文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题(60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1.设全集 ,集合 ,集合 ,则
A. B. C. D.
2.已知命题 ,则 p 命题的否定为
A. B.
C. D.
3.(2018 江西省景德镇联考)若复数 在复平面内对应的点在直线 上,则
A.2 B. C.1 D.
4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
5.在等差数列 中, ,则数列 的前 5 项之和 的值为
A.108 B.90 C.72 D.24
6.已知四边形 是平行四边形,点 为边 的中点,则
A. B. C. D.
U = R { | 0}M x x= ≥ 2{ | 1}N x x= < ( )UM C N∩ = (0,1) [0,1] [1, )+∞ (1, )+∞ : , sinp x R x x∀ ∈ >
: , sinp x R x x¬ ∃ ∈ < : , sinp x R x x¬ ∀ ∈ < : , sinp x R x x¬ ∃ ∈ ≤ : , sinp x R x x¬ ∀ ∈ ≤ 2i 2 az −= 0x y+ = z = 2 2 2 8 π3 16 π3 8π 16π { }na 2 4 36a a+ = { }na 5S ABCD E CD BE = 1 2 AB AD− + 1 2 AB AD− 1 2AB AD+ 1 2AB AD−
7.若 ,则
A. B. C. D.
8.已知 , , ,则
A. B. C. D.
9.已知实数 满足 ,则“ 成立”是“ 成立”的
A.充要条件 B.必要非充分条件 C.充分非必要条件 D.非充分非必要条件
10.双曲线 的两个焦点为 ,点 P 在双曲线上, 的面积为 ,则
等于
A.2 B.3 C.4 D.5
11.已知函数 是奇函数,则函数 的值域为
A. B. C. D.
12.若对 , ,且 ,都有 ,则 m 的最小值是
注: 为自然对数的底数,即
A. B.e C.1 D.
第 II 卷 非选择题(90 分)
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知函数 ,则 __________.
14.若 , 满足约束条件 ,则 的最小值为__________.
15.已知函数 的最小正周期为 ,若函数 在 上单调递
减,则 的最大值是__________.
16.如图,直三棱柱 中, , , , 为线段
1tan 2
α = − cos2 =α
3
5
3
5-
3
4
3
4
−
lna π= 5log 2b = 1
2c e
−=
a b c> > a c b> > b a c> > c a b> >
a b、 0ab > 1 1
a b
< a b>
2
2 14
x y− = 1 2,F F 1 2F PF∆ 5
1 2PF PF
( ) ( )2
1xf x a a Re
= − ∈+
( )f x
( )1,1− ( )2,2− ( )3,3− ( )4,4−
lx∀ ( )2 ,x m∈ +∞ 2lx x< 1 2 2 1 2 1 ln ln 1x x x x x x − 3(log 2)f =
x y
2 5 0
3 15 0
1 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− − ≤
− + ≥
4z x y= −
π( ) cos( )( 0)3f x xω ω= + > π ( )y f x= [0, ]a
a
1 1 1ABC A B C− 1AB = 2BC = 5AC = 1 3,AA M=
上的一动点,则当 最小时, 的面积为______.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试,以确定它的行车里程的等级,右
表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程(单位:公里)的测试结果.
(Ⅰ)做出上述测试结果的频率分布直方图,并指出其中位数落在哪一组;
(Ⅱ)用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取 5 辆,并从这 5
辆中随机抽取 2 辆,求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.
18.(12 分)在 中,设内角 , , 所对的边分别为 , , ,且
.
(Ⅰ)求角 的大小;
(II)求 的取值范围.
1BB 1AM MC+ 1AMC∆
ABC∆ A B C a b c
2 cos
cos
a c C
b B
− =
B
23cos sin cos2 2 2
C A A−
19.(12 分)在三棱柱 中,平面 、平面 、平面 两两垂
直.
(Ⅰ)求证: 两两垂直;
(Ⅱ)若 ,求三棱锥 的体积.
20.(12 分)已知 , .
Ⅰ 讨论 的单调性;
Ⅱ 当 时, 恒成立,求实数 a 的取值范围.
21.(12 分)已知圆 ,点 , 是圆上一动点,点 在线段
上,点 在半径 上,且满足 .
