重庆市名校联盟2020届高三数学（理）二诊模拟试题（A卷）（含答案Word版）

（理数）第 1 页 共 16 页 试卷类型：A 重庆市名校联盟高 2020 级“二诊”模拟考试 理科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的） 1．已知集合， ，则 A． B． C． D． 2．若单位向量 ， 夹角为 ， ，则 A．4 B．2 C． D．1 3．观察式子： ， ， ，...，则可归纳出式子 为 A． B． C． D． { }2 0 , 1xA x B x xx  −= ≥ = 0>ω | | 2 ϕ π< ( )f x（理数）第 3 页 共 16 页 平移 个单位长度，得到函数 的部分图象如图所示，则 是 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．如图两个同心球，球心均为点 ，其中大球与小球的表面积之比为 3:1，线段 与 是夹在两个球体之间的内弦，其中 两点在小球上， 两点在大球上， 两内弦均不穿过小球内部.当四面体 的体积达到最大值时，此时异面直线 与 的夹角为 ，则 A． B． C． D． 10．2019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（ ）疫情，并快速席卷我国其他 地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没 有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武 汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无 法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理， 不落一户、不漏一人.在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这 种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭 为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 （ ）且相互独立，该 家庭至少检测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的概率为 ，当 时， 最大， 则 A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 3 4 π ( )g x 1( ) 3f x = 3 2 12 3 xg π + =   O AB CD A C、 B D、 ABCD AD BC θ sin 2 θ = 6 6 2 4 30 6 2 6 33 COVID 19− p 0 1p< < ( )f p 0p p= ( )f p 0p = 61 3 − 6 3 1 2 31 3 − ( ) { }1 2 1 2, max ,d A B x x y y= − − ( )1 1,A x y（理数）第 4 页 共 16 页 的“切比雪夫距离”，又设点 及 上任意一点 ，称 的最小值为点 到 直线 的“切比雪夫距离”，记作 ，给出下列三个命题： ①对任意三点 、 、 ，都有 ； ②已知点 和直线 ： ，则 ； ③到定点 的距离和到 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形. 其中正确的命题有 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 12．已知函数 ， 与 的图象上存在关于 轴对称的 点，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． ( )2 2,B x y P l Q ( ),d P Q P l ( ),d P l A B C ( ) ( ) ( ), , ,d C A d C B d A B+ ≥ ( )3,1P l 2 1 0x y− − = ( ) 4, 3d P l = M M ( ) 3 1f x x a= − + + 1 ,x ee  ∈   ( ) 3lng x x= x a 30, 4e −  3 10, 2e  +   3 3 1 2, 4ee  + −   3 4,e − +∞ （理数）第 5 页 共 16 页 二、填空题微博橙子辅导（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．若 ，则函数 的图象在 处的切线方程为________． 14．已知圆 的圆心是抛物线 的焦点，直线 与圆 相交于 两 点，且 ，则圆 的标准方程为____ 15．已知两矩形 与 所在的平面互相垂直， ，若将 沿直线 翻折，使得点 落在边 上（即点 ），则当 取最小值时，四面体 的外接 球的半径是__________. 16．设函数 的两个极值点分别为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是_______． 三、解答题微博橙子辅导（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 已知 为等差数列 的前 项和， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ， 为数列 的前 项和，求证： . π 2 0 sin da x x= ∫ ( ) 1exf x ax −= + 1x = C 2 4x y= 4 3 2 0x y− − = C A B、 6AB = C ABCD ADEF 1AB = DEF FD E BC P AD F ADP− 1( ) ln ( )f x x a x a Rx = − + ∈ 1 2,x x ( ) ( )1 2 2 1 2 2 21 f x f x e ax x e − −− − a nS { }na n 3 5a = 7 49=S { }na 2 n n n ab = nT { }nb n 3nT 0b > 1a b+ = 1 2 a b + 2 2 2 5 1 2 ab b a b + ( )' 0F x < 10 x a < < ( )' 0F x > 1x a > ( )F x 10, a      1( , )a +∞ ( ) ( )h x f x≥ 0( )x∈ + ∞ 1 lnxmxe x x− ≥ +（理数）第 12 页 共 16 页 因为 ，所以 令 令 ， ， 故 在 上单调递减，且 ， ， 故存在 使得 ， 即 即 ， 当 时， ， ； 当 ， ， ； 所以 ， 故实数 的取值范围是 . 