高二数学试卷（文）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题
卡上，并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书
写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
4.满分 150 分，考试用时 120 分钟。
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．已知复数满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ，则“ ”是“函数 的图象恒在 轴上方”
的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知命题 对 ， ， 成立，则 在 上
为增函数；命题 ， ，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知具有线性相关关系的两个变量 ， 之间的一组数据如下：
0 1 2 3 4
( )1 i+ z = 2i z =
2 1 2
2
1
2
(0,1),x∀ ∈ 2 0x x− < 0 (0,1),x∃ ∉ 2 0 0 0x x− ≥ 0 (0,1),x∃ ∈ 2 0 0 0x x− ≥ 0 (0,1),x∀ ∉ 2 0 0 0x x− < 0 (0,1),x∀ ∈ 2 0 0 0x x− ≥ a b c R∈、、 2 4 0b ac− < 2( )f x ax bx c= + + x :p 1x∀ ( )2 1 2x R x x∈ ≠ ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x − >− ( )f x ( )0, ∞+
0:q x R∃ ∈ 2
0 02 1 0x x− + < p q∧ p q∨ ( )p q¬ ∨ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬
2.2 4.3 4.8 6.7
且回归方程是 ，则 （ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
6．执行如图所示的程序框图，则输出的 值是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （α 为参数）.若以射线 Ox
为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为（ ）
A．ρ＝sinθ B．ρ＝2sinθ C．ρ＝cosθ D．ρ＝2cosθ
8． 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则
的面积为
A． B． C． D．
9．春节过后，甲、乙、丙三人谈论到有关 部电影 ， ， 的情况.
甲说：我没有看过电影 ，但是有 部电影我们三个都看过；
乙说：三部电影中有 部电影我们三人中只有一人看过；
丙说：我和甲看的电影有 部相同，有 部不同.
假如他们都说的是真话，则由此可判断三部电影中乙看过的部数是（ ）
6.295.0 +=
∧
xy =t
n
5 7 9 11
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
O F 2: 4C y x= P C 4PF =
POF
2 3 2 3
3 A B C
B 1
1
1 1
A． 部 B． 部 C． 部 D． 部或 部
10．若函数 在区间 上单调递增，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．已知 ， 是双曲线 （ ， ）的左、右焦点，点 是双曲线上
第二象限内一点，且直线 与双曲线的一条渐近线 平行， 的周长为 ，则
该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
12．已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若 ， ，则
不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．直线 （ 为参数）的倾斜角为_________
14．求曲线 在点 处的切线方程是________.
15．已知函数 ， ，若任意 ，存在 ，
使 ，则实数的取值范围是__________．
16．椭圆 的右焦点为 ，直线 与 相交于 、
两点.若 ，则椭圆 的离心率为______.
三、解答题（共 70 分，17 题 10 分，其余每题 12 分）
17．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 P 的
极坐标为 ，直线 l 的极坐标方程为 ，且点 P 在直线 l 上.
（1）求 的值及直线 l 的直角坐标方程；
1 2 3 1 2
( ) ( )sinxf x e x a= + ,2 2
π π −
)2, +∞ [ )1,+∞ ( )1,+∞ ( )2 ,− +∞
1F 2F
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > A
1A F by xa
= 1 2AFF∆ 9a
5 2 3
R (f x） '( )f x ' ( ) ( ) 3f x f x− < − (0) 4f = ( ) e 3xf x > +
( ,1)−∞ ( ,0)−∞ (0, )+∞ (1, )+∞
1 70{
2 70
x tsin
y tcos
= +
= +
t
3 23 1y x x= − + ( )1, 1−
1( ) 1f x x x
= − +
2( ) 2 4g x x ax= − + [ ]1 0,1x ∈ [ ]2 1,2x ∈
( ) ( )1 2f x g x≥
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > ( ),0F c 2 2 0x y− = C A
B 0AF BF⋅ = C
2, 4
π
a=− )4cos(
πθρ
a
（2）曲线 的极坐标方程为 .若 与 交于 两点，求 的
值.
18．为了调查某大学学生的某天上网的时间，随机对 名男生和 名女生进行了不记名
的问卷调查.得到了如下的统计结果：
表 1：男生上网时间与频数分布表
上网时间（分
钟）
人数
表 2：女生上网时间与频数分布表
上网时间（分
钟）
人数
（1）用分层抽样在 选取 人，再随机抽取 人，求抽取的 人都是女生的概率；
（2）完成下面的 列联表，并回答能否有 的把握认为“大学生上网时间与性别有
关”？
上网时间少于 分钟 上网时间不少于 分钟 合计
男生
女生
合计
附：
2C 2sin 4cosρ θ θ= 1C 2C ,A B
1 1
PA PB
+
100 100
[ )30,40 [ )40,50 [ )50,60 [ )60,70 [ ]70,80
5 25 30 25 15
[ )30,40 [ )40,50 [ )50,60 [ )60,70 [ ]70,80
10 20 40 20 10
[ )30,40 6 2 2
2 2× 90%
60 60
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
19．已知一动圆与圆 ： 外切，且与圆 ： 内切.
