理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．设全集 ，集合 ，集合 ，则
A． B． C． D．
2．已知命题 ，则 p 命题的否定为
A． B．
C． D．
3．若复数 在复平面内对应的点在直线 上，则
A．2 B． C．1 D．
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
5．在等差数列 中， ，则数列 的前 5 项之和 的值为
A．108 B．90 C．72 D．24
6．已知四边形 是平行四边形，点 为边 的中点，则
A． B． C． D．
7．若 ，则
U = R { | 0}M x x= ≥ 2{ | 1}N x x= < ( )UM C N∩ = (0,1) [0,1] [1, )+∞ (1, )+∞ : , sinp x R x x∀ ∈ >
: , sinp x R x x¬ ∃ ∈ < : , sinp x R x x¬ ∀ ∈ < : , sinp x R x x¬ ∃ ∈ ≤ : , sinp x R x x¬ ∀ ∈ ≤ 2i 2 az −= 0x y+ = z = 2 2 2 8 π3 16 π3 8π 16π { }na 2 4 36a a+ = { }na 5S ABCD E CD BE = 1 2 AB AD− + 1 2 AB AD− 1 2AB AD+ 1 2AB AD− 1tan 2 α = − cos2 =α
A． B． C． D．
8．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值为
A． B． C．3 D．5
9．已知实数 满足 ，则“ 成立”是“ 成立”的
A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件
10．双曲线 的两个焦点为 ，点 P 在双曲线上， 的面积为 ，则
等于
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知函数 是奇函数，则函数 的值域为
A． B． C． D．
12．若对 ， ，且 ，都有 ，则 m 的最小值是
注： 为自然对数的底数，即
A． B．e C．1 D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知函数 ，则 __________．
14．若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为__________．
15．在 的二项式中，有且只有第五项的二项式系数最大，则
_________．
3
5
3
5-
3
4
3
4
−
ξ (3,4)N ( 2 3) ( 2)P a P aξ ξ< − = > + a
5
3
7
3
a b、 0ab > 1 1
a b
< a b>
2
2 14
x y− = 1 2,F F 1 2F PF∆ 5
1 2PF PF
( ) ( )2
1xf x a a Re
= − ∈+
( )f x
( )1,1− ( )2,2− ( )3,3− ( )4,4−
lx∀ ( )2 ,x m∈ +∞ 2lx x< 1 2 2 1 2 1 ln ln 1x x x x x x − 3(log 2)f =
x y
2 5 0
3 15 0
1 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− − ≤
− + ≥
4z x y= −
2 3 n
x x
−
( )0 1 21 1 112 4 2
n n
n n n nnC C C C− + − + − =
16．如图，直三棱柱 中， ， ， ， 为线段
上的一动点，则当 最小时， 的面积为______.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各 50
人进行调查，根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图.
（Ⅰ）求所调查学生日均玩游戏时间在 分钟的人数；
（II）将日均玩游戏时间不低于 60 分钟的学生称为“游戏迷”，已知“游戏迷”中女生有 6 人；
①根据已知条件，完成下面的 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下
认为“游戏迷”和性别关系；
非游戏迷 游戏迷 合计
男
女
合计
②在所抽取的“游戏迷”中按照分层抽样的方法抽取 10 人，再在这 10 人中任取 9 人进行心理
1 1 1ABC A B C− 1AB = 2BC = 5AC = 1 3,AA M=
1BB 1AM MC+ 1AMC∆
[40,50)
2 2×
干预，求这 9 人中男生全被抽中的概率.
附： （其中 为样本容量）.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
18．（12 分）在 中，设内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
（Ⅰ）求角 的大小；
（II）求 的取值范围.
