定远重点中学 2020 届高三下学期 4 月模拟考试
文科数学
本卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知集合 ，集合 ，则
A. B.
C. D.
2.已知 是虚数单位，复数 ，若 ，则
A. 0 B. 2 C.
D. 1
3.2019 年 1 月 1 日，济南轨道交通 号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民
开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁 APP 抢票，小陈抢到了
三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一
起去参加体验活动，则小王被选中的概率为
A. B. C. D.
4.等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ,己知 ,则 =
A. 32 B. 16 C. 4
D. 64
5.根据某校 10 位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图 1），其中左边的数
字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高
的个位数字，设计一个程序框图（图 2），用 表示第个同学的身高，
计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是
{ }na n nS 3 67, 63S S= = 6a
A. B. C.
D.
6.若对圆 上任意一点 ， 的取值
与 无关，则实数 的取值范围是
A. B. C. 或
D.
7.函数 的图象大致是
8.已知平面向量、 ，满足 ，若 ，则向量、 的夹角为
A. B.
( ) ( )2 21 1 1x y− + − = ( ),P x y 3 4 3 4 9x y a x y− + + − −
,x y a
4a ≤ − 4 6a− ≤ ≤ 4a ≤ − 6a ≥
6a ≥
C. D.
9.椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 在椭圆 上，且直线 斜
率的取值范围是 ，则直线 斜率的取值范围是
A. B. C.
D.
10.在正方体 中，E 是侧面 内的动点，且 平面 ，则
直线 与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是
A. B. C.
D.
11.定义在Ｒ上的连续函数 满足 ，且 时， 恒成立，则不
等式 的解集为
A. B. C. D.
12.已知关于 的方程 在区间 上有两个根 ，且
，则实数 的取值范围是
A. B. C.
D.
2 2
: 14 3
x yC + = 1 2A A、 P C 2PA
[ ]2, 1− − 1PA
3 3,8 4
1 3,2 4
1 ,12
3 ,14
x ( )sin sin 2x x m
ππ − + + =
[ )0,2π 1 2,x x
1 2x x π− ≥ m
( )5,1− ( 5,1−
)1, 5 [ )0,1
第 II 卷（非选择题 90 分）
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 （毫克/升）
与时间（小时）的关系为 ．如果在前 小时消除了 的污染物，那么污染
物减少 需要花费的时间为______小时．
14. 已 知 变 量 满 足 约 束 条 件 ， 若 不 等 式
恒成立，则实数 的最大值为 __________．
15.如图，正方形 的边长为 ，点 分别在边 上， 且 ．将此
正方形沿 切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个
面，则该三棱锥的内切球的体积为________．
16.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过点 的直线交双曲线右支于
两 点 ， 若 是 以 为 直 角 顶 点 的 等 腰 三 角 形 ， 则 的 面 积 为
__________．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写需给出文字说明，证明过程或演
算步骤。)
17. （本小题满分 12 分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投
放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间 x 与
乘客等候人数 y 之间的关系，经过调查得到如下数据：
( ), ,x y x y R∈
0
{ 5
3 0
x y
x y
y
− ≤
+ ≥
− ≤
( ) ( )( )2 2 2x y c x y c R+ ≥ + ∈ c
2
2 1yx m
− = 1 2,F F 2F
,A B 1ABF∆ A 1 2AF F∆
调查小组先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据
进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人
数 ，再求 与实际等候人数 y 的差，若差值的绝对值不超过 1，则称所求方程是“恰
当回归方程”．
（1）若选取的是后面 4 组数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 ，并判断此
方程是否是“恰当回归方程”；
（2）为了使等候的乘客不超过 35 人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设
置为多少（精确到整数）分钟？
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其回归直线 的
斜率和截距的最小二乘估计分别为：
18. （本小题满分 12 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-5n（n∈N+）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{ }的前 n 项和 Tn．
19. （本小题满分 12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC
边的中点，将 ， 分别沿 DE，DF 折起，使得 A，C 两点重合于点
M．
求证： ；
求三棱锥 的体积．
20. （本小题满分 12 分）设函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若函数 的极大值点为 ，证明： .
21. （本小题满分 12 分）动点 在抛物线 上，过点 作 垂直于 轴，
垂足为 ，设 .
（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）设点 ，过点 的直线 交轨迹 于 两点，直线 的斜
率分别为 ，求 的最小值．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第
一题记分.
22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数），以原点
为 极 点 ， 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 的 极 坐 标 方 程 为
．
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）过点 ，且与直线 平行的直线 交曲线 于 ， 两点，求点 到
， 两点的距离之积．
23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若函数 与 的图像恒有公共点，求实数 的取值范围.
P yx 22 = P PQ x
Q PQPM 2
1=
M E
)4,4(−S )5,4(N l E BA, SBSA,
21,kk 21 kk −
xOy C 3 ,{ x cos
y sin
α
α
=
=
α O
x l
2 cos 12 4
πρ θ + = −
C l
( )1,0M − l 1l C A B M
A B
( ) 1 1.f x m x x= − − − +
5m = ( ) 2f x >
2 2 3y x x= + + ( )y f x= m
参考答案
1.A 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C
9.A 10.B 11.A 12.D
13. 14. 15. 16.
