安徽省合肥市2019-2020高二数学下学期开学试卷（含答案Word版）

高二数学 考试时间：120 分钟 满分 150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个正确答案，请把正 确答案涂在答题卡上） 1. 直线 的方程为 ，则（ ） A.直线 过点 ，斜率为 B. 直线 过点 ，斜率为 C. 直线 过点 ，斜率为 D. 直线 过点 ，斜率为 2．双曲线 的离心率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间两点 ,则 间的距离是（ ） A． B． C． D． 5. 双曲线 的一条渐近线的方程为( ) A. B. C. D. 6. 已知圆 与圆 关于直线 对称 ，则直线 的方 程是（ ） A. B. C. D. 7.已知圆 ，圆 ，则圆 和圆 的 位置关系为（ ） A.相切 B.内含 C.外离 D.相交 8. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.下列命题是真命题的是（ ） l 2 2( 1)y x+ = − l (2, 2)− 1 2 l ( 2,2)− 1 2 l (1, 2)− 2 l ( 1,2)− 2 2 2 14 5 x y− = 5 2 3 2 2 9 4 3 4 5 6 (2, 1,3), ( 4,2, 3)A B− − − A B、 7 8 9 10 2 29 4 36 0x y− + = 9 4 0x y− = 4 9 0x y− = 3 2 0x y+ = 2 3 0x y− = 2 2( 7) ( 4) 9x y− + + = 2 2( 5) ( 6) 9x y+ + − = l l 01165 =−+ yx 0156 =−− yx 01156 =−+ yx 0165 =+− yx 2 2 1 : 2 3 1 0C x y x y+ + + + = 2 2 2 : 4 3 36 0C x y x y+ + − − = 1C 2C 1 2m = − 2( 1) 1 0m x y− − + = 2 ( 1) 1 0x m y+ − − = A.“若 ,则 ”的逆命题 B.“若 ，则 ”的否定 C. “若 都是偶数，则 是偶数”的否命题 D. “若函数 都是 R 上的奇函数，则 是 R 上的奇函数”的逆否命题 10.已知抛物线 焦点为 ，直线 过点 与抛物线交于两点 ，与 轴交 于 ,若 ，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 11.已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面 ④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数为 A. B. C. D. 12.已知正方形 的边长为 ， 分别为边 上的点，且 .将 分别沿 和 折起，使点 和 重合于点 ，则三棱锥 的外接 球表面积为（ ） A. 26 B. 13 C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.命题“ ”的否定为： . 14.焦点在 轴上，离心率 ，且过 的椭圆的标准方程为 . 15.已知定点 ，点 在圆 上运动，则线段 中点 的轨迹方程 是 . 16.已知 ， ，点 在圆 上运动，则 的最 小值是 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分）如图，正方体 中 (1)求证： (2)求证： 平面 >a b 2 2>a b α β= sin sinα β= ,a b +a b ( ), ( )f x g x ( ) ( )+f x g x 2 2 ( 0)y px p= > F l F ,A B y (0, )2 pM | | 8AB = 2y = − 1y = − 2x = − 1x = − 0 1 2 3 ABCD 4 ,E F ,AB BC 3AE BF= = ,AED CFD∆ ∆ ED FD A C P P EFD− π π 104 26 3 π 26 26 3 π 2 0 0 0, 1 0x R x x∃ ∈ − − ≤ x 1 2e = (2 2, 3) )0,3(B A 4)1( 22 =++ yx AB M ( 3,0)A − (3,0)B P 4)4()3( 22 =−+− yx 22 PBPA + 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AC DB⊥ 1DB ⊥ 1ACD 18. （本小题满分 10 分） 设抛物线的顶点为 ，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点 ，经过抛 物线上一点 垂直于对称轴的直线和对称轴交于点 ，设 ， ， ， 求证： 成等比数列. 19. （本小题满分 12 分） 已知 的顶点 ，直线 的方程为 ， 边上的高 所在直 线的 方程为 （1）求顶点 和 的坐标； （2）求 外接圆的一般方程. 