安徽定远县重点中学2020届高三数学（理）4月模拟试卷（有答案Word版）

定远重点中学 2020 届高三下学期 4 月模拟考试 理科数学 本卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1. ， ，若 ，则的取值集合为 A. B. C. D. 2.若复数 的实部和虚部相等，则实数 的值为 A. 1 B. C. D. 3.已知直线和平面 ，且 ，则“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充 分条件 C. 充要条件 D. 既 不充分也不必要条件 4.在区间 上随机取两个数 ，记 为事件“ ”的概率， 为事件“ ” 的概率， 为事件“ ”的概率，则 A. B. C. D. 5.已知数列 的首项为 ，第 2 项为，前 项和为 ，当整数 时， 恒成立，则 等于 A. B. C. D. 6.函数 的图象可能为 7.已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， 为椭圆 的右焦点，圆 上有一动点 ， 不同于 两点，直线 与椭圆 交于点 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 8.已知实数 满足 ，则下列关系式中恒成立的是 A. B. C. D. 9.若函数 在区间 上单调递减，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 10.已知双曲线 的左、右焦点分别 ，以线段 为直径的圆 与双曲线 在第一象限交于点 ，且 ,则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 11.已知直线 经过函数 图像相邻的最高点 和最低点，则将 的图像沿 轴向左平移个单位后得到解析式为 2 2 : 14 3 x yC + = ,A B F C 2 2 4x y+ = P P ,A B PA C Q PB QF k k 3 3, 0,4 4    −∞ − ∪       ( ) 3,0 0, 4  −∞ ∪   ( ) ( ), 1 0,1−∞ − ∪ ( ) ( ),0 0,1−∞ ∪ A. B. C. D. 12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不 容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这 两个几何体的体积相等.已知曲线 ，直线为曲线 在点 处的切线.如图所 示，阴影部分为曲线 、直线以及 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕 轴旋转 一周所得的几何体为 .给出以下四个几何体： ① ② ③ ④ 图①是底面直径和高均为 的圆锥； 图②是将底面直径和高均为 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的 几何体； 图③是底面边长和高均为 的正四棱锥； 图④是将上底面直径为 ，下底面直径为 ，高为 的圆台挖掉一个底面直径为 ， 高为 的倒置圆锥得到的几何体. 根据祖暅原理，以上四个几何体中与 的体积相等的是 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 第 II 卷（非选择题 90 分） 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 的展开式中 项的系数为__________． 14.在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 ，且 、 、 成等差数列， ， 则 面积的取值范围是__________． 15.如图所示，已知直线 的方程为 ，⊙ ，⊙ 是相外切的等圆.且分别与坐 标轴及线段 相切， ，则两圆半径 __________（用常数 表示）． 16. 已 知 两 平 行 平 面 间 的 距 离 为 ， 点 ， 点 ， 且 ，若异面直线 与 所成角为 60°，则四面体 的体积为 __________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写需给出文字说明，证明过程或演 算步骤。) 17. （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 . （1）求角 ； （2）若 的中线 的长为 ，求 的面积的最大值. 18. （本小题满分 12 分）如图，在四面体 中，平面 平面 ， , ， ， . α β、 2 3 A B α∈、 C D β∈、 4, 3AB CD= = AB CD ABCD ABC∆ , ,A B C sin sin sin 2 3a,b,c. sinsin 3 a A b B c C Ca B + − =且满足 C ABC∆ CD 1 ABC∆ ABCD ABC ⊥ BCD DC BC⊥ 3AB = 2BC = 1AC = (1)求证： ； (2)设 是 的中点，若直线 与平面 的夹角为 ， 求四面体 外接球的表面积. 