2020 年高考（文科）数学二诊试卷（A 卷）
一、选择题
1．已知集合 A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|log2x≤1}，则 A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{﹣1，0，1，2}
C．{1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
2．设复数 z 满足 z＝1﹣i，则 z 的共轭复数的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
3．观察式子：1 ，1 ，1 ，…，则可归纳出式子为
（ ）
A．1
B．1
C．1
D．1
4．已知 a＝log52，b＝log72，c＝0.5a﹣2，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
5．某教育机构随机某校 20 个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数
据的茎叶图，以组距为 5 将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），
[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则
原始茎叶图可能是（ ）A．
B．
C．
D．
6．我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍薨．如图所示为一个刍童
的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 4，高为 2，则该刍
薨的表面积为（ ）A． B．40 C． D．
7．已知 ，向量 在向量 上的投影为 1，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，将函数 f（x）的图象向左平
移 个单位长度，得到函数 g（x）的部分图象如图所示，则 是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．如图两个同心球，球心均为点 O，其中大球与小球的表面积之比为 3：1，线段 AB 与 CD
是夹在两个球体之间的内弦，其中 A、C 两点在小球上，B、D 两点在大球上，两内弦均
不穿过小球内部．当四面体 ABCD 的体积达到最大值时，此时异面直线 AD 与 BC 的夹
角为 θ，则 （ ）
A． B． C． D．10．2019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19）疫情，并快速席卷我国其他地
区，传播速度很快，因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前
没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最
大，武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺
炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，
强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊
患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”
检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率
均为 p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的
概率为 f（p），当 p＝p0 时，f（p）最大，则 p0＝（ ）
A．1 B． C． D．1
11．已知 F 为双曲线 1（a＞0，b＞0）的右焦点，定点 A 为双曲线虚轴的一个顶
点，过 F，A 的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴左侧的交点为 B，若 （ 1）
，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
12．已知函数 f（x）的导函数为 f'（x），且对任意的实数 x 都有 f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f
（x）（e 是自然对数的底数），且 f（0）＝1，若关于 x 的不等式 f（x）﹣m＜0 的解集
中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．[﹣e2，0） B．（﹣e，0] C．[﹣e，0） D．（﹣e2，0]
二、填空题微博橙子辅导（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．等差数列{an}中，a2+a7+a12＝24，则 S13＝ ．
14．已知圆 C 的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦点，直线 4x﹣3y﹣2＝0 与圆 C 相交于 A、B 两点，
