2019届重庆市高考冲刺二数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 23 页 2019 届重庆市高考冲刺二数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据一元二次不等式的解法得出集合 A，再由集合的交集运算得选项. 【详解】 由题意可知 ，所以 。 故选：C. 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，属于基础题. 2．设复数 且 ，若复数 在复平面内对应的点位于第四象限， 则复数 的虚部为（ ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【解析】利用复数的模的运算,求出复数 z 的坐标, 再通过复数的对应点在第四象限,求出 的值，从而得出选项. 【详解】 由已知得 ，解得 ，又因为复数 在复平面内对应的点位于第四象 限， 所以 ，所以 ，所以数 的虚部为 . 故选：C. 【点睛】 本题考查复数的模的运算以及复数的几何意义和复数的虚部,属于基础题. 3．在等差数列 中，若 ，则 （ ） A．5 B．10 C．15 D．50 【答案】C 【解析】所求式子利用等差数列的性质化简,将已知等式代入计算即可求出值. 【详解】 { }2|( 1) 2A x x= − < { 1,0,1,2,3}B = − A B = { 1,0,1}− { 1,0,1,2}− {0,1,2} {0,1,2,3} { |1 2 1 2}, { 1,0,1,2,3}A x x B= − < < + = − {0,1,2}A B∩ = 12 ( )z ai a R= + ∈ | | 15z = z z 9i 9− 9i− a 2 2 12 51 a+ = 9a = ± z 0a < 9a = − z 9− { }na 1 13 10a a+ = 5 7 9a a a+ + =第 2 页 共 23 页 因为在等差数列 中， ，所以 ， 所以 ， 故选：C. 【点睛】 本题考查等差数列的性质：等差中项，注意观察各项的脚标，是否满足等差中项的性质， 属于基础题. 4．在区间 上机取一个实数 ，则 的值在区间 上的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据正弦函数 在 上的单调性，求得函数值为 所 对应的 的值，再根据几何概型的求解方法可得选项. 【详解】 因为在 上，函数 单调递增，且当 时， ，当 时， ， 所以所求概率为 ， 故选：B. 【点睛】 本题考查正弦函数的求值和几何概型的问题，属于基础题. 5．若实数 满足不等式组 则 的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】作出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为 ,作出直线 ,将 { }na 1 13 72 10a a a+ = = 7 5a = ( )5 7 9 5 9 7 7 7 72 3 15a a aa aa aa a+ + = + + = + = = ,2 2 π π −   x sin x 1 3,2 2  −    1 3 1 2 2 3 1 3 4 + siny x= ,2 2 π π −   1 3,2 2 − x ,2 2 π π −   siny x= 6x π= − 1sin 2x = − 3x π= 3sin 2x = 13 6 2 2 2 π π π π  − −   = − −   ,x y 2 10 0, 2 8 0, 0, 0, x y x y x y + − ≤  − + ≥ ≥  ≥ z y x= − y = x+ z y x=第 3 页 共 23 页 直线 平移,由图判断出直线过过点 时， 取得最大值，可得选项. 【详解】 画出不等式表示的平面区域如下图所示： 由 得， ，平移直线 ，由图象可知当直线 过点 时，直线 的纵截距最大， 此时 取得最大值，最大值为： ， 故选：D. 【点睛】 本题考查不等式组所表示的平面的区域，线性规划中目标函数的最值问题，可以从明确 目标函数的几何意义入手，运用数形结合的思想求得最值，属于基础题. 6．边长为 2 的正方形 上有一点 ，记 的最大值为 ，最小值为 ， 则 （ ） A．8 B．6 C．4 D．