19. （本小题满分 12 分）已知过抛物线 焦点 且倾斜角的 直 线 与抛物线 交于点 的面积为 ． （I）求抛物线 的方程； （II）设 是直线 上的一个动点，过 作抛物线 的切线，切点分别为 直线 与直线 轴的交点分别为 点 是以 为圆心 为半径的圆上 任意两点，求 最大时点 的坐标． 20. （本小题满分 12 分）2016 年某市政府出台了“2020 年创建全国文明城市（简 称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及 建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收， 调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结 果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被 调查者各自独立评分；②采用百分制评分， 内认定为满意，80 分及以上 认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于 60%即可进行验收；④ 用样本的频率代替概率. （1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率； （2）若从该市的全体市民中随机抽取 3 人，试估计恰有 2 人非常满意该项目的概 率； （3）已知在评分低于 60 分的被调查者中，老年人占 ，现从评分低于 60 分的被 调查者中按年龄分层抽取 9 人以便了解不满意的原因，并从中选取 2 人担任群众 AB AD⊥ E BD CE ACD 30° ABCD 2: 2 ( 0)E x py p= > F 60 l E ,M N OMN∆ 4 E P 2y = − P E ,A B AB ,OP y ,Q R ,C D R RQ CPD∠ P [ )60,80 1 3 督察员，记 为群众督查员中老年人的人数，求随机变量 的分布列及其数学期望 . 21. （本小题满分 12 分）设函数 ，其中 ， 是自然对数的 底数. （Ⅰ）若 是 上的增函数，求 的取值范围； （Ⅱ）若 ，证明： . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第 一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，倾斜角为 .在以原点为极点， 轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 . （1）写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 已知函数 . （1）求不等式 的解集 ； （2）证明：对于任意的 ，都有 成立. ξ ξ Eξ ( ) lnxf x ae x x= − Ra∈ e ( )f x ( )0,+∞ a 2 2 ea ≥ ( ) 0f x > l ( )0,1P 6 π x C 4sinρ θ= l C l C A B、 1 1 PA PB + ( ) 1f x x= + ( ) 2 1 1f x x< + − A a b A∈、 ( ) ( ) ( )f ab f a f b> − − 参考答案 1.D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D 7.D 8.D 9.C 10.A 11.A 12.A 13.-132 14. 15. 16.6 17. 解析：(1) ， 即 . (2) 由三角形中线长定理得： ， 由三角形余弦定理得： ， 消去 得: （当且仅当 时，等号成立）， 即 . 18.解析：(1)由平面 平面 ， ，得 平面 ， 又由 ， ， ，得 ，所以 故 平面 ，所以 （2）取 的中点 ，连接 ，则 , 因为 平面 平面 连接 ,则 ， 2 2 2sin sin sin 2 3 3, cos sinsin sin 3 2 3 a A b B c C a b ca C CB C ab + − + −= ∴ = = tan 3, 3C C π= ∴ = ( )2 2 2 2 22 2 4a b c c+ = + = + 2 2 2c a b ab= + − 2c 2 2 44 2 , 3ab a b ab ab− = + ≥ ≤ a b= 1 1 4 3 3sin2 2 3 2 3ABCS ab C∆ = ≤ × × = ABC ⊥ BCD DC BC⊥ DC ⊥ ABC AB CD∴ ⊥ 3AB = 2BC = 1AC = 2 2 2BC AB AC= + AB AC⊥ AB ⊥ ADC AB AD⊥ AD F EF EF BA⁄⁄ AB ⊥ ADC EF∴ ⊥ ADC FC 30ECF °∠ = 2 3CE EF AB∴ = = = 又 ，所以四面体 的外接球的半径 故四面体 的外接球的表面积= （向量解法酌情给分）. 