（1）求动圆圆心 的轨迹方程 ；
（2）过点 能否作一条直线 与 交于 ， 两点，且点 是线段 的中点，若
存在，求出直线 方程；若不存在，说明理由.
20．已知函数 .
(1)求曲线 在点(0， )处的切线方程；
(2)证明: 对 x∈(0，+∞)恒成立.
21．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 的长轴长为 4.
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，是否存在实数 使得以线段
22．已知函数 ， ，其中 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若存在 ，使得不等式 成立，求的取值范围.
( )2
0P K k≥ 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
1C ( )2 23 9x y+ + = 2C ( )2 23 1x y− + =
P C
( )4,1Q l C A B Q AB
l
( ) sinxf x e x= +
( )y f x= (0)f
( ) cosf x x＞
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 3
2
C
C
: 3l y kx= + C ,A B k AB
( ) ( ) 22 1 lnf x ax a x x
= − + − ( ) 22 lng x a x x
= − − a R∈
0a > ( )f x
21 ,x ee
∈
( ) ( )f x g x≥
参考答案
1．A
【详解】由题可知：
由 ，所以
所以
2．B
【详解】 “全称命题”的否定一定是“特称命题”，
命题“ ”的否定是 ，
3．D
【详解】当 时，
函数 图象与 轴没有交点，
当 时， 图像恒在 轴下方，所以是不充分条件；
当函数 的图象恒在 轴上方，
取 ，满足要求，此时 ，
因此不一定能得到 ，所以是不必要条件；
4．B
【详解】命题 当 时,因为 故 ；当 时,因
为 故 ；故 随 的增大而增大.故命题 为真.
命题 ,因为 .故命题 为假命题.
故 为真命题.
5．C
【解析】 由题意得，根据表中的数据，
( )
( )( )
2
2
2 12 2 2
1 1 1 1
i ii i iz i i i i
− −= = =+ + − −
2 1i = − 1z i= +
2 21 1 2z = + =
∴ (0,1),x∀ ∈ 2 0x x− < 0 (0,1),x∃ ∈ 2 0 0 0x x− ≥ 2 4 0b ac− < 2( )f x ax bx c= + + x 0a< ( )f x x 2( )f x ax bx c= + + x 0, 0a b c= = > 2 4 0b ac− =
2 4 0b ac− < :p 1 2x x< ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x − >− ( ) ( )1 2 0f x f x− < 1 2x x>
( ) ( )1 2
1 2
0f x f x
x x
− >− ( ) ( )1 2 0f x f x− > ( )f x x p
q ( )22
0 0 02 1 1 0x x x −− + = ≥ q
p q∨
可知 ，且 ，
所以 ，解得 ，故选 C.
6．C
【详解】执行如图所示的程序框图如下：
不成立， ， ；
不成立， ， ；
不成立， ， ；
不成立， ， .
成立，跳出循环体，输出 的值为 ，故选 C.
7．D【解析】
由 （ 为参数）得曲线 普通方程为 ，
又由 ，可得曲线 的极坐标方程为 ，故选 D．
8．B
【详解】由 可得抛物线的焦点 F(1,0),准线方程为 ,
如图:过点 P 作准线 的垂线,垂足为 ,根据抛物线的定义可知 PM=PF=4,
设 ,则 ,解得 ,将 代入 可得 ,
所以△ 的面积为 = .
40 9S = ≥ 1 1S 1 3 3
= =× 1 2 3n = + =
1 4
3 9S = ≥ 1 1 2
3 3 5 5S = + =× 3 2 5n = + =
2 4
5 9S = ≥ 2 1 3
5 5 7 7S = + =× 5 2 7n = + =
3 4
7 9S = ≥ 3 1 4
7 7 9 9S = + =× 7 2 9n = + =
4 4
9 9S = ≥ n 9
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α C 2 2( 1) 1x y− + =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= C 2 cosρ θ=
2 4y x= 1x = −
1x = − M
( , )P x y ( 1) 4x − − = 3x = 3x = 2 4y x= 2 3y = ±
POF 1 | |2 y OF⋅ 1 2 3 1 32
× × =
.
9．B
【详解】由甲丙的描述可知,丙和甲看的电影有 部相同,有 部不同,且甲没有看过电影 ,故
甲看过两部电影,即 A,C.
又丙和甲看的电影有 部相同,有 部不同,故丙必看过电影 .因为题中没有给出关于 A,C 的
特殊描述,故可设丙看过电影 A, .
又甲说有 部电影我们三个都看过,故则此为 A.即乙必看过 A.
