数学（理科）试卷
一、单选题（共 12 题，每题 5 分）
1．已知复数 z 满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝（ ）
A． B．5 C． D．
2．用反证法证明命题“设 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的
假设是（ ）
A．方程 没有实根 B．方程 至多有一个实根
C．方程 至多有两个实根 D．方程 恰好有两个实根
3．已知函数 的导函数为 且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知 的图象如图所示,则 与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D． 与 大小不能确定
5．随机变量 的分布列如表所示，若 ，则
（ ）
0 1
A． B． C．5 D．7
6．曲线 与 轴以及直线 所围图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．由“0”、“1”、“2” 组成的三位数码组中，若用 A 表示“第二位数字为 0”的事件，用
B 表示“第一位数字为 0”的事件，则 P（A|B）=（ ）
A． B． C． D．
2 5 5
2
,a b 3 0x ax b+ + =
3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + =
3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + =
( )f x ( )f x′ ( ) ( )2 1 lnf x x f x′= ⋅ + 1f e
=
′
1 2e
− 2e− 1−
( )y f x= ( )Af x′ ( )Bf x′
( ) ( )A Bf x f x′ ′> ( )= ( )A Bf x f x′ ′
( ) ( )A Bf x f x′ ′< ( )Af x′ ( )Bf x′ X 1( ) 3E X = (3 2)D X − = X 1− P 1 6 b 5 9 5 3 3πcos 0 2y x x = ≤ ≤ x 3π 2x = 4 2 5 2 3 2 1 3 1 4 1 8 1
8． 的展开式中 的系数为（ ）．
A． B． C．40 D．80
9．若 3 个班分别从 5 个风景点中选择一处浏览，则不同选法的种数是( )种.
A．3 B．15 C． D．
10．若随机变量 ，且 ，则 （ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
11．设集合 ，那么集合 中满足条件
“ ”的元素个数为（ ）
A．60 B．65 C．80 D．81
12．已知函数 ，若对任意 ，存在 ，
使 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共 4 题，每题 5 分）
13．曲线 在点 处的切线方程为__________．
14．复数 为虚数单位）的虚部为__________．
15．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有
0.9 以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知 ，
）
16. 如图所示，由直线 ， ， 及 轴围成
的 曲 边 梯 形 的 面 积 介 于 小 矩 形 和 大 矩 形 的 面 积 之 间 ， 即
， 类 比 之 ， ，
恒成立，则实数 ______.
三、解答题（共 6 题，17 题 10 分，18-22 题均为 12 分）
512x x
− x
80− 40−
53 35
( )23,X N σ∼ ( )5 0.2P X ≥ = ( )1 5P X< < = ( ) { }{ }1 2 3 4, , , | 1,0,1 , 1,2,3,4iA x x x x x i= ∈ − = A 2 2 2 2 1 2 3 4 4x x x x+ + + ≤ ( ) 21 ln2f x x a x= + [ )( )1 2 1 2, 2,x x x x∈ +∞ ≠ 31, 2a ∈ ( ) ( )1 2 1 2 f x f x mx x − >− m
( ],2−∞ ( ), 6−∞ 5, 2
−∞
11, 4
−∞
( ) 12f x x x
= − ( )4 1−,
2 (1
iz ii
= +
lg 2 0.3010=
lg 3 0.4771=
x a= ( )1 0x a a= + > 2y x= x
( )1 22 2 1a
a
a x dx a
+< < +∫ *n N∀ ∈ 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1An n n n n n + + ⋅⋅⋅ + < < + + ⋅⋅⋅ ++ + + − A =
17．已知函数 在 处取得极值.
（1）求实数的值；（2）当 时，求函数 的最小值.
18．已知数列 满足 ， .
（1）求 ， ， ，并由此猜想出 的一个通项公式（不需证明）；
（2）用数学归纳法证明：当 时， .
19．已知 的展开式中前三项的系数为等差数列.
（1）求二项式系数最大项；（2）求展开式中系数最大的项.