0 【答案】C 【解析】建立平面直角坐标系，得出 的坐标，分别分点 在边 上，设出点 的坐标，得向量 的坐标，根据向量的数量积的 坐标运算和所设坐标的的范围可得 的最大值和最小值，从而可得选项. 【详解】 建立平面直角坐标系如下图所示，则 ，且 ， （1）点 在 边上时，设点 的坐标为 ，则 ， 所以 ，所以此时 的最小值为 0， y x= ( )0,4B z z y x= − y = x+ z y x= y = x+ z ( )0,4B y = x+ z z max 4 0 4z = − = ABCD P AB DP⋅  M m M m− = , , ,A B C D P , , ,AB BC CD AD P ,AB DP  AB DP⋅  ( ) ( ) ( ) ( )0,0 , 2,0 , 2,2 , 0,2A B C D ( )2,0AB = P AB P ( ),0 ,0 2P x x≤ ≤ ( ), 2DP x= − ( )2 0 2 2 ,0 2AB DP x x x⋅ = + × − = ≤ ≤  AB DP⋅ 第 4 页 共 23 页 的最大值为 4； （2）点 在 边上时，设点 的坐标为 ，则 ， 所以 ，所以此时 的值为 4； （3）点 在 边上时，设点 的坐标为 ，则 ， 所以 ，所以此时 的最小值为 0， 的最大值为 4； （4）点 在 边上时，设点 的坐标为 ，则 ， 所以 ，所以此时 的值为 0； 综上可得， 的最大值为 ，最小值为 ，所以 ， 故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算，并求向量和数量积的最值，运用建立平面直角坐标系，得 出点的坐标，向量的坐标，运用向量的数量积的坐标运算求解相关问题是常用的方法， 属于中档题. 7．执行如图的程序框图，若输出 的值为 2，则输入的值 不可能是（ ） A．1 B． C． D．2 AB DP⋅  P BC P ( )2, ,0 2P y y≤ ≤ ( )2, 2DP y= − ( )2 2 0 2 4,0 2AB DP y y⋅ = × + × − = ≤ ≤  AB DP⋅  P CD P ( ),2 ,0 2P x x≤ ≤ ( ),0DP x= 2 0 0 2 ,0 2AB DP x x x⋅ = + × = ≤ ≤  AB DP⋅  AB DP⋅  P AD P ( )0, ,0 2P y y≤ ≤ ( )0, 2DP y= − ( )2 0 0 2 0,0 2AB DP y y⋅ = × + × − = ≤ ≤  AB DP⋅  AB DP⋅  4M = 0m = 4 0 4M m− = − = n x 3 2 4 3第 5 页 共 23 页 【答案】A 【解析】根据程序框图的循环结构，将选项代入执行程序框图，可得选项. 【详解】 对于 A 选项，执行程序框图，若 ， 则 ， ， ， ； 循环结束，此时输出 的值是 ，不满足题意，所以输入的值 不可 能是 ， 故选：A. 【点睛】 本题考查根据程序框图的执行结果，判断输入值，关键在于依次执行程序框图，注意其 中的判断条件，属于基础题. 8．若变量 x，y 满足|x|﹣ln 0，则 y 关于 x 的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件可得 ，显然定义域为 ，且过点 ，当 时， 是 减函数，即可选出答案 【详解】 若变量 满足 ，则 ，显然定义域为 ，且过点 ，故排除 1x = 21 4 1 3 0, 2, 1x n− × + ≤ = = 22 4 2 3 0− × + ≤ 3, 2;x n= = 23 4 3 3 0− × + ≤ 4, 3x n= = 24 4 4− × + 3 0> n 3 x 1 1 y = 1 xy e = R ( )01， 0x > 1 xy e = x y， 1 0x ln y − = 1 xy e = R ( )01， C D，第 6 页 共 23 页 再根据当 时， 是减函数，排除 故选 【点睛】 本题主要考查的是指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合运用，以及函 数的定义域，值域，单调性，函数恒过定点问题，属于基础题． 9．已知圆 与圆 有公共点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系,可得选项. 【详解】 圆 的圆心 半径 ， 圆 的圆心 半径 ，且两圆的圆心距为 ， 要使两个圆有公共点，则需满足 ，解得 ，所以 的取值范围 是 ， 故选：A. 