丰台区高三数学一模考试试题 第 1 页/ 共 12 页
丰台区 2019—2020 学年度第二学期综合练习（一）
高三数学 2020.04
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
1．若集合 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
2． 已知向量 ，满足 ，则
（A） （B） （C） （D）
3． 若复数 满足 ，则 对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
4． 圆 的圆心到直线 的距离为
（A） （B） （C） （D）
5． 已知 ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
6． “ ”是“ ”成立的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于 的有
8. 过抛物线 的焦点 作倾斜角为 60°的直线与抛物线 交于两个不同的点
（A）1 个 （B）2 个
（C）3 个 （D）4 个
{ | 1 2}A x x= ∈ − < > a c b> > b a c> > b c a> >
1a > 1 1a
<
3
2 2 ( 0)C y px p= >： F C A B，
俯视图
左视图主视图
2
2
3
3丰台区高三数学一模考试试题 第 2 页/ 共 12 页
（点 在 轴上方），则 的值为
（A） （B） （C） （D）
9. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，且 ，下列说
法错误的是
（A） 为偶函数
（B）
（C）当 时， 在 上有 3 个零点
（D）若 在 上单调递减，则 的最大值为 9
10. 已知函数 若存在非零实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11. 设数列 的前 项和为 ， ，则 ．
12. 若 ，则函数 的最小值为 ，此时 ．
13. 已知平面 和三条不同的直线 .给出下列六个论断：① ；② ；③ ；
④ ； ⑤ ； ⑥ . 以 其 中 两 个 论 断 作 为 条 件 ， 使 得 成 立 . 这 两 个 论 断 可 以
是 ．（填上你认为正确的一组序号）
14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.
如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反
数”是一种“回归”变换. 有下列 3 种变换：
① 对 ，变换：求集合 的补集；
② 对任意 ，变换：求 的共轭复数；
③ 对任意 ，变换： （ 均为非零实数）.
其中是“回归”变换的是 .
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.
A x AF
BF
1
3
4
3 3 3
( ) sin ( 0)f x xω ω= > π
2
( )g x (0) 1g =
( )g x
π( ) 0
2
g − =
5ω = ( )g x π[0 ]
2
,
( )g x π[ ]
5
0, ω
( ) e 1 0
0.
x
f x x
k x x
=
− ≥
1( )
1
f x x
x
= +
− x =
α m n l， ， m α⊥ m α‖ m l‖
n α⊥ n α‖ n l‖ m n‖
A ⊆ R A
z∈C z
x∈R x kx b→ + k b，丰台区高三数学一模考试试题 第 3 页/ 共 12 页
15． 已知双曲线 的渐近线是边长为 1 的菱形 的边 所在直线．若椭圆
经过 两点，且点 是椭圆 的一个焦点，则 .
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题共 14 分）
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ， .
（Ⅰ）当 时，求 ；
（Ⅱ）求 的取值范围.
17.（本小题共 14 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 中， ， ，
， ，平面 平面 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）在棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
18.（本小题共 14 分）
在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现
场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与 A，B，C 三个社
区的志愿者服务情况如下表：
（ Ⅰ ） 从
上 表
三 个
社区的志愿者中任取 1 人，求此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；
（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人调查情况，以 X 表示负责现场值班值守的人数，求 X 的分布
服务类型社区 社区服务总
人数 现场值班值守 社区消毒 远程教育宣传 心理咨询
A 100 30 30 20 20
B 120 40 35 20 25
C 150 50 40 30 30
2
2 13
yM x − =： OABC O A O C,
2 2
2 2 1( 0)x yN a ba b
+ = > >： A C, B N a =
ABC A B C a b c 4c = π
3
A =
2b = a
sin 3 cosB C−
M ABCD− AB CD‖ 90ADC BM C∠ = ∠ =
M B MC= 1 2
2
AD DC AB= = = BCM ⊥ ABCD
CD‖ ABM
AC ⊥ BCM
AM E E BC M− − π
4
AE
AM丰台区高三数学一模考试试题 第 4 页/ 共 12 页
列；
（Ⅲ）已知 A 社区心理咨询满意率为 0.85，B 社区心理咨询满意率为 0.95，C 社区心理咨询满意率为 0.9，
“ , , ” 分 别 表 示 A ， B ， C 社 区 的 人 们 对 心 理 咨 询 满 意 ，
“ , , ”分别表示 A，B，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差 ，
， 的大小关系.（只需写出结论）
19.（本小题共 15 分）
已知函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为 1，求实数 的值；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）若函数 在区间 上存在极值点，求实数 的取值范围.