20．（本小题满分 13 分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑
球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里
各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在一次游戏中，（i）摸出 3 个白球的概率；（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数 的分布列．
21．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求
证： .
22．材料一：2018 年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和
高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“ ”的考试
科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执
行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后
一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材
料二：2019 年 4 月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等 8 省市发布高考
综合改革实施方案，方案决定从 2018 年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改
革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语 3 个科目成绩和考生选择的 3 科普通高
中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为 750 分．即通常所说的“ ”模式，所谓
“ ”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指
3( ) 3 1f x x ax= − − 1x = −
[ 2,1]x ∈ − ( )f x
{ }na 1 2a = ( )2 *
1 1n n na a na n N+ = − + ∈
2a 3a 4a { }na
1n >
2
1 2
1 1 1
2n
n
a a a n
+ +⋅⋅⋅+ < + 4 1 2 n x x + X ( ) ( )212 ln 2f x x x ax a R= + − ∈ ( )f x ( )f x 1x 2x ( ]1 0,1x ∈ ( ) ( )1 2 3 2 ln 22f x f x− ≥ − 3 3+ 3 1 2+ + 3 1 2+ +
的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、
地理 4 门中选择 2 门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的
是把考生的原始成绩根据人数的比例分为 、 、 、 、 五个等级，五个等级分别对
应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．
（1）若按照“ ”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”
的概率．
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校
中抽取高一学生 2500 名参加语数外的网络测试，满分 450 分，并给前 400 名颁发荣誉证书，
假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为 450 分；
①考生甲得知他的成绩为 270 分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为 171
分，351 分以上共有 57 人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为 430 分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为 201 分，
351 分以上共有 57 人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪．
附： ； ；
.
A B C D E
3 1 2+ +
( ) 0.6828P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + = ( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + =
( 3 3 ) 0.9974P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + =
高二第二次月考答案
一、单选题
1．已知复数 z 满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝（ ）
A． B．5
C． D．
2．用反证法证明命题“设 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的
假设是（ ）
A．方程 没有实根
B．方程 至多有一个实根
C．方程 至多有两个实根
D．方程 恰好有两个实根
3．已知函数 的导函数为 且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知 的图象如图所示,则 与 的大小关系是
A．
B．
C．
D． 与 大小不能确定
2
5 5
2
,a b 3 0x ax b+ + =
3 0x ax b+ + =
3 0x ax b+ + =
3 0x ax b+ + =
3 0x ax b+ + =
( )f x ( )f x′ ( ) ( )2 1 lnf x x f x′= ⋅ + 1f e
=
′
1 2e
− 2e − 1− e
( )y f x= ( )Af x′ ( )Bf x′
( ) ( )A Bf x f x′ ′>
( )= ( )A Bf x f x′ ′
( ) ( )A Bf x f x′ ′< ( )Af x′ ( )Bf x′
5．随机变量 的分布列如表所示，若 ，则 （ ）
0 1
A． B． C．5 D．7
6．曲线 与 轴以及直线 所围图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．由“0”、“1”、“2” 组成的三位数码组中，若用 A 表示“第二位数字为 0”的事件，用
B 表示“第一位数字为 0”的事件，则 P（A|B）=（ ）
A． B． C． D．
8． 的展开式中 的系数为（ ）．
A． B． C．40 D．80
9．若 3 个班分别从 5 个风景点中选择一处浏览，则不同选法的种数是( )种.
