2019届九师联盟高三押题信息卷（二）数学（理）试题（解析版）

第 1 页 共 21 页 2019 届九师联盟高三押题信息卷（二）数学（理）试题 一、单选题 1．若集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先确定集合 中的元素，然后由交集定义求解． 【详解】 ， . 故选：A． 【点睛】 本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键． 2．若复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数的模为（ ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【解析】由复数的综合运算求出 ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模． 【详解】 ， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题． 3．函数 （ 或 ）的图象大致是（ ） A． B． }{ }{2 , 3 3A x y x B x x= = − = − ≤ ≤ A B = [ ]3,2− { }2 3x x≤ ≤ ( )2,3 { }3 2x x− ≤ < A { } { } { }2 2 , 3 3A x y x x x B x x= = − = ≤ = − ≤ ≤ { }3 2x x∴Α ∩Β = − ≤ ≤ 21 1 iz i = + + i z 5 2 5 z ( ) ( )( ) 2 121 1 21 1 1 i iiz ii i i −= + = + = ++ + − 2 , 5z i z∴ = − ∴ = ( )sin xy x −= [ ),0x π∈ − ( ]0,x π∈第 2 页 共 21 页 C． D． 【答案】A 【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求 时的函数值，再排除一个，得 正确选项． 【详解】 分析知，函数 （ 或 ）为偶函数，所以图象关于 轴 对称，排除 B，C， 当 时， ，排除 D， 故选：A． 【点睛】 本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调 性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错 误选项，得正确结论． 4．若 的二项式展开式中二项式系数的和为 32，则正整数 的值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解析】由二项式系数性质， 的展开式中所有二项式系数和为 计算． 【详解】 的二项展开式中二项式系数和为 ， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键． 5．已知变量的几组取值如下表： x π= ( )sin xy x −= [ ),0x π∈ − ( ]0,x π∈ y x π= sin 0x x = 22 n x x  +   n ( )na b+ 2n 22 n x x  +   2n 2 32, 5n n∴ = ∴ =第 3 页 共 21 页 1 2 3 4 7 若 与 线性相关，且 ，则实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出 ，把坐标 代入方程可求得 ． 【详解】 据题意，得 ，所以 ，所以 ． 故选：B． 【点睛】 本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点 可计算参数 值． 6．若实数 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【解析】作出可行域，直线目标函数对应的直线 ，平移该直线可得最优解． 【详解】 作出可行域，如图由射线 ，线段 ，射线 围成的阴影部分（含边界），作直 线 ，平移直线 ，当 过点 时， 取得最大值 3． 故选：C． x y 2.4 4.3 5.3 y x ˆ 0.8y x a= + a = 7 4 11 4 9 4 13 4 ,x y ( , )x y a ( ) ( )1 5 1 191 2 3 4 , 2.4 4.3 5.3 74 2 4 4x y= + + + = = + + + = 19 50.84 2 a= × + 11 4a = ( , )x y ,x y 1 2 1 2 1 0 x y x y x y + ≥ −  − ≤ −  − − ≤ 2 3 4x y− + 1− 2− l AB AC CD : 2 3 4 0l x y− + = l l (1,1)C 2 3 4z x y= − +第 4 页 共 21 页 【点睛】 本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封 闭图形． 7．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】由奇函数定义求出 和 ． 【详解】 因为 是定义在 上的奇函数， .又当 时， ， . 故选：A． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键． 8．若执行如图所示的程序框图，则输出 的值是（ ） ( )f x [ ]2,2− ( ]0,2x∈ ( ) 2 1xf x = − ( ) ( )2 0f f− + = 3− 2− (0)f ( 2)f − ( )f x [ ]2 2− , (0) 0f∴ = ( ]0,2x∈ ( ) ( ) ( )2( ) 2 1, 2 2 2 1 3xf x f f= − ∴ − = − = − − = − ( ) ( )2 0 3f f∴ − + = − S第 5 页 共 21 页 A． B． C． D．4 【答案】D 【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，得出 的变化以4 为周期出现，由此可得 结论． 