∗ 2n = 2 3 2 4 3a S S Sλ + ⋅ = 2(1 2 ) (2 )(4 6 ) (3 3 )d d d dλ + + + + = + 23 2 1 (1 2 )d d dλ+ + = + − 22d d dλ+ = 0d ≠ 2 1d λ+ = 2 2 0d d+ = 2d = − 3λ = − 4k = 5k = 1 2 3 4 51 1 3 5 7a a a a a= = − = − = − = −， ， ， ， 3 4 53 8 15S S S= − = − = −， ， ∗ 3n = 4 3 53 3 ( 5) ( 3) ( 15) 60a S S− + = − × − + − × − =21 ， 所 以 ， 所 以 的 最 大 值 为 4 ． …… 8 分 （3）假设存在 ，使 为等比数列， 设前 3 项分别为 ，则 ， （ ）式中，令 得， ，化简得 ， 因为 ，所以 ， …… 10 分 此时（ ）式为 ，即 （ ）， 由 ， ，得 ， 由 得 ， 依次类推， ，所以（ ）等价于 ， 所以数列 为常数列， 所以 ， …… 14 分 于是 时， 两式相减得 ， 因为 ，所以 ， 又 ，所以 （非零常数）， 所以存在 ，使 为等比数列． …… 16 分 2 2 4 ( 8) 64S = − = 2 4 3 5 43a S S S− + ≠ k λ ∈R { }na 21 q q， ， 2 1 2 31 1 1S S q S q q= = + = + +， ， ∗ 1n = 2 2(1 ) (1 )q q q qλ + + + = + ( 1) 0q λ − = 2 0q a= > 1λ = ∗ 2 1 2 1( )n n n n nS S S S S+ + +− + ⋅ = 1 1 2( 1) ( 1)n n n nS S S S+ + +− = − ∗∗ 1 1S = 2 21 1S a= + > 3 1S > 2 3 1S S >， 4 1S > ， 1 0nS >≥ ∗∗ 2 1 1 1 1n n n n S S S S + + + − −= 1 1n n S S + −    1 2 2 1 1 1n n S S aS S + − −= = 2n≥ 1 2 2 1 1 1 n n n n S a S S a S + − − =  − = ， ， 1 2n na a a+ = ⋅ 2 2 1a a a= ⋅ 1 2n na a a+ = ⋅ ( )n ∗∈N 1 2 0a a ≠， 1 2 n n a aa + = 1λ = { }na22 20．（本小题满分 16 分） 对于定义在 上的函数 ，若存在 ，使 恒成立，则称 为“ 型 函数”；若存在 ，使 恒成立，则称 为“ 型函数”． 已知函数 ． （1）设函数 ．若 ，且 为“ 型函数”，求 的取值范围； （2）设函数 ．证明：当 时， 为“ 型函数”； （3）若 ，证明存在唯一整数 ，使得 为“ 型函数”． 【解】（1） 时， ． 因为 为“ 型函数”，所以 恒成立，即 恒成立． 设 ，则 恒成立， 所以 在 上单调递减，所以 ， 所以 的取值范围是 ． …… 3 分 （2）当 时，要证 为“ 型函数”， 即证 ，即证 ． 方法一：令 ， D ( )f x k ∈R ( )f x kx< ( )f x ( )m k k ∈R ( )f x kx≥ ( )f x ( )M k ( ) (1 2 )lnf x ax x= − ( )a∈R 1( ) ( ) 1h x f x= + ( 1)x≥ 0a = 1( )h x ( )m k k 2 1( ) ( )h x f x x = + 1 2a = − 2 ( )h x (1)M a∈Z a ( )f x ( )1 4m 0a = 1( ) ln 1h x x= + 1( )h x ( )m k 1( )h x kx< ln 1xk x +> ln 1( ) xg x x += ( 1)x≥ 2 ln( ) 0xg x x −′ = ≤ ( )g x [1 )+ ∞， ( ) (1) 1g x g =≤ k (1 )+ ∞， 1 2a = − 2 ( )h x (1)M 1(1 )lnx x xx + + ≥ 1(1 )ln 0x x xx + + − ≥ 1( ) (1 )lnR x x x xx = + + −23 则 ， 当 时， ， ，则 ； 当 时， ， ，则 ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， …… 6 分 则 ，又 ，所以 ， 所以 为“ 型函数”． …… 8 分 方法二：令 