A．3 B．15 C． D．
10．若随机变量 ，且 ，则 （ ）
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
11．设集合 ，那么集合 中满足条件
“ ”的元素个数为（ ）
A．60 B．65 C．80 D．81
12．已知函数 ，若对任意 ，存在 ，
X 1( ) 3E X = (3 2)D X − =
X 1−
P 1
6
a b
5
9
5
3
3πcos 0 2y x x = ≤ ≤ x 3π
2x =
4 2 5
2 3
4
1
512x x
−
x
80− 40−
53 35
( )23,X N σ∼ ( )5 0.2P X ≥ = ( )1 5P X< < = ( ) { }{ }1 2 3 4, , , | 1,0,1 , 1,2,3,4iA x x x x x i= ∈ − = A 2 2 2 2 1 2 3 4 4x x x x+ + + ≤ ( ) 21 ln2f x x a x= + [ )( )1 2 1 2, 2,x x x x∈ +∞ ≠ 31, 2a ∈ 2 1 3 1 8 1
使 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．曲线 在点 处的切线方程为__________．
14．复数 为虚数单位）的虚部为__________．
15．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有
0.9 以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知 ，
）
16. 如图所示，由直线 ， ， 及 轴围成的曲边梯形的面积介于小
矩 形 和 大 矩 形 的 面 积 之 间 ， 即 ， 类 比 之 ， ，
恒成立，则实数 ______.
三、解答题
17．已知函数 在 处取得极值.
（1）求实数 的值；
（2）当 时，求函数 的最小值.
18．已知数列 满足 ， .
（1）求 ， ， ，并由此猜想出 的一个通项公式（不需证明）；
( ) ( )1 2
1 2
f x f x mx x
− >− m
( ],2−∞ ( ), 6−∞ 5, 2
−∞
11, 4
−∞
( ) 12f x x x
= − ( )4 1−,
2 (1
iz ii
= +
lg 2 0.3010=
lg3 0.4771=
x a= ( )1 0x a a= + > 2y x= x
( )1 22 2 1a
a
a x dx a
+< < +∫ *n N∀ ∈ 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1An n n n n n + +⋅⋅⋅+ < < + +⋅⋅⋅++ + + − A = 3( ) 3 1f x x ax= − − 1x = − a [ 2,1]x∈ − ( )f x { }na 1 2a = ( )2 * 1 1n n na a na n N+ = − + ∈ 2a 3a 4a { }na
（2）用数学归纳法证明：当 时， .
19．已知 的展开式中前三项的系数为等差数列.
（1）求二项式系数最大项；
（2）求展开式中系数最大的项.
20．（本小题满分 13 分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑
球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里
各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在一次游戏中，
（i）摸出 3 个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数 的分布列．
21．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： .
22．材料一：2018 年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和
高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“ ”的考试
科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执
行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后
一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材
料二：2019 年 4 月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等 8 省市发布高考
综合改革实施方案，方案决定从 2018 年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改
革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语 3 个科目成绩和考生选择的 3 科普通高
中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为 750 分．即通常所说的“ ”模式，所谓
“ ”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”
指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政
治、地理 4 门中选择 2 门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分
1n >
2
1 2
1 1 1
2n
n
a a a n
+ +⋅⋅⋅+ < + 4 1 2 n x x + X ( ) ( )212ln 2f x x x ax a R= + − ∈ ( )f x ( )f x 1x 2x ( ]1 0,1x ∈ ( ) ( )1 2 3 2ln 22f x f x− ≥ − 3 3+ 3 1 2+ + 3 1 2+ +
指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为 、 、 、 、 五个等级，五个等级分别
对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．
（1）若按照“ ”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”
的概率．
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校
中抽取高一学生 2500 名参加语数外的网络测试，满分 450 分，并给前 400 名颁发荣誉证书，
假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为 450 分；
①考生甲得知他的成绩为 270 分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为 171
分，351 分以上共有 57 人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为 430 分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为 201 分，
351 分以上共有 57 人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪．
附： ； ；
.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出.
【详解】
∵(1＋2i)z＝－3＋4i，
∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，
则|z|＝ ＝ .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查的是复数的四则运算，以及复数模的求法，是基础题.