【详解】 ；如此循环下去，当 时， ，此时不满足 ，循环结束，输出 的值是 4. 故选：D． 【点睛】 本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程 序功能，可得结论． 9．已知下列命题： ①“ ”的否定是“ ”； ②已知 为两个命题，若“ ”为假命题，则“ ”为真命题； ③“ ”是“ ”的充分不必要条件； ④“若 ，则 且 ”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【解析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题 进行判断． 【详解】 “ ”的否定是“ ”，正确； 已知为两个命题，若“ ”为假命题，则“ ”为真命题，正确； “ ”是“ ”的必要不充分条件,错误； “若 ，则 且 ”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B． 【点睛】 1− 2 3 3 2 S 2 34, 1; 1, 2; , 3; , 4; 4, 53 2S i S i S i S i S i= = = − = = = = = = = 2020i = 3 ; 4, 20212S S i= = = 2021i < S 2, 5 6x R x x∀ ∈ + > 2, 5 6x R x x∃ ∈ + ≤ ,p q p q∨ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ 2019a > 2020a > 0xy = 0x = 0y = 2, 5 6x R x x∀ ∈ + > 2, 5 6x R x x∃ ∈ + ≤ p q∨ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ 2019a > 2020a > 0xy = 0x = 0y =第 6 页 共 21 页 本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等 概念是解题基础． 10．已知在 中，角 的对边分别为 ，若函数 存在极值，则角 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出导函数 ，由 有不等的两实根，即 可得不等关系，然 后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论． 【详解】 ， . 若 存在极值，则 ， 又 .又 ． 故选：C． 【点睛】 本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键． 11．如图， 内接于圆 ， 是圆 的直径， ，则三棱锥 体积 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知证明 平面 ，只要设 ，则 ， ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( )3 2 2 21 1 1( ) 3 2 4f x x bx a c ac x= + + + − B 0, 3 π     ,6 3 π π     ,3 π π   ,6 π π   ( )f x′ ( ) 0f x′ = > 0∆ ( )3 2 2 21 1 1( ) 3 2 4f x x bx a c ac x= + + + − ( )2 2 21( ) 4f x x bx a c ac′∴ = + + + − ( )f x ( )2 2 214 04b a c ac− × × + − > 2 2 2a c b ac∴ + − < 2 2 2 1cos , cos2 2 a c bB Bac + −= ∴ < ( )0, , 3B B π∈ π ∴ < < π ABC∆ O AB O , / / , , ,DC BE DC BE DC CB DC CA= ⊥ ⊥ 2 2AB EB= = E ABC− 1 4 1 3 1 2 2 3 BE⊥ ABC AC x= ( )24 0 2BC x x= − < > 1F l C ,A B 2 2 2 40, 5 BFAB BF AF ⋅ = =  C 13 3 2AB BF⊥ 2 4BF x= 2 5 , 3AF x AB x= = a 1AF 2AF ,a c第 8 页 共 21 页 .又 ， 可令 ， 则 .设 ，得 ，即 ，解得 ，∴ , , 由 得 ， ， ， 该双曲 线的离心率 . 故选：A. 【点睛】 本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为 0 得出垂直关系，利用双曲线 的定义把双曲线上的点 到焦点的距离都用 表示出来，从而再由勾股定理建立 的关系． 二、填空题 13．已知向量 ， ，则 ______. 【答案】 【解析】求出 ，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计 算． 【详解】 由题意得 ， . ， . ， ， . 2 2 20, 0, 0, 90AB BF AB BF ABF⋅ = ≠ ≠ ∴∠ = °     2 2 4 5 BF AF = ∴ 2 4BF x= 2 5 , 3AF x AB x= = 1AF t= 2 1 1 2 2AF AF BF BF a− = − = ( )5 3 4 2x t x t x a− = + − = 3 ,t a x a= = 2 4BF a= 1 1 6BF AB AF a= + = 2 2 2 1 2 1 2BF BF F F+ = 2 2 2(6 ) (4 ) (2 )a a c+ = 2 213c a= 13c a= ∴ 13ce a = = ,A B a ,a c ( )cos5 ,sin5a = ° ° ( )cos65 ,sin 65b = ° ° 2a b+ =  7 , ,a b a b⋅    2 2 2cos 5 sin 5 1a = °+ ° = 1a = 2 2 2cos 65 sin 65 1b = °+ ° = 1b = 1cos5 cos65 sin5 sin 65 cos60 2a b∴ ⋅ = ° °+ ° ° = ° =  ( )2 2 12 4 4 4 4 1 72a b a a b b∴ + = + ⋅ + = + × + =      2 7a b∴ + = 第 9 页 共 21 页 故答案为： ． 