2020 届高三下学期 4 月调研
文科数学
全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。)
1.已知 为实数集，集合 ， ，则
集合 为
A. B. C.
D.
2.已知复数 是虚数单位， ，则 ＝
A. B. C.
0 D. 2
3.将甲、乙两个篮球队 场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以
下结论正确的是
A. 甲队平均得分高于乙队的平均得分 B. 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位
数
C. 甲队得分的方差大于乙队得分的方差D. 甲乙两队得分的极差相等
4.已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 若 ， ， 成等差数列，则数
列 的公比为
A. B.
C. 2 D. 3
5.执行如图所示的程序框图，输出 的值为
A. B. C.
D.
6.已知直线 与圆 相交于 两点，且线段
是圆 的所有弦中最长的一条弦，则实数
A. 2 B. C. 或
2 D. 1
9.椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 在 上，且直线 的斜率
2 0ax y+ − = ( ) ( )2 21 4x y a− + − = AB
C a =
1± 1
2 2
: 14 3
x yC + = 1 2A A、 P C 2PA
的取值范围是 ，那么直线 斜率的取值范围是
A． B． C．
D．
10.如图，已知三棱柱 的各条棱长都相等，且 底面 ， 是侧棱
的中点，则异面直线 和 所成的角为
A. B. C.
D.
11.已知定义在 R 上的函数 恒成立，则不等式 的
解集为
A.
B.
C.
D.
12.已知函数 ， ， 的部分图
像如图所示， 分别为该图像的最高点和最低点，点 垂 轴于 ， 的坐
标为 ，若 ，则
[ ]2, 1− − 1PA
3 3,8 4
1 3,2 4
1 ,12
3 ,14
( ) sin , , 03f x A x x R A
π ϕ = + ∈ > 0 2
πϕ< < ( )y f x= ,P Q PR x R R ( )1,0 2 3PRQ π∠ = ( )0f =
A. B. C.
D.
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知 ，则 __________．
14.已知正数 满足 ，则 的最小值是____________.
15.已知双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，点 在
双曲线的左支上， 与双曲线右支交于点 ，若 为等边三角形，则该双
曲线的离心率是__________．
16.如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的正方形 的中心为 ，
边长为 ， 都在圆 上， 分别是以 为
底 边 的 等 腰 三 角 形 ， 沿 虚 线 剪 开 后 ， 分 别 以 为 折 痕 折 起
，使得 重合，得到一个四棱锥，则该四棱锥体积为
__________ ．
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。)
1
2
3
2
3
4
2
4
( )7cos , π,2π25
θ θ= − ∈ sin cos2 2
θ θ+ =
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0)b > 1F 2F P
2PF Q 1PFQ∆
17. （本题满分 12 分）某省的一个气象站观测点在连续 4 天里记录的 指数
与当天的空气水平可见度 （单位： ）的情况如表 1：
该省某市 2016 年 11 月 指数频数分布如表 2：
频数 3 6 12 6 3
（1）设 ，根据表 1 的数据，求出 关于 的线性回归方程；
（附参考公式： ，其中 ， ）
（2）小李在该市开了一家洗车店，经统计，洗车店平均每天的收入与 指数由
相关关系，如表 3：
日 均 收 入
（元）
根据表 3 估计小李的洗车店该月份平均每天的收入．
18. （本题满分 12 分）已知数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
19. （ 本 题 满 分 12 分 ） 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 中 ， 已 知 侧 面
AQI
M y cm
AQI
M [ ]0,200 [ ]200,400 [ ]400,600 [ ]600,800 [ ]800,1000
100
Mx = y x
ˆˆ ˆy bx a= + 1
2 2
1
ˆ
n
i ii
n
ii
x y nxy
b
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
ˆˆa y bx= −
AQI
M [ ]0,200 [ ]200,400 [ ]400,600 [ ]600,800 [ ]800,1000
2000− 1000− 2000 6000 8000
{ }na 1 1a = 1 2 1n n
n
n
a a aa
+− = +
{ }na
1n n nb a a += { }nb n nT
1 1 1ABC A B C− AB ⊥
， ， ， .