2．A
【解析】
分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程
A B C D E
3 1 2+ +
( ) 0.6828P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + = ( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + =
( 3 3 ) 0.9974P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + =
2 2
2 2
( 3) 4
1 2
− +
+ 5
没有实根．
详解：结论“方程 至少有一个实根”的假设是“方程 没
有实根．”
点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的
否定形式如下：
结
论
词
没
有
至
少
有
一
个
至
多
一
个
不
大
于
不
等
于
不
存
在
反
设
词
有
一
个
也
没
有
至
少
两
个
大
于
等
于
存
在
3．B
【解析】
【分析】
利用导数的运算法则求得 ，令 得 ，即得 ，即可求解.
【详解】
∵函数 的导函数为 ，且满足 ，
∴ ，
令 ，则 ，即 ，
∴ ，故 .
3 0x ax b+ + =
3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + =
( )f x′ 1x = ( )1 1f ′ = − ( ) 1 2f x x
′ = −
( )f x ( )f x′ ( ) ( )2 1 lnf x x f x′= ⋅ + ( )0x >
( ) ( ) 12 1f x f x
′ ′= +
1x = ( ) ( )1 2 1 1f f′ ′= + ( )1 1f ′ = −
( ) 1 2f x x
′ = − 1 2f ee
′ = −
故选：B.
【点睛】
本题主要考查导数的运算法则，解决此题的关键是 是一个常数，属于基础题.
4．A
【解析】
由题意可知 表示曲线在点 处切线的斜率 ，
表示曲线在点 处切线的斜率 ，
结合题中的函数图象可知 ，则 .
本题选择 A 选项.
5．C
【解析】
【分析】
由 ，利用随机变量 X 的分布列列出方程组，求出 ， ，由此能求出 ，
再由 ，能求出结果．
【详解】
由随机变量 X 的分布列得：
，解得 ，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运
算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
( )1f ′
( )' Af x ( )( ),A Ax f x Ak
( )' Bf x ( )( ),B Bx f x Bk
A Bk k> ( ) ( )A Bf x f x>′ ′
1( ) 3E X = 1
3a = 1
2b = ( )D X
(3 2) 9 ( )D X D X− =
1( ) 3E X =
∴
1 16
1 1
6 3
a b
b
+ + =
− + =
1
3
1
2
a
b
=
=
2 2 21 1 1 1 1 1 5( ) ( 1 ) (0 ) (1 )3 6 3 3 3 2 9D X∴ = − − × + − × + − × =
5(3 2) 9 ( ) 9 59D X D X∴ − = = × =
6．D
【解析】
试题分析：
考点：定积分的几何意义
7．B
【解析】
试题分析：
考点：条件概率
8．D
【解析】
【分析】
写出 的展开式的通项即可
【详解】
的展开式的通项为
令 得
所以 的展开式中 的系数为
故选：D
【点睛】
本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.
9．D
【解析】
【分析】
因为每个班级的选择可以重复出现，由分步计数既可以求得答案.
【详解】
因为每个班级的选择可以重复出现，所以第一个班先选有 5 种；第二班再选有 5 种；最后一
( )2 2
00
3 cos 3 sin | 3S xdx x
π π
= = =∫
( ) ( )
( )
3 1| 3 3 3
n ABP A B n B
= = =×
512x x
−
512x x
−
( ) ( )5 5 5 2
1 5 5
12 1 2
r
r rr r r r
rT C x C xx
− − −
+
= − = −
5 2 1r− = 2r =
512x x
−
x ( )2 5 2 2
51 2 80C−− =
个班最后选有 5 种，分步计数再相乘，则共有 种不同的选法.
故选：D
【点睛】
本题考查分步乘法计数原理求事件的所有可能，属于基础题.