又三部电影中有 部电影三人中只有一人看过；故乙必看过 B,C 其中一部.
故乙看过 2 部.
10．B
【详解】由题意得：
在 上单调递增 在 上恒成立
又 在 上恒成立
当 时，
，解得：
11．A
【详解】由题意知 ， ，
解得 ， ，
1 1 B
1 1 B
B
1
1
( ) ( )sin cos 2 sin 4
x x xf x e x a e x e x a
π ′ = + + = + +
( )f x ,2 2
π π −
( ) 0f x′∴ ≥ ,2 2
π π −
0xe > 2sin 04x a
π ∴ + + ≥ ,2 2
π π −
,2 2x
π π ∈ −
3,4 4 4x
π π π + ∈ −
2sin ,14 2x
π ∴ + ∈ −
(2sin 1 , 24x a a a
π ∴ + + ∈ − + + 1 0a∴− + ≥ [ )1,a∈ +∞
2 1 2AF AF a− = 2 1 9 2AF AF a c+ = −
2
11 2
2
a cAF
−= 1
7 2
2
a cAF
−=
直线 与 平行，则 ，得 ，
，
化简得 ，即 ，解得 .
12．B
【解析】不等式 得 ，
所以 在 R 上是减函数，因为 .
13．
详解：直线 的普通方程为：y-2=（x-1）cot70°，直线的斜率为：
cot70°=tan20°．
所以直线的倾斜角为：20°．
故答案为：20°．
14．
【解析】因为 ，所以 ，则曲线 在点 处的
切线的斜率为 ，即所求切线方程为 ，即 .
15．
【详解】解：∵ ， ，
，
∴ 在 上单调递增，
；
根据题意可知存在 ，使得 .
即 能成立，
1A F by xa
= 1 2tan bAF F a
∠ = 1 2cos aAF F c
∠ =
2 22
1 2
1 2
1
4cos 2 2
AF c AFaAFF c AF c
+ −∠ = = ⋅
2 22 8 0c ac a+ − = 2 2 8 0e e+ − = 2e =
( ) 3xf x e> + ( ) 3 ( ) 31 1x x x
f x f x
e e e
−> + ∴ >
( ) 3 ( ) ( ) 3( ) ( ) 0x x
f x f x f xg x g xe e
′− − += ∴ = ∴ < 20 1 70{ 2 70 x tsin y tcos = + = + 3 2y x= − + 3 23 1y x x= − + 23 6y x x′= − 3 23 1y x x= − + ( )1, 1− 1| 3xk y =′= =− 1 3( 1)y x= = − − 3 2 0x y+ − = 9,4 +∞ 1( ) 1f x x x = − + [ ]0,1x∈ 2 1( ) 1 0( 1)f x x ′∴ = + >+
( )f x [ ]0,1
m in( ) (0) 1f x f∴ = = −
[ ]1,2x∈ 2( ) 2 4 1g x x ax= − + ≤ −
5
2 2
xa x
≥ +
令 ，则要使 在 能成立，
只需使 ，
又 在 上恒成立
则函数 在 上单调递减，
，
，
即实数的取值范围是 .
16．
【详解】设 ， ，即 ， ，则
，即 ①，又 ， ②，
由①②得 ，即 ， 或 （舍去），解得
.
17．（1）a＝ ，l 的直角坐标方程为 x＋y－2＝0（2）
解析：（1）由点 P 在直线 ρcos ＝a 上，可得 a＝ ，
所以直线 l 的方程可化为 ρcosθ＋ρsinθ＝2，从而 l 的直角坐标方程为 x＋y－2＝0.
（2）由 ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，
曲线 的极坐标方程为 转化为直角坐标方程为
5( ) 2 2
xh x x
= + ( )a h x≥ [ ]1,2x∈
min( )a h x≥
2
'
2 2
5 5( ) 02 2 2
1 xh x x x
−= − = < [ ]1,2x∈ 5( ) 2 2 xh x x = + [ ]1,2x∈ min 9( ) (2) 4h x h∴ = = 9 4a∴ ≥ 9,4 +∞ 3 2 ( )0 02 2 ,A y y 0AF BF⋅ = AF BF⊥ OF OA∴ = 2 2 2 0 08y y c+ = 2 2 09y c= 2 2 0 0 2 2 8 1y y a b + = 2 2 2 0 2 28 a by b a ∴ = + 4 2 2 48 18 9 0c a c a− + = 4 28 18 9 0e e− + = 2 3 4e = 2 3 2e = 3 2e = 2 2 6 3 2, 4 π 4 πθ − 2 2C 2sin 4cosρ θ θ= 2 4y x=
把曲线 的参数方程为 （ 为参数），代入 得 ，
设 ， 是 对应的参数，则 ，
所以
18．（1） ；（2）详见解析.
