第二十七章检测题
时间：90 分钟 满分：120 分
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．已知△ABC∽△A′B′C′，且 BC∶B′C′＝ AC∶A′C′，若 AC＝3，A′C′＝1.8，则
△A′B′C′与△ABC 的相似比是( D )
A．2∶3 B．3∶2 C．5∶3 D．3∶5
2．(2017·哈尔滨)如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 边上的点，DE∥BC，点
F 为 BC 边上一点，连接 AF 交 DE 于点 G，则下列结论中一定正确的是( C )
A.AD
AB＝AE
EC B.AG
GF＝AE
BD C.BD
AD＝CE
AE D.AG
AF＝AC
EC
第 2 题图
第 3 题图
第 5 题图
第 6 题图
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的各顶点坐标分别为 A(1，0)，B(2，0)，
C(2，2)，D(0，1)，四边形 BFGH 的各顶点坐标分别为 F(4，0)，G(4，4)，H(0，2)，则下
列说法正确的是( D )
A．四边形 ABCD 与四边形 BFGH 相似但不位似
B．四边形 ABCD 与四边形 BFGH 位似但不相似
C．四边形 ABCD 与四边形 BFGH 位似，且相似比为 1∶ 2
D．四边形 ABCD 与四边形 BFGH 位似，且相似比为 1∶2
4．下列说法正确的是( C )
A．所有的菱形形状都相同 B．所有的矩形形状都相同
C．所有的正方形形状都相同 D．所有的梯形形状都相同
5．如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是 CD 边的中点，P 是 BC 边上的一动点，下列
条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是( A )
A．BP＝PC B．AB·PC＝EC·BPC．∠APB＝∠EPC D．BP＝2PC
6．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连
接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF∶FC 等于( D )
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
7．如图，一张矩形报纸 ABCD 的长 AB＝a cm，宽 BC＝b cm，E，F 分别为边 AB，CD
的中点，将这张报纸沿着直线 EF 对折后，矩形 AEFD 与矩形 ABCD 相似，则 a∶b 等于
( A )
A. 2∶1 B．1∶ 2 C. 3∶1 D．1∶ 3
第 7 题图
第 8 题图
第 9 题图
第 10 题图
8．(2017·毕节)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD 平分∠CAB
交 BC 于 D 点，E，F 分别是 AD，AC 上的动点，则 CE＋EF 的最小值为( C )
A.40
3 B.15
4 C.24
5 D．6
9．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇
形 AOB 与扇形 A1O1B1 是相似扇形，且半径 OA∶O1A1＝k(k 为不等于 0 的常数)．那么下面
四个结论：①∠AOB＝∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③ AB
A1B1＝k；④扇形 AOB 与扇形
A1O1B1 的面积之比为 k2.其中成立的个数为( D )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝6，AD＝9，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，
交 DC 的延长线于点 F，BG⊥AE 于点 G，BG＝4 2，则△EFC 的周长为( D )
A．11 B．10 C．9 D．8
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
11．如图是百度地图的一部分(比例尺 1∶4 000 000)．若测量杭州到嘉兴的图上距离是 4
cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为__160__km.第 11 题图
第 13 题图
第 14 题图
第 15 题图
12．已知：△ABC 中，点 E 是 AB 边的中点，点 F 在 AC 边上，若以 A，E，F 为顶点
的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是__AF＝
1
2AC(答案不唯一)__．(写出一个
即可)
13．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点 P 处放一水平
的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD 的顶端 C 处．已知 AB⊥BD，
CD⊥BD，测得 AB＝2 m，BP＝3 m，PD＝12 m，那么该古城墙的高度 CD 是__8__m.
14．如图所示，将△ABC 的三边分别扩大到原来的 2 倍得到△A 1B1C1(顶点均在格点
上)，若它们是以 P 点为位似中心的位似图形，则 P 点的坐标是__(－4，－3)__．
15．如图，把△ABC 沿 AB 平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面
积的一半，若 AB＝ 2，则此三角形移动的距离 AA′是__ 2－1__．
16．(2017·黔南)如图，在△ABC 中，AB＝3, AC＝6，将△ABC 绕点 C 按逆时针方向
旋转得到△A1B1C 使 CB1∥AD，分别延长 AB，CA 1 相交于点 D，则线段 BD 的长为
__9__．
第 16 题图
第 17 题图 第 18 题图
17．(2017·黑龙江)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三
角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义
为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段 CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰
三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A＝46°，则∠ACB 的度数为__113°或 92°__．
18．已知正方形 ABC1D1 的边长为 1，延长 C1D1 到 A1，以 A1C1 为边向右作正方形
A1C1C2D2，延长 C2D2 到 A2，以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3(如图所示)，以此类推….
