福建省宁德市2020届高三文科数学5月质量检查试卷（有答案Word版）

宁德市 2020 届普通高中毕业班第一次质量检查试卷 文 科 数 学  本试卷共 5 页，满分 150 分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要 认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题 卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1.已知集合 ，则 = A. B. C. D. 2.已知复数 ，其中 是虚数单位，则 A. B. C. D. 3.已知双曲线 的焦距为 ，则其焦点到渐近线的距离为 A. 8 B. 6 C. D. 4 4.设向量 满足 ，则 A. B. C. D. 5.2021 年起，福建省高考将实行“3+1+2”新高考。“3”是统一高考的语文、数学和英语三门； “1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生 从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科 目中，历史和政治均被选择到的概率是 A. B. C. D. 6.已知公比为 的等比数列 的前 项和为 ,等差数列 的前 项和为 ,若有 ，则 A. B. C. D. 7.若实数 满足 ，则 的大小关系是 A. B. C. D. 8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一 百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各 { } { }22 1 3 , 2 0A x x B x x x= + > = − − < A B ( 2,1)− (1,2) ( 1,2)− ( 1,1)− 1 iz = - i 2 1z z + = 1 i2 + 1 i2 - 1 i+ 1 i- 2 2 2: 1 4 x yC b − = 4 5 2 2 ,a b 15, 7+ = - =a b a b × =a b 4 3 2 1 1 4 1 3 1 2 2 3 1− { }na n nS { }nb n nT 3 4 5 6 10a b b a+ + + = 8 8S T+ = 80 40 20 10 , ,x y z 2 3log log 2zx y= = , ,x y z z x y< < x y z< < x z y< < z y x<  ( ( )) 2y f f x= − 0a > 0a > 0a < 0a < 2( )f x x x= + (1, (1))f ,x y 1, 1, 1, y x y y x ≤  + ≥  ≥ − 2z x y= + ABCD π 3 ABCÐ = AC ABC B B¢ B¢ ACD ΔACD G B ACD′ − O G { }na 1 1n na a+ − < { }na { }na 2 2 1 1n na a+ − = 1 1 1 1 n na a+ − = 1 2 1 n n n aa a+ = + 2 1 2 1n na a+ − = { }na 1 1 2 2 2 2 俯视图 侧视图正视图 1 A B C D E M N 每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.(12 分) 的内角 的对边分别为 ，已知 ， . （1）求角 C； （2）延长线段 到点 D，使 ，求 周长的取值范围． 18.(12 分) 如图，矩形 平面 ， 且 ， 分别为 的 中点. （1）证明： 平面 ； （2）求几何体 的体积. 19.(12 分) 某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价 x（单位：元/件）及相应月 销量 y（单位：万件），对近 5 个月的月销售单价 和月销售量 的数据进行了 统计，得到如下数表： 月销售单价 （元/件） 8 8.5 9 9.5 10 月销售量 （万件） 11 10 8 6 5 （1）建立 关于 的回归直线方程； （2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为 7 元/件时，其月销售量达到 14.8 万件，若 由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过 0.5 万件，则 认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？ （3）根据（1）的结果，若该产品成本是 5 元/件，月销售单价 为何值时，公司月利润的预 报值最大？ （注：利润=销售收入-成本）． ΔABC , ,A B C , ,a b c 2 2 cosa b c B+ = 3c = AC CD CB= ABD∆ ABCD ^ BCE 1, 2AB BC BE= = = 2π 3EBCÐ = ,M N ,AB CE / /MN AED A MND- ix ( 1,2,3,4,5)iy i = ix iy y x x 参考公式：回归直线方程 ，其中 ， 参考数据： ， 20. (12 分) 已知抛物线 的焦点为 ， 在抛物线 上，且 . （1）求抛物线 的方程及 的值； （2）若过点 的直线 与 相交于 两点， 为 的中点， 是坐标原点，且 ，求直线 的方程. 21. (12 分) 已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）已知 且 ，若函数 没有零点，求证： ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一个题目计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 中，圆 ，以坐标原点 