1
高考冲刺：怎样解选择题
【高考展望】
1.数学选择题在高考试卷中，不但题目数量多，且占分比例高。考生能否迅速、准确、
全面、简捷地解好选择题，成为得分的关键，并且直接影响到解答题的答题时间及答题的情
绪状态.
2.高考中数学选择题属小题，具有概括性强、知识覆盖面宽、小巧灵活，有一定的综合
性和深度的特点。解题的基本原则是：“小题不能大做.”因而答题方法很有技巧性，如果
题题都严格论证，个个都详细演算，耗时太多，以致于很多学生没时间做后面会做的题而造
成隐性失分，留下终生遗憾。
3.夺取高考数学试卷高分的关键就是：“准”“快”“稳”地求解选择题。准确是解答
选择题的先决条件。选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、
深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。迅速是赢得时间获取高分的
必要条件.高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”（也叫“隐形失分”）是造成
低分的一大因素.
【方法点拨】
1.选择题的结构特点
选择题有题干和４个可供挑选的选择项（其中一个正确答案，三个诱误项）。选择题的
结构中包含着我们解题的信息源（特别注意４个选择支也是已知条件）
2.选择题的求解策略
充分利用题设和选择项两方面所提供的信息作出判断，一般来说，能定性判定的，就不
再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，也不必采用常规解法；能使用间接解法的，
也不必采用直接解法；对于明显可以否定的选择项，应及早排除，以缩小选择的范围；对于
具有多种解题思路的，宜于选择最简解法等等.一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探
求结果；二是从题干和选择项联合考虑或从选项出发探求是否满足题干条件。
3.选择题的常用方法
由于选择题提供了备选答案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在
选择题求解中很适用，结合数学选择题的结构特点及近几年的高考题，有以下几种常用解法：
①直接法；②排除法；③特例法；④图解法（数形结合法）；⑤代入法。
【典型例题】
类型一：直接法
直接从题设条件出发，运用有关，运用有关的概念、定义、公理、定理、性质、公式等，使
用正确的解题方法，经过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论，然后对照题目中给出
的选择项“对号入座”，作出相应的选择，这种方法称之为直接法。是一种基础的、重要的、
常用的方法，一般涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。
例 1． 2 2sin cos ( ) x x x若 ＞ ，则 的取值范围是
2
【解析】
【总结升华】直接法解选择题，它和解解答题的思路、程序方法是一致的，不同之处
在于解选择题不需要书写过程，这就给我们创造灵活解答选择题的空间，即在推理严谨、计
算准确的前提下，可以简化解题的步骤，简化计算。再就是在考查问题的已知条件和选择项
的前提下，洞察问题的实质，找寻到最佳的解题方法，这样才会使问题解得真正的简洁、准
确、迅速。
举一反三：
【变式一】（2015 安徽高考）已知函数 （ ， ， 均为正的常
数）的最小正周期为 ，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【解析】
依题意， ，所以 ，则
，又 时， ，解得
.所以
令 解得
令 解得
即 在 上单调递增在 单调递减.
3A { | 2 2 }4 4
5B { | 2 2 }4 4
C { | }4 4
3D { | }4 4
x k x k k
x k x k k
x k x k k
x k x k k
π ππ π
π ππ π
π ππ π
π ππ π
− + ∈
+ + ∈
− + ∈
+ + ∈
Z
Z
Z
Z
． ＜ ＜ ，
． ＜ ＜ ，
． ＜ ＜ ，
． ＜ ＜ ，
2 2 2 2sin cos cos -sin 0 cos2 0x x x x x由 ＞ ，得 ＜ ，即 ＜ ，
32 . D.2 2
sin cos
sin cos D.
k x k k
x x
y x y x
π ππ π+ + ∈
= =
Z所以： ＜ ＜ ， 故选
另解：数形结合法：由已知得 ＞ ，
画出 和 的图象，由图象可知选
( ) ( )sinf x xω ϕ= Α + Α ω ϕ
π 2
3x
π= ( )f x
( ) ( ) ( )2 2 0f f f< − < ( ) ( ) ( )0 2 2f f f< < −
( ) ( ) ( )2 0 2f f f− < < ( ) ( ) ( )2 0 2f f f< < −
( ) sin( )( )f x A x A>0, >0, >0ω ϕ ω ϕ= + 2T
π πω= =
( ) sin(2 )f x A x ϕ= + 2
3x
π= 2 32 2 ,3 2 k k Z
π πϕ π⋅ + = + ∈
2 ,6 k k Z
πϕ π= + ∈ ( ) sin(2 )( 0)6f x A x A
π= + >
2 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ 2 ,3 6k x k k Z
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈
32 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ 2 2 ,6 3k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈
( ) sin(2 )( 0)6f x A x A
π= + > ,3 6
π π −
2,6 3
π π
3
所以 为 的一条对称轴
又 所以 ， 因为 所以 比
更接近对称轴 ，所以
因为 所以
所以 故选 .
