数学试卷（理科）
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合 ，集合 , 则 ( ).
A． B． C． D．
2.设 为虚数单位，复数 ( ).
A． B． C． D．
3.下列结论中正确的是( ).
①命题： 的否定是 ；
②若直线 上有无数个点不在平面 内，则 ；
③若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ；
④等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4.已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ，双曲线的一
个焦点在直线 上，则双曲线方程为( ).
A． B． C． D．
5.某产品的研发费用 万元与销售利润 万元的统计数据如表所示，
研发费用 （万元） 4 2 3 5
利润 （万元） 49 26 39
根据上表可得回归方程 中的 为 9.4，据此模型预计研发费用为 6 万元时，利润为
65.5，则 ( ).
A. B.
C. D.
}023|{ 2 xx }1|{ − 3(0,2),3xx x∃ ∈
l α //l α
ξ 2(1, )N σ ( 2) 0.8P ξ < = (0 1) 0.2P ξ< < = { }na n nS 4 3a = 7 21S = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > : 2 5 0l x y+ + =
l
2 2
120 5
x y− =
2 2
15 20
x y− =
2 23 3 125 100
x y− =
2 23 3 1100 25
x y− =
x y
x
y m
ˆˆ ˆy bx a= + ˆb
ˆ,a m =
ˆ 9.1, 54a m= = ˆ 9.1, 53a m= =
ˆ 9.4, 52a m= = ˆ 9.2, 54a m= =
6.在 中， 分别是角 的对边，若 成等比数列， ，
( ).
A． B． 1 C． D．
7.已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为( ).
A． B．
C． D．
8.若实数 满足不等式组 则 的
最大值是 ( ).
A．1 0 B．1 1 C．1 3 D．1 4
9.利用如图所示的算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的
点在圆
内的有( ).
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
10.设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 在
处
取得极大值，则函数 的图像可能是( ).
11.已知双曲线 （ ， ）的两条渐近线与抛物线 （ ）
的准线分别交于 ， 两点， 为坐标原点，若双曲线 的离心率为 ， 的面积为
D.C.B.A.
x
O
-1
y
x
O
-1
y
-1
y
xO-1
y
x
O
ABC△ , ,a b c , ,A B C , ,a b c 60A = sinb B
c
=
1
2
2
2
3
2
4 5 4 2 5+ + 52 5 2 2 2
+ +
2 5 2 2 3
3
+ +
2 5 2 2 3+ +
,x y
5
2 3 0,
1 0
y
x y
x y
− +
+ −
2z x y= +
2 2 10x y+ =
( )f x R ( )xf ′ ( )xf
1x = −
( )y xf x′=
:C
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > 2 2y px= 0p >
A B O C 2 AOB△
，则 的内切圆半径为( ).
． ． ． ．
12. 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足 . 当 时 ,
．设 在 上的最大值为 ，且 的前 项和
为 ，则 ( ).
A. B． C． D．
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.已知 ，那么 的展开式中的常数项为 .
14.已知向量 与向量 的夹角为 ，若 且 ，则 在 上的投影
为 .
15.已知四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形，侧面 是等边三角形，且侧面
底面 ，则四棱锥 的外接球的表面积为___ ____.
16.直线 分别与曲线 ， 交于 ， 两点，则 的最小值为
_______.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且 2cosB
（acosC+ccosA）+b=0．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 a=3，点 D 在 AC 边上且 BD⊥AC，BD= ，求 c．
18．（12 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AD=2AB=4，E 是 AD 的中点．将△ABE 沿 BE
折起使 A 到点 P 的位置，平面 PEB⊥平面 BCDE，如图 2．
（Ⅰ）求证：平面 PBC⊥平面 PEC；
（Ⅱ）求二面角 B﹣PE﹣D 的余弦值．
B
3 AOB△
A 3 1− 3 1+ C 2 3 3− D 2 3 3+
[ )0,+∞ ( )f x ( ) ( )2 2f x f x= + [ )0,2x∈
( ) 22 +4f x x x= − ( )f x [ )2 2,2n n− na ( )n ∗∈N { }na n
nS nS =
1
12 2n−− 2
14 2n−− 12 2n
− 1
14 2n−−
6e
1
1dn xx
= ∫ 1(2 )nx
x
−
a b 120 ( ) ( 2 )+ ⊥ −a b a b | | 2=a b a
P ABCD− PAD
PAD ⊥ ABCD P ABCD−
y a= 2( 1)y x= + lny x x= + A B | |AB
19．（12 分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017 年双 11 期间，
某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对
电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评
价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务
都做出好评的交易为 80 次．
（Ⅰ）完成下面的 2×2 列联表，并回答是否有 99%的把握，认为商品好评与服务
好评有关？
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评
对商品不满意
合计 200
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和
服务全好评的次数为随机变量 X：
（1）求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列；
（2）求 X 的数学期望和方差．
附：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（ ，其中 n=a+b+c+d）