为极点， 轴正半 轴为极轴，直线 的极坐标方程为 ，直线 交圆 于 两点， 为 中点. （1）求点 轨迹的极坐标方程； （2）若 ，求 的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 在 上恒成立. ˆˆ ˆy bx a= + 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑  a y bx= −  5 1 352i i i x y = =∑ 5 2 1 407.5i i x = =∑ 2: 2C y px= F 1( , )2Q t C 3 2QF = C t (0, )M t l C ,A B N AB O 3AOB MONS SD D= l 2( ) 1( 0)xf x ax e a= - ¹ ( )f x 0a > [1, )x ∈ + ∞ ( )f x 2( 1)( ( ) 1) lnx f x x x− + ≥ xOy 2 2:( 1) ( 1) 1C x y− + − = O x l (0 )2 θ α α π= < < l C ,A B P ,A B P | | | | 3AB OP⋅ = α 11 2 1 2x x m+ + - ³ - R （1）求 的最大值 ； （2）若 均为正数，且 ,求 的取值范围. 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明： 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的 解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则． 2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现 推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给 分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分． 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4.解答题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. A 8. C 9. C 10. D 11. B 12. B 二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算．本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 14． 15． 16．②③④ 三、解答题：本大题 共 6 小题，共 70 分． 17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力，考 查化归与转化思想等．满分 12 分． 解法一：（1）根据余弦定理得 整理得 ，………………………………………………………3 分 ， ， ……………………………………………………………………………5 分 （2）依题意得 为等边三角形，所以 的周长等于 ………………………………………………………………6 分 由正弦定理 ， 所以 ， …………………………………………………………8 分 ………………………………………………………10 分 m M ,a b 1 1a Mb+ =- 2a b- 3 1y x= - 5 6 6 2 2 2 2 2 2 a c ba b c ac + -+ = 2 2 2a b c ab+ − = − 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab + −∴ = = − (0, )C π∈ 2 3C π∴ = BCD∆ ABD∆ 2 3a b+ + 3 2sin sin sin 3 2 a b c A B C= = = = ,2sin 2sinba A B= = 2 4sin 2sina b A B+ = + 4sin 2sin( )3A A π= + − 2 3sin( )6A π= + A B C D E M N H ， ， ， ，……………………………………………………………11 分 所以 的周长的取值范围是 ．………………………………12 分 解法二：（1）根据正弦定理得 ……………………………………………………2 分 ,………3 分 , ， ，…………………………………………………………………4 分 ， ……………………………………………………………………………5 分 （2）同解法一． 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何 体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与 转化思想等．满分 12 分． 解法一：（1）证明：取 中点 ，连接 ……………………………………1 分 ∵ 分别为 的中点， ∴ 为 的中位线 ∴ 且 ……………………2 分 ∵ 为矩形， 为 的中点 ∴ 且 ……………………3 分 ∴四边形 为平行四边形 ∴ ………………………………4 分 , ……………………………………………………5 分 ∴ 平面 …………………………………………………………………6 分 （2）过 作 于 ………………………………………………………………7 分 ∵平面 平面 ， 平面 平面 ， 又 平面 ∴ 平面 ……………………………………9 分 在 中， ∵ 且 ∴ …………………………………………………………………10 分 ……………………………………………………………11 分 ………………………………………………12 分 (0 , )3A π∈ ( , )6 6 2A π π π∴ + ∈ 1sin( ) ( ,1)6 2A π∴ + ∈ 2 ( 3,2 3)a b\ + Î ABD∆ (2 3 , 3 3) 2sin sin 2sin cosA B C B+ = sin sin[ ( )] sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C B Cπ= − + = + = + 2sin cos sinB C B\ =- sin 0B ≠ 1cos 2C∴ = − (0, )C π∈ 2 3C π∴ = ED H ,AH NH ,N H ,EC ED NH ECDD / /NH CD 1 2NH CD= ABCD M AB / /NH AM NH AM= AMNH / /MN AH MN EADË 平面 AH EADÌ 平面 / /MN AED N NF BC^ F ABCD ^ EBC ABCD Ç EBC BC= NF Ì EBC NF ^ ABCD CNFD 2 3EBC πÐ = BE BC= 6 πECBÐ = 1 3 2 2NF CN= = 1 1 2 2AMDS AM ADD = = 1 1 3 3 3 2 2 12A MND D AMNV V- -= = ´ ´ = A B C D E M N F A B C D E M N G A B C D E M N 解法二：（1）取 中点 ，连接 ………………………………………………1 分 在 中， 为中位线， ∴ ……………………………………2 分 ∵ 平面 ， 平面 ∴ 平面 ………………………………3 分 同理， ，∴ ∵ 平面 ， 平面 ∴ 平面 ………………………4 分 又 ∴平面 平面 ……………5 分 ∵ 平面 ∴ 平面 …………………………………………………………………6 分 （2）∵平面 平面 ， 平面 平面 ， 又 ∴ 平面 ∴ ………………………………………………7 分 ∵ 且 为 的中点 ∴ …………………………………………8 分 ∵ ， ， 则 平面 即 平面 …………………………9 分 ∵ 平面 ， ∴ 到平面 的距离 在 中， ∵ 且 ∴ ……………………………………………………………………10 分 ……………………………………………………………11 分 ∴ ……………………………………………12 分 19. 本小题主要考查了回归直线方程,函数等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力， 考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解：（1）因为 ，……………………………………………1 分 …………………………………………………………2 分 所以 ，则 ，……………………4 分 于是 关于 的回归直线方程为 ； ………………………………5 分 （2）当 时， ，则 ， ……………………………………………………7 分 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；…………………………………8 分 （3）令销售利润为 M，则 ………………………9 分 ……………………………………10 分 BE G ,MG NG ABED MG / /MG AE MG Ë EAD AE Ì EAD / /MG EAD / /GN BC / /GN AD GN Ë EAD AD Ì EAD / /GN EAD MG GN G= / /MNG EAD MN Ì MNG / /MN EAD ABCD ^ EBC ABCD Ç EBC BC= AB BC^ AB ^ EBC AB CN^ BE BC= N CE CN BN^ CN BN^ CN AB^ AB BN BÇ = CN ^ ABN CN ^ AMN / /CD AMN D AMN d CN= CNFD 2 3EBC πÐ = 2BE BC= = 3d CN= = 1 1 2 4AMNS AM BND = = 1 1 333 4 12A MND D AMNV V- -= = ´ ´ = 1 (8 8.5 9 9.5 10) 95x = + + + + = 1 (11 10 8 6 5) 85y = + + + + = 2 350 5 9 8 3.2407 5 5 9 ˆb - ´ ´= =-- ´． ( )8 3.2 9 36.ˆ 8a = - - ´ = y x 3.2 36.ˆ 8y x=- + 7x = 3.2 7 36 4.4ˆ .8 1y =- ´ + = 14.8 14.4 0.4 0.5y yÙ - = - = < ( )( )5 3.2 36.8M x x= − − + (5 11.5)x< < 23.2 52.8 184x x= − + − 所以 时， 取最大值．………………………………………………………11 分 所以该新产品单价定为 元公司才能获得最大利润.……………………………12 分 20. 本小题主要考查直线、抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、 推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能 力．满分 12 分． 解：（1） ，………………………………………………………1 分 …………………………………………………………………………………2 分 抛物线 的方程为： .………………………………………………………3 分 将 代入 得 ……………………………………………………4 分 （2）设 ， 显然直线 的斜率存在，设直线 ： ，………………………………5 分 联立 ，消去 得 ，……………………………………6 分 ，得 且 ， ，……………………………………………………………7 分 ， ，即 ，…………………………8 分 是 的中点， ，………………………………………………………9 分 ，整理得 ，………………………10 分 ，解得 ，………………………………………………11 分 直线 的方程为： 或 ……………………………………………12 分 21.