2019届九师联盟高三押题（二）信息卷数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 19 页 2019 届九师联盟高三押题（二）信息卷数学（文）试题 一、单选题 1．若集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先确定集合 中的元素，然后由交集定义求解． 【详解】 ， . 故选：A． 【点睛】 本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键． 2．若复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用复数的除法法则将复数 表示为一般形式，即可得出复数 的共轭复数. 【详解】 ， . 故选：D. 【点睛】 本题考查共轭复数的计算，涉及复数除法运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．函数 （ 或 ）的图象大致是（ ） A． B． }{ }{2 , 3 3A x y x B x x= = − = − ≤ ≤ A B = [ ]3,2− { }2 3x x≤ ≤ ( )2,3 { }3 2x x− ≤ < A { } { } { }2 2 , 3 3A x y x x x B x x= = − = ≤ = − ≤ ≤ { }3 2x x∴Α ∩Β = − ≤ ≤ 1 2 1 2 iz i += − i z 41 3 i− 1 2 5 5 i− 41 3 i+ 3 4 5 5 i− − z z ( ) ( )( ) 21 21 2 3 4 3 4 1 2 1 2 1 2 5 5 5 ii iz ii i i ++ − += = = = − +− − + 3 4 5 5z i∴ = − − ( )sin xy x −= [ ),0x π∈ − ( ]0,x π∈第 2 页 共 19 页 C． D． 【答案】A 【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求 时的函数值，再排除一个，得 正确选项． 【详解】 分析知，函数 （ 或 ）为偶函数，所以图象关于 轴 对称，排除 B，C， 当 时， ，排除 D， 故选：A． 【点睛】 本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调 性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错 误选项，得正确结论． 4．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求得 的值，然后利用双曲线的离心率公式 可求得双曲 线 的离心率. 【详解】 由题意可知， ， x π= ( )sin xy x −= [ ),0x π∈ − ( ]0,x π∈ y x π= sin 0x x = 2 2 2 2: 1x yC m n − = 3y x= ± C 4 2 8 2 nb a m = 2 1 be a  = +   C 3nb a m = =第 3 页 共 19 页 所以双曲线 的离心率 . 故选：D. 【点睛】 本题考查双曲线离心率的计算，在涉及到双曲线的渐近线时，利用公式 计算较为方便，考查计算能力，属于基础题. 5．已知张明在拼写单词“ ”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由 “ ”、“ ”、“ ”三个字母组成，且字母“ ”只能在最后两个位置中的某一个位置上， 则“张明拼写该单词错误”的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】列举出所有的基本事件，并确定事件“张明拼写该单词错误”所包含的基本事件， 利用古典概型的概率公式可得出所求事件的概率. 【详解】 据题意知，单词“ ”后三个字母张明排序有 、 、 、 ，共 种 情况，其中拼写错误的有一三种 、 、 ，所以所求的概率 . 故选：A. 【点睛】 本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于 基础题. 6．已知变量的几组取值如下表： 1 2 3 4 7 若 与 线性相关，且 ，则实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出 ，把坐标 代入方程可求得 ． C 22 2 2 2 2 1 2c a b be a a a +  = = = + =   2 1 be a  = +   calendar d a r r 3 4 1 4 5 6 2 3 calendar dra ard adr dar 4 dra ard adr 3 4P = x y 2.4 4.3 5.3 y x ˆ 0.8y x a= + a = 7 4 11 4 9 4 13 4 ,x y ( , )x y a第 4 页 共 19 页 【详解】 据题意，得 ，所以 ，所以 ． 故选：B． 【点睛】 本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点 可计算参数 值． 