10．A
【解析】
【分析】
根据随机变量 X 服从正态分布 N（3，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴 x=3，根据
正态曲线的特点，即可得到结果．
【详解】
∵随机变量 X 服从正态分布 N（3，σ2），
∴对称轴是 x=3．
∵P（X≥5）=0.2，
∴P（1＜X＜5）=1﹣2P（X≥5）=1﹣0.4=0.6．
故选：A．
【点睛】
本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴
为 x=μ，并在 x=μ 时取最大值 从 x=μ 点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近 x
轴，但永不与 x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的．
11．D
【解析】
由题意可得， 成立，需要分五种情况讨论：
当 时，只有一种情况，即 ；
当 时，即 ，有 种；
当 时，即 ，有 种；
当 时，即 ，有 种
当 时，即 ，有 种，
35
2 2 2 2
1 2 3 4 4x x x x+ + + ≤
2 2 2 2
1 2 3 4 0x x x x+ + + = 1 2 3 4 0x x x x= = = =
2 2 2 2
1 2 3 4 1x x x x+ + + = 1 2 3 41, 0x x x x= ± = = = 1
42 8C =
2 2 2 2
1 2 3 4 2x x x x+ + + = 1 2 3 41, 1, 0x x x x= ± = ± = = 2
44 24C =
2 2 2 2
1 2 3 4 3x x x x+ + + = 1 2 3 41, 1, 1, 0x x x x= ± = ± = ± = 3
48 32C =
2 2 2 2
1 2 3 4 4x x x x+ + + = 1 2 3 41, 1, 1, 1x x x x= ± = ± = ± = ± 16
综合以上五种情况，则总共为： 种，故选 D.
【点睛】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，
先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住 只能取
相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列举
方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况.
12．D
【解析】
【分析】
根据条件原问题转化为 （ ），构造函数
，知其为增函数，求导，知导数
，即对任意 ，存在 有 成
立，利用对勾函数求最小值即可求解.
【详解】
不妨设 ，
则由 得： ，
令 ，
则 在 上是增函数，
，
即对任意 ，存在 ，使得 成立，
令 ，则函数在 上单调递增，
又 ，
所以 在 上递增，
81
1 2 3, 4, ,x x x x
( ) ( )11 2 2f x xx m f x m− > − 1 2x x>
( ) 21 ln2( )g x f x x a xx mxm= − = + −
( ) 0ag x x mx
′ = + − ≥ [ )( )1 2 1 2, 2,x x x x∈ +∞ ≠ 31, 2a ∈
am x x
≤ +
1 2x x>
( ) ( )1 2
1 2
f x f x mx x
− >− ( ) ( )11 2 2f x xx m f x m− > −
( ) 21 ln2( )g x f x x a xx mxm= − = + −
( )g x [ )2,+∞
( ) 0ag x x mx
′∴ = + − ≥
[ )( )1 2 1 2, 2,x x x x∈ +∞ ≠ 31, 2a ∈
am x x
≤ +
ay x x
= + [ ,+ )a ∞
2a < ay x x = + [ )2,+∞
故 ，
即存在 ，使 ，
所以 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数，求函数最值，转化思想，属于难题.
13．
【解析】
【分析】
先求解出 的导函数 ，再根据导数的几何意义求解出切线的斜率，根据直线的点斜
式方程求解出切线方程.
【详解】
因为 ，由导数的几何意义知 在点 处的切线斜率 ，
则 在点 处的切线方程为： ，即 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查曲线在某点处的切线方程的求解，难度较易.曲线 在某点处 的切线
方程的求解思路：（1）先求导函数 ；（2）计算该点处的导数值 ，即为切线斜
率；（3）根据直线的点斜式方程求解出切线方程.
14．1
【解析】试题分析： ，即虚部为 1，故填：1.
考点：复数的代数运算
15．
min 2 2
ay = +
31, 2a ∈ 2 2
am ≤ +
max
3
112(2 ) 22 2 4
am ≤ + = + =
5y x= −
( )f x ( )f x′
( ) 2
1 12
2
f x xx
′ = + ( )f x ( )4 1−, ( )4 1k f ′= =
( )f x ( )4 1−, ( )1 1 4y x+ = × − 5y x= −
5y x= −
( )f x ( )( )0 0,x f x
( )f x′ ( )0f x′
11
【解析】
【分析】
设需要至少布置 门高炮，则 ，由此能求出结果．
【详解】
解：设需要至少布置 门高炮，
某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2，
要使敌机一旦进入这个区域后有 0.9 以上的概率被击中，
，
解得 ， ，
需要至少布置 11 门高炮．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率计算公式等基础
知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
16
17．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求导，根据极值的定义可以求出实数 的值；
（2）求导，求出 时的极值，比较极值和 之间的大小的关系，最后求
出函数的最小值.