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、 创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分 12 分． 解法一：（1） ………………………………………………………………1 分 当 时，令 得 或 ； 令 得 ． ∴函数 的单调递增区间为 和 ， 单调递减区间为 ．……………………………………………………………3 分 当 时，令 得 ； 令 得 或 ． ∴函数 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 和 .………………………………………………5 分 AB 8.25x = M 8.25 3 1 3| | ,2 2 2 2 pQF = \ + = 2=∴ p C xy 42 = 1( , )2Q t 2 4y x= 2t = ),,(),,( 2211 yxByxA 0 0( , ), (0,2)N x y M l l )0(2 ≠+= kkxy    += = 2 42 kxy xy y 04)1(422 =+−− xkxk 2 2Δ 16(1 ) 16 0k k= - - > 2 1 0x > 2x < − '( ) 0f x < 2 0x− < < ( )f x ( , 2)−∞ − (0, )+ ∞ ( 2,0)− 0a < '( ) 0f x > 2 0x− < < '( ) 0f x < 0x > 2x < − ( )f x ( 2,0)− ( , 2)−∞ − (0, )+ ∞ 综上所述, 当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 当 时 ， 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ， 单 调 递 减 区 间 为 和 . （2）函数 在 时无零点，即 在 无解 则 与 在 无交点……………………………………………………6 分 ， 在 上单调递增 ，∴ 则 ………………………………………………………………………………………7 分 由（1）得 在 上单调递增 ……………………………………………………………………8 分 要证 即证 即证 即证 …………………………………………………………………9 分 令 在 时单调递增，………………………………………………………11 分 所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12 分 解法二：（1）同解法一 （2）函数 在 时无零点，即 在 无解 则 与 在 无交点……………………………………………………6 分 ， 在 上单调递增 ，∴ 则 ………………………………………………………………………………………7 分 要证 ， 即证 ， 即证 ，………………………………………………………………………8 分 因为 ， 所以只需证 ， 即证 ，………………………………………………………………………9 分 0a > ( )f x ( , 2)−∞ − (0, )+ ∞ ( 2,0)− 0a < ( )f x ( 2,0)− ( , 2)−∞ − (0, )+ ∞ ( )f x [1, )x ∈ + ∞ 2 1 0xax e - = [1, )+¥ 2( ) xg x x e= 1y a= [1, )+¥ 2'( ) (2 ) xg x x x e= + 2( ) xg x x e= [1, )+¥ min( )g x e= 1 ea < 1a e> ( )f x [1, )+¥ ( ) (1) 1 0f x f ae≥ = − > 2( 1)( ( ) 1) lnx f x x x− + ≥ 2 2( 1) lnxx ax e x x− ≥ ( 1) lnxa x e x− ≥ ( 1) ln 0xa x e x− − ≥ ( ) ( 1) lnxg x a x e x= − − 1'( ) ( 1)x xg x ae a x e x = + − − 1xae x x = − 2 1xax e x −= ( ) 0f x x = > ( )g x∴ [1, )x ∈ + ∞ ( ) (1)g x g∴ ≥ 0= ( )f x [1, )x ∈ + ∞ 2 1 0xax e - = [1, )+¥ 2( ) xg x x e= 1y a= [1, )+¥ 2'( ) (2 ) xg x x x e= + 2( ) xg x x e= [1, )+¥ min( )g x e= 1 ea < 1a e> 2( 1)( ( ) 1) lnx f x x x− + ≥ 2 2( 1) lnxx ax e x x− ≥ ( 1) lnxa x e x− ≥ 11( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x x xa x e x e x e xe −− > − = − ≥ − 1 lnx x− ≥ 1 ln 0x x− − ≥ 令 ，………………………………………………………………10 分 在 时单调递增，………………………………………………………11 分 ， 所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12 分 22．选修 ；坐标系与参数方程 本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查 数形结合思想、化归与转化思想等．满分 10 分． 解法一：（1）圆 的极坐标方程为 ，………………………1 分 将 代入 得： ， 成立， 设点 对应的极径分别为 ， 所以 ，……………………………………………………………3 分 所以 ，…………………………………………………………4 分 所以点 轨迹的极坐标方程为 ， ．