【点睛】 本题考查圆与圆的位置关系及其判定，关键熟记圆与圆的位置关系与两圆的半径的和或 差的关系，属于基础题. 10．已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， ， ，则三棱柱 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意做出图示，取底面 的外接圆的圆心分别为 ，连 接 ，取 的中点 ，则 是三棱柱 的外接球的球心，运用正弦 定理求出 的外接圆的半径，再运用勾股定理求出外接球的球半径，由球的表面 积公式可得选项. 0x > 1 xy e = A B 2 2 1 : ( 2) 9C x y+ + = 2 2 2 2 : ( 1) ( 4) ( 0)C x y r r− + − = > r [2,8] [2,13] (0,13] (0,8] 2 2 1 : ( 2) 9C x y+ + = ( )1 2,0 ,C − 1 3R = 2 2 2 2 : ( 1) ( 4) ( 0)C x y r r− + − = > ( )2 1,4 ,C 2R r= ( ) ( )2 2 1 2 2 1 0 4 5CC = + −− =− 3 5 3r r− ≤ ≤ + 2 8r≤ ≤ r 2 8r≤ ≤ 1 1 1ABC A B C− 2AB = 1 2 5CC = 6BCA π∠ = 1 1 1ABC A B C− 64π 36π 27π 16π 1 1 1, AA CC BB  ,M N MN MN O O 1 1 1ABC A B C− ABC第 7 页 共 23 页 【详解】 做出图示如下图所示，取 的外接圆的圆心分别为 ，连接 ，取 的中点 ，则 是三棱柱 的外接球的球心， 在 中， ，设 的外接圆的半径为 ，三棱柱 的外接球的半径为 ， 由正弦定理得， ，即 ，又 ， 所以 ，所以 ， 所以外接球的表面积为 ， 故选 ：B. 【点睛】 本题考查几何体的外接球的体积或表面积的问题，关键在于由几何体中的线面关系和面 面关系，求得外接球的球心和半径，属于中档题. 11．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，O 为坐标原点， P 为第二象限内椭圆上的一点，且 ，直线 交 y 轴于点 M，若 ，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知 ，解得 ，那么有 ，可知 ，根据正弦定理求出 ，再由 ，可得 a,c 之间的关系，确定离心率 e。 【详解】 1 1 1, AA CC BB  ,M N MN MN O O 1 1 1ABC A B C− ABC 2,AB = 6BCA π∠ = ABC r 1 1 1ABC A B C− R 2 4 2 , 2sin sin30 AB r rBCA = = = ∴ =∠  2AM = 1 2 5CC = 5OM = ( )22 32 5R OA= = + = 2 24 4 3 36Rπ π π= × = ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b + = > > 1 2,F F 1 2 30F PF∠ = ° 2PF 1 2 2 3F F OM= 3 3 3 1 2 − 5 1 2 − 10 4 2 3OF OM= 2 3tan 3MF O∠ = 2 1 1 2 30PF F F PF∠ = ∠ = ° 1 1 2 2PF F F c= = 2PF 2 1 2PF PF a+ =第 8 页 共 23 页 解：如图， 由 ，得 ， 在 中，可得 ，即 ， 又 ，∴ ， 由 ，得 . 则 ，即 . 故选：B. 【点睛】 本题的解题关键是确定 是等腰三角形，建立 之间的联系进而求解。 12．已知函数 ， 是 的导函数，若关于 的方程 有两个不等的根，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知求得函数的导函数 ，化简方程 为 ，整理得 ，再令 ，对 求导，分析其导函数的正负，从而得 的单调性， 得出 的最大值，可得选项. 