重庆市名校联盟2020届高三数学（文）二诊模拟试题（B卷）（含答案Word版）

（文数）第 1 页 共 16 页 试卷类型：B 重庆市名校联盟高 2020 级“二诊”模拟考试 文科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的） 1．已知 a，b∈R， 则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知 为虚数单位，复数 ，则 在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若 x，y 满足约束条件 且 的最大值为 ，则 a 的取值范围是 A． B． C． D． 4．小方，小明，小马，小红四人参加完某比赛，当问到四人谁得第一时，小方：“我得第一 名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”．已知他 们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名．根据以上信息可以判断出得第一名的人是 A．小明 B．小马 C．小红 D．小方 2 1i = − 1a b= = 2( i) 2ia b+ = i 2 2sin cos3 3z i π π= − − z 4 0, 2 0, 2 0, x y x x y − + ≥  − ≤  + − ≥ z ax y= + 2 6a + [ 1, )− +∞ ( , 1]−∞ − ( 1, )− +∞ ( , 1)−∞ −（文数）第 2 页 共 16 页 5．设点 在 的内部,且有 ,则 的面积与 的面积之比为 A． B． C． D． 6．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问 题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若 干？”意思是：有 5 人分 40 两银子，甲分 10 两 4 钱，戊分 5 两 6 钱，且相邻两项差相等， 则乙丙丁各分几两几钱？（注：1 两等于 10 钱） A．乙分 8 两，丙分 8 两，丁分 8 两 B．乙分 8 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 7 两 8 钱 C．乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱 D．乙分 9 两，丙分 8 两，丁分 7 两 7．在直角坐标系 中，角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边与圆 交于第一象限内的点 ，点 的纵坐标为 ，把射线 顺时针旋转 ， 到达射线 ， 点在圆 上，则 的横坐标是 A． B． C． D． 8．设函数 是定义在 上的连续函数，且在 处存在导数，若函数 及其 导函数 满足 ，则函数 = A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值 C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值 9．下图是一个算法的程序框图，如果输入 ， ，那么输出的结果为 O ABC∆ ( )3 2AB OB OC= +   ABC∆ BOC∆ 3 1 3 2 1 2 xOy α x 2 2: 4O x y+ = P P 2 3 OP 3 π OQ Q O Q 5 2 3 6 + 2 2 3 6 + 2 2 3 3+ 2 2 3 3 − ( )f x ( 1, )− +∞ 0x = ( )f x ( )f x′ ( )f x′ ( )( )ln( 1) 1 f xf x x x x+ -¢ = + ( )f x 0i = 0S =（文数）第 3 页 共 16 页 A． B． C． D． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成 一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式.它 实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么近似公式 相当于将圆锥 体积公式中的圆周率近似取为 A． B． C． D． 11．过双曲线 的右焦点 作渐近线的垂线，设垂足为 （ 为第 一象限的点），延长 交抛物线 于点 ，其中该双曲线与抛物线有一个 共同的焦点，若 ，则双曲线的离心率的平方为 A． B． C． D． 12．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结 论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的 logo 很相似，故形象地称 其为“奔驰定理”若 是锐角 内的一点， ， ， 是 的三个内角，且点 满 2 3 3 4 4 5 5 6 L h 21 36V L h≈ 23 112V L h≈ 22 7 157 50 28 9 337 115 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F P P FP 2 2 ( 0)y px p= > Q 1 ( )2OP OF OQ= +   5 5 2 5 1+ 5 1 2 + O ABC∆ BOC∆ AOC∆ AOB∆ AS BS CS 0A B CS OA S OB S OC⋅ + ⋅ + ⋅ =    O ABC∆ A B C ABC∆ O（文数）第 4 页 共 16 页 足 ，则必有 A． B． C． D． 二、填空题微（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知实数 x，y 满足 ，则 的最小值为________． 14．已知等差数列 和等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，则 ______. 15．长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由 13 名教师组成的队伍下乡支教， 记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学 教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学 高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无 论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是 ____． 16．定义函数 ，表示函数 与 较小的函数．