高考冲刺：填空题的解题策略

1 高考冲刺：怎样解填空题 【高考展望】 数学填空题与选择题同属客观性试题，是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程 的客观性试题。它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标 集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。 根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型： 一是定量（计算）型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式 的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和 选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。 二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质， 如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等。近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空 题。 在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、 更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。为此在解填 空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全—— 答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大 意。 【方法点拨】 在解决填空题时，时常用到以下几种方法： 一：直接法 直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断 得到结论的，称为直接法。它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题， 要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。 二：特殊化法： 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信 息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特 殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理， 从而得出探求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。 三：数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做 到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结 果。 四：等价转化法 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正 确的结果。 五：构造法 根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题 的一种方法。 六：分析法 根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论。 七：开放型填空题 多选型填空题：给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论． 探索型填空题；从给定的题设中探究其相应的结论，或从题目的要求中探究其必须具备2 的相应条件． 组合型填空题：给出若干个论断要求考生将其重新组合，使其构成符合题意的命题． 【典型例题】 类型一：直接法 例 1. 举一反三： 【变式 1】到椭圆 右焦点的距离 与 到 定 直 线 x ＝ 6 距 离 相 等 的 动 点 的 轨 迹 方 _______________。 【解析】据抛物线定义，结合图知： 轨迹是以（5，0）为顶点，焦参数 P＝2 且开口方 向向左的抛物线，故其方程为： 【变式二】（2015 上海高考）已知点 P 和 Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是 Q 纵坐标的 2 倍， P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2.若 C1 的渐近线方程为 ,则 C2 的渐近线方程 为 . 解析：由题意得： ,设 ,则 所以 ,所以 的渐近线方程为 【变式 3】已知函数 在区间 上为增函数，则实数 a 的取值范围 是 。 【解析】 ，由复合函数的增减性可知， 在 上为增函数， ∴ ，∴ 。 ( )f xR定义在 上的函数 满足 ( ) ( )2log (4 ) ( 0) 3 __________( 1) ( 2) ( 0) x xf x ff x f x x − ≤=  − − − > ，则 的值为 ． ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 log 24 2. f f f f f f f f f f f f = − = − = − − + − = − − − + − = − − = − 【 ， 解析】 因此应填 1925 22 =+ yx 2 1)( + += x axxf ),2( +∞− 2 21 2 1)( + −+=+ += x aax axxf 2 21)( + −= x axg ),2( +∞− 021 a3 类型二：特殊化法 例 2．过抛物线 的焦点 F 作一直线交抛物线交于 P、Q 两点，若线段 PF、 FQ 的长分别为 p、q，则 。 【思路分析】此抛物线开口向上，过焦点且斜率为 k 的直线与抛物线均有两个交点 P、 Q，当 k 变化时 PF、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管 PF、FQ 不定，但 其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。 