7．若实数 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【解析】作出可行域，直线目标函数对应的直线 ，平移该直线可得最优解． 【详解】 作出可行域，如图由射线 ，线段 ，射线 围成的阴影部分（含边界），作直 线 ，平移直线 ，当 过点 时， 取得最大值 3． 故选：C． 【点睛】 本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封 闭图形． ( ) ( )1 5 1 191 2 3 4 , 2.4 4.3 5.3 74 2 4 4x y= + + + = = + + + = 19 50.84 2 a= × + 11 4a = ( , )x y ,x y 1 2 1 2 1 0 x y x y x y + ≥ −  − ≤ −  − − ≤ 2 3 4x y− + 1− 2− l AB AC CD : 2 3 4 0l x y− + = l l (1,1)C 2 3 4z x y= − +第 5 页 共 19 页 8．已知命题 、 ， ，则 ；命题 ，使得 ， 则下列为真命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】判断出简单命题 、 的真假，利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】 令 ， ，则 ，此时 不成立，故 是假命题； ， ，此时 . 又因为 ，所以 是真命题. 因此， 、 、 均为假命题， 为真命题. 故选：B. 【点睛】 本题考查复合命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题. 9．若执行如图所示的程序框图，则输出 的值是（ ） A． B． C． D．4 【答案】D 【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，得出 的变化以4 为周期出现，由此可得 结论． 【详解】 ；如此循环下去，当 时， ，此时不满足 ，循环结束，输出 的值是 4. 故选：D． :p a∀ b R∈ a b> 1 1 a b < :q x R∃ ∈ 6sin cos 5x x+ = q¬ p q¬ ∧ p q∨ ¬ p q∧ ¬ p q 1a = 1b = − a b> 1 1 a b < p x R∀ ∈ sin cos 2 sin 4x x x π + = +   2 sin cos 2x x− ≤ + ≤ 62 25 − ≤ ≤ q q¬ p q∨ ¬ p q∧ ¬ p q¬ ∧ S 1− 2 3 3 2 S 2 34, 1; 1, 2; , 3; , 4; 4, 53 2S i S i S i S i S i= = = − = = = = = = = 2020i = 3 ; 4, 20212S S i= = = 2021i < S第 6 页 共 19 页 【点睛】 本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程 序功能，可得结论． 10．已知在 中，角 的对边分别为 ，若函数 存在极值，则角 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出导函数 ，由 有不等的两实根，即 可得不等关系，然 后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论． 【详解】 ， . 若 存在极值，则 ， 又 .又 ． 故选：C． 【点睛】 本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键． 11．如图， 内接于圆 ， 是圆 的直径， ，则三棱锥 体积 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( )3 2 2 21 1 1( ) 3 2 4f x x bx a c ac x= + + + − B 0, 3 π     ,6 3 π π     ,3 π π   ,6 π π   ( )f x′ ( ) 0f x′ = > 0∆ ( )3 2 2 21 1 1( ) 3 2 4f x x bx a c ac x= + + + − ( )2 2 21( ) 4f x x bx a c ac′∴ = + + + − ( )f x ( )2 2 214 04b a c ac− × × + − > 2 2 2a c b ac∴ + − < 2 2 2 1cos , cos2 2 a c bB Bac + −= ∴ < ( )0, , 3B B π∈ π ∴ < < π ABC∆ O AB O , / / , , ,DC BE DC BE DC CB DC CA= ⊥ ⊥ 2 2AB EB= = E ABC− 1 4 1 3 1 2 2 3第 7 页 共 19 页 【解析】根据已知证明 平面 ，只要设 ，则 ， 从而可得体积 ，利用基本不等式可得最大值． 【详解】 因为 ，所以四边形 为平行四边形.又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，所以 平面 .