【变式 2】设 F1、F2 为双曲线 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足∠
F1PF2=90°，则△F1PF2 的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解析】
。
∴选 A。
【变式 3】设函数 f(x)=Asin(ωx+ϕ)（其中 A>0，ω>0，x∈R），则 f(0)=0 是 f(x)为奇
函数的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【解析】若 f(0)=0，即 sinϕ=0, ϕ=kπ（k∈Z）.
∴f(x)=Asinωx 或 f(x)=-Asinωx,
∴f(x)为奇函数，则充分性成立.
若 f(x)为奇函数，则 f(-x)+f(x)=0 恒成立，
∴f(0)+f(0)=0, ∴f(0)=0，则必要性成立.
∴选 C.
类型二：排除法
从已知条件出发，通过观察分析或推理运算各选项提供的信息，对于错误的选项，逐
一剔除，从而获得正确的结论，这种方法称为排除法。排除法常常应用于条件多于一个时，
先根据一些已知条件，在选择项中找出与其相矛盾的选项，予以排除，然后再根据另一些已
知条件，在余下的选项中，再找出与其矛盾的选项，再予以排除，直到得出正确的选项为止。
2.（2015 陕西高考）对二次函数 （ 为非零常数），四位同学分别给
出 下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A． 是 的零点 B．1 是 的极值点
6x
π= ( ) sin(2 )( 0)6f x A x A
π= + >
T π= ( )( 2) 2f f π− = − + 0 26 6
π ππ− < − − 0x = 2x π= −
6x
π= ( )(0) 2 ( 2)f f fπ> − + = −
22 26 3
π ππ< − + < < ( )( 2) 2 (2)f f fπ− = − + >
( )(0) 2 (2)f f f> − > A
2
2 14
x y− =
5
2 5
1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1| | | | [(| | | | ) (| | | |) ]2 4PF FS PF PF PF PF PF PF∆ = ⋅ = + − −
2 21 1[(2 ) (2 ) ] (20 16) 14 4c a= − = × − =
2( )f x ax bx c= + + a
1− ( )f x ( )f x
4
C．3 是 的极值 D. 点 在曲线 上
【解析】
若选项 A 错误时，则选项 B、C、D 正确. ，因为 1 为 的极值点，3
是 的极值，所以 即 解得
因为 在曲线 上，所以 ，即
解得： ， ， .
所以 ，所以 ，所以-1 不是 的零点，所以选项 A
错误.排除 B、C、D. 故选 A.
【总结升华】排除法一般是适用于不易用直接法求解的问题。排除法的主要特点就是能
较快的限制选择的范围，从而目标更加明确，这样就可以避免小题大做，小题铸错。认真而
又全面的观察，深刻而又恰当的分析，是解好选择题的前提，用排除法解题尤其注意，不然
的话就有可能将正确选项排除在外，导致错误。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条
件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内
找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择
题的常用方法，
举一反三：
【变式 1】如图是周期为 2π的三角函数 的图象，那么 可以写成（ ）
A． =sin(1+x) B． =sin(―1―x)
C． =sin(x―1) D． =sin(1―x)
【解析】选图象上的特殊点（1，0），易排除 A、B，又 x=0 时，y＞0，排除 C。
∴应选 D。
【变式 2】钝角三角形的三边分别为 a，a+1，a+2，其最大角不超过 120°，则 a 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 a=1，则三边为 1，2，3，不能构成三角形。排除 A、D。
令 a=3，则三边为 3，4，5，三角形应为直角三角形，排除 C，
故选 B。
如果该题用直接法解，设最大角为 C，
( )f x (2,8) ( )y f x=
( )' 2f x ax b= + ( )f x
( )f x
( )
( )
' 1 0
1 3
f
f
= =
2 0
3
a b
a b c
+ =
+ + =
2
3
b a
c a
= −