【详解】 1 2 2 3F F OM= 2 3OF OM= 2Rt MOF∆ 2 3tan 3MF O∠ = 2 1 30PF F∠ = ° 1 2 30F PF∠ = ° 1 1 2 2PF F F c= = 2 2 sin120 sin30 PF c=° ° 2 2 3PF c= 2 1 2 3 2 2PF PF c c a+ = + = 1 3 1 23 1 ce a −= = = + 2 1PF F∆ ,a c 1( ) lnf x x ax = + + ( )f x′ ( )f x x ( 1) ( ) ( )x f x f x′+ = a 1, ln22  −∞ −   10, ln22  −   1, ln24  −∞ −   10, ln24  −   2 1 1( )f x x x ′ = − ( 1) ( ) ( )x f x f x′+ = 2 1 1 1( 1) lnx x ax x x  + − = + +   2 1 11 lna x x x = − − − ( ) 2 1 11 lng x x x x = − − − ( )g x ( )g x ( )g x第 9 页 共 23 页 因为函数 ，则函数 的定义域为 ，且 ， 所以方程 化为 ，整理得 ， 令 ，则 ，所以 ， 所以 在 上单调递增， 在 上单调递减，所以 ， 所以要使关于 的方程 有两个不等的根，则实数 需满足 ， 故选：C. 【点睛】 本题考查运用导函数分析函数的单调性，最值，方程的根的个数的问题，对于求参数的 范围的问题，常常采用参变分离的思想，构造函数，运用对函数求导函数，分析导函数 的正负，得出所构造的函数的单调性、极值、最值，得出所构造的函数的图象的大致趋 势，可得出参数的范围，属于难度题. 二、填空题 13．某班有男生 30 人，女生 20 人，现采用分层抽样的方法在班上抽取 15 人参加座谈 会，则抽到的女生人数为_________. 【答案】6 【解析】根据分层抽样的概念可知在抽取的容量为 的样本中男女生的比例也应为 ，可求得抽取的女生人数. 【详解】 因为男女生的比例为 ，由分层抽样的概念可知在抽取的容量为 的样本 中男女生的比例也应为 ，则抽取的女生人数为 。 故答案为: . 【点睛】 1( ) lnf x x ax = + + ( )f x ( )0, ∞+ 2 1 1( )f x x x ′ = − ( 1) ( ) ( )x f x f x′+ = 2 1 1 1( 1) lnx x ax x x  + − = + +   2 1 11 lna x x x = − − − ( ) 2 1 11 lng x x x x = − − − ( ) ( )( )' 2 3 3 2 11 1 2 x xg x x x x x − − += − + + = ( ) ( ) ( ) ( )' '0,2 , 0, 2, , 0,x g x x g x∈ > ∈ +∞ < ( )g x ( )0,2 ( )g x ( )2,+∞ ( ) 2 1 1 11 ln 2 ln 22 4) 2 2(g x g − − − = −≤ = ( ) ( )0, ; ,x g x x g x→ → −∞ → +∞ → −∞ x ( 1) ( ) ( )x f x f x′+ = a 1 ln24a < − 15 30: 20 3: 2= 30: 20 3: 2= 15 3: 2 215 63 2 × =+ 6第 10 页 共 23 页 本题考查分层抽样,关键在于抽取的样本中男女生的比例与男女生的人数的比例相等， 属于基础题. 14．一个圆锥的侧面沿一条母线展开是一个半径为 6，圆心角为 120°的扇形，则该圆锥 的体积为_________. 【答案】 【解析】先求得扇形的弧长,弧长除以 即得圆锥的底面半径,再由母线长 6 ,利用勾股 定理即可求得圆锥的高，从而求出圆锥的体积. 【详解】 圆锥的侧面展开图的弧长为 ，圆锥的底面半径为 ，该圆 锥的高为: ， 所以该圆锥的体积为 ， 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查圆锥的侧面展开图与圆锥的底面半径和圆锥的高的关系，以及圆锥的体积， 属于基础题. 15．若数列 满足： ，则数列 的前 项和 为 _________. 【答案】 【解析】由 得 ，两式相减 得 ，可求得 ，再根据等比数列的求和公式可求得答案. 