在直角三角形 中， ， 设 ，则 ， 所以 ，所 以 .又因为 ，当且 仅当 ，即 时等号成立， 所以 . 故选：B． 【点睛】 本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后 设出底面三角形一边长为 ，用建立体积 与边长 的函数关系，由基本不等式得最值， 或由函数的性质得最值． 12．已知函数 ，若 对任意 成立，则 实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将所求不等式变形为 ，利用导数证明出 ，由此可 得出函数 在 上单调递增，转化为 对任意的 恒成 立，利用参变量分离法可求得实数 的取值范围. 【详解】 BE⊥ ABC AC x= ( )24 0 2BC x x= − < < ( )2 2 21 14 46 6E ABCV x x x x− = ⋅ − = − , / /DC BE DC BE= DCBE , , ,DC CB DC CA CB CA C CB⊥ ⊥ ∩ = ⊂ ABC CA ⊂ ABC DC ⊥ ABC BE⊥ ABC ABE 2 2AB EB= = AC x= ( )24 0 2BC x x= − < < 21 1 42 2ABCS AC BC x x∆ = ⋅ = ⋅ − ( )2 2 21 14 46 6E ABCV x x x x− = ⋅ − = − ( ) 22 2 2 2 44 2 x xx x  + −− ≤    ( ) 22 2 2 2 44 2 x xx x  + −− ≤    2x = ( )max 1 3E ABCV − = x V x ( ) ln 2f x a x x= + ( )1 2 xf x ax e+ < + ( )0,x∈ +∞ a ( ],2−∞ [ )2,+∞ [ )2,− +∞ [ ]2,0− ( ) ( )1 xf x f e+ < 1xe x> + ( )y f x= ( )1,+∞ ( ) 0f x′ ≥ ( )1,x∈ +∞ a第 8 页 共 19 页 因为 ，所以 ， 所以“ 对任意 成立”等价于“ 对任意 成立”. 又当 时，令 ， 则 对任意的 恒成立， 所以，函数 在区间 上单调递增，则 ， 当 时， ， 所以只需要函数 在 上单调递增， 即当 时， 恒成立，即 ，解得 恒成立，所以 . 故选：C. 【点睛】 本题考查利用函数不等式求解参数的取值范围，将问题转化为函数的单调性是解答的关 键，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题 13．已知向量 ， ， ，则实数 的值为_________. 【答案】 【解析】求出向量 的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于 的等式，即 可解得实数 的值. 【详解】 向量 ， ，则 ， ， ，所以 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查利用共线向量的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题. 14．在正方体 中， 分别为棱 的中点，则直线 与 直线 所成角的正切值为_________. ( ) ln 2f x a x x= + ( ) 2x xf e ax e= + ( )1 2 xf x ax e+ < + ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )1 xf x f e+ < ( )0,x∈ +∞ 0x > ( ) ( )1 1x xg x e x e x= − + = − − ( ) 1 0xg x e′ = − > ( )0,x∈ +∞ ( )y g x= ( )0, ∞+ ( ) ( )0 0g x g> = 0x > 1 1xe x> + > ( )y f x= ( )1,+∞ 1x > ( ) 0f x′ ≥ 2 0a x + ≥ 2a x≥ − 2a ≥ − ( )1,1a = ( )2,b m= ( )// 2a a b+   m 2 2a b+  m m  ( )1,1a = ( )2,b m= ( )2 5,2 1a b m+ = +  ( )// 2a a b+    ( )1 2 1 5 1 0m∴ × + − × = 2m = 2 1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1 1 1,AA D A EF 1A B第 9 页 共 19 页 【答案】 【解析】由中位线定理和正方体性质得 ，从而作出异面直线所成的角，在三 角形中计算可得． 【详解】 如图，连接 ， ， ，∵ 分别为棱 的中点，∴ ， 又正方体中 ，即 是平行四边形，∴ ，∴ ， （或其补角）就是直线 与直线 所成角， 是等边 三角形，∴ ＝60°，其正切值为 ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角． 15．若 ，则 __________. 【答案】 【解析】由已知条件求得 的值，进而利用二倍角的正切公式求出 ，再利用 二倍角公式结合弦化切的思想可求得所求代数式的值. 