= +
( )2,8 ( )y f x= 4 2 8a b c+ + = ( )4 2 2 3 8a a a+ − + + =
5a = 10b = − 8c =
( ) 25 10 8f x x x= − + ( )1 23 0f − = ≠ ( )f x
( )y f x= ( )f x
( )f x ( )f x
( )f x ( )f x
0 3a< < 3 32 a≤ < 2 3a< ≤ 51 2a≤ 0(a,b∈Z 且 a≠0)的解集是区间(-2,1)，满足这个条件的绝
对值最小的 a 和绝对值最小的 b 值分别是（ ）
A、a=1,b=-2 B、a=-1,b=2 C、a=1,b=2 D、a=-1,b=-2
【解析】首先，二次不等式 ax2+ax+b>0 的解集为（-2，1），
由二次函数的图象易知，必有 a0 即 x2+x+2b>0)的渐近线夹角为α，离心率为 e,则 等于（
）
A．e B．e2 C． D．
【解析】本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。
取双曲线方程为 － =1，易得离心率 e= ,cos = ，故选 C。
【总结升华】本题是采用设特殊值的方法进行检验得解的。用特例法解决问题时要注
意以下两点：
（1）所选取的特殊值或特殊点一定要简单，且符合题设条件；
（2）有时因问题需要或选取数值或点不当可能会出现两个或两个以上的选择项都正确，
这时应根据问题的题设再恰当地选取一个特殊值或点进行检验，以达到选择正确选项的目的。
举一反三：
【变式 1】函数 的定义域为（ ）
2 2 21 ( 1) ( 2)cos 02 2 ( 1)
1 2
0
a a aC a a
a a a
a
+ + − +− ≤ = +
>
2 2 5
2x y+ =
2 2
19 4
x y+ =
2
2 14
yx + =
2
2 14
x y+ = 5 0x y+ − =
2 2
19 4
x y+ = ( 5,0)
cos 2
α
1
e 2
1
e
2
4
x 2
1
y 5
2 2
α 2
5
2 21( ) ln( 3 2 3 4)f x x x x xx
= − + + − − +
6
A． B．
C． D．
【解析】取 ，代入 ，无意义，否定 C
取 ，代入 ，无意义，否定 A
取 ，代入 ，有意义，否定 B
∴应选 D
【变式 2】如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 对称，则 a 等于（ ）
A． B． C．1 D．－1
【解析】找满足题意的两个特殊位置： 和 时的函数值相等，
故有 ，解得 a=―1。
∴应选 D。
【变式 3】如图，过抛物线 y=ax2（a＞0）的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若
线段 PF 与 FQ 的长别是 p、q，则 等于（ ）
A．2a B． C．4a D．
【解析】由 y=ax2，得 ，于是抛物线的焦点 ，
取过 F 且平行于 x 轴的直线交于 P、Q 两点，
根据抛物线的对称性，得 PF=QF，即 p=q，且 2p 等于抛物线的通径 ，
故 。
∴应选 C。
【变式 4】函数 （ω＞0），在区间[a，b]上是增函数，且
， ，则函数 在[a，b]上（ ）
( , 4] [2, )−∞ − +∞ ( 4,0) (0,1)−
[ 4,0) (0,1]− [ 4,0) (0,1)−
1x = 2 21 ln( 3 2 3 4)x x x xx
− + + − − +
2x = 2 21 ln( 3 2 3 4)x x x xx
− + + − − +
4x = − 2 21 ln( 3 2 3 4)x x x xx
− + + − − +
8x
π= −
2 2−
0x =
4x
π= −
sin 0 cos0 sin 2( ) cos2( )4 4a a
π π+ = − + −
1 1
p q
+
1
2a
4
a
2 1x ya
= 1(0, )4F a
1
a
1 1 1 1 2 2 41
2
ap q p p p
a
+ = + = = =
( ) sin( )f x M xω ϕ= +
( )f a M= − ( )f b M= ( ) cos( )g x M xω ϕ= +
7
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值 M D．可以取得最小值―M
【解析】设 ， ，则 M=1，ω=1，φ=0，
从而 在 上不是单调函数且最小值为 0 而非―1。
∴应选 C。
类型四：数形结合法
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是使抽象思维和形
