江苏省南京市十校2020届高三数学5月调研试题（含附加题Word版带答案）

1 江苏省南京市十校 2020 届高三下学期 5 月调研 数学试题 2020．5 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．） 1．已知集合 A＝ ，B＝ ，则 A B＝ ． 2．已知复数 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，a 为实数，则 ＝ ． 3．如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名同学在期末考试中的数学成绩， 则方差较小的那组同学成绩的方差为 ． 4．运行如图所示的伪代码，则输出的 S 的值为 ． 5．某兴趣小组有 2 名女生和 3 名男生，现从中任选 2 名学生去参加活动， 则至多有一名男生的概率为 ． 6．设等比数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 ＝ ． 7．函数 为定义在 R 上的奇函数，且满足 ，若 ，则 ＝ ． 8．将函数 图象向左平移 ( ＞0)个单位，所得图象对应的 函数恰为偶函数，则 的最小值为 ． 9．双曲线 (a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且与 x 轴垂直的直线 与双曲线交于 A，B 两点，若 F1F2＝ AB，则双曲线的渐近线方程为 ． 10．如图，五边形 ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角 B 为直角的直角三角形，四边形 BCDE 为正方形，现将该图形以 AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆 柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为 ． 11．在平行四边形 ABCD 中，AD＝2AB＝6，∠DAB＝60°， ， ．若 { }2 2 0x x x− < { }1x x <  ( 2i)(1 i)z a= + + z { }na nS 5 102S S= 5 15 10 5 4S S S S + − ( )f x ( ) (2 )f x f x= − (1) 3f = (1) (2)f f+ (50)f+ + ( ) 2sin( )sin( )6 3f x x x π π= + − ϕ ϕ ϕ 2 2 2 2 1x y a b − = 3 2 1DE EC2 =  1BF FC2 = 2 ，则 ＝ ． 12．已知在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a＝3bcosC，则 ＋ ＋ 的最小值为 ． 13．已知圆 O： ，点 A(2，2)，直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，点 E 在直线 l 上 且满足 ．若AE 2＋2AP2＝48，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为 ． 14．函数 的图象恰好经过三个象限，则实数 a 的取值范围 是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ． （1）求角 B 的大小； （2）若 a＝2，c＝3，求 sin(A﹣C)的值． 16．（本小题满分 14 分） 如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 ， 侧 面 BCC1B1 是 矩 形 ， 平 面 ACC1A1 ⊥ 平 面 BCC1B1，M 是棱 CC1 上的一点． （1）求证：BC⊥AM； （2）若 N 是 AB 的中点，且 CN∥平面 AB1M，求证：M 是棱 CC1 中点． FG 2GE=  AG BD⋅  1 tan A 1 tan B 1 tan C 2 2 4x y+ = PQ 2QE=  3 2( ) ( 3 2 ) ( 1)xf x x a x a e= − + ⋅ − 2sin A sin( B)3b a π= −3 17．（本小题满分 14 分） 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形 OABC 与扇形 OCD 组成，OA＝30 米， AB＝50 米，∠COD＝ ，经营者决定在 O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠ EOF＝ ，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点 E 在弧 CD 上，点 F 在线段 AB 上．设∠ FOC＝ ． （1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积 S 关于 的函数关系式，并求出 tan 的取 值范围； （2）求监控区域面积 S 最大时，角 的正切值． 18．（本小题满分 16 分） 已知椭圆 C： (a＞b＞0)的左焦点为 F1，点 A，B 为椭圆的左、右顶点，点 P 是椭圆上一点，且直线 PF1 的倾斜角为 ，PF1＝2，已知椭圆的离心率为 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M，N 为椭圆上异于 A，B 的两点，若直线 BN 的斜率等于直线 AM 斜率的 2 倍，求四边形 AMBN 面积的最大值． 6 π 3 π θ θ θ θ 2 2 2 2 1x y a b + = 4 π 2 24 19．（本小题满分 16 分） 已知函数 ，(a，b，c R)， ． （1）若 a＝b＝1，c＝﹣1，求函数 在 x＝1 处的切线方程； （2）若 a＝1，且 x＝1 是函数 的一个极值点，确定 的单调区间； （3）若 b＝2a，c＝2，且对任意 x≥0， 恒成立，求实数 a 的取值范围． 20．（本小题满分 16 分） 设数列 （任意项都不为零）的前 n 项和为 ，首项为 1，对于任意 n ，满足 ． （1）数列 的通项公式； （2）是否存在 k，m，n (k＜m＜n)，使得 ， ， 成等比数列，且 ， ， 成等差数列？若存在，试求 k＋m＋n 的值；若不存在，请说明理由； 2( )f x ax bx c= + + ∈ ( ) xg x e= ( )( ) ( ) f xh x g x = ( ) ( ) ( )m x f x g x= ( )m x ( ) 2 2( ) f x xg x ≤ + { }na nS N∗∈ 1 2 n n n a aS +⋅= { }na N∗∈ ka ma na 16 ka 4 ma 2 na5 （3）设数列 ， (q＞0)，若由 的前 r 项依次构成 的数列是单调递增数列，求正整数 r 的最大值． 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 求椭圆 C： 在矩阵 A＝ 对应的变换作用下所得曲线 C′的方程． B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P( ， )，圆心为直线 与极轴 的交点，求圆 C 的极坐标方程． { }nb 1 2 1 N 2 N n n n a n k kb q n k k ∗ − ∗  = − ∈=  = ∈ ， ， ， ， { }nb 2 2 116 4 x y+ = 1 04 10 2            2 4 π 3sin( )3 2 πρ θ + =6 C．选修 4—5：不等式选讲 已知正数 a，b，c 满足 abc＝1，求(a＋2)(b＋2)(c＋2)的最小值． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 如图，直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°， E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）求异面直线 A1M 与 C1E 所成角的余弦值； （2）求二面角 A—MA1—N 的平面角的正弦值． 23．（本小题满分 10 分） 已知数列 满足 ，n ，其中 m 为常数， ． （1）求 m， 的值； （2）猜想数列 的通项公式，并证明． { }na 1 2 3 1 2 3 2 32 2 2 2 n n n n n n n n C C C Ca m + + + += + + + + + N∗∈ 2 4a = 1a { }na7 参考答案89101112131415161718