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增，又 ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， …… 6 分 以下同方法一． （3）函数 为“ 型函数”等价于 恒成立， 当 时， ，不合题意； 当 时， ，不合题意； …… 10 分 当 时， 方法一： ， 2 2 2 1 1 1 1 1( ) ln (1 ) 1 ln ln xR x x x x xx xx x x −′ = + + ⋅ − − = + − = + 1x > ln 0x > 2 1 0x x − > ( ) 0R x′ > 0 1x< < ln 0x < 2 1 0x x − < ( ) 0R x′ < ( )R x (0 1)， (1 + )∞， ( ) (1)R x R≥ (1) 0R = ( ) 0R x ≥ 2 ( )h x (1)M 2 1 1( ) lnF x x x x = + − 2 2 3 3 1 1 2 2( ) 0x xF x x x x x − +′ = − + = > ( )F x (0 + )∞， (1) 0F = 0 1x< < ( ) 0R x′ < 1x > ( ) 0R x′ > ( )R x (0 1)， (1 + )∞， ( )f x ( )1 4m 1( ) (1 2 )ln 04p x ax x x= − − < 0a≤ e e(e) (1 2 e) 1 04 4p a= − − − >≥ 2a≥ 1 2 1 1 1( ) 1 (4 e ) 0e e 4e e 4 ap = − − − − >≥ 1a = 1( ) (1 2 )ln 4p x x x x= − −24 ① 当 或 时， ． …… 12 分 ② 当 时， ，由（2）知 ， 所以 ， 综上，存在唯一整数 ，使得 为“ 型函数”． …… 16 分 方法二： ， ， 记 ，则 ， 所以 在 上单调递减． 易得 ， 所以 ； 又因为 ， 所以存在唯一零点 ，使得 ， 且 为 的最大值点， …… 12 分 所以 ， 注意到 在 上单调递增， 所以 ， 所以 ． 1x≥ 10 2x< ≤ 1( ) 0 04p x x− 2(1 2 )( 1) 1 1( ) (3 2) 04 4 x xp x x xx x − − −< − = − ≤ 1a = ( )f x ( )1 4m 1( ) (1 2 )ln 4p x x x x= − − 1 2 1 1 9( ) 2ln 2ln4 4 xp x x xx x −′ = − + − = − + − 1 9( ) 2ln 4x x x ϕ = − + − 2 2 1( ) 0x x x ϕ −′ = − < ( ) ( )x p xϕ ′= (0 + )∞， ln 1x x −≤ ( ) 288 172 9 9 172ln 2 2 2( 2 1) 2 3 2 02 4 4 4 4p −′ = + − − + − = − = + − > ( )0 21 2 2x ∈ ， 0 0 0 1 9( ) 2ln 04p x x x ′ = − + − = 0x ( )p x ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9(1 2 ) 41 1 1 17( ) (1 2 )ln 24 2 4 2 8 x xp x x x x x x x − − = − − = − = + − 1 172 2 8y x x = + − ( )21 2 2， ( ) ( )0 2 1 17 1 17( ) 2 3 2 02 8 2 42 p x p< = + − = − < ( ) 0p x (4 0)M p， l 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， AB x OAB△ 2 2 AB x T 1 2y y OA TB∥ l AB x (4 2 2 )A p p， (4 2 2 )B p p−， OAB△ 21 1 4 2 4 8 2 2 22 2AB OM p p p⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = 0p > 1 2p = 2y x= l x (2 0)M ， 2 1 1( )A y y， 2 2 2( )B y y， x y O （第 22 题） A B TM x y O （第 22 题） A B TM x y O （第 22 题） A B TM28 则 ． 由 三点共线，得 ， 因为 ，化简得 ． …… 5 分 ② 因为 ，所以 ． 