【详解】 由 得 ，两式相减 得 ，所以 ，当 n=1 时 符合上式，所以 ， 所以 ， 16 2 3 2π 120 6 4180 π π× =  4 2 2π π÷ = 2 26 2 4 2− = 21 16 24 23 32π× × × = 16 2 3 { }nb ( )*1 2 2 33 3 3 n n b b b n n+ + + = ∈N { }nb n nS 23 9 2 2 n+ − ( )*1 2 2 33 3 3 n n b b b n n+ + + = ∈N ( )11 2 2 1 3 13 3 3 n n bb b n− −+ + + = − 33 n n b = 13n nb += ( )*1 2 2 33 3 3 n n b b b n n+ + + = ∈N ( )( )11 2 2 1 3 1 23 3 3 n n bb b n n− −+ + + = − ≥ ( )3 23 n n b n= ≥ ( )13 2n n nb + ≥= 1 9b = 13n nb += 2 1 2 2 3 1 3 3 93 3 3 2 3 3 1 3 2 n n n nS + + + −+ + ×= = − = −+ 第 11 页 共 23 页 故答案为： . 【点睛】 本题考查由数列的求和型表达式求得数列的通项的问题和等比数列的求和公式，关键在 于由数列的求和型表达式得出递推式，两式再作差可得出数列的通项，属于中档题. 16．已知函数 ，对任意的 ，都有 ，且 在区间 上单调，则 的值为___________. 【答案】 【解析】根据 ，得函数 的对称轴为 ，所以有 可得 ，解得 ，再 分类讨论又 在区间 上单调递增和递减两种情况，对每一种情况列出关 于 的不等式组，解之可求得 的值. 【详解】 因为 ，所以函数 的对称轴为 ，所以 即 ，解得 ， ,又 在区间 上单调，所以 （1）若 在区间 上单调递增，则 ∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，解得 ， 所以 ，且 ，所以当 时， 满足 23 9 2 2 n+ − ( ) sin ( 0)6f x x πω ω = + >   x∈R ( 1) ( )f x f x+ = − ( )f x ,4 12 π π −   ω 2 3 π ( 1) ( )f x f x+ = − ( )f x 1 2x = 1sin 1,2 6 πω + = ±   1 ,2 6 2 k k Z π πω π+ = + ∈ 2 2 ,3 k k Z πω π= + ∈ ( )f x ,4 12 π π −   ω ω ( 1) ( )f x f x+ = − ( )f x 1 2x = 1sin 1,2 6 πω + = ±   1 ,2 6 2 k k Z π πω π+ = + ∈ 2 2 ,3 k k Z πω π= + ∈ 0, 0,k k Zω > ∴ ≥ ∈ ( )f x ,4 12 π π −   ( )f x ,4 12 π π −   2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ ω π− + ≤ + ≤ + ∈ 0>ω 1 2 12 2 , ,3 3k x k k Z π ππ πω ω    − + ≤ ≤ + ∈       1 2 24 3 1 2 ,12 3 k k π π πω π π πω   − ≥ − +      ≤ +    1 1 2 24 3 1 1 1 212 3 k k ω ω   − ≥ − +      ≤ +    8 8 ,3 k k Zω ≤ − ∈ 80 8 ,3 k k Zω< ≤ − ∈ 2 2 ,3 k k Z πω π= + ∈ 0k = 2 3 πω =第 12 页 共 23 页 题意； （2）若 在区间 上单调递减，则 ∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，解得 ， 所以 ，且 ，此时无解， 综上可得 满足题意； 故答案为： . 【点睛】 本题考查正弦型函数的对称性，单调性问题中求参数的范围的方面，关键在于根据其函 数的性质得出关于参数的不等式组，属于中档题. 三、解答题 17．已知函数 . （1）求函数 的最小正周期和最大值； （2）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ，且 ， 是 边延长线上一点，满足 ， ，求 角 的大小. 