北京市朝阳区高三年级高考练习一
数 学 2020.4
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
（2）下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是
（A） （B） （C） （D）
（3）在等比数列 中， ， ，则 的前 项和为
（A） （B） （C） （D）
（4）如图，在 中，点 ， 满足 ， ．若 ，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若
， ，则抛物线 的方程为
（A） （B） （C） （D）
（6）现有甲、乙、丙、丁、戊 5 种在线教学软件，若某学校要从中随机选取 3 种作为教师“停课不停学”
(0, )+∞
{ }1,3,5A = { }| ( 1)( 4) 0B x x x= ∈ − − F l A C AD l⊥ D
4AF = 60DAF∠ = ° C
2 8y x= 2 4y x= 2 2y x= 2y x=
E
D CB
A
（第 4 题图）的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有 2 种被选取的概率为
（A） （B）
（C） （D）
（7）在 中， ， ．若以 ， 为焦点的双曲线经过点 ，则该双曲线的离心
率为
（A） （B） （C） （D）
（8）已知函数 的图象上相邻两个最高点的距离为 ，则“ ”是“
的图象关于直线 对称”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范
围为
（A） （B） （C） （D）
（10）如图，在正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，点 在对角线 上运
动．当 的面积取得最小值时，点 的位置是
（A）线段 的三等分点，且靠近点
（B）线段 的中点
（C）线段 的三等分点，且靠近点
（D）线段 的四等分点，且靠近点
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
2
3
2
5
3
5
9
10
△ABC BCAB = °=∠ 120ABC A B C
2
5
2
7 3 1
2
+
3
( ) = 3sin( ) ( > 0)f x ωx φ ω- π
6
ϕ π= ( )f x
3x
π=
2 2 2 , 1,( )
2 ln , 1.
x ax a xf x
x a x x
− + ≤= − >
x ( ) 2
af x ≥ R a
( ,2 e]−∞ 3[0, ]2 [0,2] [0,2 e]
1 1 1 1ABCD A B C D- M N AB 1BB P 1CA
△PMN P
1CA 1A
1CA
1CA C
1CA C
P
M
N
A
B C
D
D1
C1
B1
A1
（第 10 题图）（11）若复数 ，则 ________．
（12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为 ．
（13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定
能否成功购买到该商品．规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为 ；（ⅱ）当中签率不超过 时，
可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加
．
为了使中签率超过 ，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动．
（14）已知函数 ．数列 满足 （ ），则数列 的前 项和
是________．
（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.
给出下列三个结论：
① 曲线 关于直线 对称；
② 曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③ 存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，
使得曲线 在此正方形区域内（含边界）．
其中，正确结论的序号是________．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 分，其他得 3 分。0
2
1 iz = + | |z =
0.19 1
0.05
0.9
( ) cos 2
xf x x
π= { }na ( ) ( 1)na f n f n= + + *n∈N { }na 100
2 2 3 2 2:( ) 4C x y x y+ =
C y x=
C 1
2
C
（第 15 题图）
（第 12 题图）
俯视图
正（主）视图 侧（左）视图
3
22 22三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
在 中， ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， ．求 .
从① ， ② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
（17）（本小题 14 分）
如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，四边形 是正方形，点 ，
分 别 是 棱 ， 的 中 点 ， ， ，
．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（ Ⅲ ） 若 点 在 棱 上 ， 且 ， 判 断 平 面
与平面 是否平行，并说明理由．
（18）（本小题 14 分）
某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某
△ ABC sin cos( )6b A a B
π
= -
B
5c = a
7b = 4C
π
=
1 1 1ABC A B C- 1 1ACC A ^ ABC 1 1ACC A D E
BC 1BB 4AB= 1 2AA =
2 5BC =
1AB CC^
1D AC C- -
F 1 1B C 1 1 14B C B F=
1AC D
1A EF
A
B
B1
E
C
C1
A1
D
F地区（人数众多）随机选取了 位患者和 位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：
（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
（Ⅱ）从该地区患者中随机选取 人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以 表示检测结
果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设该地区有 万人，患病率为 .从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测
结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过 ？并说明理由.
（19）（本小题 14 分）
已知椭圆 ，圆 （ 为坐标原点）.过点 且斜率为 的
直线与圆 交于点 ，与椭圆 的另一个交点的横坐标为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程和圆 的方程；
（Ⅱ）过圆 上的动点 作两条互相垂直的直线 ， ，若直线 的斜率为 且 与椭圆 相切，
试判断直线 与椭圆 的位置关系，并说明理由.
（20）（本小题 15 分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
患者的检测结果 人数
阳性
阴性
非患者的检测结果 人数
阳性
阴性
80 100
3 X
X
10 0.01
0.5
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 2 2:O x y r+ = O (0, )b 1
O (1,2) C 8
5
−
C O
O P 1l 2l 1l ( 0)k k ≠ 1l C
2l C
( )
1
1ex
x
xf x −
+= −
( )y f x= (0, (0))f
76
4
1
99（Ⅱ）判断函数 的零点的个数，并说明理由；
（Ⅲ）设 是 的一个零点，证明曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线．
（21）（本小题 14 分）
设数列 （ ）的各项均为正整数，且 ．若对任意 ，
存在正整数 使得 ，则称数列 具有性质 ．
（Ⅰ）判断数列 与数列 是否具有性质 ；（只需写出结论）
（Ⅱ）若数列 具有性质 ，且 ， ， ，求 的最小值；
（Ⅲ）若集合 ，且 （任意 ，
）．求证：存在 ，使得从 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质 的数
列．
( )f x
0x ( )f x exy = 0
0( ,e )xx lny x=
1 2: , , , nA a a a 3n ≥ 1 2 na a a≤ ≤ ≤ {3,4, , }k n∈
, (1 )i j i j k≤ ≤ < k i ja a a= + A T
1 :1,2,4,7A 2 :1,2,3,6A T
A T 1 1a = 2 2a = 200na = n
1 2 3 4 5 6{1,2,3, ,2019,2020}S S S S S S S= = i jS S = ∅ , {1,2, ,6}i j ∈
i j≠ iS iS T
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