【解析】设 k = 0，因抛物线焦点坐标为 把直线方程 代入抛物线方程得 ， ∴ ， 从而 。 举一反三： 【变式 1】在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。若 a、b、c 成等差数列， 则 。 【解析】特殊化：令 ，则△ABC 为直角三角形， ，从而所求值为 。 【变式 2】如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t)，那么 f(1),f(2),f(4)的大小关系是 【解析】由于 f(2+t)=f(2-t)，故知 f(x)的对称轴是 x=2。 可取特殊函数 f(x)=(x-2)2,即可求得 f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。 ∴f(2) ，（ ） ， 2( ) 3 3g x x′ = − 3 -3 0 -2 0 x x xf x x x  ≤=  > ，（ ） ， 3)3( 22 =+− yx 1−x y 1−x y 3)3( 22 =+− yx 1−x y 3tan =θ xxy −+−= 3214 .0],3,4 1[ >∈ yx 3134411 22 −+−+= xxy5 ∴可得结果为 。 【总结升华】能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。 举一反三： 【变式 1】不等式 的解集为（4，b），则 a= ，b= 。 【解析】设 ，则原不等式可转化为： ∴a > 0，且 2 与 是方程 的两根， 由此可得： 。 【变式 2】不论 k 为何实数，直线 与曲线 恒 有交点，则实数 a 的取值范围是 。 【解析】题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆 ， ∴ 。 类型五：构造法 例 5.4 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的 4 个盒中，则只有 1 个空盒的放法共有 种（用数字作答）。 【解析】符合条件的放法是：有一个盒中放 2 个球，有 2 个盒中各放 1 个球。因此可先 将球分成 3 堆（一堆 2 个，其余 2 堆各 1 个，即构造了球的“堆”），然后从 4 个盒中选出 3 个盒放 3 堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有 （种）。 举一反三： 【变式 1】椭圆 的焦点 F1、F2，点 P 是椭圆上动点，当∠F1PF2 为钝角时， 点 P 的横坐标的取值范围是 . 【解析】构造圆 ，与椭圆 联立求得交点 【变式 2】如图，点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外， PD⊥ABCD，PD=AD，则 PA 与 BD 所成角的度数为 。 【解析】根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中 易求得 PA 与 BD 所成角为 60°。 类型六：分析法 ]3,8 13[ 2 3+> axx tx = ,02 32 bb 02 32 =+− tat 36,8 1 == ba 1+= kxy 0422 222 =−−+−+ aaaxyx 42)( 22 +=+− ayax 31 ≤≤− a 2 3 4 4 144C A = 2 2 19 4 x y+ = 2 2 5x y+ = 2 2 19 4 x y+ = 2 0 0 9 3 5 3 5( , )5 5 5x x= ⇒ ∈ −6 A B C D A1 B1 C1 D1 例 6.如右图，在直四棱柱 中，当 底面四边形满足条件 时，有 （填上你 认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形）。 【解析】因四棱柱 为直四棱柱， 故 为 在 面 上 的 射 影 ， 从 而 要 使 ，只 要 与 垂 直 ，故 底 面 四 边 形 只要满足条件 即可。 举一反三： 【变式 1】以双曲线 的左焦点 F，左准线 l 为相应的焦点和准线的椭圆截直 线 所得的弦恰好被 x 轴平分，则 k 的取值范围是 。 【解析】左焦点 F 为（－2，0），左准线 l：x ＝－ 3 2，因椭圆截直线 所得的 弦恰好被 x 轴平分，故根据椭圆的对称性知，椭圆的中心即为直线 与 x 轴的交点 ，由 ，得 0 ＜ k ＜ 3 2。 类型七：开放型填空题 例 7. 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1AC B D⊥ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AC 1AC 1 1 1 1A B C D 1 1 1AC B D⊥ 1 1B D 1 1AC 1 1 1 1A B C D 1 1B D ⊥ 1 1AC 2 2 13 x y− = 3y kx= + 3y kx= + 3y kx= + 3( ,0)k − 3 2k − < − ( ) sin( )( 0 )2 2f x x π πω ϕ ω ϕ= + > − <  3 2 2( ) ( 1)f x x ax a x= − + − |log|1 5 1 x− ( )( 1 1)y f x x= − < < 1( ) ( ) 0,2f x f+ < x 0>p )(xf ))(2()( Rxppxfpxf ∈−= )(xf10 【参考答案与解析】 1． 【解析】设圆 S 为（a，0），则半径为 4－|a|， ∴(4－|a|)2=|a|2+4 ∴ ∴圆的方程为 2． ； 【解析】 ， 或 （舍去） 3．80； 【解析】该几何体是一个正四棱锥，且侧面的等腰三角形的底边为 8，三角形的高为 5， 故侧面积为 80. 4.【答案】－2；1． 【解析】f（x）－f（a）=x3+3x2+1－a3－3a2－1=x3+3x2－a3－3a2， (x－b)(x－a)2=x3－(2a+b)x2+(a2+2ab)x－a2b，， 所以 ，解得 ． 