重庆市名校联盟2020届高三数学（理）二诊模拟试题（B卷）（含答案Word版）

（理数）第 1 页 共 15 页 试卷类型：B 重庆市名校联盟高 2020 级“二诊”模拟考试 理科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的） 1．设集合 ，则 = A． B． C． D． 2．设 ，则在复平面内 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若 x，y 满足约束条件 且 的最大值为 ，则 a 的取值范围是 A． B． C． D． 4．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，小方：“我得第 一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”．已知 他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名．根据以上信息可以判断出得第一名的人 是 A．小明 B．小马 C．小红 D．小方 ( ) BAC R { | 3}, { |1 9}A x y x B x x= = − = < ≤ (1,3) (3,9) [3,9] ∅ 4 3z i= − 1 z 4 0, 2 0, 2 0, x y x x y − + ≥  − ≤  + − ≥ z ax y= + 2 6a + [ 1, )− +∞ ( , 1]−∞ − ( 1, )− +∞ ( , 1)−∞ −（理数）第 2 页 共 15 页 5．设点 在 的内部,且有 ,则 的面积与 的面积之比为 A． B． C． D． 6．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问 题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若 干？”意思是：有 5 人分 40 两银子，甲分 10 两 4 钱，戊分 5 两 6 钱，且相邻两项差相等， 则乙丙丁各分几两几钱？（注：1 两等于 10 钱） A．乙分 8 两，丙分 8 两，丁分 8 两 B．乙分 8 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 7 两 8 钱 C．乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱 D．乙分 9 两，丙分 8 两，丁分 7 两 7．设实数 ，则 展开式中的常数项为 A． B． C． D． 8．在直角坐标系 中，角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边与圆 交于第一象限内的点 ，点 的纵坐标为 ，把射线 顺时针旋转 ， 到达射线 ， 点在圆 上，则 的横坐标是 A． B． C． D． 9．下图是一个算法的程序框图，如果输入 ， ，那么输出的结果为 O ABC∆ ( )3 2AB OB OC= +   ABC∆ BOC∆ 3 1 3 2 1 2 1 2 1 1a x dx− = −∫ 6 2 12ax x  −   35 2 π− 320π− 415 16 π 415π xOy α x 2 2: 4O x y+ = P P 2 3 OP 3 π OQ Q O Q 5 2 3 6 + 2 2 3 6 + 2 2 3 3+ 2 2 3 3 − 0i = 0S =（理数）第 3 页 共 15 页 A． B． C． D． 10．设函数 是定义在 上的连续函数，且在 处存在导数，若函数 及 其导函数 满足 ，则函数 ( ) A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值 C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值 11．过双曲线 的右焦点 作渐近线的垂线，设垂足为 （ 为第 一象限的点），延长 交抛物线 于点 ，其中该双曲线与抛物线有一个 共同的焦点，若 ，则双曲线的离心率的平方为 A． B． C． D． 12．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结 论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的 logo 很相似，故形象地称 其为“奔驰定理”若 是锐角 内的一点， ， ， 是 的三个内角，且点 满 足 ，则必有 2 3 3 4 4 5 5 6 ( )f x ( 1, )− +∞ 0x = ( )f x ( )f x′ ( )f x′ ( )( )ln( 1) 1 f xf x x x x+ -¢ = + ( )f x 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F P P FP 2 2 ( 0)y px p= > Q 1 ( )2OP OF OQ= +   5 5 2 5 1+ 5 1 2 + O ABC∆ BOC∆ AOC∆ AOB∆ AS BS CS 0A B CS OA S OB S OC⋅ + ⋅ + ⋅ =    O ABC∆ A B C ABC∆ O OA OB OB OC OC OA⋅ = ⋅ = ⋅     （理数）第 4 页 共 15 页 A． B． C． D． 二、填空题微博橙子辅导（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知实数 x，y 满足 ，则 的最小值为________． 14．