【详解】
（1） ，函数 在 处取得极
值，所以有 ；
（2）由（1）可知： ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数
单调递减，故函数在 处取得极大值，因此 ，
n 1 (1 0.2) 0.9n− − >
n
1 (1 0.2) 0.9n∴ − − >
10.3n > n N∈
∴
11
n A k
ln 2
1 3−
a
[ 2,1]x∈ − ( 2) (1)f f− 、
3 ' 2( ) 3 1 ( ) 3 3f x x ax f x x a=⇒= − − − 3( ) 3 1f x x ax= − − 1x = −
2' 3( 1( )0 11 3 0) af a− − == ⇒− =⇒
3 ' 2( ) 3 1 ( ) 3 3 3( 1)( 1)f x x x f x x x x= − − = − = + −⇒
( 2, 1)x∈ − − ' ( ) 0f x > ( )f x ( 1,1)x∈ − ' ( ) 0f x < ( )f x 1x = − 3( 1) ( 1) =13 ( 1) 1f − = − − × − −
， ，故函数 的最小值为 .
【点睛】
本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.
18．（1） ， ， ， （2）证明见解析
【解析】
【分析】
【详解】
（1）由 ，得 ；
由 ，得 ；
由 ，得 ；
由此猜想 的一个通项公式： .
（2）
①当 时， ，不等式成立，
②假设当 时结论成立，即 ，
当 时，
，
而 ，
所以
即 时，结论也成立．
由①和②可知，当 时， .
【点睛】
3( 2) ( 2) 3 ( 2) 1 3=f − = − − × − − − 3(1) 1 3 1 1 = 3f = − × − − ( )f x 3−
2 3a = 3 4a = 4 5a = 1na n= +
1 2a = 2
1 12 1 3a a a= − + =
2 3a = 2
3 2 22 1 4a a a= − + =
3 4a = 4 3 3
2 3 1 5a a a= − + =
na 1na n= +
2n =
2
1 2
1 1 1 1 5 12 3
2
6 2 2a a
+ = + = < =+ n k= 2 1 2 1 1 1 2ka a a k k+ +⋅⋅⋅+ < + 1n k= + 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2k k k k a a a a k a k k k k k + + ++ +⋅⋅⋅+ + < + = + =+ + + + 2 2 21 ( 1) ( 2) 5 02 3 ( 2)( 3) k k k k k k k + + − + +− =
2
1 2
1 1 1
2n
n
a a a n
+ +⋅⋅⋅ < +
本题考查了数列的递推公式，数学归纳法，考查计算、推理与证明的能力，属于中档题．
19．（1） ；（2） 和 .
【解析】
【分析】
（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解 的取值，再根据展开式
求解二项式系数最大项；
（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项.