20．（12 分）给定椭圆 C： + =1（a＞b＞0），称圆心在原点 O，半径为
的圆 是椭圆 C 的“ 准 圆” ．已知 椭圆 C 的离心 率 ，其“ 准圆 ”的 方程为
x2+y2=4．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 l1，l2 交“准圆”于点
M，N．
（1）当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l1，l2 的方程，并证明 l1⊥l2；
（2）求证：线段 MN 的长为定值．
21．（12 分）已知函数 f（x）=（t﹣1）xex，g（x）=tx+1﹣ex．
（Ⅰ）当 t≠1 时，讨论 f（x）的单调性；
（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求 t 的取值范围．
选修 4-4：极坐标与参数方程
22．（10 分）已知直线 l：3x﹣ y﹣6=0，在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中，曲线 C：ρ﹣4sinθ=0．
（Ⅰ）将直线 l 写成参数方程 （t 为参数，α∈[0，π），）的形式，并求
曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作倾斜角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|AP|的最
值．
选修 4-5：不等式选讲
23．已知关于 x 的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3 的解集为{x|m≤x≤n}．
（I）求实数 m、n 的值；
（II）设 a、b、c 均为正数，且 a+b+c=n﹣m，求 + + 的最小值．
答案部分
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D A A D D D B D C B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
17．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且 2cosB
（acosC+ccosA）+b=0．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 a=3，点 D 在 AC 边上且 BD⊥AC，BD= ，求 c．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，
且 2cosB（acosC+ccosA）+b=0．
则：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，
整理得：2cosBsin（A+C）=﹣sinB，
由于：0＜B＜π，
则：sinB≠0，
解得： ，
所以：B= ．
（Ⅱ）点 D 在 AC 边上且 BD⊥AC，
在直角△BCD 中，若 a=3，BD= ，
解得： ，
解得： ，
160− 33 1
8
+− 28
3
π 3
2
则： ， ，
所以：cos∠ABD= = = ，
则：在 Rt△ABD 中， ，
= ．
故：c=5
18．（12 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AD=2AB=4，E 是 AD 的中点．将△ABE 沿 BE
折起使 A 到点 P 的位置，平面 PEB⊥平面 BCDE，如图 2．
（Ⅰ）求证：平面 PBC⊥平面 PEC；
（Ⅱ）求二面角 B﹣PE﹣D 的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=2AB，E 为线段 AD 的中点，
∴AB=AE，
取 BE 中点 O，连接 PO，则 PO⊥BE，
又平面 PEB⊥平面 BCDE，平面 PEB∩平面 BCDE=BE，
∴PO⊥平面 BCDE，则 PO⊥EC，
在矩形 ABCD 中，∴AD=2AB，E 为 AD 的中点，
∴BE⊥EC，则 EC⊥平面 PBE，
∴EC⊥PB，
又 PB⊥PE，且 PE∩EC=E，
∴PB⊥平面 PEC，而 PB⊂平面 PBC，
∴平面 PBC⊥平面 PEC；
（Ⅱ）解：以 OB 所在直线为 x 轴，以平行于 EC 所在直线为 y 轴，以 OP 所在直线
为 z 轴建立空间直角坐标系，
∵PB=PE=2，则 B（ ，0，0），E（﹣ ，0，0），P（0，0， ），D（﹣2 ，
，0），
∴ ， ， =（ ， ，﹣ ）．
设平面 PED 的一个法向量为 ，
由 ，令 z=﹣1，则 ，
又平面 PBE 的一个法向量为 ，
则 cos＜ ＞= = ．
∴二面角 B﹣PE﹣D 的余弦值为 ．
19．（12 分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017 年双 11 期间，
某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对
电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评
价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务
都做出好评的交易为 80 次．
（Ⅰ）完成下面的 2×2 列联表，并回答是否有 99%的把握，认为商品好评与服务
好评有关？
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评
对商品不满意
合计 200
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和
服务全好评的次数为随机变量 X：
（1）求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列；
（2）求 X 的数学期望和方差．
附：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（ ，其中 n=a+b+c+d）
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的 2×2 列联表如下：
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评 80 40 120
对商品不满意 70 10 80
合计 150 50 200
K2= ≈11.111＞6.635，
故有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关．
（Ⅱ）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为 ，且 X 的取值可以是
0，1，2，3．
其中 P（X=0）=（ ）3= ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= ，
P（X=3）= = ，
X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）∵X～B（3， ），
∴E（X）= ，
D（X）=3× = ．
20．（12 分）给定椭圆 C： + =1（a＞b＞0），称圆心在原点 O，半径为
的圆 是椭圆 C 的“ 准 圆” ．已知 椭圆 C 的离心 率 ，其“ 准圆 ”的 方程为