求证： 平面 ；
是棱 上的一点，若三棱锥 的体积为 ，求 的长.
20.（本题满分 12 分）已知函数 ， （ 为自然对数
的底数）.
(Ⅰ)讨论 的单调性；
(Ⅱ)当 时，不等式 恒成立，求实数 的值.
21.（本题满分 12 分）已知抛物线 C： 的焦点为 F，直线 与
y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 .
（1）求 C 的方程；
（2）过 F 的直线 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 与 C 相较于 M，
N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 的方程.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
写出曲线 的极坐标的方程以及曲线 的直角坐标方程；
若过点 （极坐标）且倾斜角为 的直线 与曲线 交于 ， 两
1 1BB C C 1AB BC= = 1 2BB = 1 60BCC∠ =
( )Ⅰ 1BC ⊥ ABC
( )Ⅱ E 1CC E ABC− 3
12 CE
( ) ( )2 2 2
x
x a x af x e
+ − + −= 0a ≤ e
( )f x
0x ≤ ( )f x e≥ a
2 2 ( 0)y px p= > 4y =
5
4QF PQ=
l l′
l
C 3{ 2
x cos
y sin
θ
θ
=
= θ
x D 4sin 6
πρ θ = −
( )Ⅰ C D
( )Ⅱ 2 2, 4A
π
3
π
l C M N
点，弦 的中点为 ，求 的值.
23. （本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）已知关于 的不等式 的解集为 ，求 的值 ．
MN P •
AP
AM AN
( )f x x a= − 1a >
2a = ( ) 4 4f x x≥ − −
x ( ) ( )2 2 2f x a f x+ − ≤ { |1 2}x x≤ ≤ a
参考答案
1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.A 8.D 9.A
10.A 11.D 12.B
13. 14. . 15.
16.
17.(1) (2)2400 元
解析：（1） ， ，
，
，
∴ ， ，
所以 关于 的线性回归方程为 ．
（2）根据表 3 可知，该月 30 天中有 3 天每天亏损约 2000 元，有 6 天每天亏损约
1000 元，有 12 天每天收入约 2000 元，有 6 天每天收入约 6000 元，有 3 天每天收
入约 8000 元，估计小李的洗车店该月份平均每天的收入约为
元．
18.（1） ；（2） .
解析：（1）由 可得 ，
又由 ，∴ 是公差为 2 的等差数列，
又 ，∴ ，∴ .
1
5 7
21 41
2 4
ˆ
0y x= − +
( )1 9 7 3 1 54x = + + + = ( )1 0.5 3.5 6.5 9.54y = + + + 5=
4
1
9 0.5 7 3.5 3 6.5 1 9.5 58i i
i
x y
=
= × + × + × + × =∑
4
2 2 2 2 2
1
9 7 3 1 140i
i
x
=
= + + + =∑
2
58 4 5 5 21
140 4 5 20
ˆb
− × ×= = −− ×
21 415 520 4
ˆa = − − × =
y x 21 41
2 4
ˆ
0y x= − +
( )1 2000 3 1000 6 2000 12 6000 6 8000 3 240030
× − × − × + × + × + × =
1
2 1na n
= − 2 1n
nT n
= +
1 2 1n n
n
n
a a aa
+− = +
1
1 1 2
n na a+
− =
1 1a = 1
na
1
1 1a
= ( )1 1 2 1 2 1
n
n na
= + − = − 1
2 1na n
= −
（2） ，
.
19. 解 析 ： 证 明 ： 因 为 平 面 ， 平 面 ， 所 以
，
在 中， ， ， ，
由 余 弦 定 理 得 ：
，
所以 ，
故 ，所以 ，
又 ，∴ 平面 .
面 ，∴ ，
∴ ，
∴ 为所求.
20.（Ⅰ）当 时， 在 上为减函数；当 时，则 在
上为减函数；在 上为增函数；（Ⅱ） .