已知等差数列 和等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，则 ______. 15．长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由 13 名教师组成的队伍下乡支教， 记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学 教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学 高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无 论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是 ____． 16．定义函数 ，表示函数 与 较小的函数．设函数 ， ，p 为正实数，若关于 x 的方程 恰有三个不同的解， 则这三个解分别是________． sin sin sin 0A OA B OB C OC⋅ + ⋅ + ⋅ =    cos cos cos 0A OA B OB C OC⋅ + ⋅ + ⋅ =    tan tan tan 0A OA B OB C OC⋅ + ⋅ + ⋅ =    sin 2 sin 2 sin 2 0A OA B OB C OC⋅ + ⋅ + ⋅ =    2 2 0 2 0 2 2 0 x y x y x y − − ≥  − + ≥  + − ≥ 3z x y= − { }na { }nb n ,n nS T ( )*3 2 2 1 n n S n n NT n += ∈− 3 3 a b = { }1 2( ) min ( ), ( )f x f x f x= 1( )f x 2 ( )f x 1( ) 2 xf x = 2 ( ) 3 2 x pf x −= ⋅ ( ) 3f x =（理数）第 5 页 共 15 页 三、解答题微博橙子辅导（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 17．(本小题满分 12 分) 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的值. 18．(本小题满分 12 分) 如图 1 所示，在等腰梯形 中， .把 沿 折起，使得 ，得到四棱锥 .如图 2 所示. （1）求证：面 面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 19．(本小题满分 12 分) 已知椭圆 ， 、 为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上 一点，且 . （1）求椭圆的标准方程； ABC∆ ( )2 2 2(2 ) 2 cosa c a b c abc C− − + = B 3sin 1 3 cos 02A C  + − + =    b a ABCD , 3, 15, 3 3BE AD BC AD BE⊥ = = = ABE∆ BE 6 2AC = A BCDE− ACE ⊥ ABD ABE ACD 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F 21, 2P       1 3 2| | 2PF =（理数）第 6 页 共 15 页 （2）设直线 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，线段 的垂直平分线分别 交直线 、直线 于 、 两点，当 最小时，求直线 的方程. 20．(本小题满分 12 分) 已知函数 . （1）求函数 的单调区间和极值； （2）证明： . 21．(本小题满分 12 分) 手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工 技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工 艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量 关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请 3 位行家进行质量把关，质量把关程序如下： （i）若一件手工艺品 3 位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为 A 级；（ii）若仅有 1 位行家认为质量不过关，再由另外 2 位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这 2 位 行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为 B 级，若第二次质量把关这 2 位行家中有 1 位 或 2 位认为质量不过关，则该手工艺品质量为 C 级；（iii）若有 2 位或 3 位行家认为质量 不过关，则该手工艺品质量为 D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被 1 位行家认为质 量不过关的概率为 ，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为 B 级的概率； （2）若一件手工艺品质量为 A,B,C 级均可外销，且利润分别为 900 元，600 元，300 元，质 量为 D 级不能外销，利润记为 100 元. ①求 10 件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记 1 件手工艺品的利润为 X 元，求 X 的分布列与期望. : 2l x = − 2F A B AB l AB M N MAN∠ AB ( ) ln 1xf x x += ( )f x ( ) ( )2 * 2 2 2 ln 2 ln3 ln 2 1 , 22 3 4 1 n n n n N nn n − −+ +⋅⋅⋅+ < ∈ ≥+ 1 3（理数）第 7 页 共 15 页 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所 微博橙子辅导做的第一个题目计分． 