若 A1C1＝2，且点 A，D2，D3，…，D10 都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10 的边长是__
38
27__.
三、解答题(共 66 分)
19．(8 分)如图，△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且AD
CD＝CD
BD.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)求∠ACB 的大小．
解：(1)∵CD 是 AB 边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.又∵AD
CD＝
CD
BD，
∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD.在△ACD 中，∵∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
20．(9 分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(－2，1)，B(－
1，4)，C(－3，2)．
(1)以原点 O 为位似中心，相似比为 1∶2，在 y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形
△A1B1C1，并直接写出 C1 点的坐标；
(2)若点 D(a，b)在线段 AB 上，请直接写出经过(1)的变化后点 D 的对应点 D1 的坐标．
解：(1)图略，C1(－6，4)．(2)D1(2a，2b)．21．(10 分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，
两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点 B(点 B 与河对岸岸边上的一棵树
的底部点 D 所确定的直线垂直于河岸)．
①小明在 B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点 D
处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离 AB＝1.7 m；
②小明站在原地转动 180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他
姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点 E 处，此时小亮测得 BE＝9.6 m，
小明的眼睛距地面的距离 CB＝1.2 m.
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽 BD 是多少米？
解：由题意，得∠BAD＝∠BCE.∵AB⊥BD，∴∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△BAD∽△
BCE，∴
BD
BE＝
AB
CB，∴
BD
9.6＝
1.7
1.2，解得 BD＝13.6.故河宽 BD 是 13.6 m.
22．(12 分)如图，矩形 ABCD 中，以对角线 BD 为一边构造一个矩形 BDEF，使得另一
边 EF 过原矩形的顶点 C.
(1)设 Rt△CBD 的面积为 S1，Rt△BFC 的面积为 S2，Rt△DCE 的面积为 S3，则 S1__＝
__S2＋S3；(填“＞”“＝”或“＜”)
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
解：△BCD∽△CFB，△BCD∽△DEC，△CFB∽△DEC.证明△BCD∽△DEC：
∵∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，∴∠EDC＝∠CBD.又∵∠BCD＝
∠DEC＝90°，∴△BCD∽△DEC.
23．(12 分)如图，已知 AB⊥BC 于点 B，CD⊥BC 于点 C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，
P 为 BC 边上一点，试问 BP 为何值时，以 A，B，P 为顶点的三角形与以 P，C，D 为顶点
的三角形相似？解：分两种情况：①当
AB
BP＝
DC
CP时，△ABP∽△DCP.设 BP＝x，则 CP＝14－x.∴4
x＝
6
14－x，
解得 x＝5.6.即当 BP＝5.6 时，△ABP∽△DCP.②当
AB
BP＝
PC
CD时，△ABP∽△PCD.设 BP＝
x，则 CP＝14－x.∴4
x＝
14－x
6 ，解得 x1＝2，x2＝12.综上所述，当 BP＝5.6 或 BP＝2 或 BP＝12
时，以 A，B，P 为顶点的三角形与以 P，C，D 为顶点的三角形相似．
24．(15 分)(2017·遵义)边长为 2 2的正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点
(点 P 与 A，C 不重合)，连接 BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BQ.连接 QP，QP 与 BC
交于点 E.QP 延长线与 AD(或 AD 延长线)交于点 F.
(1)连接 CQ，求证：CQ＝AP；
(2)设 AP＝x，CE＝y，试写出 y 关于 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，CE＝ 3
8
BC；
(3)猜想 PF 与 EQ 的数量关系，并证明你的结论．
解：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
由旋转性质可知 BP＝BQ，∠PBQ＝90°，∴∠ABP＝∠CBQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴CQ＝AP.
(2)∵正方形的边长为 2 2，∴AC＝4.
∵△ABP≌△CBQ，
∴∠BAP＝∠BCQ＝45°，PC＝4－x.
又∠ACB＝45°，∴∠PCQ＝90°.
∵CQ＝AP＝x，则：
在 Rt△PCQ 中，PQ＝ PC2＋CQ2＝ （4－x）2＋x2＝ 2x2－8x＋16.
在 Rt△PBQ 中，PB＝
2
2 · 2x2－8x＋16＝ x2－4x＋8.
∵∠BPE＝∠BCP＝45°，∠PBE＝∠CBP，
∴△PBE∽CBP，∴
PB
BE＝
CB
PB，
即
x2－4x＋8
2 2－y ＝
2 2
x2－4x＋8
∴y＝－
2
4 x2＋ 2x.
当 y＝
3 2
4 时，3 2
4 ＝－
2
4 x2＋ 2x，即 x2－4x＋3＝0，解得 x1＝1，x2＝3.
∴当 x 为 1 或 3 时，CE＝
3
8BC.(3)PF 与 EQ 的数量关系为 PF＝EQ.证明略．
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