(Ⅰ)当 在圆上运动时,求点 的轨迹 的方程;
(II)设过点 的直线 与轨迹 交于点 ( 不在 轴上),垂直于 的直线交 于点
,与 轴交于点 ,若 ,求点 横坐标的取值范围.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
1 1 1ABC A B C− ABC 1ACC A 1 1BCC B
1, ,CA CB CC
1CA CB CC a= = = 1 1B A BC−
a R∈ ( ) 2 lnf x x a x= −
( ) ( )f x
( ) 1x ≥ ( ) 2 1xf x x≥ +
2 2:( 1) 16C x y+ + = (1,0)F P E FP
Q CP 2 , 0FP EP EQ FP= ⋅ =
P Q Γ
(2,0)A l Γ B B x l l
M y H 0FB FH⋅ = M
一题计分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为
( ).
(Ⅰ)分别写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程;
(II)已知点 ,直线 与曲线 相交于 两点,若 ,求
的值.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
已知函数 .
(Ⅰ)求证: ;
(II)若不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
xOy l
22 2
21 2
x t
y t
= +
= − +
t x
C 2 2 cos( )4a
πρ θ= +
5
6a >
l C
(2, 1)P − l C ,M N 2| | 6 | | | |MN PM PN= a
2( ) | | | 2 3|f x x m x m= + + - -
( ) 2f x ≥
(2) 16f ≤ m
文科数学参考答案
1.C 2.C 3.B 4.B 5.B 6.A 7.A 8.B 9.A 10.C
11.A 12.C
13. 14.3 15. 16.
17.解:(Ⅰ)由题意可画出频率分布直方图如图所示:
前 组频率总和为 ,第 组频率为 ,且
,则由图可知,中位数在区间 .
(Ⅱ)由题意,设从 中选取的车辆为 ,从 中选取的车辆为 ,
则从这 5 辆车中抽取 2 辆的所有情况有 10 种,分别为
,
其中符合条件的有 6 种, ,所以所求事件的概率为 .
18.解:(1)由 得到 ,
即 ,即 ,
又∵ 为三角形内角,∴ ,所以 ,从而 .
(2)
18
1
3
π
3
3 2(0.03 0.05 0.1) 0.36+ + = 4 2 0.15 0.3× =
0.36 0.3 0.5+ > [36,38)
[38,40) , ,A B C [40,42) ,a b
, , , , , , , , ,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab
, , , , ,Aa Ab Ba Bb Ca Cb 3
5
2 cos
cos
a c C
b B
− = 2sin sin cos
sin cos
A C C
B B
− =
( )2sin cos sinA B B C= + 2sin cos sinA B A=
A sin 0A ≠ 1cos 2B =
3B
π=
( )2 3 13 cos sin cos cos 1 sin2 2 2 2 2
C A A C A− = + −
3 1 2 3cos sin2 2 3 2C C = − − +
π
,
∵ ,∴ ,
∴ ,所以 .
所以 的取值范围为 .
19.(Ⅰ)证明:在 内取一点 ,作 ,
因为平面 平面 ,其交线为 ,所以 平面 , ,
同理 ,所以 平面 , ,
同理 ,故 两两垂直.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,三棱锥 的高为 ,
,所以三棱锥 的体积为 .
20.解: Ⅰ 的定义域是 , ,
当 时, , 在 递增,当 时,在 上, ,
递减,
在 上, , 递增,综上,当 时, 在 递增,
时, 在 递减,在 递增;
Ⅱ 恒成立,即 恒成立,设 ,则
, , 的单调性和 相同,
当 时, 在 递增, ,故 在 递增,
3 1 3 1 3cos sin cos4 4 2 2 6 2C C C
π = − + = + +
20 3C
π< < 5 6 6 6C< + ( )f x 0a ≤ ( )f x ( )0,+∞
0a > ( )f x 0, 2
a
,2
a +∞
( ( ) 2) 1xf x x≥ + ( ) ( )2 1 0xf x x− + ≥ ( ) ( ) ( )2 1g x xf x x= − +
( ) 2 ln 1g x x ax x= − − ( ) ( )' 2 1 lng x x a x= − + ( )'g x ( )f x
0a ≤ ( )'g x [ )1,+∞ ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a≥ = − > ( )g x [ )1,+∞
,
当 时, 在 递减,在 递增,
当 时, , 在 递增,
,故 是增函数,故 ,
当 时,在区间 上, 递减,故 ,
故 递减,故 ,不合题意,综上,a 的范围是 .