21． （1） ，故 ，设 ，故 . 整理得到： ， . （2）设 ，则 到直线 的距离为 ，故 0x > ln 1 x x xm xe + +≥ ( ) ln 1 x x xG x xe + += ( ) ( )( )' 2 1 ln x x x xG x x e + − −= ( ) lnp x x x= − − ( )' 1 1 0p x x = − − < ( )p x (0, )+∞ 1 11 0p e e   = − >   ( )1 1 0p = − < 0 1 ,1x e  ∈   ( )0 0 0ln 0P x x x= − − = 0 0ln 0x x+ = 0 0 xx e−= ( )00,x x∈ ( ) 0p x > ( ) 0G x′ > 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0p x < ( ) 0G x′ < ( ) ( ) 0 0 0ax 0 m 0 0 0 ln 1 1 1x x x x xG x G x x e e e− + += = = = m m 1≥ ( 1,1)A − (1, 1)B − ( ),P x y 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3PA PB y y yk k x x x − + −⋅ = ⋅ = = −+ − − 2 23 14 4 x y+ = 1x ≠ ± ( )0 0,P x y P AB 0 0 2 x yd +=（理数）第 13 页 共 16 页 ； ，故直线 ： ，取 得到 ， 同理可得： ， 故 ， 故 ， 故 ，整理得到 ，故 . 故存在点 或 满足条件. 22． （1）如图所示： 0 0 1 2PABS AB d x y∆ = ⋅ = + 0 0 1 1AP yk x −= + PA ( )0 0 1 1 11 yy xx −= + ++ 3x = ( )0 0 4 13, 11 yM x − + +  ( )0 0 2 13, 11 yN x + − −  ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 1 2 1 2 2 6 61 11 1 1 y y x x y y xMN x x x − +    + − −= + − − =   + − −    ( ) 2 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 6 61 32 1PMN x x y y xS x x∆ + − −= − − ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 02 0 2 2 6 61 32 1 x x y y xx x yx + − −− = +− ( )2 2 0 03 1x x− = − 0 5 3x = 5 33,3 9P       5 33,3 9P  −   （理数）第 14 页 共 16 页 设弧 上任意一点 因为 ABCD 是边长为 2 的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为 1， 所以 所以 的极坐标方程为 ； 同理可得： 的极坐标方程为 ； 的极坐标方程为 ； 的极坐标方程为 ， 或 （2）因为直线 的参数方程为 所以消去 t 得 ，过定点 ， 直角坐标方程为 如图所示： AB ( )1,M ρ θ 1 32sin , 4 4 π πρ θ θ = ≤ ≤   1C 1 32sin , 4 4 π πρ θ θ = ≤ ≤   2C 2 3 52cos , 4 4 π πρ θ θ = − ≤ ≤   3C 3 5 72sin , 4 4 π πρ θ θ = − ≤ ≤   4C 4 2cosρ θ= 0 4 πθ≤ ≤（ 7 24 π θ π≤ ≤ ） l 2 2 x t y tλ = +  = + ( )2 2y xλ= + − P ( )2,2 1C ( )22 1 1x y+ − =（理数）第 15 页 共 16 页 因为直线 与曲线 有两个不同交点 ， 所以 因为直线 的标准参数方程为 ，代入 直角坐标方程 得 令 1 3PQk = l 1C ,M N 10 3 λ< ≤ l 2 2 12 1 2 1 x t y t λ λ λ  = + +  = + + 1C ( )22 1 1x y+ − = 2 2 4 2 4 0 1 t t λ λ ++ + = + 1 2 1 22 4 2 , 4 1 t t t t λ λ ++ = − ⋅ = + ( ) 2 2 1 2 1 2 21 2 4 2 1 t tP t tM PN t t λ λ  ++ + − + = + = =  + = ( ) ( ) 2 22 2 2 2 4 4 5 41 1 2 1122 2 5 5 λ λ λλ λ + +  − + − + ++ +  = = = 1 3 1[ , )2 7 2λµ += ∈（理数）第 16 页 共 16 页 所以 所以 所以 的取值范围是 23． （1） ，当且仅当“ ”时取等 号， 故 的最小值为 ； （2） ， 当且仅当 时取等号，此时 ． 故 ． 21 2 1 10 15 [ , )2 5 5 49 4m λ  = − + ∈ +  7 10(4, ]5PM PN+ ∈ PM PN+ 7 10(4, ]5 1 2 1 2 2 2( )( ) 3 3 2 3 2 2a b a ba ba b a b b a b a + = + + = + + + = + 2b a= 1 2 a b + 3 2 2+ 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 5 241 24 ( 2 )1 2 2 1 55 5 5 5 ab b ab b ab b ab b b ba b b b ab ba a + + + += = =+ + ++ + + +   1 5,2 2a b= = 1a b+ ≠ 2 2 2 5 1 2 ab b a b +