2020届扬州市邗江区蒋王中学高三数学3月检测试题

2020 届江苏省扬州市邗江区蒋王中学高三数学 3 月检测试题 (满分 160 分，考试时间 120 分钟） 一、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1 .已知集合 ， ，则 ____. 2.设 i 是虚数单位，复数 的模为 1，则正数 的值为____________． 3.为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图 所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为 1：2：3，第二小组频 数为 12，则全团共抽取人数为_______． (第 3 题图） （第 4 题） 4.根据如图所示的伪代码，则输出 I 的值为______. 5.已知 ， ， ，则下列不等关系正确的是_______． A. B. C. D. 6.甲、乙两人依次从标有数字 1，2，3 三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽 到标有数字 3 的卡片的概率为______. 7.在平面直角坐标亲 中，若双曲线 （ ， ） 离心率为 ，则该 双曲线的渐近线方程为______. 8,在等差数列 中， ，则 的前 项和 =_________． 9. 已知函数 ，若 ，则实数 的值是_______． 10. 若 函 数 ， 若 （ ） 是 偶 函 数 ， 则 的 的 { | 0 2}A x x= < < { | 1}B x x= > A B = i 2i az −= a 3a = 1 6125b = 4log 7c= b a c< < a b c< < b c a< < c a b< < xOy 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 3 2 { }na 62 1 129 += aa { }na 11 11S 2 2 1( ) log ( 1) 1 x a xf x x x  + ≤=  − > ， ， [ (0)] 2f f = a ( ) sin 2 3f x x π = +   ( )y f x ϕ= − 0 2 πϕ< < ϕ =________． 11. 在平面直角坐标系 中，已知直线 l： ，点 ，动点 P 满足 . 若 P 点 到 直 线 l 的 距 离 恒 小 于 8 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ________． 12. 抛物线 与椭圆 有公共的焦点 ，它们的一个交 点为 ，且 轴，则椭圆的离心率为________． 13. 如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为 的一段圆弧 AB 上一点， ，则 的最小值为_______． 14.已知 ， ，且 ，则 的最大值为_______． 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.） 15,（本题满分 14 分）设△ABC 的三内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，已知 a、b、c 成等比数列，且 sinAsinC＝ ．（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）设向量 ＝（cosA， cos2A）， ＝（— ，1），当 • 取最小值时，判断△ABC 的形状． 16. （本题满分 14 分）如图，在斜三棱柱 中，已知 为正三角形，D、 E 分别是 ， 的中点，平面 平面 ， . （1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 . xOy 3 0x y m+ − = ( )3,0A 2 22 7PO PA− = 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F M MF x⊥ 3 π 2A BB C=  PC PA⋅  0a > 0b > 3 112 6a b a b + + ≤ + 3 ab a b+ m 5 12 m 1 1 1ABC A B C− ABC∆ AC 1CC 1 1AAC C ⊥ ABC 1 1A E AC⊥ //DE 1 1AB C 1A E ⊥ BDE 17.（本题满分 15 分）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 离心率为 ，点 是椭圆 上的一个动点，且 面积的最大值为 . （1）求椭圆 的方程；（2）设斜率不为零的直线 与椭圆 的另一个交点为 ，且 的垂直平分线交 轴于点 ，求直线 的斜率. 18.（本题满分 15 分）如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中： ， ， ， 长 1 千米， 长 千米，公园内有一个形状是扇形的 天然湖泊 ，扇形 以 长为半径，弧 为湖岸，其余部分为滩地，B，D 点 是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段 线段 弧 ，其中 Q 在线段 上（异于线段端点）， 与弧 相切于 P 点（异于 弧端点）根据市场行情 ， 段的建造费用是每千米 10 万元，湖岸段弧 的建造 费用是每千米 万元（步行道的宽度不计），设 为 弧度，观光步行道 的建造费用为 万元. C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F 1 2 P C 1 2PF F∆ 3 C 2PF C Q PQ y 1(0, )8T PQ AB CD∥ AB BC⊥ 75DAB∠ = ° AD AB 2 DAE DAE AD DE BQ − QP − PD BC QP DE BQ QP PD ( )20 2 1 3 + PAE∠ θ w （1）求步行道的建造费用 关于 的函数关系式，并求其走义域； （2）当 为何值时，步行道的建造费用最低？ 19.（本题满分 16 分）已知数列 的前 项和记为 ，且 ，数列 是公比为 的等比数列，它的前 项和记为 .若 ，且存在不小于 3 的正整数 、 ，使得 .（1）若 ， ，求 的值；（2）求证：数列 是等差 数列； （3）若 ，是否存在正整数 ， ，使得 ，若存在，求出 ， 的值； 若不存在，请说明理由. 20.（本题满分 16 分）已知函数 ， ， . （1）求函数 的单调增区间； （2）令 ，且函数 有三个彼此不相等的零点 0，m，n，其中 w θ θ { }na n nA ( )1 2 n n n a aA += { }nb q n nB 1 1 0a b= ≠ k m k ma b= 1 1a = 3 5a = 2a { }na 2q = m k 86k mA B= m k ( ) 3 23 2f x x x x= − + ( )g x tx= t R∈ ( ) ( ) xf x ex x ϕ ⋅= ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( )h x. ①若 ，求函数 在 处的切线方程； ②若对 ， 恒成立，求实数 t 的取值范围. 蒋王中学 2020 届高三数学检测（理科附加 3.15） 21. 已知 a、b∈R，若矩阵 M＝[ －1 a b 3 ]所对应的变换把直线 l：2x－y＝3 变换为自身， 求 M－1. 22.已知平面直角坐标系 xOy，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的 极坐标为 ，曲线 C 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程； （Ⅱ）若 Q 为 C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l： （t 为参数）距离的最小 值． 23. 如图，在三棱锥 PABC 中，已知 PA⊥平面 ABC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，D、 m n< 1 2m n= ( )h x x m= [ ],x m n∀ ∈ ( ) 16h x t≤ −E 分别为 PB、PC 的中点．(1) 若 PA＝2，求直线 AE 与 PB 所成角的余弦值； (2) 若平面 ADE⊥平面 PBC，求 PA 的长． 24.已知数列{bn}满足 b1＝1 2， 1 bn＋bn－1＝2(n≥2，n∈N*)． (1) 求 b2，b3，猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明； (2) 设 x＝ ，y＝ ，比较 与 的大小．n nb 1 nb +n xx yy