象思维有机结合，通过“以形助数”或“以数解形”，达到使复杂问题简单化，抽象问题具
体化，从而起到优化解题途径的目的。
例 4. （2016 北京高考）设函数 ．
①若 a=0，则 f(x)的最大值为______________；
②若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是________．
【答案】2，(-∞，-1)．
【解析】如图作出函数 g(x)=x3-3x 与直线 y=-2x 的图象，它们的交点是 A(-1，2)，O(0，
0)，B(1，-2)，由 ，知 x=1 是函数 g(x)的极大值点，
①当 a=0 时， ，因此 f(x)的最大值是 f(-1)=2；
②由图象知当 a≥-1 时，f(x)有最大值是 f(-1)=2；只有当 a＜-1 时，由 a3-3a＜-2a，因此 f(x)
无最大值，∴ 所求 a 的范围是(-∞，-1)，故填：2，(-∞，-1)．
【总结升华】用数形结合法解题，图示鲜明直观，形象一目了然，从而便于判定选项，
因此用其来解某些问题能起到事半功倍的效果。对于所给出的问题，利用它们所反映的函数
图象或者方程的图形以及其他相关的图形直观地表示出来，然后借助图形的直观性和有关概
念、定理、性质作出正确的判断，这是数形结合法解选择题的一般规律。
举一反三：
【变式 1】已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
( ) sinf x x= [ , ] [ , ]2 2a b
π π= −
( ) cosg x x= [ , ]2 2
π π−
3 -3
-2
x x x af x
x x a
≤= >
，（ ）
，
2( ) 3 3g x x′ = −
3 -3 0
-2 0
x x xf x
x x
≤= >
，（ ）
，
3 5 7
O n
nS
8
【解析】等差数列的前 n 项和 Sn= n2+(a1- )n 可表示为过原点的抛物线，又本题中
a1=-9 ba 0lglg >> ba ( ) >+ ba lglg2
1 ba lglg ⋅
1>> ba abba >+
2
( ) RbaabbaQ =
+ x
( , 1) (0,1)−∞ − ( 1,0) (1, )− +∞
13
C． D．
6．空间四边形 中， ， ，则 < >的值
是（ ）
A． B． C．－ D．
7．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S15＞0，S16＜0，则 ， ，…， 中最大
的是（ ）
A． B． C． D．
8.函数 y=|x2—1|+1 的图象与函数 y=2 x 的图象交点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ）
A． B．
C． 和 D． 和
10． 与 是定义在 R 上的两个可导函数，若 , 满足 ,则
与 满足（ ）
A． B． 为常数函数
C． D． 为常数函数
11．(2016 北京高考) 下列函数中，在区间（－1，1）上为减函数的是（ ）
（A） （B）y=cos x （C）y=ln（x+1） （D）y=2－x
12. E，F 是椭圆 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点 P 在 l 上，则∠
EPF 的最大值是( )
A. 15° B. 30° C. 60° D. 45°
13．已知数列 、 都是等比数列，且它们的项数相同，那么下面命题：
①若 ，数列 是等差数列；
②若 ，存在等差数列 ，使得 ；
1
1y x
= −
( , 1) ( 1,0)−∞ − − (0,1) (1, )+∞
OABC OB OC=
3AOB AOC
π∠ = ∠ = cos ,OA BC
2
1
2
2
2
1 0
1
1
S
a
2
2
S
a
15
15
S
a
15
15
S
a
9
9
S
a
8
8
S
a
1
1
S
a
3( ) 2f x x x= + - 0p 4 1y x= - 0p
(1,0) (2,8)
(1,0) ( 1, 4)− − (2,8) ( 1, 4)− −
( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ' '( ) ( )f x g x=
( )f x ( )g x
( )f x = ( )g x ( )f x − ( )g x
( )f x = ( ) 0g x = ( )f x + ( )g x
12
y
4
x 22
=+
{ }na { }nb
0 ( *)na n N> ∈ {lg }na
0 ( *)nb n N> ∈ { }nc 2 nc
nb =
14
③数列 一定是等比数列；
④数列 、 中可能存在相同的项，依原来的顺序组成等比数列.