20. （本小题满分 12 分） 已知点 是椭圆 ： 上两点. （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 的斜率为 1，直线 与圆 相切，且与椭圆 交于点 ，求线段 的长. 21. （本小题满分 12 分） 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， 侧 面 PAB 为 等 边 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 ABCD ， ， , E 是 PD 的中点． (1)证明：直线 ∥平面 ； (2) 若 的面积为 ，求四棱锥 的体积 ． O ,B C P M | |BC a= | |MP b= | |OM c= , ,a b c ABC∆ C(2, -8) AB 2 11y x= − + AC BH 3 2 0x y+ + = A B ABC∆ 1 2 1 2 2 2( 3, ), ( , )2 3 3P P C 2 2 2 2 1x y a b + = C l l 2 2 1x y+ = C ,A B AB P ABCD− 1 2AB BC AD= = 090BAD ABC∠ = ∠ = CE PAB PCD∆ 15 P ABCD− P ABCDV − 22. （本小题满分 12 分）已知抛物线 ： ，直线 : 与 轴交于点 ， 与抛物线 的准线交于点 ，过点 作 轴的平行线交抛物线 于点 . （1）求 的面积； （2）过 的直线交抛物线 于 两点，设 ， ，当 时， 求 的取值范围. C 2 6y x= l 2 2 3 3 0x y+ − = x F C M M x C N FMN∆ F C ,A B AF FBλ=  3( ,0)2D − 1[ ,3]2 λ ∈ DA DB⋅  数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C C B B A D D C A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 15. 16.36 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。） 17.证明：(1)连结 、 平面 ， 平面 ………………………………2 分 又 ， ， 平面 平面 ，又 平面 …………4 分 ………………………………6 分 (2)由 ，即 同理可得 ，……………………9 分 又 ， 平面 平面 ………………………………12 分 （其他解法参照赋分） 18. 证明：以抛物线的顶点为 坐标原点，对称轴为 轴，建立如图所示 的平面直角坐标系， ………………………………2 分 设抛物线方程为 ，则焦点 ，…4 分 ∵ 轴，∴ …………………6 分 ∴ ………………………………7 分 又∵ 轴于点 ， ， ， ∴ ，………………………………8 分 ∵ 在抛物线上， ∴ ， ………………………………9 分 ∴ 即 成等比数列. ………………………………10 分. （其他解法参照赋分） 19. 解：（1）由 可得顶点 ,………………………………1 分 又因为 得， ………………………………2 分 所以设 的方程为 ， ………………………………3 分 将 代入得 ………………………………4 2, 1 0x R x x∀ ∈ − − > 2 2 112 9 x y+ = 2 2( 1) 1x y− + = BD 1 1B D 1DD ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD 1DD∴ ⊥ AC AC BD⊥ 1BD DD D∩ = 1BD DD ⊂、 1 1DBB D AC∴ ⊥ 1 1DBB D 1DB ⊂ 1 1DBB D 1AC DB∴ ⊥ 1AC DB⊥ 1DB AC⊥ 1 1DB AD⊥ 1AD AC A∩ = 1,AD AC ⊂ 1ACD 1DB∴ ⊥ 1ACD O x 2 2 ( 0)y px p= > ( ,0)2 pF BC ⊥ x ( , ), ( , )2 2 p pB p C p− | | 2BC p a= = PM ⊥ x M | |MP b= | |OM c= ( , ) ( , )P c b c b−或 P 2 2b pc= 2b ac= , ,a b c 2 11 3 2 0 y x x y = − +  + + = (7, 3)B − AC BH⊥ 1 3BHk = − AC 3y x b= + C(2, -8) 14b=− F P M C B O y x C1 B1 D1 A1 D C BA 由 可得顶点为 ………………………………5 分 所以 和 的坐标分别为 和 ………………………………6 分 （2）设 的外接圆方程为 ，…………………7 分 将 、 和 三点的坐标分 别代入得 则有 ………………………………11 分 所以 的外接圆的一般方程为 .………………12 分. （其他解法参照赋分） 20. 解：（1）设椭圆 的方程为： ， ………………………………1 分 点 是椭圆 ： 上两点， 则 ………………………………3 分 解得： ，………………………………5 分 故椭圆 的方程为： .