22．(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.点 在曲线 上，点 满足 . （1）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点 的轨迹 的极 坐标方程； （2）点 ， 分别是曲线 上第一象限，第二象限上两点，且满足 ，求 的值. 23．(本小题满分 10 分) 设函数 . （1）求不等式 的解集； （2）记函数 的最小值为 ，若 为正实数，且 ，求 的最 小值. xOy C 2 2 2 1 1 2 1 tx t ty t  −= +  = + t ( )0 0,p x y C ( , )Q m n 0 0 2 3 m x n y = = O x Q 1C A B 1C 2AOB π∠ = 2 2 1 1 | | | |OA OB + ( ) 2 1 1f x x x= − + + ( ) 4f x ≥ ( )f x t , ,a b c a b c t+ + = 2 2 2a b c+ +（理数）第 8 页 共 15 页 理科数学参考答案（B 卷） 17． （1）∵角 的对边分别为 ，且 ∴ ， ∴ ∴ ，∵由正弦定理得： ， ∴ ， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ∵ ，∴ . （2）∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ∴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A D A A A C D C C C D C 3 小学中级 、 、 , ,A B C , ,a b c ( )( )2 2 22 2 cosa c a b c abc C− − + = ( )( )2 2 22 cos2 a c a c b b Cac − + − = ( )2 cos cosa c B b C− = cos 2 cos b B a c C =− 2sin sin sin a b c RA B C = = = 2 sina R A= 2 sinb R B= 2 sinc R C= 2 sin cos 4 sin 2 sin cos R B B R A R C C =− 2sin cos sin cos sin cosA B C B B C− = 2sin cos sin cos cos sinA B C B C B= + ( )sin sinC B A= + = sin 0A ≠ 1cos 2B = ( )0 00 ,180B∈ 060B = 3sin 1 3 cos 02A C  + − + =    3sin 1 3cos 02A C+ − − = 1sin 3cos 2A C− = 060B = 0 0180 60C A= − − 0120C A= − ( )0 1sin 3cos 120 2A A− − = ( )0 0 1sin 3 cos120 cos sin120 sin 2A A A− + = 1 3 1sin 3 cos sin2 2 2A A A − × − − =   17 9 2 2log 3 log 3 p p− + + =2 2log 3 log 3 p p− + + =2log 3 p 2 1 1 3 2(1 ) 2 2PF c= + + = 1c = 2 2| | 2PF = 1 2 2 2 2PF PF a+ = = 2a = 1b = 2 2 12 x y+ = AB : 1AB x ty= + 2 2 1 12 x ty x y = + + = ( )2 22 2 1 0t y ty+ + − = AB ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) ( )2 2 24 4 2 8 1 0t t t∆ = + + = + > 1 2 2 2 2 ty y t −+ = + 1 2 2 1 2y y t = − + 2 2N ty t = − + 2 2 2 21 12 2N N tx ty t t = + = − + =+ +（理数）第 12 页 共 15 页 ∵ ，∴ ，∴ 又 ∴ 当且仅当 即 时取等号. 此时直线 的方程为 或 . 20． （1）∵函数 ，∴ ，则 ， 由 ，得 ，列表如下： 1 + 0 - 单调递增 极大值 1 单调递减 因此增区间为 ，减区间为 ，极大值为 ，无极小值. （2）证明：由（1）可得 ， ∴ ，当且仅当 时取等号. 