【详解】 ， ，则 . 3 1/ /EF BC 1AD 1BC 1 1AC ,E F 1 1 1,AA D A 1//EF AD 1 1 1 1/ / ,AB C D AB C D= 1 1ABC D 1 1/ /AD BC 1/ /EF BC 1 1A BC∠ EF 1A B 1 1A BC∆ 1 1A BC∠ 3 3 sin 2cosα α= ( ) 2 2sin 2 2cos 2 sin 4 α α π α − =− 1 12 tanα tan 2α sin 2cosα α= tan 2α∴ = 2 2tan 4tan 2 1 tan 3 αα α= = −− ( ) 2 2 2 2 2 2 2sin 2 2cos 2 sin 2 2cos 2 sin 2 2cos 2 tan 2 2 sin 4 sin 4 2sin 2 cos2 2tan 2 α α α α α α α α α α α α − − − −∴ = = =π −第 10 页 共 19 页 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查三角求值，涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等 题. 16．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 1 的直线 交抛物线 于 两点， ，若线段 的垂直平分线与 轴交点的横坐标为 ， 则 的值为_________. 【答案】1 【解析】设 ，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得 ，由抛物线定义得焦点弦长，求得 ，再写出 的垂直平分线方程，得 ， 从而可得结论． 【详解】 抛物线 的焦点坐标为 ，直线 的方程为 ， 据 得 .设 ， 则 . 线段 垂直平分线方程为 ，令 ，则 ，所以 ， 所以 . 故答案为：1． 【点睛】 本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键． 三、解答题 17．已知在等比数列 中， . 24 2 13 4 122 3  − −  = = × −   1 12 2: 4C y x= F F l C ,M N 2 MF NFb += MN x a −a b ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2x x+ b MN a 2: 4C y x= ( )1,0 l 1y x= − 2 1 4 y x y x = −  = 2 6 1 0x x− + = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y ( )1 2 1 2 1 2 16, 4, 1 1 42 2 MF NFx x y y b x x ++ = + = ∴ = = + + + = MN ( )2 1 3y x− = − × − 0y = 5x = 5a = 1a b− = { }na 1 2 3 4 1 1 20, 4,na a a a a > = − =第 11 页 共 19 页 （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 前 项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由基本量法，求出公比 后可得通项公式； （2）求出 ，用裂项相消法求和． 【详解】 解：（1）设等比数列 的公比为 又因为 ，所以 解得 （舍）或 所以 ，即 （2）据（1）求解知， ， 所以 所以 【点睛】 本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量 法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握． 18．已知王明比较喜爱打篮球，近来，他为了提高自己的投篮水平，制定了一个夏季训 练计划.班主任为了了解其训练效果，开始训练前，统计了王明 场比赛的得分，计算 { }na 2 2 1 1 log logn n n b a a + = ⋅ { }nb n 12n na += 2 4 n n + q nb { }na ( )0q q > 1 1 2 4 1 1 24,a a a a = − = 2 3 1 1 2 4 4 4q q q − = 1q = − 2q = 1 14 2 2n n na − += × = 12n na += 12n na += 2 2 1 1 log logn n n b a a + = × ( )( ) 1 1 2n n = + + 1 1 1 2n n = −+ + 2 31 ...n nT b b b b= + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1...2 3 3 4 4 5 1 2n n        = − + − + − + + −       + +        1 1 2 2n = − + 2 4 n n = + 6第 12 页 共 19 页 出得分数据的中位数为 分，平均得分为 分，得分数据的方差为 ，训练结束后 统计了 场比赛得分成绩茎叶图如下图： （1）求王明训练结束后统计的 场比赛得分的中位数，平均得分以及方差； （2）若只从训练前后统计的各 场比赛得分数据分析，训练计划对王明投篮水平的提 高是否有帮助？ 