【答案】(1)函数 的最小正周期为 ，函数 的最大值为 ； (2) . ( )f x ,4 12 π π −   32 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ ω π+ ≤ + ≤ + ∈ 0>ω 1 1 42 2 , ,3 3k x k k Z π ππ πω ω    + ≤ ≤ + ∈       1 24 3 1 4 2 ,12 3 k k π π πω π π πω   − ≥ +      ≤ +    1 1 1 24 3 1 1 4 212 3 k k ω ω   − ≥ +      ≤ +    4 8 ,3 k k Zω ≤ − − ∈ 40 8 ,3 k k Zω< ≤ − − ∈ 2 2 ,3 k k Z πω π= + ∈ 2 3 πω = 2 3 π ( ) sin sin4f x x x π = +   ( )f x ABC∆ BAC∠ B ACB∠ , ,a b c 2 2 2 BACf ∠  =   D BC BC CD= 5AD AC= B ( )f x T π= ( )f x 1 2 2 4 + 4B π=第 13 页 共 23 页 【解析】(1)运用正弦的和角公式和正弦、余弦的二倍角公式对函数 化简得 ，可以求得函数 周期和最大值； (2)由（1）得出的函数的解析式，代入可求得 ，再运用余弦定理和各边的关 系可求得 可求得角 的大小. 【详解】 (1)∵ , ∴ ， ∴函数 的最小正周期为 ，函数 的最大值为 ； （2）由（1）得 ∴ ， 又 ，∴ ， ∴在 中， ，在 中， ，又因为 所以 ，又 ， 所以由 即 得 ， 故 . ( )f x ( ) 1 2sin 22 4 4f x x π = − +   ( )f x 2BAC π∠ = 2 ,BC AB= B ( ) ( )22 2( ) sin sin sin cos sin sin sin cos4 2 2f x x x x x x x x x π = + = + = +   2 1 cos2 sin 2 1 2sin 22 2 2 2 4 4 x x x π−   = + = − +       ( ) 1 2sin 22 4 4f x x π = − +   ( )f x 2 2T π π= = ( )f x 1 2 2 4 + 1 2 2sin 2 ,2 2 2 4 4 2 BAC BACf π∠ ∠   = × − + =       2sin 4 2BAC π ∠ − =   0 BAC π< ∠ < ,4 4 2BAC BAC π π π∠ − = ∴∠ = ABC cos ABB BC = ABD△ 22 2 cos 2 BD ADABB AB BD + −= × × BC CD= 2BD BC= 5AD AC= 22 2 cos 2 BD ADABB AB BD + −= × × ( ) ( ) ( )2 22 2 22 2 4 2 5 2 4 2 ,2 A BCB AB AB AB AC BC BC AB BC AB BC BC + − + − − = =× × × × 22 , cos , 0 ,2 2 4 ABBC AB B B BBC π π= ∴ = = < < ∴ = 4B π=第 14 页 共 23 页 【点睛】 本题考查正弦的和角公式，正弦、余弦的二倍角公式，解三角形中的余弦定理，关键在 于运用余弦定理进行边角的互相转化，属于中档题. 18．已知甲、乙两地生产同一种瓷器，现从两地的瓷器中随机抽取了一共 300 件统计质 量指标值，得到如图的两个统计图，其中甲地瓷器的质量指标值在区间 和 的频数相等. 甲地瓷器质量频率分布直方图 乙地瓷器质量扇形统计图 （1）求直方图中 的值，并估计甲地瓷器质量指标值的平均值；（同一组中的数据用 区间的中点值作代表） （2）规定该种瓷器的质量指标值不低于 125 为特等品，且已知样本中甲地的特等品比 乙地的特等品多 10 个，结合乙地瓷器质量扇形统计图完成下面的 列联表，并判断 是否有 95%的把握认为甲、乙两地的瓷器质量有差异？ 物等品 非特等品 合计 甲地 乙地 合计 附： ，其中 . 0.10 0.05 0.025 0.01 [95,105) [125,135) x 2 2× 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥第 15 页 共 23 页 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】(1)根据频率直方图和各组数据的频率和为 1 列出方程，可求得 ，再运用各组 数据中的区间的中点值乘以该组的频率之和可估计出甲地瓷器质量指标值的平均值； (2)根据样本中甲地的特等品比乙地的特等品多 10 个，求得从甲地的瓷器中随机抽取的 产品数和从乙地的瓷器中随机抽取的产品数，再根据甲地瓷器质量频率分布直方图和乙 地瓷器质量扇形统计图完成的列联表，计算出 ，对照表格中的数据可得结 论. 