………………………………6 分 （ 2 ） ∵ 直 线 的 斜 率 为 1 ， 故 设 直 线 的 方 程 为 ： 即 ， ………………………… ……7 分 ∵ 直 线 与 圆 相 切 ， ∴ ， ………………………………8 分 由 ，即 ……………… 9 分 ∴ ………………………………10 分 ∴ . ………………………………12 分 （其他解法参照赋分） 2 11 3 14 y x y x = − +  = − A( 5, 1) A B ( 5, 1) ( 7, - 3) ABC∆ 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = A( 5, 1) B(7, -3) C(2, -8) 5 26 0 7 3 58 0 2 8 68 0 D E F D E F D E F + + + =  − + + =  − + + = 4 6 12 D E F = −  =  = − ABC∆ 2 2 4 6 12 0x y x y+ − + − = C 2 2 1mx ny+ = 1 2 1 2 2 2( 3, ), ( , )2 3 3P P C 2 2 1mx ny+ = 13 14 4 8 19 9 m n m n  + =  + = 1 , 14m n= = C 2 2 14 x y+ = l l y x m= + 0x y m− + = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y l 2 2 1x y+ = 2| | 1 2 1 1 m m= ⇒ = + 2 22 2 5 8 4 4 0 14 y x m x mx mx y = + ⇒ + + − = + = 25 8 4 0x mx+ + = 1 2 1 2 8 5 4 5 mx x x x  + = −  = 2 2 1 2 4 4 5 4 6| | 1 | | 2 5 5 mAB k x x −= + − = ⋅ = 21. 解：(1)取 的中点 ，连 ， 是 的中点, ， ………………………………2 分 又 四边形 是平行四边形…………………………4 分 ∥ 又 平面 ， 平面 ………………5 分 ∥平面 ………………………6 分 (2)在平面 内作 于 ，不妨设 ，则 由 是等边三角形，则 ， 为 的中点， ………………………………7 分 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 又 ， ， 、 平面 ； ， 平面 、 平面 ； 平面 ………………………………8 分 ， ………………………………9 分 ， ………………………………10 分 取 的中点 ，连 ，可得 为等腰直角三角形， ，则 ， ， ，即 ………………………………11 分 . ………………………………12 分 （其他解法参照赋分） 22. 解：抛物线 ： 的焦点为 ，准线为直线 ，……1 分 又直线 : 与 轴交于点 ，……2 分 ∴ 的焦点为 ， ……3 分 由 已 知 和 抛 物 线 定 义 得 ， 且 ， ， ……4 分 ∴ ， ……5 分 ∴ 的面积 .…………………6 分 （2）由（1）知，抛物线 的方程为 ，设 ， PA F FE FB、 E PD ∴ FE //= 1 2AD BC //= 1 2AD ∴ FE //= BC ∴ EFBC CE∴ BF CE ⊄ PAB BF ⊂ PAB ∴ CE PAB PAB PO AB⊥ O 1 22AB BC AD x= = = 4AD x= PAB∆ 2PA PB x= = O AB 3PO x=  PAB ⊥ ABCD PAB ∩ ABCD AB= PO ⊂ PAB BC AB⊥ AD AB⊥ BC AD ⊂ ABCD PO AB⊥ PO ⊂ PAB ∴ BC AD ⊥ PAB PO ⊥ ABCD ∴ BC PB⊥ AD ⊥ PA ∴ 2 2PC x= 2 5PD x= AD M CM CMD∆ 090CMD∠ = ∴ 2CM MD x= = 2 2CD x= PC CD= 3CE x= ∴ 21 15 152PCDS PD CE x∆ = ⋅ = = 1x = ∴ 1 1 1 1 1( ) 2(2 4) 3 2 33 3 2 3 2P ABCD ABCDV S PO AB BC AD PO− = ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = C 2 6y x= 3( ,0)2 3 2x = − l 2 2 3 3 0x y+ − = x 3( ,0)2F 2 6y x= 3( ,0)2F NM NF= 30NMF∠ =  3 1( , 3), ( , 3)2 2M N− 120 , 2MNF MN∠ = = FMN∆ 1 sin120 32S MN NF= ⋅ = C 2 6y x= 2 2 1 2 1 2( , ), ( , )6 6 y yA y B y M F P B C DA E 由 得 ，…………8 分 不妨设 ，故 ,………………………………9 分 ∴   ∴ , ………………………………11 分 ∴当 时， 最小为 0；当 时， 最大为 3， 即 的取值范围是 .………………………………12 分 （其他解法参照赋分） AF FBλ=  1 22 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 3( , ) ( , ) 3 32 6 6 2 ( )2 6 6 2 y yy yy y y y λ λ λ − =− − = − ⇒  − = − 2 0y > 2 1 3 , 3y y λ λ = = − 1 2 3 3,2 2x x λ λ= = 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 9( , ) ( , ) ( )2 2 2 4DA DB x y x y x x x x y y⋅ = + ⋅ + = + + + +  9 1 9( )4 2 λ λ= + − 1[ ,3]2 λ ∈ 1λ = DA DB⋅  3λ = DA DB⋅  DA DB⋅  [0,3]