【答案】（1）中位数为 分，平均得分为 分，方差为 ；（2）训练计划对王明 投篮水平的提高有帮助. 【解析】（1）由茎叶图能计算该篮球运动员执行训练后统计的 场比赛得分的中位数、 平均得分与方差； （2）根据训练前后的平均数、方差的对比可得出结论. 【详解】 （1）训练后得分数据得中位数为 分，平均得分为 分， 方差为 ； （2）据题设分析知，尽管训练后，中位数与训练前一样，但平均得分提高了，训练方 差小于训练前方差，这说明训练后得分稳定性提高了，这是投篮水平提高的表现，故此 训练计划对王明投篮水平的提高有帮助. 【点睛】 本题考查中位数、平均数、方差的求法及应用，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运 算求解能力、数据处理能力，是基础题． 19．如图，在四棱锥 中，底面四边形 是菱形， . 13 12 48 6 0 9 9 1 2 4 2 1 5 6 6 13 15 109 3 6 12 14 132 + = 9 9 12 14 21 25 156 + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 9 15 2 12 15 14 15 21 15 25 15 109 6 3s − × + − + − + − + −= = P ABCD− ABCD PD AC⊥第 13 页 共 19 页 （1）证明： ； （2）若 ， ，求四棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】（1）由菱形的性质得出 ，结合 ，利用线面垂直的判定定 理得出 平面 ，进而可得出 ； （2）由（1）知 平面 ，计算出 的面积和点 到平面 的距离 ， 进而可得出 ，即可求得结果. 【详解】 （1） 四边形 是菱形， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， ； （2）由（1）可知，得 平面 ， 在 中， ， ， 由余弦定理得 ，则 ， ， 又 平面 ，点 到平面 的距离 . 【点睛】 本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了四棱锥体积的计算，考查推理能力 与计算能力，属于中等题. AC PB⊥ 2DP DA DB= = = 2 3PB = P ABCD− 2 AC BD⊥ PD AC⊥ AC ⊥ PBD AC PB⊥ AC ⊥ PBD PBD∆ C PBD h 2P ABCD C PBDV V− −=四棱锥 三棱锥  ABCD AC BD∴ ⊥ PD AC⊥ BD PD D= AC∴ ⊥ PBD PB ⊂ PBD AC PB∴ ⊥ AC ⊥ PBD 2P ABCD A PBD C PBD C PBDV V V V− − − −∴ = + =四棱锥 三棱锥 三棱锥 三棱锥 PBD∆ 2BD = 2PD = 2 3PB = 2 2 2 1cos 2 2 BD PD PBPDB BD PD + −∠ = = −⋅ 2 3PDB π∠ = 1 1 2sin 2 2 sin 32 2 3PBDS BD PD PDB π ∆∴ = ⋅ ∠ = × × × = AC ⊥ PBD C PBD 2 2 22 32h  = − =   12 2 3 3 23P ABCD C PBDV V− −  ∴ = = × × × =  四棱锥 三棱锥第 14 页 共 19 页 20．已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，且点 到 点 的最大距离为 ，点 到点 的最小距离为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 交椭圆 于 、 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）根据题意可得出关于 、 的方程组，求出这两个量的值，进而可得出 的值，由此可得出椭圆 的标准方程； （2）分两种情况讨论：① 轴，求得 ；②直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，由直线 与圆相切得出 ，再将直线 的方程与椭圆 的方程联立，利用韦达定理结合弦长公 式可求得 的最大值，进而可求得 面积的最大值. 【详解】 （1）设椭圆 的焦距为 ，则 ， 解得 ， ， 因此，椭圆 的标准方程为 ； （2）设 、 . ①当 轴时， ； ②当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，则 ， . 