19．（12 分）如图，三棱柱 - 的底面是边长为 2 的等边三角形， 底面 ，
点 分别是棱 ， 上的点，且
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（II）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．（12 分）已知 ， ．
Ⅰ 讨论 的单调性；
Ⅱ 当 时， 恒成立，求实数 a 的取值范围．
21．（12 分）已知圆 ，点 ， 是圆上一动点，点 在线段
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2
0( )P K k≥
0k
ABC∆ A B C a b c
2 cos
cos
a c C
b B
− =
B
23cos sin cos2 2 2
C A A−
a R∈ ( ) 2 lnf x x a x= −
( ) ( )f x
( ) 1x ≥ ( ) 2 1xf x x≥ +
2 2:( 1) 16C x y+ + = (1,0)F P E FP
上，点 在半径 上，且满足 .
（Ⅰ）当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（II）设过点 的直线 与轨迹 交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线交 于点
，与 轴交于点 ，若 ，求点 横坐标的取值范围.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
（ ）．
（Ⅰ）分别写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（II）已知点 ，直线 与曲线 相交于 两点，若 ，求
的值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求证： ；
（II）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
Q CP 2 , 0FP EP EQ FP= ⋅ =
P Q Γ
(2,0)A l Γ B B x l l
M y H 0FB FH⋅ = M
xOy l
22 2
21 2
x t
y t
= +
= − +
t x
C 2 2 cos( )4a
πρ θ= +
5
6a >
l C
(2, 1)P − l C ,M N 2| | 6 | | | |MN PM PN= a
2( ) | | | 2 3|f x x m x m= + + - -
( ) 2f x ≥
(2) 16f ≤ m
理科数学参考答案
1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．A 7．A 8．B 9．A 10．C
11．A 12．C
13． 14．3 15． 16．
17．解：（1）日均玩游戏时间在 分钟的频率为
，
所以，所调查学生日均玩游戏时间在 分钟的人数为 .
（2）“游戏迷”的频率为 ，
共有“游戏迷” 人，由于“游戏迷”中女生有 6 人，故男生有 14 人.
①根据男、女学生各有 50 人，得列联表如下：
非游戏迷 游戏迷 合计
男 36 14 50
女 44 6 50
合计 80 20 100
.
故能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“游戏迷”和性别有关.
②“游戏迷”中女生有 6 人，男生有 14 人，按照分层抽样的方法抽取 10 人，则女生有 3 人，
男生有 7 人.
从中任取 9 人，只剩 1 人，则共有 10 种基本情况，记这 9 人中男生全被抽中为事件 A，
则有两名女生被选中,共有 种基本情况，因此所求事件 A 的概率 .
18．解：（1）由 得到 ，
即 ，即 ，
1
18
1
256 3
[45,50)
1 (0.010 0.008 0.012 0.014 0.020 0.014 0.004 0.002) 10 0.16− + + + + + + + × =
[45,50) 100 0.16 16× =
(0.014 0.004 0.002) 10 0.20+ + × =
0.20 100 20× =
2 2
2 ( ) 100 (36 6 44 14) 4 3.841( )( )( )( ) 50 50 80 20
n ad bcK a b c d a c b d
− × × − ×= = = >+ + + + × × ×
9
10C =
2
3 3C = 3( ) 10P A =
2 cos
cos
a c C
b B
− = 2sin sin cos
sin cos
A C C
B B
− =
( )2sin cos sinA B B C= + 2sin cos sinA B A=
又∵ 为三角形内角，∴ ，所以 ，从而 .
（2）
，
∵ ，∴ ，
∴ ，所以 .
所以 的取值范围为 .