20.（本小题共 14 分）
已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上，直线 与椭圆 交于
不同的两点 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）直线 ， 分别交 轴于 两点，问： 轴上是否存在点 ，使得 ？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（本小题共 14 分）
已 知 有 穷 数 列 ： 且 . 定 义 数 列 的 “ 伴 生 数 列 ” ：
，其中
，规定 .
（Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：
①1，2，3，4，5；
②1，−1，1，−1，1.
x
1Aξ = 1Bξ = 1Cξ =
0Aξ = 0Bξ = 0Cξ = ( )AD ξ
( )BD ξ ( )CD ξ
( ) ( )ln 1f x x a x x= + − +
( )y f x= (e (e))f, a
0a = ( ) 0f x ≥
( )f x (1 )+∞, a
2 2
2 2 1( 0)y xC a ba b
+ = > >： 2
2
(1 0)P , C 0y y= C
A B,
C
PA PB y M N, Q
2
OQN OQM
π∠ + ∠ =
Q
A *
1 2 (k na a a a n∈N, , , , , 3)n ≥ A B
1 2 k nb b b b, , , , ,
1 1
1 1
1
0
k k
k
k k
a a
b
a a
− +
− +
≠
=
=
， ，
， ( 1 2 )k n= , , , 0 1 1n na a a a+= =,丰台区高三数学一模考试试题 第 5 页/ 共 12 页
（Ⅱ）已知数列 的“伴生数列” ： ，且满足 .
（i）若数列 中存在相邻两项为 1，求证：数列 中的每一项均为 1；
（ⅱ）求数列 所有项的和.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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高三数学 参考答案及评分参考
2020．04
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B C A C D D A
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）
14. ①② 15.
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题共 14 分）
解：（Ⅰ） 由余弦定理 ，
得 .
所以 . …………6 分
（Ⅱ） 由 可知， ，即 .
.
B C 1 2 k nc c c c, , , , , 1( 1 2 )k kb k nc = =+ , , ,
B B
C
3
2
+1
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2 π2 4 2 2 4 cos
3
a = + − × × ⋅ 12=
2 3a =
π
3
A = 2π
3
B C+ = 2π
3
B C= −
2πsin 3cos sin( ) 3cos
3
B C C C− = − −
3 1cos sin 3cos
2 2
C C C= + −
1 3sin cos
2 2
C C= −
πsin( )
3
C= −丰台区高三数学一模考试试题 第 6 页/ 共 12 页
因为 ，所以 . 故 .
因此 .
于是 . …………14 分
17.（本小题共 14 分）
证明：（Ⅰ）因为 ，
平面 ，
平面 ，
所以 平面 . …………3 分
（Ⅱ）取 的中点 ，连接 .
在直角梯形 中，
易知 ，且 .
在 △ 中，由勾股定理得 .
在△ 中，由勾股定理逆定理可知 .
又因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，
所以 平面 . …………7 分
（Ⅲ）取 的中点 ，连接 ， .
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 .
因为 ，
所以 .
如图建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
， ， .
易知平面 的一个法向量为 .
2π
3
B C+ = 2π(0, )
3
C ∈ π π π( , )
3 3 3
C − ∈ −
π 3 3sin( ) ( )
3 2 2
C − ∈ − ,
3 3sin 3 cos ( , )
2 2
B C− ∈ −
AB CD‖
AB ⊂ ABM
CD ⊄ ABM
CD‖ ABM
AB N CN
ABCD
2AN BN CD= = = CN AB⊥
Rt CNB 2BC =
ACB AC BC⊥
BCM ⊥ ABCD
BCM ABCD BC=
AC ⊥ BCM
BC O OM ON
ON AC‖
AC ⊥ BCM
ON ⊥ BCM
BM MC=
OM BC⊥
O xyz−
(0 0 1)M , , (0 1 0)B , , (0 1 0)C ,- , (2 1 0)A −, ,
=( 2 11)AM − , , =(0 2 0)BC − , , =(2 2 0)BA − , ,
BCM (1 0 0)= , ,m丰台区高三数学一模考试试题 第 7 页/ 共 12 页
假设在棱 上存在一点 ，使得二面角 的大小为 .