将 代入椭圆方程整理，得 ， ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > F P C P F 3 2+ P F 3 2− C l C A B O l 3 2 AOB∆ 2 2 13 x y+ = 3 2 a c b C AB x⊥ AB AB AB y kx m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB ( )2 23 14m k= + AB C AB AOB∆ C ( )2 0c c > max min 3 2 3 2 PF a c PF a c  = + = + = − = − 3 2 a c  = = 2 2 1b a c∴ = − = C 2 2 13 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB x⊥ 3AB = AB x AB y kx m= + 2 3 21 m k = + ( )2 23 14m k∴ = + y kx m= + ( )2 2 23 1 6 3 3 0k x kmx m+ + + − =第 15 页 共 19 页 ， . ， 当且仅当 时，等号成立. ，因此， 面积的最大值为 . 【点睛】 本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，涉及韦达定理 设而不求法以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数 . （1）若关于 的方程 有且只有一个实数根，求实数 的取值范 围； （2）若函数 的图象总在函数 图象 的下方，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由 得出 ，可得出 ，令 ，将问题转化为直线 与函数 的图象只有一个交点，利用 导数分析函数 的单调性和极值，利用数形结合思想可求得实数 的取值范围； （2）由题意可知不等式 对任意的 恒成立，令 ，对实数 进行分类讨论，分析函数 在区间 上的单调性，结合 可求得实数 的取值范围. 【详解】 1 2 2 6 3 1 kmx x k ∴ + = − + ( )2 1 2 2 3 1 3 1 m x x k − = + ( )( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 1 1 2 1 21 1 4AB k x x k x x x x ∴ = + − = + ⋅ + −  ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 222 2 2 12 1 12 1 3 1 3 1 9 1361 3 13 1 3 1 3 1 m k k m k kk mk kk k k  − + + − + + = + − = = ++ + +  2 4 2 2 2 2 2 12 12 123 3 3 419 6 1 19 6 2 9 6 k k k k kk k = + = + ≤ + =+ + + + ⋅ + 3 3k = ± max 2AB∴ = AOB∆ ( )max max 1 3 3 2 2 2AOBS AB∆ = × × = ( ) 2 lnf x x x= + x ( ) ( )1 ln 0f x a x+ − = a ( ) ( ) ( )2 1 1y f x m x x= − + > ( ) ( )21 1y m x x= − > m { } ( )2 0,e− +∞ [ ]1,0− ( ) ( )1 ln 0f x a x+ − = 2ln 0a x x+ = 2 1 ln x a x − = ( ) 2 ln xg x x = 1= −y a ( )y g x= ( )y g x= a ( )2 2 1 ln 0mx m x x− + + < 1x > ( ) ( )2 2 1 lnh x mx m x x= − + + m ( )y h x= ( )1,+∞ ( ) 0h x < m第 16 页 共 19 页 （1）令 ，得 ， 设 ，则直线 与函数 的图象只有一个交点， 函数 的定义域为 ， ， 令 ，得 ，列表如下： 极大值 所以，函数 在 处取得极大值，即 ，如下图所示： 由上图可知，当 或 时，即当 或 时，直线 与函数 的图象只有一个交点， 因此，实数 的取值范围是 ； （2）令 ，根据题意知， 当 时， 恒成立. 又 . ①若 ， 对任意的 恒成立，此时，函数 在区间 上 单调递减， 所以， ，得 ，此时 ； ( ) ( ) ( )2 21 ln ln 1 ln ln 0f x a x x x a x a x x+ − = + + − = + = 2 1 ln x a x − = ( ) 2 ln xg x x = 1= −y a ( )y g x= ( ) 2 ln xg x x = ( )0, ∞+ ( ) 3 1 2ln xg x x −′ = ( ) 0g x′ = x e= x ( )0, e e ( ),e +∞ ( )g x′ + 0 − ( )g x   ( )y g x= x e= ( ) 1 2g e e = 1 0a − < 1 1 2a e − = 2a e= − 0a > 1= −y a ( )y g x= a { } ( )2 0,e− +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 2 1 lnh x f x m x m x mx m x x= − + − − = − + + ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x < ( ) ( ) ( )( )1 2 112 2 1 x mxh x mx m x x − −′ = − + + = 0m ≤ ( ) 0h x′ < 1x > ( )y h x= ( )1,+∞ ( )1 1 0h m= − − ≤ 1m ≥ − 1 0m− ≤ ≤第 17 页 共 19 页 ②若 ，当 时， ；当 时， . 