且|AB|＝6，则圆 C 的标准方程为
15．已知两矩形 ABCD 与 ADEF 所在的平面互相垂直，AB＝1，若将△DEF 沿直线 FD 翻折，使得点 E 落在边 BC 上（即点 P），则当 AD 取最小值时，边 AF 的长是 ；
此时四面体 F﹣ADP 的外接球的半径是 ．
16 ． 设 函 数 f （ x ） x+alnx （ a∈R ） 的 两 个 极 值 点 分 别 为 x1 ， x2 ， 若
2 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ．
三、解答题微博橙子辅导（共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a3＝5，S7＝49．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设 ，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，求证：Tn＜3．
18．如图，在四面体 ABCD 中，AB＝AC＝DB＝DC，点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC
上，且 λ．
（1）若 EF∥平面 ABD，求实数 λ 的值；
（2）求证：平面 BCD⊥平面 AED．19．据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、
金融、商贸、公司和自主创业等六大行业.2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学
与技术和金融工程等三个本科专业，毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人．现采用
分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查学生的就业意向．
（I）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？
（Ⅱ）国家鼓励大学生自主创业，在抽取的 18 人中，含有“自主创业”就业意向的有6
人，且就业意向至少有三个行业的学生有 7 人．为方便统计，将至少有三个行业就业意
向的这 7 名学生分别记为 A，B，C，D，E，F，G，统计如下表：
学生
就业意向
A B C D E F G
公务员 × 〇 × 〇 〇 × ×
教师 × 〇 × 〇 〇 〇 〇
金融 × × 〇 〇 〇 × ×
商贸 〇 〇 〇 × 〇 〇 〇
公司 〇 〇 × 〇 〇 × 〇
自主创业 〇 × 〇 × × 〇 〇
其中“〇”表示有该行业就业意向，“×”表示无该行业就业意向．
（1）试估计该学院 2020 届毕业生中有自主创业意向的学生人数；
（2）现从 A，B，C，D，E，F，G 这 7 人中随机抽取 2 人接受采访．设 M 为事件“抽
取的 2 人中至少有一人有自主创业意向”，求事件 M 发生的概率．
20．已知函数 f（x）＝lnx ．
（1）讨论 F（x）＝g（x）﹣f（x）的单调性；（2）若不等式 h（x）≥f（x）对任意 x∈（0，+∞）恒成立，求 m 的取值范围．
21．在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（﹣1，1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直
线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ．
（Ⅰ）求动点 P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线 AP 和 BP 分别与直线 x＝3 交于点 M，N，问：是否存在点 P 使得△PAB
与△PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所
微博橙子辅导做的第一个题目计分．
22．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系 Ox，极坐标系中 A（ ），B（ ），C（ ），D（ ），弧
所在圆的圆心分别为（ ），（1，π），（ ），（1，0），
曲线 C1 是弧 ，曲线 C2 是弧 ，曲线 C3 是弧 ，曲线 C4 是弧 ．
（1）分别写出 C1，C2，C3，C4 的极坐标方程；
（2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），点 P 的直角坐标为（2，2），若
直线 l 与曲线 C1 有两个不同交点 M，N，求实数 λ 的取值范围，并求出|PM|+|PN|的取值
范围．
23．已知 a＞0，b＞0，且 a+b＝1．（1）求 的最小值；
（2）证明： ．参考答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的）
1．已知集合 A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|log2x≤1}，则 A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，
3}
【分析】B＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，可直接求出 A∩B．
