数学试卷
一、选择题.(每小题 5 分，共计 60 分）
1.设 ,若, ,则( )
A. B. C. D．
2.已知向量 ， ，若 ，则实数 a 的值为
A． B．2 或 C． 或 1 D．
3.已知集合 则 （ ）
A. B. C. D.
4.在 中， ，则 A 为( )
A.60°或 120° B.60° C.30°或 150° D.30°
5.已知 是公比为 q 的等比数列，且 成等差数列，则 q＝( )
A．1 或 B．1 C． D．-2
6.在 中，内角 所对的边分别为 为 的面积， ，
且 成等差数列，则 C 的大小为( )
A． B． C． D．
7.已知 ,则向量 在 方向上的投影为( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
8.在 中，内角 的对边分别为 .若 ,则
的面积为( )
A. B. C. D.
9.记 为等差数列 的前 n 项和，若 ，则 为( )
A.36 B.32 C.28 D.24
10.等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则
,a b R∈ a b>
a b> 1 1
a b
< 2 2a b> 3 3a b>
( ), 2m a= ( )1,1n a= + / /m n ( )
2
3
− 1− 2− 2−
{1,2,3}, { | ( 1)( 2) 0, },A B x x x x Z= = + − < ∈ A B∪ = { }1 { }1,2 { }0,1,2,3 { 1,0,1,2,3}− ABC∆ 2 3 2 2 45a b B= = = ， ， { }na 1 3 2,a a a, 1 2 − 1 2 − ABC△ , ,A B C , , ,a b c S ABC△ ( ) 2 2 2sin SA C b c + = − , ,A B C 3 π 2 3 π 6 π 5 6 π 3, 12b a b → → → = ⋅ = − a → b → ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 3 π, , 1sin sin sin 3 3 a b c A bA B C + + = = =+ + ABC∆ 3 2 3 4 1 2 1 4 nS { }na 2 53, 9a a= = 6S { }na nS ( )( )* 2 1 3 5 2 13 Nn nS a a a a n−= + + + ⋅⋅⋅ + ∈ 1 2 3 8a a a =
（ ）
A．510 B．255 C．127 D．6540
11.已知向量 ，且 ，若 均为正数，则 的最小值是( )
A.24 B.8 C. D.
12.在 中, ,G 为 的重心,H 为 的垂心.则 ( )
A.4 B.5 C.-4 D.-5
二、填空题
13. 三角 所对的边分别是 ，则 = 。
14.在 中，角 所对的边分别为 满足 ， ，且
，则 的周长为 .
15.已知 ,则函数 的最小值为______.
16. 等 比 数 列 的 公 比 为 , 其 前 项 和 的 积 为 , 并 且 满 足 下 面 条 件
, 给 出 下 列 结 论 :① ② ③
的 值 是 中 最 大 的 ;④ 成 立 最 大 的 自 然 数 等 于 198. 其 中 正 确 的 结 论
是:__________.
三、解答题（6 大题，共计 70 分）
17.（10 分）已知平面内三个向量:
（1）若 ,求实数 的值；
（2）设 ,且满足 , ，求 .
k
8S =
( ) ( )3 2 1x y= − = −， ， ，a b //a b x y， 3 2
x y
+
8
3
5
3
ABC△ 7, 8AB AC= = ABC△ ABC△ GH BC⋅ =
ABC∆ A B C， ， 3 4 6，， cosC
ABC△ A B C, , a b c, , 2 2 3 0a c b− + = 5 3
2ABCS =△
60A = ° ABC△
5
4x > 14 4 5y x x
= + −
{ }na q n Tn
99
1 99 100
100
11; 1 0; 01
aa a a a
−> ⋅ − >
3 3a b>
{ } { }= 1,2,3 = 0,1A B，
{ }= 0,1,2,3A B
2
1 1 12a q a a q= + 1 0a ≠ 22 1q q= + 1q = 1
2
−
ABC△ , ,A B C 2B A C Bπ= + = −
3B
π=
( ) 2 2
2sin SA C b c
+ = − 2 2
sinsin ac BB b c
= −
2 2b c ac= + 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + −
2 , 3a c b c= =
2 2 2 2 2 24 3 3cos 2 22 2 3
a b c c c cC ab c c
+ − + −= = =
⋅ ⋅
6C
π=
6
π
解析：
9.答案：A
解析：
10.答案：B
解析：设等比数列 的公比为 q，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 .
故选：B.
11.答案：B
解析：
12.答案：D
解析：因为 G 为 的重心,H 为 的垂心,所以
, 则
13.答案：
解析：
14.答案：
解析： ， 由余弦定理得 .
又 ， ， (b 为边长，故 ).
， ， ，解得 或 (舍
去)，
{ }na
( )( )*
2 1 3 5 2 13 Nn nS a a a a n−= + + + ⋅⋅⋅ + ∈
( ) ( )2 21 1
21 3 11 1
n na aq qq q
⋅ − = ⋅ ⋅ −− −
2q =
3
1 2 3 2 8a a a a= =
2 12, 1a a= =
8
8
1 2 2551 2S
−= =−
ABC△ ABC△ 2 1 1( ) ( )3 2 3AG AB AC AB AC= × + = +
0AH BC⋅ = 1( ) ( ) ( )3CH BC AH AG BC AG BC AB AC AC AB⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − + ⋅ −
2 21 1( ) (49 64) 53 3AB AC= − = × − = −
11
24
−
7 19+
60A = ° ∴ 2 2 2a b c bc= + −
2 2 3 0a c b− + = 2 3 0b bc b∴ − + = 3b c∴ = − 0b ≠
1 sin2ABCS bc A= △
1 3 5 3
2 2 2bc= × × = 10bc∴ = 2 3 10 0c c∴ − − = 5c = 2c = −
， ， 的周长为 .