19．（Ⅰ）证明：取 中点 ，连接 ，则 ，
因为 底面 ，所以侧面 底面 ，所以 平面 ．
取 中点 ，连接 ，则 ，且 ，
又因为 ， ，所以 且 ，
所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 平面 ．又 平面 ，
所以平面 平面 ．
（Ⅱ）以 为原点， 分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ，依
题意得 ， ， ， ，所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
A sin 0A ≠ 1cos 2B =
3B
π=
( )2 3 13 cos sin cos cos 1 sin2 2 2 2 2
C A A C A− = + −
3 1 2 3cos sin2 2 3 2C C = − − +
π
3 1 3 1 3cos sin cos4 4 2 2 6 2C C C
π = − + = + +
20 3C
π< < 5 6 6 6C< + ( )f x 0a ≤ ( )f x ( )0,+∞
0a > ( )f x 0, 2
a
,2
a +∞
( ( ) 2) 1xf x x≥ + ( ) ( )2 1 0xf x x− + ≥ ( ) ( ) ( )2 1g x xf x x= − +
( ) 2 ln 1g x x ax x= − − ( ) ( )' 2 1 lng x x a x= − + ( )'g x ( )f x
0a ≤ ( )'g x [ )1,+∞ ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a≥ = − > ( )g x [ )1,+∞
( ) ( )1 0g x g≥ =
0a > ( )'g x 0, 2
a
,2
a +∞
0 2a< ≤ 12 a ≤ ( )'g x [ )1,+∞ ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a≥ = − ≥ ( )g x ( ) ( )1 0g x g≥ = 2a > 1, 2
a
( )'g x ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a< = − < ( )g x ( ) ( )1 0g x g< = ( ],2−∞ EQ FP
所以点 的轨迹是以点 为焦点，焦距为 4，长轴为 4 的椭圆，
， ， ，故点 的轨迹 的方程为 .
（2）由题意直线 的斜率存在设为 ,于是直线 的方程为 ，
设 ，联立 ，得 ．
因为 ，由根与系数的关系得 ， ∴ ， ，
设 的横坐标为 ，则 ， 所在直线方程为
，
令 ，得 ，· 于是 ，
即 ，
整理得 ， ，
∴ ．
22．解：（1）将 （ 为参数）消去参数 可得 ,∴直线 的普通方
程为 .
4 2CP QC QP QC QF CF= + = + = > =
Q ,C F
2a = 1c = 3b = Q Γ
2 2
14 3
x y+ =
l k l ( )( )2 0y k x k= − ≠
( )1 1,B x y
( )
2 2
2
14 3
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ − + − =
( )1 1,A x y
2
1 2
16 122 3 4
kx k
−= +
2
1 2
8 6
3 4
kx k
−= + 1 2
12
3 4
ky k
−= +
M 0x ( )( )0 0, 2M x k x − MH
( ) ( )0 0
12y k x x xk
− − = − −
0x = 0
1 2Hy k x kk
= + −
( )( )1 1· 1 , · 1, 0HBF HF x y y= − − − =
2
1 1 02 2
8 6 12 11 1 2 03 4 3 4H
k kx y y k x kk k k
− − + = − − + − = + +
( ) ( )
2
0 2 2
9 20 20 11= 1212 1 12 1
kx
k k
+= −
+ + 2 0k ≠ ( )2
1 0,11k
∴ ∈+
0
3 5
4 3x< < 22 2 21 2 x t y t = + = − + t t 3 0x y− − = l 3y x= −
由 ，得 ，
将 代入上式，得 ，
即 ，
∴曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）将 代入 中，整理得 ，
设 两点对应参数分别为 ，则 ，
∵ ，∴ ， 又 ，
∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，
解得 ，符合题意．∴ ．
23．解：（1）因为 ，
所以 . ,即
（2）由已知，
①当 m≥- 时， 等价于 ,即 ，
解得 所以
②当 m
1 2 0t t < ( )2 1 2 1 26t t t t− = − ( )2 1 2 1 22 0t t t t+ + = ( ) ( )2 2 2 5 6 0a− + − = 1a = 1a = ( ) ( ) ( )2 2f x x m x 2m 3 x m x 2m 3= + + − − ≥ + − − − ( ) ( )22f x m 2m 3 m 1 2 2≥ + + = + + ≥ 2m 2m 3 16+ + ≤ ( )2m 1 14+ ≤ ( ) 2f 2 m 2 2m 1= + + + 1 2 ( )f 2 16≤ 2m 2m 3 16+ + ≤ ( )2m 1 14+ ≤ 14 1 m 14 1− − ≤ ≤ − 1 m 14 12 − ≤ ≤ − 1 2 ( )f 2 16≤ 2m 2m 1 16− + ≤ 1 2 − m 3, 14 1 − −
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