解：B＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，
∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：A．
【点评】本题考查了解对数不等式和交集的运算，熟练掌握对数的运算性质是解题关键，
属基础题．
2．设复数 z 满足 z＝1﹣i，则 z 的共轭复数的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【分析】由已知求出 ，则答案可求．
解：由 z＝1﹣i，
得 ．
则 z 的共轭复数的虚部为 1．故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．观察式子：1 ，1 ，1 ，…，则可归纳出式子为
（ ）
A．1
B．1
C．1
D．1
【分析】根据题意，由每个不等式的左边的最后一项的通项公式，以及右边式子的通项
公式，可得答案．
解：根据题意，1 ，1 ，1 ，…，
第 n 个式子的左边应该是，1 ，
右边应该是： ，并且 n 满足不小于 2，
所以第 n 个式子为：1 ，n≥2，
故选：C．
【点评】本题考查了归纳推理，培养学生分析问题的能力．归纳推理的一般步骤是：
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表
达的一般性命题（猜想）．
4．已知 a＝log52，b＝log72，c＝0.5a﹣2，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
解：∵1＜log25＜log27，
∴1＞log52＞log72，
又 0.5a﹣2＞0.5﹣1＝2，
则 c＞a＞b，
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础
题．
5．某教育机构随机某校 20 个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数
据的茎叶图，以组距为 5 将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），
[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则
原始茎叶图可能是（ ）
A．
B．C．
D．
【分析】根据频率分布直方图，分别计算每一组的频数即可得到结论．
解：由频率分布直方图可知：第一组的频数为 20×0.01×5＝1 个，
[0，5）的频数为 20×0.01×5＝1 个，
[5，10）的频数为 20×0.01×5＝1 个，
[10，15）频数为 20×0.04×5＝4 个，
[15，20）频数为 20×0.02×5＝2 个，
[20，25）频数为 20×0.04×5＝4 个，
[25，30）频数为 20×0.03×5＝3 个，
[30，35）频数为 20×0.03×5＝3 个，
[35，40]频数为 20×0.02×5＝2 个，
则对应的茎叶图为 A，
故选：A．
【点评】本题主要考查茎叶图的识别和判断，利用频分布直方图计算相应的频数是解决
本题的关键，比较基础．
6．我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍薨．如图所示为一个刍童
的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 4，高为 2，则该刍薨的表面积为（ ）
A． B．40 C． D．
【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．
解：三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为： ，
几何体的表面积为，2 16+12 ．
故选：D．
【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
7．已知 ，向量 在向量 上的投影为 1，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据条件可得出 ，从而得出 ，这样根
据向量夹角的范围即可求出夹角．
解：∵ 在 上的投影为： ，∴ ，
又 ，
∴ ．
故选：A．
【点评】考查投影的计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角的方法．
8．已知函数 ，将函数 f（x）的图象向左平
移 个单位长度，得到函数 g（x）的部分图象如图所示，则 是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由题意可知，g（x）＝Acos（ φ）由图象可知 A，T，ω，把代
入 （ ，0） 后 可 得 φ， 进 而 可 得 即 g（x） ＝cos（2x ） ，f（x） ＝cos
（2x ）＝﹣cos（2x ），利用三角函数知识分析充分性和必要性即可．
解：由题意可知，g（x）＝Acos（ φ），
由图象知，A＝1，
T （ ） ，解得 T＝π，所以 ω 2；代入（ ，0）后可得：cos（ φ）＝0，
φ＝kπ ，k∈Z，
所以 φ＝kπ﹣π ，k∈Z，
因为|φ| ，所以 φ ，