不妨设 ，
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，
则 即
令 ， ，所以 .
从而 .
解得 或 .
因为 ，所以 .
由题知二面角 为锐二面角.
所以在棱 上存在一点 ，使得二面角 的大小为 ，
此时 . …………14 分
18．（本小题共 14 分）
解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作”为事
件 ，
.
所以从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作的概率
为 . …………4 分
（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人，由表可知：A，B，C 三个社区负责现场值班值守
的概率分别为 .
X 的所有可能取值为 0，1，2，3.
, ,
,
AM E E BC M− − π
4
(0 1)AE AMλ λ= ≤ ≤
(2 2 2 )BE BA AE λ λ λ= + = − − , ,
( )x y z= , ,n BCE
0
0
BC
BE
⋅ =
⋅ =
,
,
n
n
2 0
(2 2 ) 0
y
x zλ λ
− =
− + =
,
,
x λ= 2 2z λ= − ( 2 2)λ λ= −,0,n
2cos
2
m n
m n
⋅< > = =
⋅
,m n
2
3
λ = 2λ =
0 1λ≤ ≤ 2
3
λ =
E BC M− −
AM E E BC M− − π
4
2
3
AE
AM
=
D
30 3( )
100 120 150 37
P D = =
+ +
3
37
3 1 1
10 3 3
，，
7 2 2 28 14( 0)
10 3 3 90 45
P X = = × × = = 3 2 2 7 1 2 7 2 1 40 4( 1)
10 3 3 10 3 3 10 3 3 90 9
P X = = × × + × × + × × = =
3 1 2 3 2 1 7 1 1 19( 2)
10 3 3 10 3 3 10 3 3 90
P X = = × × + × × + × × =丰台区高三数学一模考试试题 第 8 页/ 共 12 页
.
X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
…………11 分
（Ⅲ） …………14 分
19.（本小题共 15 分）
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 .
由题知 ，
解得 . …………4 分
（Ⅱ）当 时， ，
所以 .
当 时， ， 在区间 上单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增；
所以 是 在区间 上的最小值.
所以 . …………8 分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知， .
若 ，则当 时， ， 在区间 上单调递增，
此时无极值.
若 ，令 ，
则 .
因为当 时， ，所以 在 上单调递增.
3 1 1 3 1( 3)
10 3 3 90 30
P X = = × × = =
14
45
4
9
19
90
1
30
( ) ( ) ( )A C BD D Dξ ξ ξ> >
( ) ( )ln 1f x x a x x= + − +
'( ) ln af x x
x
= +
'(e) ln e 1
e
af = + =
0a =
0a = ( ) ln 1f x x x x= − +
'( ) lnf x x=
(0 1)x ∈ , '( ) 0f x < ( )f x (0 1),
(1 )x ∈ ∞,+ '( ) 0f x > ( )f x (1 )∞,+
(1) 0f = ( )f x (0 )∞,+
( ) 0f x ≥
ln +'( ) ln a x x af x x
x x
= + =
0a ≥ (1 )x ∈ ∞,+ '( ) 0f x > ( )f x (1 )∞,+
0a < ( ) '( )g x f x=
2
1'( )= ag x
x x
−
(1 )x ∈ ∞,+ '( ) 0g x > ( )g x (1 )∞,+丰台区高三数学一模考试试题 第 9 页/ 共 12 页
因为 ，
而 ，
所以存在 ，使得 .
和 的情况如下：
因此，当 时， 有极小值 .
综上， 的取值范围是 . …………15 分
20．（本小题共 14 分）
解：（Ⅰ）由题意
解得 .
所以椭圆 的方程为 . …………5 分
（Ⅱ) 假设存在点 使得 .设 ，
因为 ,
所以 .则 .
即 ，所以 .
因为直线 交椭圆 于 两点，则 两点关于 轴对称.
