红岭中学高中部 2019-2020 学年度
第二学期高一第一次在线考试
数学学科试卷
第一部分选择题（共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．下列说法正确的个数为（ ）
①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量 共线的单位向量不唯一．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．为调查参加运动会的 1000 名运动员的年龄情况，从中抽查了 100 名运动员的年龄，就这个问题来说，
下列说法正确的是（ ）
A．1000 名运动员是总体 B．每个运动员是个体
C．抽取的 100 名运动员是样本 D．样本量是 100
3．已知 是虚数单位，若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知两点 ， ，则与向量 同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
5．在 中，已知 ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．对一个容量为 的总体抽取容量为 的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法
a
i z 1zi i= + Z =
1 i− 1 i+ 1 i− − 1 i− +
(5,3)A (2,7)B AB
3 4,5 5
−
3 4,5 5
−
4 3,5 5
−
4 3,5 5
−
ABC 9a = 2 3b = 150c °= c
7 3 8 3 10 2 39
N ( 2)n n ≥抽取样本，在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为 ，某个体第一次被抽中的概率为 ；在
分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则（ ）
A． B． C． D． ，没有关系
7．某工厂对一批元件进行抽样检测．经检测，抽出的元件的长度（单位： ）全部介于 93 至 105 之间．将
抽 出 的 元 件 的 长 度 以 2 为 组 距 分 成 6 组 ： ， ， ， ， ，
，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在 内的元件为合格品，根据频率分布直方图，
估计这批元件的合格率是（ ）
A． B． C． D．
8．若 且 ，则四边形 的形状为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
9．设 为 所在平面内一点， ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．总体由编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取容量为 6 的样本，选
取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列开始，依次向右读取．一行结束后，转至下一行从第一列开始，直到
取足样本，则选出来的第 6 个样本的编号为（ ）
32 04 34 12 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
78 07 65 72 06 02 63 14 07 64 43 01 69 97 28 98
1p 2p
3p
2 1 3p p p< < 1 2 3p p p= = 2 1 3p p p< = 1 2 3, ,p p p
mm
[93,95) [95,97) [97,99) [99,101) [101,103)
[103,105] [97,103)
85.5% 90% 20% 80%
| | | |BC AD= 2BA CD= ABCD
D ABC 3 0CB CD+ =
4 3AC AB AD= − + 4 3AC AB AD= −
4 3AC AB AD= + 4 3AC AB AD= − A．02 B．07 C．14 D．01
11．在四边形 中， ， ，则该四边形的面积为（ ）
A．5 B． C． D．10
12．已知 的内角 所对的边分别为 ， 的面积为 ，且 ，
则其周长为（ ）
A．10 B．9 C．12 D．
第二部分非选择题（共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知下列抽取样本的方式：
①从实数集中逐个抽取 10 个分析奇偶性；
②盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出 1 个零件进行质
量检验后再把它放回盒子里；
③从 20 件玩具中依次抽取 3 件进行质量检验；
④从甲、乙两厂生产的两箱（每箱 15 件）产品中抽取 6 件进行质量检验其中，不是筒单随机抽样的是____
（填序号）．
14．平面向量 满足 ， ， ，则 _____．
15．如上图，太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西 的方
向上，汽车行驶 后，又测得小岛在南偏西 的方向上，则小岛到公路的距离是_____ ．
ABCD (2, 4)AC − (2,1)BD =
2 5 5
ABC , ,A B C , ,a b c ABC
9 3
4 2 cos 2b A a c+ =
6a c+ =
9 3
,a b | | 3a = | | 2b = 1a b⋅ = − | 2 |a b− =
15°
2km 75° km16．若复数 满足 ，则 （ 为虚数单位）的最小值为______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
若复数 满足 （ 为虚数单位），复数 的虚部为 2，且 是实数，求 ．
18．（本小题满分 12 分）
在 中，已知 ， ， ，求 的值．
19．（本小题满分 12 分）
（1）向量 与 的夹角为 且 ， ，求：① ；② ．
（2）已知 ， ．若 为 与 的夹角，求 的值；
20．（本小题满分 12 分）
从红岭中学高一年级的理科素质考试中，随机抽取 70 名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图；
（1）请补全频率分布直方图并估计该校高一学生本次考试的平均分；
z | 3 | 1z i− + 3 2z i+ − i
1z ( )1 2 (1 ) 1z i i i− + + = − i 2z 1 2z z 2z
ABC 4B
π= 6c =
3C
π= , ,A a b
a b 120° | | 4a = | | 2b = a b⋅ ( ) ( 2 )a b a b+ ⋅ −
(1,2)a = (1, 1)b = − θ 2a b+ a b− θ（2）若用分层抽样的方法从分数在 ， ， 中共抽取 26 人，则 ， ，
各抽取多少人？
21．（本小题满分 12 分）
在 以 为 坐 标 原 点 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ， ， ， ， .
（1）若 ，且 ，求点 的坐标；
（2）若 ，当 且 取最大值为 4 时，求 ．
22．（本小题满分 12 分）
在 中， 所对的边分别为 ，且满足
（1）求角 的大小；
（2）若 且 为锐角三角形，求 的取值范围．
[60,70) [70,80) [80,90) [60,70) [70,80)
[80,90)
O (0,1)A ( 1,3)B − (8,0)C ( , )D m n ( )2sin ,IE t tθ
0, 2
πθ ∈
0AB CD⋅ = | | 5 5 | |CD OC= D
AB CE / / 1 4t > 2 sint θ OE
ABC , ,A B C , ,a b c ( )(sin sin ) ( )sina b A B a c C− + = −
B
4b = ABC a c+
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