15.答案：7
解 析 ： 当 时, ,当 且 仅 当 ,即
时取等号,即 的最小值为 7.
16.答案：①②④
解析：①中 ,
所以①正确.
②中 所以②正确.
③中 ,所以③正确.
④中
,所以④正确.
17.答案：(1)因为 ，
又 ，
∴ ,解得 .
(2)∵ , ，
又 , ，
∴ ,
解得 ,或 .
故 或
解析：
2b∴ = 2 2 19a b c bc= + − = ABC∴△ 7 19+
5
4x > 1 14 4 5 5 2 5 74 5 4 5y x xx x
= + = − + + ≥ + =− −
14 5 4 5x x
− = −
3
2x = 14 4 5y x x
= + −
( )( )99 100 1 99 1001 1 0, 1, 1a a a a a− − < > ⋅ >
99 100>1,aa⇒ ( )100
99
1 0,1aq a
< ⇒ = ∈ 2 99 101 100 100 99 1011 1a a a a a a⋅ = < ⇒ ⋅ < 100 99 100 100 100 99, 1T T a a T T= ⋅ < < ⇒ < ( )( ) ( )198 1 2 198 1 198 2 197 99 100T a a a a a a a a a= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ( )99 100 99 1a a= ⋅ × >
( )( ) ( )199 1 2 199 1 199 2 198 99 101 100 1T a a a a a a a a a a= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
*n N∈
2 1nλ > − − *n N∈
( ) 2 1n nφ = − −
1n = max( ) 3nφ = −
3λ > −
ABC△ 1 1 2 1sin 12 2 2 2AB BC ABC BC⋅ ⋅ ∠ = × × × =
所以 .
在 中,由余弦定理,得 ,
即 ,得 .
由正弦定理,得 ,即 ,
所以 .
(2)由题意知, ,
所以 ,
因为 ,
所以 , .
在 中,由正弦定理,得 ,即 ,
解得 .
解析：
21.答案：(1)设等差数列 的公差为 d,根据 ,得 ,所
以
因此数列 的通项公式为 ,由 得
当 时,
当 时, ,且
所以 ,
所以数列 是以 为首项,2 为公比的等比数列
于是
所以数列 的通项公式为 .
(2)由(1)得,
2BC =
ABC△ 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ∠
2 21 2 2 1 2 ( ) 52AC = + − × × × − = 5AC =
sin sin
BC AC
CAB ABC
=∠ ∠
2 5
3πsin sin 4
CAB
=∠
5sin 5CAB∠ =
90CAB∠ = °
2 1 2 5cos 1 sin 1 5 5CAB CAB∠ = − ∠ = − =
AB AD⊥
90DAC CAB∠ + ∠ = ° 2 5sin cos 5DAC CAB∠ = ∠ =
ACD△
sin sin
AC CD
ADC DAC
=∠ ∠
5
1 2 5
2 5
CD=
4CD =
{ }na 2 3 2 320,7 8a S S a+ = = 1 14 4 20,2 3a d a d+ = =
1 3, 2a d= =
{ }na 2 1na n= + 12
n
n
T n b
+ = − 2 2n nT b n= − −
1n = 1 1 12 2 1, 3b b b= − − =
2n ≥ 1 12 2 ( 1)n nT b n− −= − − − 1m n nT T b−− =
12 2 [2 2 ( 1)]n n nb b n b n−= − − − − − − 1 1
1
12 1, 1 2( 1), 21
n
n n n n
n
bb b b b b− −
−
+= + + = + =+
{ 1}nb + 1 1 3 1 4b + = + =
1 11 4 2 2n n
nb − ++ = × =
{ }nb 12 1n
nb += −
1 12 1 2 1 2 2n n
n n nc a b n n+ += + = + + − = +
数列 的前 n 项和为
.
解析：
22.答案：（1）依题意，根据 前 n 年的总收入﹣前 n 年的总支出﹣投资额 72 万元可得
由 ，即
解得 由于 ，故从第三年开始赢利．
（2）年平均纯利润
当且仅当 时等号成立，此时年平均纯利润最大值为 16 万元，
即第 6 年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值 16 万元．
解析：
{ }nc
1 2 3 nc c c c+ + + +
2 3 4 12 2 4 2 6 2 2 2nn += + + + + + + + +
2 3 4 1(2 4 6 2 ) (2 2 2 2 )nn += + + + + + + + + +
2(2 2 ) 2 (1 2 )
2 1 2
nn n+ −= + −
2 22 4n n n+= + + −
( )f n =
2( 1)50 [12 4] 72 2 40 722
n nf n n n n n
−= + × − = − + −（ ） ﹣
0f n（ ）＞ 22 40 72 0n n+﹣ ﹣ ＞
2 18n＜ ＜ n N+∈
( ) 3640 2( )f n nn n
= − + 36 12n n
+ ≥∵ 3640 2( ) 16n n
− + ≤∴
( ) 16f n
n
≤∴ 6n =
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