即 g（x）＝cos（2x ），
f（x）＝cos（2x ）＝﹣cos（2x ）
当 f（x） 时，cos（2x ） ；
cos（2x ）＝2cos（x ）2﹣1 ，解得 cos（x ） ，
g（ ）＝cos（x ）＝﹣cos（x ） ，
当 时，
g （ ） ＝ cos[2 （ ） ] ＝ cos[x ] ＝ ﹣ cos （ x ）
，
所以 cos（x ） ，
所以 f（x）＝cos（2x ）＝cos[π﹣2（x ）]＝﹣cos2（x ）＝﹣[2cos2
（x ）﹣1]＝﹣[2（ ）2﹣1] ．
故 是 的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数中充要条件的判断，先求出解析式，再进行充要条件的分析，属于中档题
9．如图两个同心球，球心均为点 O，其中大球与小球的表面积之比为 3：1，线段 AB 与 CD
是夹在两个球体之间的内弦，其中 A、C 两点在小球上，B、D 两点在大球上，两内弦均
不穿过小球内部．当四面体 ABCD 的体积达到最大值时，此时异面直线 AD 与 BC 的夹
角为 θ，则 （ ）
A． B． C． D．
【分析】首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为 ，内切球和外接球的表
面积之比为 1：3，符合题意中的小球和大球的比例．判断当四面体 ABCD 体积最大时，
AB，CD 的 位 置 关 系 ， 作 出 异 面 直 线 AD，BC 所 成 的 角 θ， 解 直 角 三 角 形 求 得
．
解：设正方体的边长为 2，则其内切球半径为 1，外接球的半径为 ，
∴内切球和外接球的表面积之比为 1：3，符合题意中的小球和大球的比例，
依题意 CD，AB 最长为 ，AC 最长为小球的直径 2．
∵三角形的面积 ，若 a，b 为定值，则 时面积取得最大值．
画出图象如下图所示，其中 A，C 分别是所在正方形的中心，O 是正方体内切球与外接球的球心，CD∥AD1，CD＝AD1，CB1∥AB，CB1＝AB．
∵ ，故此时四面体 A﹣BCD 的体积最大．
∵CE∥AB，CE＝AB，∴四边形 ABCE 为平行四边形，
∴BC∥AC，∴∠ADE 是异面直线 BC 和 AD 所成 角，∴∠ADE＝θ，
∵AD＝AE，设 G 是 DE 的中点，则 AG⊥DE，
∴ ，∴ ．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能
力，属中档题．
10．2019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19）疫情，并快速席卷我国其他地
区，传播速度很快，因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前
没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最
大，武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺
炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，
强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊
患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”
检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率
均为 p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的概率为 f（p），当 p＝p0 时，f（p）最大，则 p0＝（ ）
A．1 B． C． D．1
【分析】先求出概率，再求最大值，借助于不等式求解．
解：设事件 A 为：检测了 5 个人确定为“感染高危户”；
设事件 B 为：检测了 6 个人确定为“感染高危户”；
∴P（A）＝p（1﹣p）4，P（B）＝p（1﹣p）5，
即 f（p）＝p（1﹣p）4+p（1﹣p）5＝p（2﹣p）（1﹣p）4，
设 x＝1﹣p＞0，则 g（x）＝f（p）＝（1﹣x）（1+x）x4＝（1﹣x2）x4，
∴g（x）＝（1﹣x2）x4 ．
当且仅当 2﹣2x2＝x2，即 时取等号．
即 ．
故选：A．
【点评】本题考查概率，以及求函数最值，属于中档题．
11．已知 F 为双曲线 1（a＞0，b＞0）的右焦点，定点 A 为双曲线虚轴的一个顶
点，过 F，A 的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴左侧的交点为 B，若 （ 1）
，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】设 F（c，0），A（0，﹣b），渐近线方程为 y x，求出 AF 的方程与 y
x 联立可得 B（ ， ），利用 （ 1） ，可得 a，c 的关系，
即可求出双曲线的离心率．解：设 F（c，0），A（0，﹣b），渐近线方程为 y x，则
直线 AF 的方程为 1，与 y x 联立可得 B（ ， ），
∵ （ 1） ，
∴（﹣c，﹣b）＝（ 1）（ ， b），
∴﹣c＝（ 1） ，
∴e ，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，