x2+y2=4．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 l1，l2 交“准圆”于点
M，N．
（1）当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l1，l2 的方程，并证明 l1⊥l2；
（2）求证：线段 MN 的长为定值．
【解答】解：（I）由准圆方程为 x2+y2=4，则 a2+b2=4，椭圆的离心率 e= =
= ，
解得：a= ，b=1，
∴椭圆的标准方程： ；
（Ⅱ）证明：（1）∵准圆 x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 P（0，2），
设过点 P（0，2）且与椭圆相切的直线为 y=kx+2，
联立 ，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0．
∵直线 y=kx+2 与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得 k=±1，
∴l1，l2 方程为 y=x+2，y=﹣x+2．∵ =1， =﹣1，
∴ • =﹣1，则 l1⊥l2．
（2）①当直线 l1，l2 中有一条斜率不存在时，不妨设直线 l1 斜率不存在，
则 l1：x=± ，
当 l1：x= 时，l1 与准圆交于点（ ，1）（ ，﹣1），
此时 l2 为 y=1（或 y=﹣1），显然直线 l1，l2 垂直；
同理可证当 l1：x= 时，直线 l1，l2 垂直．
②当 l1，l2 斜率存在时，设点 P（x0，y0），其中 x02+y02=4．
设经过点 P（x0，y0）与椭圆相切的直线为 y=t（x﹣x0）+y0，
∴由 得 （1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．
由△=0 化简整理得 （3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，
∵x02+y02=4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0．
设 l1，l2 的斜率分别为 t1，t2，
∵l1，l2 与椭圆相切，∴t1，t2 满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，
∴t1•t2=﹣1，即 l1，l2 垂直．
综合①②知：∵l1，l2 经过点 P（x0，y0），又分别交其准圆于点 M，N，且 l1，l2 垂
直．
∴线段 MN 为准圆 x2+y2=4 的直径，|MN|=4，
∴线段 MN 的长为定值．
21．（12 分）已知函数 f（x）=（t﹣1）xex，g（x）=tx+1﹣ex．
（Ⅰ）当 t≠1 时，讨论 f（x）的单调性；
（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求 t 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由 f（x）=（t﹣1）xex，得 f′（x）=（t﹣1）（x+1）ex，
若 t＞1，则 x＜﹣1 时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1 时，f′（x）＞0，f（x）
递增，
若 t＜1，则 x＜﹣1 时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1 时，f′（x）＜0，f（x）
递减，
故 t＞1 时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
t＜1 时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；
（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，
即（t﹣1）xex﹣tx﹣1+ex≤0 对∀x≥0 成立，
设 h（x）=（t﹣1）xex﹣tx﹣1+ex，
h（0）=0，h′（x）=（t﹣1）（x+1）ex﹣t+ex，h′（0）=0，
h″（x）=ex[（t﹣1）x+2t﹣1]，
t=1 时，h″（x）=ex≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，
∴h′（x）≥h′（0）=0，故 h（x）在[0，+∞）递增，
故 h（x）≥h（0）=0，显然不成立，
∴t≠1，则 h″（x）=ex（x+ ）（t﹣1），
令 h″（x）=0，则 x=﹣ ，
①当﹣ ≤0 即 t＜ 或 t＞1 时，
若 t≤ ，则 h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，
故有 h′（x）≤h′（0）=0，h（x）在[0，+∞）递减，
∴h（x）≤h（0）=0 成立，
若 t≥1，则 h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，
故有 h′（x）≥h′（0）=0，故 h（x）在[0，+∞）递增，
故 h（x）≥h（0）=0，不成立，
②﹣ ≥0 即 ≤t≤1 时，
h″（x）在[0，﹣ ）内有 h′（x）≥h′（0）=0，h（x）递增，
故 h（x）在[0，﹣ ）内有 h（x）≥h（0）=0 不成立，
综上，t 的范围是（﹣∞， ]．
选修 4-4：极坐标与参数方程
22．（10 分）已知直线 l：3x﹣ y﹣6=0，在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中，曲线 C：ρ﹣4sinθ=0．
（Ⅰ）将直线 l 写成参数方程 （t 为参数，α∈[0，π），）的形式，并求
曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作倾斜角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|AP|的最
值．
【解答】解：（Ⅰ）直线 l：3x﹣ y﹣6=0，转化为直角坐标方程为：
（t 为参数），
曲线 C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．
（Ⅱ）首先把 x2+y2﹣4y=0 的方程转化为：x2+（y﹣2）2=4，
所以经过圆心，且倾斜角为 30°的直线方程为： ，
则： ，
解得： ，
则： = ，
则：|AP|的最大值为： ，
|AP|的最小值为： ．
选修 4-5：不等式选讲
23．已知关于 x 的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3 的解集为{x|m≤x≤n}．
（I）求实数 m、n 的值；
（II）设 a、b、c 均为正数，且 a+b+c=n﹣m，求 + + 的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，
∴ 或 或 ，
解得：﹣1≤x≤1，
故 m=﹣1，n=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=2，
则 + +
= （ + + ）（a+b+c）
= [1+1+1+（ + ）+（ + ）+（ + ）]
≥ + （2 +2 +2 ）
= +3= ，
当且仅当 a=b=c= 时“=”成立．
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