其中正确的命题是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
14. 双 曲 线 的 两 个 焦 点 F1 ， F2 ， P 在 双 曲 线 上 且 满 足
，则△PF1F2 的面积为( )
A. 1 B. C. 2 D. 4
15.（2015 重庆高考）若 ，则 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
16. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则椭圆长轴的最小
值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
17.已知函数 的图象在点 处的切线方程为 x+2y+5=0，则 a、
b 的值分别为（ ）
A． 2，3 B．3，2 C．-2，3 D．2，-3
18．函数 对于任意的 x∈（0，1]恒有意义，则实数 a
的取值范围是（ ）
A．a＞0 且 a≠1 B． 且 a≠1 C． 且 a≠1 D．a＞1
19. 设 四 面 体 的 四 个 面 面 积 分 别 是 , 它 们 的 最 大 值 为 ， 记
，则 一定满足（ ）
A. 2< ≤4 B. 3< = = = = −
+
或
(3,4,2), (5,1,3), (2, 3,1)AB AC BC= = = − 0AB AC⋅ > A
0CA CB⋅ > C 0BA BC⋅ > B
( ) ( )f xg x x
= ( ) ( ) ( )'
'
2
xf x f xg x x
−= 0x > ( ) ( )' 0xf x f x− <
0x > ( ) ( ) ( )'
'
2 0xf x f xg x x
−= < ( )g x ( )0,+∞
( )f x ( )g x ( )g x ( ),0−∞
( ) ( )1 1 0g g− = =
0 1x< < ( ) 0g x > ( ) 0f x > 1x < − ( ) 0g x < ( ) 0f x >
( ) 0f x > x ( ),0 (0,1)−∞
16
6．D
【解析】
7．C；
【解析】由已知可以判断出 a1＞0，d＜0，a8＞0，a9＜0，因此 S8 最大，a8 为正项中最
小项，所以 最大.
8. C；
【解析】画出两个函数的图像解答，本题如果图象画得不准确，很容易误选 B.
9．C
【解析】设切点为 ， ，
把 ，代入到 得 ；把 ，代入到
得 ，所以 和
10．B
【解析】 , 的常数项可以任意
11．【答案】D
【解析】由 在 R 上单调递减可知 D 符合题意，故选 D。
12. B
13．C；
【解析】①、②显然正确；③不正确，如当 ， 时， 不是等比数
列；
④正确，问题的关键是理解“可能存在”的意义.
14. A
15.C
【解析】
由已知
12 ( )2
x xy −= =
( )cos , OA BC OA OC OBOA BC
OA BC OA BC
⋅ ⋅ −< >= =
cos cos3 3 0
OA OC OA OB
OA BC
π π−
= =
8
8
S
a
0 ( , )P a b ' 2 ' 2( ) 3 1, ( ) 3 1 4, 1f x x k f a a a= + = = + = = ±
1a = − 3( ) 2f x x x= + - 4b = − 1a = 3( ) 2f x x x= + -
0b = 0 (1,0)P ( 1, 4)− −
( )f x ( )g x
2n
na = 3n
nb = {2 3 }n n+
3 3 3 3 3 3 3cos( ) cos cos sin sin cos tan sin cos 2tan sin10 10 10 10 10 10 5 10
sin( ) sin cos cos sin tan cos sin 2tan cos sin5 5 5 5 5 5 5 5
π π π π π π π πα α α α
π π π π π π π πα α α α
− + + +
= = =
− − − −
17
故选 C.
（ 注：本题用到了积化和差公式，同学们在复习的时候要注意.）
16. D；
【解析】当椭圆上的点为短轴的顶点时，三角形面积的最大值为 ，即 ，
又 ，椭圆长轴的最小值为 .
17. A；
【 解 析 】 由 函 数 的 图 象 在 点 处 的 切 线 方 程 为 x+2y+5=0 ， 知
，
即 ， .
∵ ，∴ ，
解得 a=2，b=3（∵b+1≠0，b=―1 舍去）.
18．B；
【解析】 所以 且 .
19. A；
【解析】设此四面体的某一个顶点为 A，当 A 无限接近于对面时，有 ，不妨设
S=S1,
则 , ,即 .而各选择支中仅有
A 中 的极限为 2.
20. A
【解析】作出图象，发现当 时，函数 与函数 有 个交点
3 3 1 5 5cos cos 2sin sin (cos cos ) (cos cos )5 10 5 10 2 10 10 10 10
1 2sin cos sin5 5 2 5
3cos10 3
cos10
π π π π π π ππ
π π π
π
π
+ + + −
= =
= =
1 2 12 c b× × = 1bc =
2 2 2 2 2a b c bc= + ≥ = 2 2 2a =
( )f x ( 1, ( 1))M f− −
1 2 ( 1) 5 0f− + − + =
( 1) 2f − = − 1'( 1) 2f − = −
2
2 2
( ) 2 ( 6)'( ) ( )
a x b x axf x x b
+ − −= +
2
6 21
(1 ) 2( 6) 1
(1 ) 2
a
b
a b a
b
− − = − + + + − − = −+
0,
2 1 0,
3 2 1 0,
1,
a
a
a a
a
>
− ≥− + + − >
≠
1
2a ≥ 1a ≠
对面SS =
1432 SSSS →++ SSSSSS 22 14321 =→+++ 2=λ
λ
1a > xy a= y x a= + 2
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