【点睛】 本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的 定义把模的运算转化为数量积的运算． 14．在正方体 中， 分别为棱 的中点，则直线 与 直线 所成角的正切值为_________. 【答案】 【解析】由中位线定理和正方体性质得 ，从而作出异面直线所成的角，在三 角形中计算可得． 【详解】 如图，连接 ， ， ，∵ 分别为棱 的中点，∴ ， 又正方体中 ，即 是平行四边形，∴ ，∴ ， （或其补角）就是直线 与直线 所成角， 是等边 三角形，∴ ＝60°，其正切值为 ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角． 15．函数 在区间 上的值域为______. 【答案】 【解析】由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形 7 1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1 1 1,AA D A EF 1A B 3 1/ /EF BC 1AD 1BC 1 1AC ,E F 1 1 1,AA D A 1//EF AD 1 1 1 1/ / ,AB C D AB C D= 1 1ABC D 1 1/ /AD BC 1/ /EF BC 1 1A BC∠ EF 1A B 1 1A BC∆ 1 1A BC∠ 3 3 23sin cos cosy x x x= + 0, 2 π     30, 2     第 10 页 共 21 页 式，结合正弦函数性质可求得值域． 【详解】 ， ，则 ， . 故答案为： ． 【点睛】 本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性 和最值．求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个 三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论． 16．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 1 的直线 交抛物线 于 两点， ，若线段 的垂直平分线与 轴交点的横坐标为 ， 则 的值为_________. 【答案】1 【解析】设 ，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得 ，由抛物线定义得焦点弦长，求得 ，再写出 的垂直平分线方程，得 ， 从而可得结论． 【详解】 抛物线 的焦点坐标为 ，直线 的方程为 ， 据 得 .设 ， 则 . 线段 垂直平分线方程为 ，令 ，则 ，所以 ， 2 3 1 cos2 3 1 1 13sin cos cos sin 2 sin 2 cos2 sin 22 2 2 2 2 6 2 xy x x x x x x x π+  = + = + = + + = + +   0, 2x π ∈   72 ,6 6 6x π π π ∴ + ∈   1sin 2 ,16 2x π   + ∈ −       1 3sin 2 0,6 2 2x π   ∴ + + ∈       3(0, ]2 2: 4C y x= F F l C ,M N 2 MF NFb += MN x a −a b ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2x x+ b MN a 2: 4C y x= ( )1,0 l 1y x= − 2 1 4 y x y x = −  = 2 6 1 0x x− + = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y ( )1 2 1 2 1 2 16, 4, 1 1 42 2 MF NFx x y y b x x ++ = + = ∴ = = + + + = MN ( )2 1 3y x− = − × − 0y = 5x = 5a =第 11 页 共 21 页 所以 . 故答案为：1． 【点睛】 本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键． 三、解答题 17．已知在等比数列 中， . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 前 项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由基本量法，求出公比 后可得通项公式； （2）求出 ，用裂项相消法求和． 【详解】 解：（1）设等比数列 的公比为 又因为 ，所以 解得 （舍）或 所以 ，即 （2）据（1）求解知， ， 所以 所以 1a b− = { }na 1 2 3 4 1 1 20, 4,na a a a a > = − = { }na 2 2 1 1 log logn n n b a a + = ⋅ { }nb n 12n na += 2 4 n n + q nb { }na ( )0q q > 1 1 2 4 1 1 24,a a a a = − = 2 3 1 1 2 4 4 4q q q − = 1q = − 2q = 1 14 2 2n n na − += × = 12n na += 12n na += 2 2 1 1 log logn n n b a a + = × ( )( ) 1 1 2n n = + + 1 1 1 2n n = −+ + 2 31 ...n nT b b b b= + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1...2 3 3 4 4 5 1 2n n        = − + − + − + + −       + +       第 12 页 共 21 页 【点睛】 本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量 法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握． 