17.【解析】（1）由后面四组数据求得 ，
，
， ，
∴ ＝ ，
．
∴ ．
当 x＝10 时， ，而 23.6﹣23＝0.6＜1；
当 x＝11 时， ，而 25﹣25＝0＜1．
∴求出的线性回归方程是“恰当回归方程”；
（2）由 1.4x+9.6≤35，得 x ．故间隔时间最多可设置为 18 分钟．
18.（1） ；（2）
【解析】（1）因为 ，
所以 , 时,
也适合，所以
（2）因为 ，
25
13 4 2 2−
所以
两式作差得：
化简得 ，
所以 .
19. 证明：（1） 在正方形 ABCD 中， ， ，
在三棱锥 中，有 ， ，且 ，
面 MEF，则 ；
解：（2） 、F 分别是边长为 2 的正方形 ABCD 中 AB、BC 边的中点，
，
，
由（1）知， ．
20.解：（Ⅰ） 的定义域为 ， ，
当 时， ，则函数 在区间 单调递增；
当 时，由 得 ，由 得 .
所以， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
当 时，由 得 ，由 得 ，
所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 单调递减.
综上所述，当 时，函数 在区间 单调递增；
当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 且 时，解得 . ，
要证 ，即证 ，即证： .
令 ，则 .
令 ，易见函数 在区间 上单调递增.
而 ， ，
所以在区间 上存在唯一的实数 ，使得 ，
即 ，且 时 ， 时 .
故 在 上递减，在 上递增.
∴ .
又 ，∴ .
∴ 成立，即 成立.
21.（Ⅰ） ； （Ⅱ）1
解析：（Ⅰ）设点 ，则由 得 ，因为点 在抛
物线 上，
（Ⅱ）方法一：由已知，直线 的斜率一定存在，设点 ，设 方程
为 ，
联立 得
由韦达定理得
（1）当直线 经过点 即 或 时，当 时，直线 的斜率看作
抛物线在点 处的切线斜率，则 ，此时 ；当 时，
同理可得 .
2 4x y=
),(),,( 00 yxPyxM PQPM 2
1=
=
=
yy
xx
20
0 P
yx 22 = yx 42 =∴
l ),(),,( 2211 yxByxA l
( 4) 5y k x= − +
=
+−=
yx
xky
4
5)4(
2 0201642 =−+− kkxx
2016,4 2121 −==+ kxx
l S 41 −=x 42 −=x 41 −=x SA
A 8
1,2 21 =−= kk 8
17
21 =−kk 42 −=x
8
17
21 =−kk
（2）当直线 不经过点 即 且 时， ，
所以 的最小值为 .
方法二：同上
故 ，所以 的最小值为
方法三：设点 ，由直线 过点 交轨迹 于 两点得：
化简整理得：
，令 ，则
22. 解 析 ： （ 1 ） 由 题 知 ， 曲 线 化 为 普 通 方 程 为 ， 由
， 得 ， 所 以 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为
l S 41 −≠x 42 −≠x 4
4,4
4
2
2
2
1
1
1 +
−=+
−=
x
ykx
yk
21
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
21 4
1
4
44
4
44
4
4
4
4 xxx
x
x
x
x
y
x
ykk −=+
−
−+
−
=+
−−+
−=− 21
2
21 4)(4
1 xxxx −+=
)2016(4164
1 2 −−= kk 11)2(54 22 ≥+−=+−= kkk
21 kk − 1
)4)(4(
)14)(14(
21
21
21 ++
+−+−=∴
xx
kkxkkxkk
16)(4
1816))(4(
2121
2
21
2
21
+++
+−++−+=
xxxx
kkkxkx
4
1
432
81 −=−
−=
k
k
14
122 212121 ==≥+=− kkkkkk 21 kk − 1
)4,(),4,(
2
2
2
2
1
1
xxBxxA l )5,4(N E BA,
4
54
4
54
2
2
2
1
2
1
−
−
=−
−
x
x
x
x
20)(4 2121 −+= xxxx txx =+ 21 20421 −= txx
21
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
21 4
1
4
44
4
44
4
4
4
4 xxx
x
x
x
x
y
x
ykk −=+
−
−+
−
=+
−−+
−=−
116)8(4
120164
14)(4
1 22
21
2
21 ≥+−=+−=−+= tttxxxx
C
2
2 13
x y+ =
2 cos 12 4
πρ θ + = − cos sin 2ρ θ ρ θ− = − l
．
（2）由题知，直线 的参数方程为 （ 为参数），
代入曲线 ： 中，化简，得 ，
设 ， 两 点 所 对 应 的 参 数 分 别 为 ， ， 则 ， 所 以
．
23.（1） （2）
解析：（1）当 时，
由 的不等式的解集为
（2）由二次函数 该函数在 处取得最小值 2，
因为 在 处取得最大值 ,
所 以 要 使 二 次 函 数 与 函 数 的 图 像 恒 有 公 共 点 ， 只 需
2 0x y− + =
1l
21 ,2{
2
2
x t
y t
= − +
=
t
C
2
2 13
x y+ = 22 2 2 0t t− − =
A B 1t 2t 1 2 1t t = −
1 2 1MA MB t t⋅ = =
3 3{ | }.2 2x x− < < 4.m ≥ 5m = ( ) ( ) 5 2 ( 1) { 3 1 1 , 5 2 ( 1) x x f x x x x + < − = − ≤ ≤ − >
( ) 2f x > 3 3{ | }.2 2x x− < < ( )22 2 3 1 2,y x x x= + + = + + 1x = − ( ) ( ) 2 ( 1) { 2 1 1 , 2 ( 1) m x x f x m x m x x + < − = − − ≤ ≤ − >
1x = − 2m −
2 2 3y x x= + + ( )y f x=
2 2 4.m m− ≥ ≥，即
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