因为线段 垂直平分线的方程为 ， 令 ，得 ． …… 7 分 因为 ，所以 ， 即 ，整理得 ， 解得 ，故 ． 所以 ，即直线 的斜率为 ． …… 10 分 23．(本小题满分 10 分) 设 ． （1）化简： ； 1 2 2 2 1 21 2 1 AB y yk y yy y −= = +− A M B， ， 1 2 2 2 1 22 2 y y y y =− − 1 2y y≠ 1 2 2y y = − 1 2 2y y = − 2 1 1 4 2( )B y y −， AB 2 2 1 2 1 2 1 2( )( )2 2 y y y yy y y x + +− = − + − 0y = 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 4( 1)2 2T y yx y y + += = + + OA TB∥ OA TBk k= 1 21 1 2 2 1 1 2 1 1 4 4( 1)2 y y y y y = + + − 2 2 1 1( 1)( 4) 0y y+ − = 1 2y = ± (4 2)A ±， 1AMk = ± l 1± n k n k∗∈ ∈N N， ，≥ 1 1 1 1 2 C C C C k k n n k k n n + + + + + ⋅ ⋅29 （2）已知 ，记 ． 证明： 能被 整除． 【证】（1）证明： ． …… 3 分 （2）证明：由（1）得， ． …… 6 分 因为 ， 所以 ， 因为 ． 2 2 2 0 1 2 2(1 ) n n nx a a x a x a x− = + + + + 2 1 ( ) ( 1) n kk kF n n a= = + ∑ ( )F n 2 1n + 1 1 1 1 2 ( 1)! ( 1)! C C !( 1 )! ( 1)!( )! ( 2)!C C ! !( )! ( 1)!( 1 )! k k n n k k n n n n k n k k n k nn k n k k n k + + + + + + +⋅⋅ + − + −= +⋅ ⋅− + + − ( 1) ! ( 1)! 1 !( 2) ( 1)! 2 n n n n n n n n + ⋅ ⋅ + += =+ ⋅ + + 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 C C + C1 1 1 2 2C C C C C k k k n n n k k k k k n n n n n n n n n + + + + + + + + + + + + += ⋅ = ⋅+ +⋅ ⋅ ( )1 1 1 1 1 1 2 C Ck k n n n n + + + += ⋅ ++ 1 2 2 1 2 1 ( 1) ( 1) ( 1)2 1 2 2C C C k k k k k k k n n n k k kk n a n + + +  − − −+= = ⋅ + +   2 2 1 1 1 2 1 2 1 ( 1) ( 1)2 1( ) ( 1) 2 C C k kn n k k kk k n n k kk nF n n a + = = + +  − −+= + = ⋅ +    ∑ ∑ 2 1 1 2 1 2 1 ( 1) ( 1) C C k kn k k k n n k k + = + +  − −+    ∑ 1 2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2( ) ( )C C C C C C C Cn n n n n n n n n n n n n n n n − + + + + + + + + + − − + − − += + + + + + + + + +  1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2( ) ( )C C C C C Cn n n n n n n n n n n n + + + + + + + − − − += + + + + + + 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2( ) 2C C C C Cn n n n n n n n n n− + + + + + + − −= + + + + + =30 所以 能被 整除． …… 10 分 2 1 2 1( ) ( 1) 2 (2 1)2 n kk k nF n n n n na= += + = ⋅ = +∑ 2 1n + x y O （第 22 题） A B TM x y O （第 22 题） A B TM x y O （第 22 题） A B TM