18．某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 100 件 产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间 内的产品视为 合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改 造后样本的频数分布表. 图：设备改造前样本的频率分布直方图 表：设备改造后样本的频率分布表 质量指标值 频数 2 18 48 14 16 2 （1）求图中实数 的值； （2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间 内的定为一等品，每件售价 240 元；质量指标值落在区间 或 内的定为二等品，每件售价 180 元；其他的合格品定为三等品，每件售价 120 元，根据 表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有 产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为 (单位：元)，求 的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为 1 可计算出 值； 1 1 2 2n = − + 2 4 n n = + [ )20,40 [ )15,20 [ )20,25 [ )25,30 [ )30,35 [ )35,40 [ )40,45 a [ )25,30 [ )20,25 [ )30,35 X X 0.080a = a第 13 页 共 21 页 （2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为 .，选 2 件产品， 支付的费用 的所有取值为 240，300，360，420，480，由相互独立事件的概率公式分 别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望． 【详解】 解：（1）据题意，得 所以 （2）据表 1 分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别 为 . 随机变量 的所有取值为 240，300，360，420，480. 随机变量 的分布列为 240 300 360 420 480 所以 （元） 【点睛】 本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题 时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为 1．本题考查学生的数据处理能力，属于 1 1 1, ,2 3 6 X 0.008 5 0.032 5 5 0.024 5 0.036 5 0.020 5 1a× + × + + × + × + × = 0.080a = 1 1 1, ,2 3 6 X ( ) 1 1 1240 6 6 36P X = = × = ( ) 1 2 1 1 1300 3 6 9P X C= = × × = ( ) 1 2 1 1 1 1 5360 2 6 3 3 18P X C= = × × + × = ( ) 1 2 1 1 1420 2 3 3P X C= = × × = ( ) 1 1 1480 2 2 4P X = = × = X X P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 ( ) 1 1 5 1 1240 300 360 420 480 40036 9 18 3 4E X = × + × + × + × + × =第 14 页 共 21 页 中档题． 19．如图，四边形 是边长为 3 的菱形， 平面 . （1）求证： 平面 ； （2）若 与平面 所成角为 ，求二面角 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）由已知线面垂直得 ，结合菱形对角线垂直，可证得线面垂直； （2）由已知知 两两互相垂直.以 分别为 轴， 轴， 轴建立 空间直角坐标系 如图所示，由已知线面垂直知 与平面 所成角为 ，这样可计算出 的长，写出各点坐标，求出平面的法向量，由 法向量夹角可得二面角． 【详解】 证明：（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 . 因为四边形 是菱形，所以 . 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 解：（2）据题设知， 两两互相垂直.以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 如图所示， 因为 与平面 所成角为 ，即 ，所以 又 ，所以 ， ABCD DE ⊥ , , / / , 3ABCD AB AD AF DE DE AF⊥ = AC ⊥ BDE BE ABCD 60° F BE D− − 2 39 13 DE AC⊥ , ,DA DC DE , ,DA DC DE x y z Dxyz BE ABCD 60DBE∠ = ° ,DE DF DE ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD DE AC⊥ ABCD AC BD⊥ BD DE D∩ = BD ⊂ BDE DE ⊂ BDE AC ⊥ BDE , ,DA DC DE , ,DA DC DE x y z Dxyz BE ABCD 60° 60DBE∠ = ° 3DE DB = 3, 3AD DE AF= = 3 6, 6DE AF= =第 15 页 共 21 页 所以 所以 设平面 的一个法向量 ，则 令 ，则 . 因为 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，且 所以 ， ． 所以二面角 的正弦值为 . 