属于中档题．
12．已知函数 f（x）的导函数为 f'（x），且对任意的实数 x 都有 f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f
（x）（e 是自然对数的底数），且 f（0）＝1，若关于 x 的不等式 f（x）﹣m＜0 的解集
中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．[﹣e2，0） B．（﹣e，0] C．[﹣e，0） D．（﹣e2，0]
【分析】由题意可得，f（x）+f'（x）＝e﹣x（2x+3），考虑构造 g（x）＝exf（x），对
其求导，结合已知可求 g（x），进而可求 f（x），结合导数分析其性质，即可求解．
解：由题意可得，f（x）+f'（x）＝e﹣x（2x+3），
令 g（x）＝exf（x），则 g′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]＝2x+3，
故 g（x）＝x2+3x+c，
又 g（0）＝f（0）＝1＝c，
所以 g（x）＝x2+3x+1，f（x） ， ，当 x＞1 或 x＜﹣2 时，f′（x）＜0，函数单调递减，当﹣2＜x＜1 时，f′（x）＞0，函
数单调递增，
故当 x＝1 时，函数取得极大值 f（1） ，当 x＝﹣2 时，函数取得极小值 f（﹣2）＝
﹣e2，
又 f（﹣1）＝﹣e，f（0）＝1，f（﹣3）＝e3 且 x＞1 时，f（x）＞0，
结合函数的图象，要使得 f（x）﹣m＜0 的解集中恰有两个整数，
则 f（﹣1）＜m≤0，即﹣e＜m≤0，
故实数 m 的取值范围是（﹣e，0]．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用导数求解不等式的参数范围问题，体现了转化思想及分类
讨论思想的应用，属于中档题．
二、填空题微博橙子辅导（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．等差数列{an}中，a2+a7+a12＝24，则 S13＝ 104 ．
【分析】由题意和等差数列的性质可得 a7 的值，由等差数列的求和公式和性质可得 S13＝
13a7，代入计算可得．解：∵等差数列{an}中 a2+a7+a12＝24，
∴由等差数列的性质可得 3a7＝a2+a7+a12＝24，
解得 a7＝8，
∴S13 13a7＝104，
故答案为：104．
【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．
14．已知圆 C 的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦点，直线 4x﹣3y﹣2＝0 与圆 C 相交于 A、B 两点，
且|AB|＝6，则圆 C 的标准方程为 x2+（y﹣1）2＝10
【分析】由题意可知，圆心 C（0，1），再利用点到直线距离公式求出圆心到直线 4x﹣
3y﹣2＝0 的距离，再利用勾股定理即可求解．
解：由题意可知，圆心 C（0，1），
∴圆心 C（0，1）到直线 4x﹣3y﹣2＝0 的距离 d ，
又∵直线 4x﹣3y﹣2＝0 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|＝6，
∴圆 C 的半径 r ，
∴圆 C 的标准方程为：x2+（y﹣1）2＝10，
故答案为：x2+（y﹣1）2＝10．
【点评】本题主要考查了直线与圆相交的问题，是中档题．
15．已知两矩形 ABCD 与 ADEF 所在的平面互相垂直，AB＝1，若将△DEF 沿直线 FD 翻
折，使得点 E 落在边 BC 上（即点 P），则当 AD 取最小值时，边 AF 的长是 ；
此时四面体 F﹣ADP 的外接球的半径是 ．【分析】由已知中矩形 ABCD 与矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，将△DEF 沿 FD 翻
折，翻折后的点 E 恰与 BC 上的点 P 重合．设 AB＝1，FA＝x（x＞1），AD＝y，我们
利用勾股定理分别求出 BP，PC，根据 BC＝BP+PC，可以得到 x，y 的关系式，利用换
元法结合二次函数的性质，可得答案．四面体 F﹣ADP 的外接球的球心为 DF 的中点，
即可求出四面体 F﹣ADP 的外接球的半径．
解：设 FA＝x（x＞1），AD＝y，
∵矩形 ABCD 与矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，AB＝1，FA＝x（x＞1），AD＝y，
∴FE＝FP＝AD＝BC＝y，AB＝DC＝1，FA＝DE＝DP＝x
在 Rt△DCP 中，PC
在 Rt△FAP 中，AP
在 Rt△ABP 中，BP
∵BC＝BP+PC y
整理得 y2 ，令 x2
则 y2 ，
则当 t ，即 x 时，y 取最小值 2．
四面体 F﹣ADP 的外接球的球心为 DF 的中点，DF ，四面体 F﹣ADP
的外接球的半径是 ．故答案为： ， ．
【点评】本题考查的知识点是空间两点之间的距离计算，由于本题是几何与代数知识的
综合应用，运算量比较大，而且得到的 x，y 的关系比较复杂，因此要用换元法，简单表
达式．
16 ． 设 函 数 f （ x ） x+alnx （ a∈R ） 的 两 个 极 值 点 分 别 为 x1 ， x2 ， 若