解析：(Ⅰ) ，令 ；
① 时，则 （当且仅当 时取等号） 在 上为减函
数；
②当 时，则 在 上为减
函数； 在 上为增函数；
( )( )1
1
2 1 2 1n n nb a a n n+= = =− +
1 1 1
2 2 1 2 1n n
− − +
1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1nT n n
= − + − + + − − +
1 112 2 1 2 1
n
n n
= − = + +
( )Ⅰ AB ⊥ 1 1BB C C 1BC ⊆ 1 1BB C C
1AB BC⊥
1CBC∆ 1BC = 1 1 2CC BB= = 1 60BCC∠ =
2 2 2 2 2
1 1 1 12 • •cos 1 2 2 1 2cos60 3BC BC CC BC CC BCC= + − ∠ = + − × × =
1 3BC =
2 2 2
1 1BC BC CC+ = 1BC BC⊥
BC AB B∩ = 1C B ⊥ ABC
( )Ⅱ AB ⊥ 1 1BB C C 1 1 3• •13 3 12E ABC A EBC BCE BCEV V S AB S− − ∆ ∆= = = =
3 1 1 1 3• • •sin •4 2 2 3 2 2BCES CE d CE BC CE
π
∆
= = = =
1CE =
0a = ( )f x ( ),−∞ +∞ 0a < ( )f x ( ] [ ), , 0,a−∞ +∞ [ ],0a 1a = − ( ) ( ) x a x xf x e −′ = ( ) 1 20 0,f x x x a= ⇒ = =′ 0a = ( ) 0f x′ ≤ 0x = ( )f x⇒ ( ),−∞ +∞ 0a < ( ) ( ) ( ) ( ), 0, 0x a f x f x∈ −∞ ∪ +∞ < ⇒′⇒ ( ] [ ), , 0,a−∞ +∞ ( ) ( ) ( ),0 0x a f x f x′∈ ⇒ > ⇒ [ ],0a
(Ⅱ) ，
由于不等式 恒成立，说明 的最小值为 ，
当 时， 说明 ；下面验证：
当 时，由(Ⅰ)可知： 在 上为减函数； 在 上为增函
数；
当 时， 有最小值 ，即有 .故 适合题意.
21.（1） ；（2）直线 的方程为 或 ．
解析：（1）设 ，代入 ，得
．由题设得 ，解得
（舍去）或 ，∴C 的方程为 ；（2）由题设知 与坐标轴不垂直，故可
设 的方程为 ，代入 得 ．设
则
．故 的中点为 ．又
的斜率为 的方程为 ．将上式代入 ，并整理得
．设 则
．故 的中点为
．
由于 垂直平分线 ，故 四点在同一圆上等价于 ，
从 而 即
，化简得 ，解得
( ) ( ) ( )2 2 2 1 1x
x x a xf x f ee
+ + − += ⇒ − =
( )f x e≥ ( )f x e
1x = − ( )1f e− = ( )1 0 1f a− = ⇒ = −′
1a = − ( )f x ( ], 1−∞ − ( )f x [ ]1,0−
∴ 1x = − ( )f x ( )1f e− = ( )f x e≥ 1a = −
2 4y x= l 1 0x y− − = 1 0x y+ − =
( )0 ,4Q x 2 2y px=
0 0
8 8 8, , .2 2
p px PQ QF xp p p
= ∴ = = + = + 8 5 8
2 4
p
p p
+ = × 2p = −
2p = 2 4y x= l
l ( )1 0x my m= + ≠ 2 4y x= 2 4 4 0y my− − =
( ) ( )1 1 2 2, , , ,A x y B x y 1 2 4 ,y y m+ =
1 2 4y y = − AB ( ) ( )2 2 2
1 22 1,2 , 1 4 1D m m AB m y y m+ = + − = + l′
,m l− ∴ ′ 21 2 3x y mm
= − + + 2 4y x=
( )2 24 4 2 3 0y y mm
+ − + = ( ) ( )3 3 4 4, , , ,M x y B x y
( )2
3 4 3 4
4 , 4 2 3y y y y mm
+ = − = − + MN
( )2 2
2
3 42 2 2
4 1 2 12 2 12 3, , 1
m m
E m MN y ym m m m
+ + + + − = + − =
MN AB , , ,A M B N 1
2AE BE MN= =
2 2 21 1 ,4 4AB DE MN+ =
( ) ( ) ( )22 22 2
22
2 4
4 1 2 12 24 1 2 2
m m
m m m m m
+ + + + + + + =
2 1 0m − =
或 ．所求直线 的方程为 或 ．
22.(Ⅰ)曲线 的极坐标方程为： ；曲线 的直角坐标方程
为： .(Ⅱ) .