设 ，
因为 ，
(1) 0g a= <
(e ) e (e 1) 0a a ag a a a− = − + = − >
0 (1 e )ax −∈ , 0( ) 0g x =
'( )f x ( )f x
0x x= ( )f x 0( )f x
a 0( )−∞,
2
2 2 2
1 1
2
2
.
b
c
a
a b c
=
=
= +
,
,
2 22 1a b= =,
C
2
2 1
2
y x+ =
Q
2
OQN OQM
π∠ + ∠ = ( 0)Q m,
2
OQN OQM
π∠ + ∠ =
OQN OMQ∠ = ∠ tan tanOQN OMQ∠ = ∠
ON OQ
OQ OM
= OMONOQ =2
0y y= C A B， A B， y
0 0 0 0( ) ( )A x y B x y−, , , 0( 1)x ≠ ±
(1 0)P ,丰台区高三数学一模考试试题 第 10 页/ 共 12 页
则直线 的方程为： .
令 ，得 .
直线 的方程为： .
令 ，得 .
因为 ，
所以 .
又因为点 在椭圆 上，
所以 .
所以 .即 .
所以存在点 使得 成立. …………14 分
21．（本小题共14 分）
解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；
② 1，0，0，0，1. …………4 分
（Ⅱ）（i）由题意，存在 ，使得 .
若 ，即 时， .
于是 .
所以 ，所以 .即 .
依次类推可得 .
所以 .
若 ，由 得 .
PA )1(10
0 −−= xx
yy
0=x 10
0
−
−=
x
yyM
PB )1(10
0 −+
−= xx
yy
0=x 10
0
+=
x
yyN
OMONOQ =2
12
0
2
02
−
=
x
ym
0 0( )A x y, C
2 2
0 02(1 )y x= −
2
2 0
2
0
2(1 ) 21
xm x
−= =− 2m = ±
( 2 0)Q ± ,
2
OQN OQM
π∠ + ∠ =
{ }1 2 1k n∈ −, , , 1 1k kb b += =
1k = 1 2 1b b= = 1 2 0c c= =
2 1 31 1nb b b b= = = =,
3 0nc c= = 4 2 1b b= = 2 3 4 1b b b= = =
1 1k kb b += = ( 2 3 1)k n= −, , ,
1kb = ( 1 2 )k n= , , ,
2 1k n≤ ≤ − 1 1k kb b += = 1 0k kc c += =丰台区高三数学一模考试试题 第 11 页/ 共 12 页
于是 .所以 .
依次类推可得 .
所以 .
综上可知，数列 中的每一项均为 1. …………8 分
（ⅱ）首先证明不可能存在 使得 .
若存在 使得 ，
则 .
又 得 与已知矛盾.
所以不可能存在 ， .
由此及(ⅰ)得数列 的前三项 的可能情况如下：
(1) 时，由（i）可得 .
于是 .
所以所有项的和 .
(2) 时， ，
此时 与已知矛盾.
(3) 时， .
于是 .
故
于是 ，
于是 ，且 .
依次类推 且 恰是 3 的倍数满足题意.
所以所有项的和 .
同理可得 及 时，
当且仅当 恰是 3 的倍数时，满足题意.
1 1 1k k kb b b− += == 1 0k kc c− = =
1 2 1b b= =
1kb = ( 1 2 )k n= , , ,
B
{ }2 1k n∈ −, , 1 1 0k k kb b b− += = =
{ }2 1k n∈ −, , 1 1 0k k kb b b− += = =
1 1 1k k kc c c− += = =
1 1k kb b− += 0kc =
1 1 0k k kb b b− += = = { }2 1k n∈ −, ,
{ }nb 1 2 3b b b， ，
1 2 3 1b b b= = = 1kb = ( 1 2 )k n= , , ,
0kc = ( 1 2 )k n= , , ,
0S =
1 2 31 0 1b b b= = =, , 2 0c =
2 2 0b c+ =
1 2 31 0 0b b b= = =, , 1 2 30 1 1c c c= = =, ,
2 2 40 1nb b b b= = ≠ =,
4 5 31, 0, 0nc c b b= = = =
1 1 5 60 1 0nb b c b−≠ = = =, ,
1 4 2 5 3 6b b b bb b== =, , 2 11 0 0n n nb b b− −= = =, ,
3k kb b += n
2
3 3
n nS n= − =
1 2 30 1 0b b b= = =, , 1 2 30 0 1b b b= = =, ,
n丰台区高三数学一模考试试题 第 12 页/ 共 12 页
此时所有项的和 .
综上，所有项的和 或 （ 是 3 的倍数）. …………14 分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
2
3
nS =
0S = 2
3
nS = n
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