【点睛】 本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，考查用向量法求二面角．立体几何中求空间 角常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，这样可减少思维量，把问题转 化为计算． 20．已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦点为 为椭 圆 上任意一点，且 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 交椭圆 于 两点，且满足 （ 分别为直线 的斜率），求 的面积为 时直线 的方程. 【答案】（1） （2） 或 【解析】（1）根据椭圆定义求得 ，得椭圆方程； （2）设 ，由 得 ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,0,0 , 3,3,0 , 3,0, 6 , 0,0,3 6 , 0,3,0A B F E C ( ) ( )0, 3, 6 , 3,0, 2 6BF EF= − = −  BEF ( ), ,m x y z= 3 6 0 3 2 6 0 y z x z − + = − = 6z = ( )4,2, 6m = AC ⊥ BDE CA BDE ( )3, 3,0CA = −uuur ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 3 4 3 2 0 6 13cos , 134 2 6 3 3 0 m CAm CA m CA × + − × + ×⋅< >= = = + + ⋅ + − +      2 39sin , 13m CA< >=  F BE D− − 2 39 13 xOy C ( ) ( )1 23,0 , 3,0 ,F F M− C 1 2 4MF MF+ = C ( ): 0, 0l y kx m k m= + > > C ,P Q 2 PQ OP OQk k k= ⋅ , ,PQ OP OQk k k , ,PQ OP OQ OPQ∆ 3 2 PQ 2 2 14 x y+ = 1 2 2 2y x= + 1 6 2 2y x= + ,a b ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2 2 14 y kx m x y = + + = ( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =第 16 页 共 21 页 应用韦达定理得 ，代入已知条件 可得 ，再由椭圆中弦 长公式求得弦长 ，原点 到直线 的距离 ，得三角形面积，从而可求得 ， 得直线方程． 【详解】 解：（1）据题意设椭圆 的方程为 则 椭圆 的标准方程为 . （2）据 得 设 ，则 又 1 2 1 2,x x x x+ 2 PQ OP OQk k k= ⋅ 1 2k = PQ O PQ d m C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 2 2 4 3 a c c a b =  =  = + 22, 1a b∴ = = C 2 2 14 x y+ = 2 2 14 y kx m x y = + + = ( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = ( )( )2 2 2 264 4 1 4 4 4 0k m k m∴ − + − > 2 24 1m k∴ < + ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2 1 2 1 22 2 8 4 4,1 4 1 4 km mx x x xk k −+ = − =+ + 2 PQ OP OQk k k= ⋅ 2 1 2 1 2 y yk x x ∴ = ⋅ ( )( ) 2 1 2 1 2kx m kx m k x x∴ + + = ( ) 2 1 2 0mk x x m∴ + + = 2 2 2 2 8 01 4 k m mk −∴ + =+ 0, 0k m> > 1 2k∴ =第 17 页 共 21 页 原点 到直线 的距离 解得 或 所求直线 的方程为 或 【点睛】 本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时采取设而不求思想，即设 交点坐标为 ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得 ，把这个结论代入题中条件求得参数，用它求弦长等等，从而解决问题． 21．已知函数 . （1）若函数 的图象与 轴有且只有一个公共点，求实数 的 取值范围； （2）若 对任意 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）求出 及其导函数 ，利用 研究 的单调性和最值，根 据零点存在定理和零点定义可得 的范围． （2）令 ，题意说明 时， 恒成立.同样求出导函数 ，由 研究 的单调性， 通过分类讨论可得 的单调性得出结论． 【详解】 解（1）函数 所以 ( ) ( )( )2 2 2 22 1 2 1 2 2 4 1 4 1 1 4 1 4 k k m PQ k x x x x k + + − ∴ = + ⋅ + − = + O PQ 21 md k = + ( )2 2 2 2 21 32 02 1 4 2OPQ m mS PQ d m m mk∆ −∴ = × × = = − = >+ 2 2m = 6 2 =m ∴ PQ 1 2 2 2y x= + 1 6 2 2y x= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 2 1 2,x x x x+ 2( ) lnf x x x= + ( )( ) ( ) 1 lng x f x a x= + − x a ( ) ( ) 2( ) 2 1 1f x m x m x− − < − ( )1,x∈ +∞ m { }0 2a a a e> = −或 [ ]1,0− ( )g x ( )g x′ ( )g x′ ( )g x a ( ) ( ) ( )2 2( ) ( ) 2 1 1 2 1 lnh x f x m x m x mx m x x= − + − − = − + + ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x < ( )h x′ ( )h x′ ( )h x ( )h x ( ) ( )2 2( ) ( ) 1 ln ln 1 ln lng x f x a x x x a x a x x= + − = + + − = + 22'( ) 2a x ag x xx x += + =第 18 页 共 21 页 讨论： ①当 时， 无零点； ②当 时， ，所以 在 上单调递增. 