所以，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 当 时， ，不合乎题意； ③若 ，对任意的 ， ，则函数 在区间 上单调递增. 当 时， ，不合乎题意. 综上，所求实数 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问 题，考查分类讨论思想以及数形结合思想的应用，属于中等题. 22．已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 与直线 的直角坐标方程； （2）若曲线 与直线 交于 两点，求 的值. 【答案】（1）曲线 的直角坐标方程为 ；直线 的直角坐标方程为 （2） 【解析】（1）由公式 可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方 程为普通方程； （2）联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离． 【详解】 解：（1） 10 2m< < 11 2x m < < ( ) 0h x′ < 1 2x m > ( ) 0h x′ > ( )y h x= 11, 2m      1 ,2m  +∞   x → +∞ ( )h x → +∞ 1 2m ≥ 1x > ( ) 0h x′ > ( )y h x= ( )1,+∞ x → +∞ ( )h x → +∞ m [ ]1,0− xOy 2C 2 2 x t y t = −  = + t x 1C ( )cos cos 2ρ θ ρ θ= + 1C 2C 1C 2C ,A B AB 1C 2 2y x= 2C 4 0x y+ − = 6 2 cos sin x y ρ θ ρ θ =  = ( )cos cos 2ρ θ ρ θ + 2cos 2cosρ ρ θ θ∴ = + 2 2 2cos 2 cosρ ρ θ ρ θ∴ = + 2 2 2 2x y x x∴ + = +第 18 页 共 19 页 曲线 的直角坐标方程为 直线 的直角坐标方程为 （2）据 解，得 或 【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题． 23．已知函数 . （1）解不等式 ； （2）若函数 的最小值为 ，求 的 最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式； （2）由（1）得 的最小值为 4，则由 ，代换后用基本 不等式可得最小值． 【详解】 解：（1） 讨论： 当 时， ，即， 此时无解； 当 时， ； 当 时， . 所求不等式的解集为 （2）分析知，函数 的最小值为 4 ∴ 1C 2 2y x= 2C 4 0x y+ − = 2 4 2 y x y x = − +  = 2 2 x y =  = 8 4 x y =  = − ( ) ( ) 222 8 2 4 6 2AB∴ = − + − − =   ( ) 2 2 4f x x x= − + + ( ) 3 4f x x≥ − + ( )f x ( ), 0, 0a m n a m n+ = > > 2020 2020 1008 1008m n ++ + 1 2x x ≥ −   4 ( )f x 1008 1008 2020m n+ + + = 3 2, 2 ( ) 2 2 4 6, 2 2 3 2, 2 x x f x x x x x x x − − < − = − + + = + − ≤ ≤  + > 2x < − 3 2 3 4x x− − ≥ − + 2 4− ≥ 2 2x− ≤ ≤ 1 16 3 4, , 22 2x x x x+ ≥ − + ≥ − ∴− ≤ ≤ 2x > 13 2 3 4, , 23x x x x+ ≥ − + ≥ − ∴ > ∴ 1 2x x ≥ −   ( )f x 4a∴ = 4m n a∴ + = =第 19 页 共 19 页 ，当且仅当 时等号成立. 的最小值为 4. 【点睛】 本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最小值．解绝对值不等式的方法是分类 讨论思想． 2020 2020 1008 1008 1008 1008 1008 1008 1008 1008 m n m n m n m n + + + + + +∴ + = ++ + + + 1008 10082 1008 1008 n m m n + += + ++ + 1008 10082 2 41008 1008 n m m n + +≥ + ⋅ =+ + 2m n= = 2020 2020 1008 1008m n ∴ ++ +