【详解】（1）用分层抽样在[30，40）选取 6 人，男生有 2 人记为 A、B，女生有 4 人，记为
c、d、e、f；
再从这 6 人中随机抽取 2 人，基本事件为
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef 共 15 种；
抽取的 2 人都是女生的事件为 cd、ce、cf、de、df、ef 共 6 种，
故所求的概率为 ；
（2）填写 2×2 列联表如下，
上网时间少于 分钟 上网时间不少于 分钟 合计
男生
女生
合计
，
.
没有 的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.
19．(1) (2) 存在，
1C
21 2
21 2
x t
y t
= −
= +
t 2 4y x= 2 6 2 6 0t t+ − =
1t 2t ,A B 1 1 6 2t t+ =− 1 2 6t t⋅ =−
1 2
1 2
1 1 PA PB t t
PA PB PA PB t t
+ −+ = =⋅ ⋅
( )2
1 2 1 2
1 2
4 96 2 6
6 3
t t t t
t t
+ − ⋅
= = =⋅
2
5
6 2
15 5P = =
60 60
60 40 100
70 30 100
130 70 200
( )2
2 200 1800 2800 200 2.20100 100 130 70 91K
× −= = ≈× × ×
2 2.20 2.706K ≈ > cos 0xe x− >
sin 0x > ( ) sin cos 0xg x e x x= + − >
2x
π≥ 2xe e> > sin cos 2 sin 2, 24x x x
π − = − ∈ −
( ) sin cos 2 2sin 04
xg x e x x x
π = + − > + − >
C 2 4a = 2a =
又 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．
(2)存在实数 使得以线段 为直径的圆恰好经过坐标原点 ．
证明：设 ， ，
由 ，得 ，
因为直线 与椭圆 交于 两点，
所以 ，所以 或 ，
所以 ， ，
所以
因为以线段 为直径的圆恰好经过坐标原点 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以存在实数 使得以线段 为直径的圆恰好经过坐标原点 ．
22．（1）见解析；（2） .
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
.
当 时，令 ，可得 或 .
3
2
ce a
= = 3c= 2 2 2 1b a c= − =
C
2
2 14
x y+ =
k AB O
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2
2
3
14
y kx
x y
= +
+ =
2 2(4 1) 8 3 8 0k x kx+ + + =
: 3l y kx= + C ,A B
2 2 2(8 3 ) 4 (4 1) 8 64 32 0k k k∆= − × + × = − > 2
2k < − 2 2k >
1 2 2
8 3
4 1
kx x k
+ = − + 1 2 2
8
4 1x x k
= +
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
3 4( 3)( 3) 3 ( ) 3 4 1
ky y kx kx k x x k x x k
−= + + = + + + = +
AB O OA OB⊥
0OA OB⋅ =
1 2 1 2 0xx y y+ =
2
2 2
8 3 4 04 1 4 1
k
k k
−+ =+ +
11
2k = ±
11
2k = ± AB O
[ ),e− +∞
( )y f x= ( )0, ∞+
( ) ( ) ( )( )2
2 2 2
2 1 2 1 22 1 2 ax a x ax xaf x a x x x x
− + + − −+′ = − + = =
0a > ( ) 0f x′ = 1 0x a
= > 2x =
①当 时，即当 时，对任意的 ， ，
此时，函数 的单调递增区间为 ；
②当 时，即当 时，令 ，得 或 ；令 ，得
.
此时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
③当 时，即当 时，
令 ，得 或 ；令 ，得 .
此时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
（2）由题意 ，可得 ，可得 ，其中 .
构造函数 ， ，则 .
，令 ，得 .
当 时， ；当 时， .
所以，函数 在 或 处取得最小值，
， ，则 ， ， .
因此，实数的取值范围是 .
1 2a
= 1
2a = 0x > ( ) 0f x′ ≥
( )y f x= ( )0, ∞+
10 2a
< < 1 2a > ( ) 0f x′ > 10 x a
< < 2x> ( ) 0f x′ < 1 2xa < < ( )y f x= 10, a ( )2,+∞ 1 ,2a 1 2a > 10 2a< < ( ) 0f x′ > 0 2x< < 1x a > ( ) 0f x′ < 12 x a < < ( )y f x= ( )0,2 1,a +∞ 12, a ( ) ( )f x g x≥ ln 0ax x− ≥ ln xa x ≥ 21 ,x ee ∈ ( ) ln xh x x = 21 ,x ee ∈ ( )mina h x≥ ( ) 2 1 ln xh x x −′ = ( ) 0h x′ = 21,x e ee = ∈ 1 x ee ≤ < ( ) 0h x′ > 2e x e< ≤ ( ) 0h x′ < ( )y h x= 1x e = 2x e= 1h ee = − ( )2 2 2h e e = ( )1h h ee
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