19.解析：（I）依题意， ，所以直线 的方程为 ； 由 得 ， 所以 ， 到 的距离 ， ，抛物线方程为 （II）设 ，由 得 ， 则切线 方程为 即 ， 同理，切线 方程为 ， 把 代入可得 故直线 的方程为 即 由 得 ， ， 90BAD BCD °∠ = ∠ = ABCD 3R CE= = ABCD ( )2 4 3 12π π= 0, 2 pF      l 3 2 py x= + 2 3{ 2 2 py x x py = + = 2 22 3 0x px p− − = ( )2 2 2 2 1 2 1 22 3 4 16 0, 2 3 ,p p p x x p x x p∆ = + = > + = = − ( )1 2 1 2 1 23 7 , 8y y x x p p MN y y p p+ = + + = = + + = O MN ( ) 2 2 12 , 44 22 1 OMN p pd S MN d p∆= = = = = + 2p∴ = 2 4x y= ( ) 2 2 1 2 1 2, 2 , , , ,4 4 x xP t A x B x    −         2 4x y= 2 , '4 2 x xy y= = PA ( )2 1 1 14 2 x xy x x− = − 2 1 1 1 12 4 2 x x xy x x y= − = − PB 2 22 xy x y= − P 1 1 2 2 2 2{ 2 2 x t y x t y − = − − = − AB 2 1 x t y− = − 2 4 0tx y− + = ( )0,2R∴ 2 4 0 { 2 tx y y xt − + = −= 2 2 4 4{ 8 4 Q Q tx t y t −= + = + ( ) ( ) ( ) 222 2 2 2 22 216 82 24 44 Q Q ttr RQ x y t tt  ∴ = = + − = + − = +  ++ 当 与圆 相切时角 最大， 此时 ，等号当 时成立 当 时，所求的角 最大． 综上，当 最大时点 的坐标为 20.解析：（1）根据题意：60 分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直 方图中， 评分在 的频率为： ； （2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是 ， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取 1 人， 该人非常满意该项目的概率为 ， 现从中抽取 3 人恰有 2 人非常满意该项目的概率为： ； （3）∵评分低于 60 分的被调查者中，老年人占 ， 又从被调查者中按年龄分层抽取 9 人， ∴这 9 人中，老年人有 3 人，非老年人 6 人， 随机变量 的所有可能取值为 0，1，2， ,PC PD R CPD∠ 2 2 2 2 2 2 14sin 2 36416 20 t CPD r t PR t t t ∠ += = = ≤ + + + 2 2t = ± ∴ ( )2 2, 2P ± − CPD∠ CPD∠ P ( )2 2, 2± − [ ]60,100 ( )0.028 0.03 0.016 0.004 10 0.78+ + + × = ( ) 10.016 0.004 10 0.2 5 + × = = 1 5 2 2 3 1 4 12 5 5 125P C  = ⋅ ⋅ =   1 3 ξ ( ) 0 2 3 6 2 9 150 36 C CP C ξ ⋅= = = ( ) 1 1 3 6 2 9 18 11 36 2 C CP C ξ ⋅= = = = 的分布列为： 0 1 2 的数学期望 . 21. 解 析 ： （ Ⅰ ） ， 是 上 的 增 函 数 等 价 于 恒成立. 令 ，得 ，令 （ ）.以下只需求 的最大值. 求导得 ， 令 ， ， 是 上的减函数， 又 ，故 1 是 的唯一零点， 当 ， ， ， 递增；当 ， ， ， 递减； 故当 时， 取得极大值且为最大值 ， 所以 ，即 的取值范围是 . （Ⅱ） . 令 （ ），以下证明当 时， 的最小值大于 0. 