21 解:(1)由题意知,直线 为线段 的垂直平分线,即:
所以点 的轨迹是以点 为焦点,焦距为 4,长轴为 4 的椭圆,
, , ,故点 的轨迹 的方程为 .
(2)由题意直线 的斜率存在设为 ,于是直线 的方程为 ,
设 ,联立 ,得 .
因为 ,由根与系数的关系得 , ∴ , ,
设 的横坐标为 ,则 , 所在直线方程为
,
令 ,得 ,· 于是 ,
( ) ( )1 0g x g≥ =
0a > ( )'g x 0, 2
a
,2
a +∞
0 2a< ≤ 12 a ≤ ( )'g x [ )1,+∞ ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a≥ = − ≥ ( )g x ( ) ( )1 0g x g≥ = 2a > 1, 2
a
( )'g x ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a< = − < ( )g x ( ) ( )1 0g x g< = ( ],2−∞ EQ FP 4 2CP QC QP QC QF CF= + = + = > =
Q ,C F
2a = 1c = 3b = Q Γ
2 2
14 3
x y+ =
l k l ( )( )2 0y k x k= − ≠
( )1 1,B x y
( )
2 2
2
14 3
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ − + − =
( )1 1,A x y
2
1 2
16 122 3 4
kx k
−= +
2
1 2
8 6
3 4
kx k
−= + 1 2
12
3 4
ky k
−= +
M 0x ( )( )0 0, 2M x k x − MH
( ) ( )0 0
12y k x x xk
− − = − −
0x = 0
1 2Hy k x kk
= + −
( )( )1 1· 1 , · 1, 0HBF HF x y y= − − − =
即 ,
整理得 , ,
∴ .
22.解:(1)将 ( 为参数)消去参数 可得 ,∴直线 的普通方
程为 .
由 ,得 ,
将 代入上式,得 ,
即 ,
∴曲线 的直角坐标方程为 .
(2)将 代入 中,整理得 ,
设 两点对应参数分别为 ,则 ,
∵ ,∴ , 又 ,
∴ ,∴ , ∴ ,即 ,
解得 ,符合题意.∴ .
23.解:(1)因为 ,
所以 . ,即
(2)由已知,
①当 m≥- 时, 等价于 ,即 ,
2
1 1 02 2
8 6 12 11 1 2 03 4 3 4H
k kx y y k x kk k k
− − + = − − + − = + +
( ) ( )
2
0 2 2
9 20 20 11= 1212 1 12 1
kx
k k
+= −
+ + 2 0k ≠ ( )2
1 0,11k
∴ ∈+
0
3 5
4 3x< < 22 2 21 2 x t y t = + = − + t t 3 0x y− − = l 3y x= − 2 2 cos 4a πρ θ = + ( )2 2 cos sinaρ ρ θ θ= − 2 2 2 , cos ,x y x sin yρ ρ θ ρ θ= + = = 2 2 2 2 0x y ax ay+ − + = ( ) ( )2 2 22x a y a a− + + = C ( ) ( )2 2 22x a y a a− + + = 22 2 21 2 x t y t = + = − + 2 2 2 2 0x y ax ay+ − + = 2 2 5 6 0t t a+ + − = ,M N 1 2,t t 1 2 2t t+ = − 1 2 5 6t t a= − 2| | 6MN PM PN= ( )2 1 2 1 26t t t t− = 5 6a >
1 2 0t t < ( )2 1 2 1 26t t t t− = − ( )2 1 2 1 22 0t t t t+ + = ( ) ( )2 2 2 5 6 0a− + − = 1a = 1a = ( ) ( ) ( )2 2f x x m x 2m 3 x m x 2m 3= + + − − ≥ + − − − ( ) ( )22f x m 2m 3 m 1 2 2≥ + + = + + ≥ 2m 2m 3 16+ + ≤ ( )2m 1 14+ ≤ ( ) 2f 2 m 2 2m 1= + + + 1 2 ( )f 2 16≤ 2m 2m 3 16+ + ≤ ( )2m 1 14+ ≤
解得 所以
②当 m