5． ； 【解析】转化为直角坐标系，即直线 截圆 的弦长，由垂径定理 得弦长为 . 6．1； 【解析】连接 AO（如图）， 则 中， ， ， 在 中， ， ， 所以 ， . 7． 2 23 25 2 4x y ± + =   3 2a = ± 2 23 25 2 4x y ± + =   2 2 2 00 1 1| 12 2 a axdx x a= = =∫ 2a = 2a = − 2 2 3 2 2 3 2 0 3 a b a ab a b a a − − =  + = − = − − 2 1 a b = −  = 4 3 2x y+ = 2 2 16x y+ = 4 3 P A OB C Rt ABC∆ 30ACB∠ = ° 1BO CO= = Rt PAO∆ 60AOP∠ = ° 1AO CO= = 2PO = 1PB = 2{ | 2}11a a≤ ≤11 【解析一】由 得 ， 由 ，得 ， 又因为 ， 即 ，两边平方整理得 ，解得 。 【解析二】由 得 ， 令 ， ， 则 ， 整理得 ， 当 时， ， 两边平方并整理得 ，解得 或 ， 又 ， 故 的取值范围 . 8.2 个； 【解析】 所以函数 f(x)的零点个数为函数 y=sin2x 与 y=|ln(x+1)|图象的交点的个数，函数 y=sin2x 与 y=|ln(x+1)|图象如图，由图知，两函数图象有 2 个交点，所以函数 f(x)由 2 个零点. 9． ； 2a b c+ + = 2b c a+ = − 2 2 22 3 4a b c+ + = 2 2 22 3 4b c a+ = − 2 2 2 21 1 1 1| | | 2 3 | ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 b c b c b c+ = ⋅ + ⋅ ≤ + ⋅ + 25| 2 | 46a a− ≤ ⋅ − 211 24 4 0a a− + ≤ 2 211 a≤ ≤ 2 2 22 3 4a b c+ + = 2 2 22 3 4b c a+ = − 24 sin 2 ab α−= 24 cos 3 ac α−= 2 24 4sin cos 2 2 3 a aa α α− −+ + = 2 54 sin( ) 26a aα ϕ− + = − sin( ) 1α ϕ+ = 2 54 26a a− = − 211 14 4 0a a− + = 2a = 2 11a = 0 sin( ) 1α ϕ≤ + ≤ a 2 211 a≤ ≤ 2( ) 4cos cos( ) 2sin | ln( 1) |2 2 2(1 cos )sin 2sin | ln( 1) | sin 2 | ln( 1) | xf x x x x x x x x x x π= − − − + = + − − + = − + 160012 【解析】 10. ； 【解析】展开式的通项 ， 由 得 ，∴ 。 11. 2550； 【解析】依据题意可知： 。 12. k=-1；k∈( ,-1)∪(-1,1)；k∈(-∞, )∪(1, )；k=1 或 k= 【解析】①表示圆时，1-k=3-k2>0，解得 k=-1 ②表示椭圆时， ，解得：k∈( ,-1)∪(-1,1); ③表示双曲线时，(1-k)(3-k2)  − >  − ≠ − 3− 3− 3 2 1 0 3 0 k k − =  − > 2 1 0 3 0 k k − >  − = 3− 2 | |,( ) 2 4 , x x mf x x mx m x m ≤=  − + >13 ∴m 的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）。 14． 15． 【解析】A={x|x2+6x=0}={0，―6}，由 A∪B=A，得 B A. （1）当 B= 时，即方程 x2+3(a+1)x+a2―1=0 无实数根， 由Δ=9(a+1)2―4(a2―1)＜0，解得 . （2）当 B≠ 时，即 B={0}或 B={―6}或 B={0，－6}. ①当 B={0}时，即方程 x2+3(a+1)x+a2－1=0 有两个等根为 0. ∴ ，∴a=－1 ②当 B={―6}时，即方程 x2+3(a+1)x+a2―1 有两个等根为―6， ∴ ，此方程组无解. ③当 B={0，―6}时，即方程 x2+3(a+1)x+a2―1=0 有两个实根 0 和―6， ∴ ，∴a=1 综上可知实数 a 的取值范围是 . 16．32 【解析】根据这四个顶点相对于平面 M 的位置的各种不同情况，分别求出满足条件的平 面的个数. （1）四个顶点都在 M 的同一侧，由于可以从四个顶点中任选一个作为距离最远的点， 故此时共有 个； （2）距离最远的点在平面 M 的一侧，另外三点在 M 的另一侧，同理有 个； （3）距离最远的点与另一个距离较近的某个点在 M 的一侧，而另两点在另一侧，这时 有 个； （4）距离最远的点与另三点中的某两点在 M 的一侧，而另一点在另一侧，同理有 个； 综上所述，共能作出 32 个这样的平面. 17. x∈ ； 6( , ] [1, )2 −∞ − +∞ 13{ | 1 1}5a a a− < ≤ − =或 ⊆ ∅ 13 15 a− < < − ∅ 2 1 0 3( 1) 0 a a  − =  + = 2 1 36 3( 1) 12 a a  − =  + = 2 1 0 3( 1) 6 a a  − = − + = − 13{ | 1 1}5a a a− < ≤ − =或 1 4 4C = 1 4 4C = 1 1 4 3 12C C⋅ = 1 1 4 3 12C C⋅ = 1[ ,5]514 【解析】 ≥0， ，∴ x∈ . 18.4 或-6 【解析】由绝对值的性质知 f(x)的最小值在 x=－1 或 x=a 时取得，若 f(―1)=2|―1―a|=5， ，经检验均不合；若 f(a)=5，则|x+1|=5，a=4 或 a=―6，经检验合题 意，因此 a=4 或 a=―6. 19. ； 【解析】 且 为奇函数，∴ ， 上为减函数， ∴ ，解之得 。 20. 【解析】令 则 ，依题意有 ，此式对任意 都成立，而 且为常数，因此，说明 是一个周期函数， 为最小正周期。 1 5 1 log x− 1 3 1 log 1x− ≤ ≤ 1[ ,5]5 3 7 2 2a a= = −或 )1,2 1(− 1( ) ( ) 02f x f+ ( )f x 2 p