2 恒成立，则实数 a 的取值范围是 a≥e ．
【分析】由函数 f（x） x+alnx（a∈R）有两个极值点分别为 x1，x2，可知 f（x）
不单调，利用导数求得 a 的范围，运用韦达定理可得 a＝x1+x2＝x2 2，作差 f
（x1）﹣f（x2），再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数 F（x）
x •lnx（x＞1），通过求导，判断单调性可得 x2≥e，即可得到 a 的范
围．
解：∵函数 f（x） x+alnx（a∈R）有两个极值点分别为 x1，x2，
f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x） 1 ，
令 g（x）＝x2﹣ax+1，其判别式△＝a2﹣4．
当﹣2≤a≤2 时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．
当 a＜﹣2 时，△＞0，g（x）＝0 的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，则
f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．
当 a＞2 时，△＞0，设 g（x）＝0 的两个根 x1，x2 都大于零，
令 x1 ，x2 ，x1x2＝1，
当 0＜x＜x1 时，f′（x）＜0，当 x1＜x＜x2 时，f′（x）＞0，当 x＞x2 时，f′（x）＜
0，故 f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，
∴a 的取值范围是（2，+∞）．
则 a＝x1+x2＝x2 2，
∵f（x1）﹣f（x2） x1+alnx1﹣（ x2+alnx2） （x2﹣x1）+a
（lnx1﹣lnx2），
∴ 1+a• 2+a• ．
若 2 恒成立，则﹣2+a• 2，
∴ ，
不妨设 x1＜x2，则 x1﹣x2 （lnx1﹣lnx2）．
又 x1 ，∴ x2 （﹣2lnx2），
∴ x2 lnx2≤0（x2＞1）①恒成立．
记 F（x） x •lnx（x＞1），F′（x） 1 • ，
记 x1′ [ ]，x2′ [ ]，
F（x）在（1，x2′）上单调递增，在（x2′，+∞）上单调递减，
且易知 0＜x1′＜1＜x2′＜e．又 F（1）＝0，F（e）＝0，
∴当 x∈（1，e）时，F（x）＞0；当 x∈[e，+∞）时，F（x）≤0．
故由①式可得，x2≥e，代入方程 g（x2）＝x22﹣ax2+1＝0，得 a＝x2 e （a＝x2 在 x2∈[e，+∞）上递增）．
又 a＞2，∴a 的取值范围是 a≥e ．
故答案为：a≥e ．
【点评】本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的
思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算
能力，属于难题．
三、解答题微博橙子辅导（共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a3＝5，S7＝49．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设 ，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，求证：Tn＜3．
【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出结果．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
则： ，
解得：a1＝1，d＝2，
故 ：
．
证明：（Ⅱ）由于：an＝2n﹣1，所以 ，
则： ①
②
①﹣②得： ．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数
列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18．如图，在四面体 ABCD 中，AB＝AC＝DB＝DC，点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC
上，且 λ．
（1）若 EF∥平面 ABD，求实数 λ 的值；
（2）求证：平面 BCD⊥平面 AED．
【分析】（1）因为 EF∥平面 ABD，所以 EF⊂平面 ABC，EF∥AB，由此能够求出实数
λ 的值．
（2）因为 AB＝AC＝DB＝DC，点 E 是 BC 的中点，所以 BC⊥AE，BC⊥DE，由此能
够证明平面 BCD⊥平面 AED．
解：（1）因为 EF∥平面 ABD，易得 EF⊂平面 ABC，
平面 ABC∩平面 ABD＝AB，所以 EF∥AB，
又点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上，
所以点 F 为 AC 的中点，
由 得 ；
（2）因为 AB＝AC＝DB＝DC，点 E 是 BC 的中点，
所以 BC⊥AE，BC⊥DE，
又 AE∩DE＝E，AE、DE⊂平面 AED，
所以 BC⊥平面 AED，
而 BC⊂平面 BCD，
所以平面 BCD⊥平面 AED．