取 ，则 又 ，所以 ，此时函数 有且只有一个零点； ③当 时，令 ，解得 （舍）或 当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时， 所以 在 上单调递增. 据题意，得 ，所以 （舍）或 综上，所求实数 的取值范围为 . （2）令 ，根据题意知， 当 时， 恒成立. 又 讨论： ①若 ，则当 时， 恒成立，所以 在 上是增函数. 又函数 在 上单调递增， 在 上单调递增，所以存在 使 ，不符合题意. ②若 ，则当 时， 恒成立，所以 在 上是增函数， 据①求解知， 0a = ( )2( ) 0g x x x= > 0a > '( ) 0g x > ( )g x ( )0, ∞+ 1 ax e −= 21 1 1 21 1 ( ) 0a a ag e e e − − −     = − + − + ( )h x ( )1,+∞第 19 页 共 21 页 不符合题意. ③若 ，则当 时，恒有 ，故 在 上是减函数， 于是“ 对任意 成立”的充分条件是“ ”，即 ， 解得 ，故 综上，所求实数 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查用导数研究函数的单调性．解题 关键是通过分类讨论研究函数的单调性．本题难度较大，考查掌握转化与化归思想，考 查学生分析问题解决问题的能力． 22．已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 与直线 的直角坐标方程； （2）若曲线 与直线 交于 两点，求 的值. 【答案】（1）曲线 的直角坐标方程为 ；直线 的直角坐标方程为 （2） 【解析】（1）由公式 可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方 程为普通方程； （2）联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离． 【详解】 解：（1） 曲线 的直角坐标方程为 1 2m ≥ 0m ≤ ( )1,x∈ +∞ '( ) 0h x < ( )h x ( )1,+∞ ( ) 0h x < ( )1,x∈ +∞ (1) 0h ≤ ( )2 1 0m m− + ≤ 1m ≥ − 1 0m− ≤ ≤ m [ ]1,0− xOy 2C 2 2 x t y t = −  = + t x 1C ( )cos cos 2ρ θ ρ θ= + 1C 2C 1C 2C ,A B AB 1C 2 2y x= 2C 4 0x y+ − = 6 2 cos sin x y ρ θ ρ θ =  = ( )cos cos 2ρ θ ρ θ + 2cos 2cosρ ρ θ θ∴ = + 2 2 2cos 2 cosρ ρ θ ρ θ∴ = + 2 2 2 2x y x x∴ + = + ∴ 1C 2 2y x=第 20 页 共 21 页 直线 的直角坐标方程为 （2）据 解，得 或 【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题． 23．已知函数 . （1）解不等式 ； （2）若函数 的最小值为 ，求 的 最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式； （2）由（1）得 的最小值为 4，则由 ，代换后用基本 不等式可得最小值． 【详解】 解：（1） 讨论： 当 时， ，即， 此时无解； 当 时， ； 当 时， . 所求不等式的解集为 （2）分析知，函数 的最小值为 4 2C 4 0x y+ − = 2 4 2 y x y x = − +  = 2 2 x y =  = 8 4 x y =  = − ( ) ( ) 222 8 2 4 6 2AB∴ = − + − − =   ( ) 2 2 4f x x x= − + + ( ) 3 4f x x≥ − + ( )f x ( ), 0, 0a m n a m n+ = > > 2020 2020 1008 1008m n ++ + 1 2x x ≥ −   4 ( )f x 1008 1008 2020m n+ + + = 3 2, 2 ( ) 2 2 4 6, 2 2 3 2, 2 x x f x x x x x x x − − < − = − + + = + − ≤ ≤  + > 2x < − 3 2 3 4x x− − ≥ − + 2 4− ≥ 2 2x− ≤ ≤ 1 16 3 4, , 22 2x x x x+ ≥ − + ≥ − ∴− ≤ ≤ 2x > 13 2 3 4, , 23x x x x+ ≥ − + ≥ − ∴ > ∴ 1 2x x ≥ −   ( )f x 4a∴ = 4m n a∴ + = = 2020 2020 1008 1008 1008 1008 1008 1008 1008 1008 m n m n m n m n + + + + + +∴ + = ++ + + +第 21 页 共 21 页 ，当且仅当 时等号成立. 的最小值为 4. 【点睛】 本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最小值．解绝对值不等式的方法是分类 讨论思想． 1008 10082 1008 1008 n m m n + += + ++ + 1008 10082 2 41008 1008 n m m n + +≥ + ⋅ =+ + 2m n= = 2020 2020 1008 1008m n ∴ ++ +