设函数 ， ，p 为正实数，若关于 x 的方程 恰有三个不同的解， 则这三个解分别是________． OA OB OB OC OC OA⋅ = ⋅ = ⋅      sin sin sin 0A OA B OB C OC⋅ + ⋅ + ⋅ =    cos cos cos 0A OA B OB C OC⋅ + ⋅ + ⋅ =    tan tan tan 0A OA B OB C OC⋅ + ⋅ + ⋅ =    sin 2 sin 2 sin 2 0A OA B OB C OC⋅ + ⋅ + ⋅ =    2 2 0 2 0 2 2 0 x y x y x y − − ≥  − + ≥  + − ≥ 3z x y= − { }na { }nb n ,n nS T ( )*3 2 2 1 n n S n n NT n += ∈− 3 3 a b = { }1 2( ) min ( ), ( )f x f x f x= 1( )f x 2 ( )f x 1( ) 2 xf x = 2 ( ) 3 2 x pf x −= ⋅ ( ) 3f x =（文数）第 5 页 共 16 页 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分 12 分) 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的值. 18．(本小题满分 12 分) 如图 1 所示，在等腰梯形 中， .把 沿 折起，使得 ，得到四棱锥 .如图 2 所示. （1）求证：面 面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 19．(本小题满分 12 分) 已知椭圆 ， 、 为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上 一点，且 . （1）求椭圆的标准方程； ABC∆ ( )2 2 2(2 ) 2 cosa c a b c abc C− − + = B 3sin 1 3 cos 02A C  + − + =    b a ABCD , 3, 15, 3 3BE AD BC AD BE⊥ = = = ABE∆ BE 6 2AC = A BCDE− ACE ⊥ ABD ABE ACD 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F 21, 2P       1 3 2| | 2PF =（文数）第 6 页 共 16 页 （2）设直线 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，线段 的垂直平分线分别 交直线 、直线 于 、 两点，当 最小时，求直线 的方程. 20．(本小题满分 12 分) 已知函数 . （1）求函数 的单调区间和极值； （2）证明： . 21．(本小题满分 12 分) 橙子辅.导为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后， 工人人数 (单位:百人)对年产能 (单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作 了初步处理，得到散点图和统计量表. （1）根据散点图判断: 与 哪一个适宜作为年产能 关于投入的人力 : 2l x = − 2F A B AB l AB M N MAN∠ AB ( ) ln 1xf x x += ( )f x ( ) ( )2 * 2 2 2 ln 2 ln3 ln 2 1 , 22 3 4 1 n n n n N nn n − −+ +⋅⋅⋅+ < ∈ ≥+ x y x y ln y 1 x 2 1 ( ) n i i x x = −∑ 2 1 1 1( ) n i ix x= −∑ 1 ( )( ) n i i i x x y y = − −∑ 1 1 1( )(ln ln ) n i i i y yx x= − −∑ 1 ( )(ln ln ) n i i i x x y y = − −∑ 5.825 3.612 0.154− 1.077 328 27.87 150.80 55.74− 126.56 lny a b x= + e b axy += y x（文数）第 7 页 共 16 页 的回归方程类型？并说明理由？ （2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立 关于 的回归方程； （3）现该企业共有 2000 名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一 年度共需投入多少资金（单位：千万元）？ 附注：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为 ，(说明: 的导函数为 ) 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所 微.博橙子辅.导做的第一个题目计分． 22．(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.点 在曲线 上，点 满足 . （1）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点 的轨迹 的极 坐标方程； （2）点 ， 分别是曲线 上第一象限，第二象限上两点，且满足 ，求 的值. y x 1 1( , )s t 2 2( , )s t ( , )n ns t t bs a= + 1 2 1 ( )( ) , ( ) n i i i n i i s s t t b a t bs s s = = − − = = − − ∑ ∑   ( ) e b axf x += 2 e( ) b axbf x x +− ⋅′ = xOy C 2 2 2 1 1 2 1 tx t ty t  −= +  = + t ( )0 0,p x y C ( , )Q m n 0 0 2 3 m x n y = = O x Q 1C A B 1C 2AOB π∠ = 2 2 1 1 | | | |OA OB +（文数）第 8 页 共 16 页 23．