【点评】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证
能力．
19．据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、
金融、商贸、公司和自主创业等六大行业.2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学
与技术和金融工程等三个本科专业，毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人．现采用
分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查学生的就业意向．
（I）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？（Ⅱ）国家鼓励大学生自主创业，在抽取的 18 人中，含有“自主创业”就业意向的有6
人，且就业意向至少有三个行业的学生有 7 人．为方便统计，将至少有三个行业就业意
向的这 7 名学生分别记为 A，B，C，D，E，F，G，统计如下表：
学生
就业意向
A B C D E F G
公务员 × 〇 × 〇 〇 × ×
教师 × 〇 × 〇 〇 〇 〇
金融 × × 〇 〇 〇 × ×
商贸 〇 〇 〇 × 〇 〇 〇
公司 〇 〇 × 〇 〇 × 〇
自主创业 〇 × 〇 × × 〇 〇
其中“〇”表示有该行业就业意向，“×”表示无该行业就业意向．
（1）试估计该学院 2020 届毕业生中有自主创业意向的学生人数；
（2）现从 A，B，C，D，E，F，G 这 7 人中随机抽取 2 人接受采访．设 M 为事件“抽
取的 2 人中至少有一人有自主创业意向”，求事件 M 发生的概率．
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样直接求解．
（Ⅱ）（1）利用样本数据能估计该学院 2020 届毕业生中有自主创业意向的学生人数．
（2）A，B，C，D，E，F，G 这 7 人中有 4 人有自主创业意向，从 A，B，C，D，E，
F，G 这 7 人中随机抽取 2 人接受采访．基本事件总数 n 21，事件 M 包含的基
本个数 m 18，由此能求出事件 M 发生的概率．
解：（Ⅰ）某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、金融、商贸、公司和自
主创业等六大行业．2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程等三个本科专业，
毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人．
现采用分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查学生的就业意向．
应从该学院数学与应用数学毕业生中抽取：18 3 人，
计算机科学与技术毕业生中抽取：18 6 人，
金融工程毕业生中抽取：18 9 人．
（Ⅱ）（1）估计该学院 2020 届毕业生中有自主创业意向的学生人数为：
（70+140+210）＝140 人．
（2）A，B，C，D，E，F，G 这 7 人中有 4 人有自主创业意向，
从 A，B，C，D，E，F，G 这 7 人中随机抽取 2 人接受采访．
基本事件总数 n 21，
设 M 为事件“抽取的 2 人中至少有一人有自主创业意向”，
事件 M 包含的基本个数 m 18，
∴事件 M 发生的概率 P（M） ．
【点评】本题考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查
运算求解能力，是基础题．
20．已知函数 f（x）＝lnx ．
（1）讨论 F（x）＝g（x）﹣f（x）的单调性；
（2）若不等式 h（x）≥f（x）对任意 x∈（0，+∞）恒成立，求 m 的取值范围．【分析】（1 ）表示出 F （x ）并求导，当 a ≤0 时，F ′（x ）＜0 ，当 a ＞0 时，
时，F′（x）＜0， 时，F′（x）＞0，由此即可得出单
调性情况；
（ 2 ） 原 问 题 等 价 于 在 x∈ （ 0 ， + ∞ ） 上 恒 成 立 ， 构 造 函 数
，利用导数求出函数 G（x）的最大值即可．
解：（1） ，
∴ ，
①当 a≤0 时，F′（x）＜0，此时 F（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当 a＞ 0 时 ， 可 知 当 时 ， F′ （ x） ＜ 0， F（ x） 单 调 递 减 ， 当
时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
综上，当 a≤0 时，F（x）在（0，+∞）上单调递减；当 a＞0 时，F（x）在
上单调递减，在 上单调递增；
（2）依题意，mxex﹣1≥lnx+x 在 x∈（0，+∞）上恒成立，即 在 x∈
（0，+∞）上恒成立，
设 ， 则 ， 令 p （ x ） ＝ ﹣ lnx ﹣ x ， 则
，
∴p（x）在（0，+∞）上单调递减，且 ，
故存在 ，使得 p（x0）＝﹣lnx0﹣x0＝0，即 lnx0+x0＝0，即 ，
当 x∈（0，x0）时，p（x）＞0，G′（x）＞0，当 x∈（x0，+∞）时，p（x）＜0，G′
（x）＜0，∴ ，