解析： 由题意 的方程为： 可得 的普通方程为： ，
将 代入曲线方程可得： .
因为曲线 的极坐标方程为 ，
所以 .
又 ， ， .
所以 .
所以曲线 的极坐标方程为： ；曲线 的直角坐标方程为：
.
因为点 ，化为直角坐标为 所以 .
因为直线 过点 且倾斜角为 ，所以直线 的参数方程为 （
为参数），代入 中可得： ，
1m = 1m = − l 1 0x y− − = 1 0x y+ − =
C
2 2 2 2cos sin 19 4
ρ α ρ α+ = D
2 2x y+ 2 3 2y x= − 4 19 3
16
+
( )Ⅰ C 3 ,{ 2 ,
x cos
y sin
θ
θ
=
= C
2 2
19 4
x y+ =
,{ ,
x cos
y sin
ρ α
ρ α
=
=
2 2 2 2cos sin 19 4
ρ α ρ α+ =
D 4sin 6
πρ θ = −
2 3 14 sin 4 sin cos6 2 2
πρ ρ θ ρ θ θ = − = −
2 2 2x yρ = + cosx ρ θ= siny ρ θ=
2 2 2 3 2x y y x+ = −
C
2 2 2 2cos sin 19 4
ρ α ρ α+ = D
2 2x y+
2 3 2y x= −
( )Ⅱ 2 2, 4A
π
2 2 2,4{
2 2 2,2
x cos
y sin
π
π
= =
= =
( )2,2A
l ( )2,2A 3
π
l
12 ,2{
32 ,2
x t
y t
= +
= +
t
2 2
19 4
x y+ = ( )231 8 18 3 16 04 t t+ + + =
所以由韦达定理： ， ，
所以 .
23.（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
解析：（Ⅰ）当 时，
当 时，由 得 ，解得 ，
当 时， 无解，
当 时，由 得 ，解得 ，
所以 的解集是 ，
（Ⅱ）记 ，则
由 解得 ，又已知 的解集为 ，
所以 于是 ．
1 2
32 72 3
31
bt t a
++ = − = − 1 2
64
31
ct t a
= =
1 2
1 2
4 19 32
• 16
t t
AP
AM AN t t
+
+= =
{ | 1, 5}x x x≤ ≥或 3a =
2a = ( )
2 6, 2
4 { 2, 2 4
2 6, 4
x x
f x x x
x x
− + ≤
+ − = < < − ≥ 2x ≤ ( ) 4 4f x x≥ − − 2 6 4x− + ≥ 1x ≤ 2 4x< < ( ) 4 4f x x≥ − − 4x ≥ ( ) 4 4f x x≥ − − 2 6 4x − ≥ 5x ≥ ( ) 4 4f x x≥ − − { | 1, 5}x x x≤ ≥或 ( ) ( ) ( )2 2h x f x a f x= + − ( ) 2 , 0 {4 2 ,0 2 , a x h x x a x a a x a − ≤ = − < < ≥ ( ) 2h x ≤ 1 1 2 2 a ax − +≤ ≤ ( ) 2h x ≤ { |1 2}x x≤ ≤ 1 12{ 1 22 a a − = + = 3a =
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