【详解】
（1）由题意， 的展开式是 ，
化简得
则 ， ，
因为，前三项的系数为等差数列，则有 ，解得 或 （舍去）
则 ，则 的展开式是
二项式系数是 ，当 时，二项式系数最大，则
（2）由（1）得， 的展开式是
根据组合数性质， 最大，而 随着 的增大而减小，且 ，
则计算 ，
，
，
，
35
8 x 7
47x
5
27x
n
4
1
2
n
x
x
+
( )1 4
1
2
r
n rr
r nT C x
x
−
+
=
2 3
2 4 4
1 2 2
n r r n r
r r r r
r n nT C x x C x
− −−− −
+ = ⋅ = ⋅ ⋅
0 2 2
1 1
n n
nT C x x= ⋅ = ⋅
2 3 2 3
1 1 4 4
2 2 2
n n
n
nT C x x
− −
−= ⋅ ⋅ = ⋅ ( )3 3
2 2 2 2
3
12 8
n n
n
n nT C x x
− −
− −= ⋅ ⋅ = ⋅
( )12 12 8
n nn −⋅ = + 8n = 1n =
8n =
8
4
1
2
x
x
+
16 3
4
1 8 2
r
r r
rT C x
−
−
+ = ⋅ ⋅
8
rC 4r =
16 12
4 4 4
5 8
352 8T C x x
−
−= ⋅ ⋅ =
8
4
1
2
x
x
+
16 3
4
1 8 2
r
r r
rT C x
−
−
+ = ⋅ ⋅
4
8C 2 r− r 2 1r− < 0 0 4 4 1 8 2 1T C x x= ⋅ ⋅ = ⋅ 13 13 1 1 4 4 2 8 2 4T C x x−= ⋅ ⋅ = ⋅ 5 5 2 2 2 2 3 8 2 7T C x x−= ⋅ ⋅ = ⋅ 7 7 3 3 4 4 4 8 2 7T C x x−= ⋅ ⋅ = ⋅
则当 或 时，系数最大，则系数最大项是 和
【点睛】
本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨
析，属于中等题型.
20．（Ⅰ） （Ⅱ）
X 0 1 2
P
【解析】
试题分析：（Ⅰ）中描述的概率都是古典概型概率，求解时找到所有基本事件总数和满足条
件的基本事件个数，求其比值即可（Ⅱ）中找到 2 次试验随机变量出现的次数及对应的概率，
其中概率值为独立重复试验形式的概率，求出概率后汇总为分布列即可
试题解析：（I）（i）解：设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 则
3 分
（ii）解：设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 ，又
且 A2，A3 互斥，所以 7 分
（II）解：由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2．
所以 X 的分布列是
4 4
5 8
352 8T C x x−= ⋅ ⋅ = ⋅
2r = 3r = 7
47x
5
27x
1.5
7 .10
9
100
21
50
49
100
( 0,1,2,3),iA i= =
2 1
3 2
3 2 2
5 3
1( ) .5
C CP A C C
= ⋅ =
2 3B A A=
2 1 12 1
3 3 22 2
2 2 2 2 2
5 3 5 3
1( ) ,2
C C CC CP A C C C C
= ⋅ + ⋅ =
2 3
1 1 7( ) ( ) ( ) .2 5 10P B P A P A= + = + =
2
1
2
2
7 9( 0) (1 ) ,10 100
7 7 21( 1) (1 ) ,10 10 50
7 49( 2) ( ) .10 100
P X
P X C
P X
= = − =
= = − =
= = =
X 0 1 2
P
考点：1．古典概型概率；2．随机变量的分布刘
21．（1）见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导数，根据对称轴的正负分类讨论即可求出单调区（2）借助方程有两个不同实根，
将 表达为一元新函数 ，再利用其单调性证明.
【详解】
.
（1）当 时，
由 解得 或 ，
解得 ，
故函数在 增， 减， 增，
当 时，
当 时， ，
所以函数在 增.
（2）由于 有两个极值点 ， ，
则 在 上有两个不等的实根 ， ，
9
100
21
50
49
100
1 2( ) ( )f x f x− 1( )F x
( ) ( )2
' 2 2 0x axx a xx xf x
− += + − = >
2 2a >
( ) 0f x′ > 2 80 2
a ax
− −< < 2 8 2 a ax + −>
( ) 0f x′ < 2 28 8 2 2 a a a ax − − + −< < 2 80, 2 a a − − 2 28 8,2 2 a a a a − − + − 2 8 ,2 a a + − +∞ 2 2a ≤ 0x > ( ) 0f x′ >
( )0, ∞+
( )f x 1x 2x
2 2 0x ax− + = ( )0,x∈ +∞ 1x 2x
∴ ，
，
设 ，
所以 ，
所以 在 上递减，
所以 ，
即 .
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，二元函数转化为一元新函数，然后利用其单调
性证明不等式，分类讨论，属于难题.