【详解】 (1)由频率直方图得： ，解得 ， 估计甲地瓷器质量指标值的平均值为： ； (2)设从甲地的瓷器中随机抽取了 件产品，则从乙地的瓷器中随机抽取了 件产品， ∵样本中甲地的特等品比乙地的特等品多 10 个，∴ ，解得 ， ∴根据甲地瓷器质量频率分布直方图和乙地瓷器质量扇形统计图完成的列联表如下表所 示： 物等品 非特等品 合计 甲地 40 160 200 乙地 30 70 100 合计 70 230 300 ∴ ， 0k 0.016, 114.2 x 2 3.841K < ( )10 0.008 0.026 0.030 0.004 1x x× + + + + + = 0.016x = 90 0.08 100 0.16 110 0.26 120 0.30 130 0.16 140 0.04 114.2x = × + × + × + × + × + × = m ( )300 m− ( )0.2 300 0.3 10m m= − × + 200m = 2 2 300 (40 70 160 30) 3.73 3.84170 230 200 100K × × − ×= ≈ [2, )+∞ ( 2.71828)e ≈ ( 1) 2y a x a= − − + 1x = 0a = 0a > [2, )+∞ ( ) ( 2)lnf x a x x= − + 2( ) 1af x x ′ −= + (1) 1f a′ = − (1) 1f = ( )y f x= 1x = 1 ( 1)( 1)y a x− = − − ( 1) 2y a x a= − − + 0a = ( ) 2lnf x x x= − ( ) 0g x = 2 2( ) 1 xf x x x ′ −= − = 2x ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x∴ [2, )+∞ ( ) (2) 2 2ln 2 0f x f∴ ≥ = − >第 20 页 共 23 页 ∴当 时， 在 上恒成立； 当 时， 令 ，则 ， 令 ， ， 令 ， 则 ， ∴在 上， ， 在 上单调递增， ， ∴在 上， ， 在 上单调递增， ， ∴在 上， ， 在 上单调递增， ， ，∴ ∴当 时， 在 上恒成立； 综上可得： 时， 在 上恒成立. 【点睛】 本题考查求过曲线上一点的切线方程，运用导函数研究函数的性质，解决不等式的恒成 立问题，关键在于讨论参数范围，分析导函数的正负，得出原函数单调性，运用最值得 以证明，属于难度题. 22．曲线 （ 为参数）.在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标 系中，曲线 . 0a = ( ) ( )f x g x> [2, )+∞ 0a > ( ) ( 2)ln 1 axh x a x x x = − + − + 2 2 2 2 2 ( 2)( 1) ( 1)( ) 1 ( 1) ( 1) a a a x x x axh x x x x x ′ − − + + + −= + − =+ + 2 2( ) ( 2)( 1) ( 1)H x a x x x ax= − + + + − 2( ) 2( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1)H x a x x x x a′∴ = − + + + + + − 2( ) ( ) 2( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1)(3 2 3)m x H x a x x x x a x x a a′= = − + + + + + − = + + − − ( ) (3 2 3) 3( 1) 6 2m x x a x x a′ = + − + + = + [2, )+∞ ( ) 0m x′ > ( )m x∴ [2, )+∞ ( ) (2) 3(3 2 ) 9 5m x m a a a∴ ≥ = + − = + [2, )+∞ ( ) 0H x′ > ( )H x∴ (2, )+∞ ( ) (2) 9( 2) 18 2 7H x H a a a∴ ≥ = − + − = [2, )+∞ ( ) 0h x′ > ( )h x∴ [2, )+∞ 2 2( ) (2) ( 2)ln 2 2 ln 2 2 2ln 23 3 ah x h a a ∴ ≥ = − + − = − + −   2ln 2 0, 0,2 2ln 2 03 a− > > − > ( ) 0,h x > 0a > ( ) ( )f x g x> [2, )+∞ 0a ≥ ( ) ( )f x g x> [2, )+∞ 1 12 ,2: 3 ,2 x t C y t  = −  = t O x 2 2 : 3 4 sin 4 3 cos 4 3 0C ρ ρ θ ρ θ− − + =第 21 页 共 23 页 （1）求曲线 的极坐标方程； （2）若曲线 与曲线 相交于点 ，求 的面积. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)用代入法消去参数 t,把曲线 的参数方程化为普通方程: . 根据直角坐标和极坐标的互化公式 , 可得曲线 的极坐标方程； (2)根据直角坐标和极坐标的互化公式将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，再把 曲线 的直角坐标方程代入曲线 的直角坐标方程解得 ， ，根据三 角形的面积公式可求得面积. 【详解】 (1)用代入法消去参数 t,把曲线 的参数方程化为普通方程: . 根据直角坐标和极坐标的互化公式 , ,，得： 曲线 的极坐标方程为： ； （2）根据直角坐标和极坐标的互化公式 , , ，得曲 线 的直角坐标方程: ， 把曲线 的直角坐标方程代入曲线 的直角坐标方程中得 ，解得 ， ，所以 ， 所以 的面积为 . 【点睛】 本题主要考查把极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化，属于 基础题. 23．已知函数 . （1）若 ，解不等式 ； （2）若不等式 的解集包含 ，求实数 的取值范围. 1C 1C 2C ,A B OAB∆ 3 cos sin 2 3 0ρ θ ρ θ+ − = 3 1C 3 2 3 0x y+ − = cosx ρ θ= siny ρ θ= 1C 2C 1C 2C ( )2,0A ( )1, 3B 1C 3 2 3 0x y+ − = cosx ρ θ= siny ρ θ= 1C 3 cos sin 2 3 0ρ θ ρ θ+ − = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x yρ = + 2C ( )2 23 4 4 3 4 3 0x y y x− − + =+ 1C 2C 2 3 2 0x x− + = ( )2,0A ( )1, 3B 1 2 3 32ABOS = × × =  OAB∆ 3 ( ) | | 2 | |( 0)f x x a x a a= + + − > 1a = ( ) 4f x ≥ ( ) 4< +f x x [1,2] a第 22 页 共 23 页 【答案】（1） ；（2） . 【解析】(1)通过对 的范围讨论，得到 的表达式，得出相应的不等式组的解集， 再取并集可得所求的解集； (2)通过对 的范围讨论，得到 的表达式，根据题意列出关于 的不等式组，再 对各不等式组的解集求并集，可求出 的范围. 【详解】 (Ⅰ)当 时， ， 当 时，由 ≥4 得 ，解得 ； 当 时， ≥4， 无解； 当 ≥1 时，由 ≥4 得 解得 ， ∴ ≥4 的解集为 ； (Ⅱ) ∵ 时， ∴ ， 要使不等式 的解集包含 ，则 （1）当 时， ∵ ，∴ ，所以要使不等式 的解集包含 ，此时无解； （2）当 时， 由 得 ，此时则需满足 ，此时无解； （3）当 时， 由 得 ，此时则需满足 ，解得 ； { } 51 ,3  − +∞  ( )0,1 x ( )f x x ( )f x a a 1a = ( ) 3 1, 1 3 , 1 1 3 1, 1 x x f x x x x x − + ≤ − = − − < ( ) 3 , 3 , 3 , x a x a f x a x a x a x a x a − + ≤ − = − − < 0a− < ( ) 4< +f x x [1,2] a x a− < < ( ) 3 ,f x a x= − 3 4a x x− < + 3 4 2 ax −> 2 3 4 12 a a > − ( ) 3 1,f x x= − 3 4x a x− < + 4 2 ax +< 1 4 22 a a  0 1a<