求导得 . ( ) 2 0 3 6 2 9 3 12 36 12 C CP C ξ ⋅= = = = ξ ξ p 15 36 1 2 1 12 ξ Eξ 15 1 1 20 1 236 2 12 3 = × + × + × = ( ) ( )e 1 lnxf x a x′ = − + ( )f x ( )0,+∞ ( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ ≥ 1 ln ex xa +≥ ( ) 1 ln ex xg x += 0x > ( )g x ( ) 1e 1 lnxg x xx −  = −′ −   ( ) 1 1 lnh x xx = − − ( ) 2 1 1 0h x x x ′ = − − < ( )h x ( )0,+∞ ( )1 0h = ( )h x ( )0,1x∈ ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x < ( ) 0g x′ < ( )g x 1x = ( )g x ( ) 11 eg = 1 ea ≥ a 1 ,e  +∞  ( ) 0f x > ⇔ e ln 0 xa xx − > ( ) e ln xaF x xx = − 0x > 2 2 ea ≥ ( )F x ( ) ( ) 2 1 e 1xa xF x x x =′ − − ( )2 1 1 exa x xx  = − −  ①当 时， ， ； ②当 时， ，令 ， 则 ，又 ， 取 且 使 ， 即 ， 则 ， 因为 ，故 存在唯一零点 ， 即 有唯一的极值点且为极小值点 ，又 ， 且 ，即 ，故 ， 因为 ，故 是 上的减函数. 所以 ，所以 . 综上，当 时，总有 . 22.解析：（1）直线 的参数方程为 ( 为参数）. ∵ ，∴ ，∴ ，即 ， 故曲线 的直角坐标方程为 . （2）将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ， 显然 , ∴ , ∴ ， ， 0 1x< ≤ ( ) 0F x′ < ( ) ( )1F x F≥ e 0a= > 1x > ( ) ( ) 2 1a xF x x =′ − ( )e 1 x x a x  − −   ( ) ( )e 1 x xG x a x = − − ( ) exG x′ = ( )2 1 0 1a x + > − ( ) 2 22 eG a = − 2e 2 0a a −= ≥ ( )1,2m∈ ( ) 2e1 m a m >− 2 2 e1 e 1 am a < < − ( ) ( )e 1 m mG m a m = − − 2 2e e 0< − = ( ) ( )2 0G m G < ( )G x ( )0 1,2x ∈ ( )F x ( )0 1,2x ∈ ( ) 0 0 0 0 e ln xaF x xx = − ( ) ( )0 0 0 0 e 01 x xG x a x = − =− ( )0 0 0 e 1 x x a x = − ( )0 0 0 1 ln1F x xx = −− ( ) ( )0 2 00 1 1 0 1 F x xx = − − < − ′ ( )0F x ( )1,2 ( ) ( )0 2F x F> = 1 ln2 0− > ( ) 0F x > 2 2 ea ≥ ( ) 0f x > l 30 6 2{ 11 16 2 x tcos t y tsin t π π = + = = + = + t 4sinρ θ= 2 4 sinρ ρ θ= 2 2 4x y y+ = ( )22 2 4x y+ − = C ( )22 2 4x y+ − = l C 2 3 0t t− − = 0∆ > 2 1 21, 3lt t t t+ = = − 1 2 3PA PB t t⋅ = = ( )2 1 2 1 2 1 24 13PA PB t t t t t t+ = − = + − = ∴ . 23. 解析：（1）∵ ，∴ . 当 时，不等式可化为 ，解得 ，∴ ； 当 ,不等式可化为 ，解得 ， 无解； 当 时，不等式可化为 ，解得 ，∴ . 综上所述， 或 . （2）∵ ， 要证 成立，只需证 ， 即证 ，即证 ,即证 . 由（1）知， 或 ，∵ ，∴ ， ∴ 成立. 综上所述，对于任意的 都有 成立. 1 1 13 3 PA PB PA PB PA PB ++ = =⋅ ( ) 2 1 1f x x< + − 1 2 1 1 0x x+ − + + < 1x < − ( )1 2 1 1 0x x− − + + + < 1x < − 1x < − 11 2x− ≤ ≤ − ( )1 2 1 1 0x x+ + + + < 1x < − 1 2x > − ( )1 2 1 1 0x x+ − + + < 1x > 1x > { 1 A x x= < − }1x > ( ) ( ) ( )1 1 1 1f a f b a b a b a b− − = + − − + ≤ + − − + = + ( ) ( ) ( )f ab f a f b> − − 1ab a b+ > + 2 21ab a b+ > + 2 2 2 2 1 0a b a b− − + > ( )( )2 21 1 0a b− − > { 1 A x x= < − }1x > a b A∈、 2 21, 1a b> > ( )( )2 21 1 0a b− − > a b A∈、 ( ) ( ) ( )f ab f a f b> − −