22．（1） ；（2）①甲同学能够获得荣誉证书；②乙同学所说为假.
【解析】
【分析】
（1）已经选出五科，再从剩余三个科目中选 1 个科目的方法为 ；计算出从物理、历史里选
一门，生物、化学、思想政治、地理 4 门中选择 2 门的总方案数，即可得其概率.
（2）①由题意可知 ，而 ，结合 原则即可求得 的值.结合获奖概
率，并求得 ，比较后可求得获奖的最低成绩.即可由甲的成绩得知甲能否获得
( )
2
1 2
1 1 21 2
2
1
8 0
2 2
0 12
2
02
a
ax x a
x a x xx x
a x x
∆ = − >
>+ = < ≤ ⇒ = + = =>
( ) ( ) 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
1 12ln 2ln2 2f x f x x x ax x x ax − = + − − + −
( ) ( )( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 12 ln ln 2 2x x x x x x x x= − + − − + −
2
2
1 1
1 1
2 1 2 12 ln ln 2 2x xx x
= − + −
( )2
1
1 12
1
24ln 2ln 2 0 12
xx xx
= + − − < ≤ ( ) ( )2 2 24ln 2ln 2 0 12 xxF x xx = + − − < ≤ ( ) ( )222 4 3 3 3 24 4 4 4 0' xx xxx xx xF x − −− −= − − = = < ( )F x ( ]0,1 ( ) ( ) 31 2ln 22F x F≥ = − ( ) ( )1 2 3 2ln 22f x f x− ≥ − 1 4 1 3C 171µ = 57 0.02282500 = 3σ σ ( )P X µ σ≥ +
荣誉证书.
②假设乙所说为真，求得 ，进而求得 的值.从而确定 的值，即可确
定 的概率.比较后即可知该事件为小概率事件，而丙已经有这个成绩，因而可判
断乙所说为假.
【详解】
（1）设事件 A：选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”；
则从剩余生物、思想政治、地理三个科目中选择一个有 .
从物理、历史里选一门，生物、化学、思想政治、地理 4 门中选择 2 门的方案有 种，
所以 .
（2）设此次网络测试的成绩记为 .
①由题意可知 ，
因为 ，且 ，
所以 ；
而 ，
且 ，
所以前 400 名学生成绩的最低分高于 ，
而考生甲的成绩为 270 分，所以甲同学能够获得荣誉证书.
②假设考生乙所说为真，则 ，
，
( )2P X µ σ≥ + σ 3µ σ+
3X µ σ≥ +
1
3C
1 2
2 4C C
( ) 1
3
1 2
2 4
3 1
4 3 42 2
CP A
C C
= = =××
( )2~ ,X N µ σ
171µ =
57 0.02282500
= ( )1 2 2 1 0.9544 0.02282 2
P Xµ σ µ σ− − ≤ ≤ + −= =
351 171 902
σ −= =
400 0.162500
=
( ) ( )1 1 0.6828 0.1587 0.162 2
P XP X
µ σ µ σµ σ − − ≤ ≤ + −≥ + = = = < 261µ σ+ = 201µ = ( ) ( )1 2 2 1 0.95442 0.02282 2 P XP X µ σ µ σµ σ − − ≤ ≤ + −≥ + = = =
而 ，所以 ，
从而 ，
而 ，
所以 为小概率事件，即丙同学的成绩为 430 分是小概率事件，可认为其不可能发
生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假.
【点睛】
本题考查了古典概型概率求法，由组合数求法求概率，结合 原则求概率值，并由 原则
判断事件真伪，综合性强，属于难题.
57 0.02282500
= 351 201 752
σ −= =
3 201 3 75 426 430µ σ+ = + × = < ( ) ( )1 3 3 1 0.99743 0.0013 0.0052 2 P XP X µ σ µ σµ σ − − ≤ ≤ + −≥ + = = = < 3X µ σ≥ + 3σ 3σ
微信/支付宝扫码支付