…………………………5 分 （2）由（1）得， ……………6 分 ，……………………………………………………………7 分 所以 ， ，………………………………8 分 又 ，所以 或 ，……………………………………………………9 分 即 或 …………………………………………………………………………10 分 解法二： （1）因为 为 中点， 所以 于 ，…………………………………………………………………………1 分 故 的轨迹是以 为直径的圆（在 的内部），………………………………………2 分 其所在圆方程为： ，………………………………………………3 分 即 . 从而点 轨迹的极坐标方程为 ， ．……………………………5 分 （2）由（1）得， ………………6 分 ，……………………………………………………………7 分 令 ，因为 ，所以 ， 则 ， ( ) 1 lng x x x= − − 1 1'( ) 1 0xg x x x −= − = ≥ ( )g x∴ [1, )x ∈ + ∞ ( ) (1) 0g x g∴ ≥ = 4 4− C 2 2 (sin cos ) 1 0ρ ρ θ θ− + + = θ α= 2 2 (sin cos ) 1 0ρ ρ θ θ− + + = 2 2 (sin cos ) 1 0ρ ρ α α− + + = (0 )2 πα< < 24(sin cos ) 4 0α α∆ = + − > , ,A B P 1 2 0, ,ρ ρ ρ 1 2 1 2 2(sin cos ), 1, ρ ρ α α ρ ρ + = +  ⋅ = 1 2 0 sin cos2 ρ ρρ α α+= = + P sin cosρ θ θ= + (0, )2 πθ ∈ 2 1 2 0 1 2 1 2 0| | | | | | | | ( ) 4 | |AB OP ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ⋅ = − ⋅ = + − 24(sin cos ) 4 | sin cos |α α α α= + − ⋅ + 2 sin 2 | sin cos | 3α α α= ⋅ + = 4sin 2 (1 sin 2 ) 3α α+ = (2sin 2 1)(2sin 2 3) 0α α− + = (0, )2 πα ∈ 2 6 πα = 52 6 πα = 12 πα = 5 12 πα = P AB CP AB⊥ P P OC C 2 21 1 1 2 2 2x y   − + − =       2 2 0x y x y+ − − = P sin cosρ θ θ= + (0, )2 πθ ∈ 2 1 2 0 1 2 1 2 0| | | | | | | | ( ) 4 | |AB OP ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ⋅ = − ⋅ = + − 24(sin cos ) 4 | sin cos |α α α α= + − ⋅ + 2 sin 2 | sin cos | 3α α α= ⋅ + = sin cost α α= + (0, )2 πα ∈ (1, 2]t ∈ 2 1 sin 2t α− = 所以 ，所以 ，………………………………………………8 分 即 ，解得 （ 舍去）， 所以 ， 又 ， ， 所以 或 ，……………………………………………………………………9 分 即 或 ．………………………………………………………………………10 分 23．选修 ：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考 查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分 10 分． 解：（1）构造 ， 在 上恒成立， ，…………………………………………………………………………1 分 又 ，………………………………………………………………3 分 ， ，……………………………………………………………………4 分 的最大值 ．………………………………………………………………………5 分 （2）由（1）得 ，故 ． ， ， 或 ．……………………………………………………………………6 分 故 ．……………………………………………7 分 当 时， ， ， 当且仅当 ，即 时取“=”；…………………………………8 分 当 时， ， ， 当且仅当 ，即 时取“=”．…………………………………9 分 22 1 3t t− ⋅ = 2 24( 1) 3t t− ⋅ = 4 24 4 3 0t t− − = 2 3 2t = 2 1 2t = − 2 1sin 2 1 2tα = − = (0, )2 πα ∈ 2 (0, )α π∈ 2 6 πα = 52 6 πα = 12 πα = 5 12 πα = 4 5− ( ) | 1| | 2 1|f x x x= + + −  1( ) | 1| | 2 1| 2f x x x m= + + + ≥ − R ∴ min 1( ) 2f x m≥ − 3 , 1 1( ) 2, 1 2 13 , 2 x x f x x x x x  − ≤ − = − + − < > 1 2 32 01 1 ba b b −∴ = − = >− − 3 2b∴ > 0 1b< < 1 12 2 2 2(1 )1 1a b b bb b- = - - = - +- - 0 1b< < 0 1 1b< − < 12 2 2(1 ) 2 21a b b b- ³ - × =- 12(1 ) 1b b- = - 21 2b = - 3 2b > 11 2b − > 1 12 2( 1) 2 2( 1) 2 21 1a b b bb b é ùê ú- =- - + £- - × =-ê ú- -ë û 12( 1) 1b b- = - 21 2b = + 所以 的取值范围是 ．………………………………10 分2a b- ( , 2 2] [2 2, )-¥ - +¥