(本小题满分 10 分) 设函数 . （1）求不等式 的解集； （2）记函数 的最小值为 ，若 为正实数，且 ，求 的最 小值. ( ) 2 1 1f x x x= − + + ( ) 4f x ≥ ( )f x t , ,a b c a b c t+ + = 2 2 2a b c+ +（文数）第 9 页 共 16 页 文科数学参考答案（B 卷） 17． （1）∵角 的对边分别为 ，且 ∴ ， ∴ ∴ ，∵由正弦定理得： ， ∴ ， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ∵ ，∴ . （2）∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ，∴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A B A A A C C C C C D C 3 小学中级 、 、 , ,A B C , ,a b c ( )( )2 2 22 2 cosa c a b c abc C− − + = ( )( )2 2 22 cos2 a c a c b b Cac − + − = ( )2 cos cosa c B b C− = cos 2 cos b B a c C =− 2sin sin sin a b c RA B C = = = 2 sina R A= 2 sinb R B= 2 sinc R C= 2 sin cos 4 sin 2 sin cos R B B R A R C C =− 2sin cos sin cos sin cosA B C B B C− = 2sin cos sin cos cos sinA B C B C B= + ( )sin sinC B A= + = sin 0A ≠ 1cos 2B = ( )0 00 ,180B∈ 060B = 3sin 1 3 cos 02A C  + − + =    3sin 1 3cos 02A C+ − − = 1sin 3cos 2A C− = 060B = 0 0180 60C A= − − 0120C A= − ( )0 1sin 3cos 120 2A A− − = ( )0 0 1sin 3 cos120 cos sin120 sin 2A A A− + = 1 3 1sin 3 cos sin2 2 2A A A − × − − =   3 1 1cos sin2 2 2A A− = ( )0 1cos 30 2A+ = 0 00 120A< < 0 0 030 30 150A< + < 17 9 2 2log 3 log 3 p p− + + =2 2log 3 log 3 p p− + + =2log 3 p 2 1 1 3 2(1 ) 2 2PF c= + + = 1c = 2 2| | 2PF = 1 2 2 2 2PF PF a+ = = 2a = 1b = 2 2 12 x y+ = AB : 1AB x ty= + 2 2 1 12 x ty x y = + + = ( )2 22 2 1 0t y ty+ + − = AB ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) ( )2 2 24 4 2 8 1 0t t t∆ = + + = + > 1 2 2 2 2 ty y t −+ = + 1 2 2 1 2y y t = − + 2 2N ty t = − + 2 2 2 21 12 2N N tx ty t t = + = − + =+ + MN AB⊥ MNk t= − 2 2 2 2 2 2 2 6| | 1 2 12 2 tMN t tt t += + ⋅ − − = + ⋅+ +（文数）第 13 页 共 16 页 又 ∴ 当且仅当 即 时取等号. 此时直线 的方程为 或 . 20． （1）∵函数 ，∴ ，则 ， 由 ，得 ，列表如下： 1 + 0 - 单调递增 极大值 1 单调递减 因此增区间为 ，减区间为 ，极大值为 ，无极小值. （2）证明：由（1）可得 ， ∴ ，当且仅当 时取等号. 令 ， ∴ ，∴ ， 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1| | | | 1 12 2 2 tAN AB t y y t t += = + ⋅ − = + ⋅ + ( )2 2 2 2 2 3| | 2tan 2 1 2 2 2 4| | 1 1 tMNMAN tAN t t +  ∠ = = = + + ≥ ⋅ =  + +  2 2 21 1 t t + = + 1t = ± AB 1 0x y+ − = 1 0x y− − = ( ) ln 1xf x x += 0x > ( ) 2 ln' xf x x = − ( )' 0f x = 1x = x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )'f x ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )1 1f = ( ) ( ) ( )max ln 1 1 1xf x f x fx += ≤ = = ln 11x x x ≤ − 1x = ( )2 *, 2x n n N n= ∈ ≥ 2 2 2 ln 11n n n < − ( ) ( )2 2 ln 1 1 1 1 1 1 11 1 1 22 2 1 2 1 n nn n n n n n     < − < − = − + ≥    + +    （文数）第 14 页 共 16 页 ∴ . 21． （1）由图可知 适宜作为年产能 关于投入的人力 的回归方程类型 若选择 ，则 ，此时当 接近于 0 时， 必小于 0， 故选择 作为年产能 关于投入的人力 的回归方程类型 （2）由 ,得 ，故 与 符合线性回归， . ， ，即 ， 关于 的回归方程 . （3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大，由(2)可知人均产能函数 ， ， 时， ， 时 ， 2 2 2 ln 2 ln3 ln 2 3 n n + +⋅⋅⋅+ 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 12 2 3 2 3 4 2 1n n      < − + + − + + + − +     +      ( ) ( )2 *1 1 1 2 11 , 22 1 2 4 1 n nn n N nn n − − − + − = ∈ ≥ + +  = e b axy += y x  lny a b x= + 0b > x y e b axy += y x e b axy += 1ln y b ax = ⋅ + ln y 1 x 1 2 1 1 1( )(ln ln ) 55.74= 227.871 1( ) n i i i n i i y yx xb x x = = − − −∴ = = − − ∑ ∑ 1ln ( 0.154) ( 2) 1.077 2a y b x = − ⋅ = − − − × = 2ln 2y x ∴ = − 2 2 e xy − += y∴ x 2 2 e xy − += 2 2 e( ) x f x x − + = 2 22 2 2 2 2 2 3 2 e e (2 ) e( ) x x xx xxf x x x − + − + − +⋅ ⋅ − − ⋅′∴ = = 0 2x< 2x > ( ) 0f x′