令 ， MN AB⊥ MNk t= − 2 2 2 2 2 2 2 6| | 1 2 12 2 tMN t tt t += + ⋅ − − = + ⋅+ + 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1| | | | 1 12 2 2 tAN AB t y y t t += = + ⋅ − = + ⋅ + ( )2 2 2 2 2 3| | 2tan 2 1 2 2 2 4| | 1 1 tMNMAN tAN t t +  ∠ = = = + + ≥ ⋅ =  + +  2 2 21 1 t t + = + 1t = ± AB 1 0x y+ − = 1 0x y− − = ( ) ln 1xf x x += 0x > ( ) 2 ln' xf x x = − ( )' 0f x = 1x = x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )'f x ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )1 1f = ( ) ( ) ( )max ln 1 1 1xf x f x fx += ≤ = = ln 11x x x ≤ − 1x = ( )2 *, 2x n n N n= ∈ ≥（理数）第 13 页 共 15 页 ∴ ，∴ ， ∴ . 21． （1）一件手工艺品质量为 B 级的概率为 . （2）①由题意可得一件手工艺品质量为 D 级的概率为 ， 设 10 件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是 件，则 ， 则 , . 由 得 ，所以当 时， ，即 ， 由 得 ，所以当 时， ， 所以当 时， 最大，即 10 件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是 2 件. ②由上可得一件手工艺品质量为 A 级的概率为 ，一件手工艺品质量为 B 级的 概率为 ， 一件手工艺品质量为 C 级的概率为 ， 一件手工艺品质量为 D 级的概率为 ， 所以 X 的分布列为 2 2 2 ln 11n n n < − ( ) ( )2 2 ln 1 1 1 1 1 1 11 1 1 22 2 1 2 1 n nn n n n n n     < − < − = − + ≥    + +     2 2 2 ln 2 ln3 ln 2 3 n n + +⋅⋅⋅+ 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 12 2 3 2 3 4 2 1n n      < − + + − + + + − +     +      ( ) ( )2 *1 1 1 2 11 , 22 1 2 4 1 n nn n N nn n − − − + − = ∈ ≥ + +  = 1 2 2 3 1 1 1 16C (1 ) (1 )3 3 3 81 × × − × − = 2 2 3 3 3 3 1 1 1 7C ( ) (1 ) C ( )3 3 3 27 × × − + × = ξ 7~ (10, )27Bξ 10 10 7 20( ) C ( ) ( )27 27 k k kP kξ −= = 1 1 9 10 10 10 7 20C ( ) ( )( 1) 70 727 27 7 20( ) 20 20C ( ) ( )27 27 k k k k k k P k k P k k ξ ξ + + − − = + −= == + 70 7 120 20 k k − >+ 50 27k < 1k = ( 2) 1( 1) P P ξ ξ = >= ( 2) ( 1)P Pξ ξ= > = 70 7 120 20 k k − 2k ≥ ( 1) ( )P k P kξ ξ= + < = 2k = ( )P kξ = 31 8(1 )3 27 − = 16 81 1 2 1 2 3 2 1 1 1 1 1 20C (1 ) [C (1 ) ( ) ]3 3 3 3 3 81 × × − × × × − + = 7 27（理数）第 14 页 共 15 页 X 900 600 300 100 P 则期望为 . 22． （1） ， ∵ ，∴ ，∴ ， 由题可知： ， ： （ ）. （2）因为 ， 设 ， ， 则 ， ， . 8 27 16 81 20 81 7 27 8 16 20 7 13100( ) 900 600 300 10027 81 81 27 27E X = × + × + × + × = 2 22 2 2 2 2 1 2 11 1 t tx y t t  −  + = + =   + +   ( ]2 2 1 1,11 t t − ∈ −+ 1x ≠ − 2 2 1( 1)x y x+ = ≠ − 0 0 2 3 m x n y = = 0 2 2 0 2 1( 2)4 3 3 mx m n mny  =⇒ ⇒ + = ≠ −  = 1C 2 2 2 23 cos 4 sin 12ρ θ ρ θ+ = π θ π− < < 2 2 2 12 3cos 4sin ρ θ θ= + ( )1 1,A ρ θ 2 1, 2B πρ θ +   2 2 1 1 2 1 3cos 4sin1 12 θ θ ρ += 2 2 1 1 2 2 3cos 4sin1 2 2 12 π πθ θ ρ    + + +      = 2 2 1 13sin 4cos 12 θ θ+= 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 7 | | | | 12OA OB ρ ρ+ = + =（理数）第 15 页 共 15 页 23． （1）原不等式等价于： 或 或 ， 解得 或 ， 所以不等式 的解集是 . （2）由（1）函数 的最小值为 2， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，当且仅当 时，取等号. 所以 的最小值是 . 1 3 1 4 x x ≤ − − + ≥ 1 1 3 4 x x − <