∴实数 m 的取值范围为 m≥1．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，
考查分离变量法以及分类讨论思想的运用，考查运算能力，属于中档题．
21．在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（﹣1，1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直
线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ．
（Ⅰ）求动点 P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线 AP 和 BP 分别与直线 x＝3 交于点 M，N，问：是否存在点 P 使得△PAB
与△PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）设点 P 的坐标为（x，y），先分别求出直线 AP 与 BP 的斜率，再利用直
线 AP 与 BP 的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点 P 的轨迹方程；
（ Ⅱ ） 对 于 存 在 性 问 题 可 先 假 设 存 在 ， 由 面 积 公 式 得 ：
．根据角相等消去三角函数得比例
式，最后得到关于点 P 的纵坐标的方程，解之即得．
解：（Ⅰ）因为点 B 与 A（﹣1，1）关于原点 O 对称，所以点 B 得坐标为（1，﹣
1）．
设点 P 的坐标为（x，y）
化简得 x2+3y2＝4（x≠±1）．
故动点 P 轨迹方程为 x2+3y2＝4（x≠±1）
（Ⅱ）解：若存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点 P 的坐标为（x0，y0）
则 ．因为 sin∠APB＝sin∠MPN，
所以
所以
即（3﹣x0）2＝|x02﹣1|，解得
因为 x02+3y02＝4，所以
故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点 P 的坐标为（ ）．
【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所
微博橙子辅导做的第一个题目计分．
22．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系 Ox，极坐标系中 A（ ），B（ ），C（ ），D（ ），弧
所在圆的圆心分别为（ ），（1，π），（ ），（1，0），
曲线 C1 是弧 ，曲线 C2 是弧 ，曲线 C3 是弧 ，曲线 C4 是弧 ．
（1）分别写出 C1，C2，C3，C4 的极坐标方程；
（2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），点 P 的直角坐标为（2，2），若
直线 l 与曲线 C1 有两个不同交点 M，N，求实数 λ 的取值范围，并求出|PM|+|PN|的取值
范围．【 分 析 】 （ 1 ） 设 弧 上 任 意 一 点 M （ ρ1 ， θ ） ， 推 出
， 同 理 可 得 ： C2 的 极 坐 标 方 程 为
； C3 的 极 坐 标 方 程 为
；C4 的 极 坐 标 方 程 为 ρ4 ＝2cosθ， 或
．
（2）直线 l 的参数方程为 ，消去 t 得 y＝2+λ（x﹣2），过定点 P（2，
2），C1 直角坐标方程为 x2+（y﹣1）2＝1
直线 l 的标准参数方程为 ，代入 C1 直角坐标方程 x2+（y﹣1）2＝1，
求出|PM|+|PN|的表达式，
然后求解|PM|+|PN|的取值范围．
解：（1）如图所示：
设弧 上任意一点 M（ρ1，θ）
因为 ABCD 是边长为 2 的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为 1，
所以 ，
所以 C1 的极坐标方程为 ；同理可得：C2 的极坐标方程为 ；C3 的极坐标方程为
；C4 的极坐标方程为 ρ4 ＝2cosθ ， 或
，
（2）因为直线 l 的参数方程为 ，
所以消去 t 得 y＝2+λ（x﹣2），过定点 P（2，2），C1 直角坐标方程为 x2+（y﹣1）2＝
1，
如图所示：
，
因为直线 l 与曲线 C1 有两个不同交点 M，N，
所以 ，
因为直线 l 的标准参数方程为 ，代入 C1 直角坐标方程 x2+（y﹣1）2
＝1
得 ，，
令 ，
所以 ，
所以 ．
所以|PM|+|PN|的取值范围是 ．
【点评】本题考查极坐标方程的应用，参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力，
是难题．
23．已知 a＞0，b＞0，且 a+b＝1．
（1）求 的最小值；
（2）证明： ．
【分析】（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
解：（1） ，当
且仅当“ ”时取等号，故 的最小值为 ；
（2）证明： ，
当且仅当 时取等号，此时 a+b≠1．
故 ．
【点评】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．
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