知识讲解 物理学中整体法与隔离法

1 物理学中整体法与隔离法 【高考展望】 本专题主要讨论利用整体法与隔离法分析解决物理问题的方法。整体法与隔离法是高中 物理的基础知识，是高中物理中处理物理问题的常用方法和重要方法，也是历年高考热点。　　 整体法与隔离法不仅适用于静力学和牛顿运动定律，而且在动量定理、动量守恒定律、 动能定理、机械能守恒定律、能量的转化和守恒定律、热学、电学、光学中均可应用。 【知识升华】 有相互作用的两个物体或两个以上的物体所组成的比较复杂的系统，分析和解答这类问 题，确定研究对象是关键。对系统内的物体逐个隔离进行分析的方法称为隔离法；把整个系 统作为一个对象进行分析的方法称为整体法。 　在解决具体物理问题的时候，整体法的优点是只须分析整个系统与外界的关系，避开了 系统内部繁杂的相互作用，更简洁、更本质的展现出物理量间的关系．缺点是无法讨论系统 内部的情况。一般来说，能用整体法的时候，优先使用整体法，这样便于减少计算量。隔离 法的优点在于能把系统内各个物体所处的状态、物体状态的变化的原因以及物体间相互作用 关系分析清楚，能把物体在系统内与其他物体相互作用的内力转化为物体所受的外力，以便 应用牛顿第二定律进行求解。 【方法点拨】 隔离法的缺点是涉及的因素多、比较繁杂。一般地说，对于不要求讨论系统内部情况的， 首选整体法，解题过程简明、快捷；要讨论系统内部情况的，那么就必须运用隔离法了。实 际应用中，隔离法和整体法往往同时交替使用。这种交替使用，往往是解决一些难题的关键 和求解基础。 【典型例题】 类型一、整体法和隔离法在平衡状态中的应用 例 1、（2016 海南卷）如图，在水平桌面上放置一斜面体 P，两长方体物块 a 和 b 叠放在 P 的斜面上，整个系统处于静止状态。若将 a 和 b、b 与 P、P 与桌面之间摩擦力的大小分 别用 f1、f2 和 f3 表示。则（ ） A．f1=0，f2≠0，f3≠0 B．f1≠0，f2=0，f3=0 C．f1≠0，f2≠0，f3=0 D．f1≠0，f2≠0，f3≠0 【思路点拨】分别对 a、ab 以及 abP 整体进行受力分析，根据平衡条件可明确各研究 对象是否受到摩擦力的作用。 【答案】C 【解析】对 a 物体受力分析如图可知：2 a 物体受重力、支持力的作用，有沿斜面向下滑动的趋势，因此 a 受到 b 向上的摩擦力， ； 再对 ab 物体整体受力分析如图可知： ab 物体受重力、支持力的作用，有沿斜面向下滑动的趋势，因此 b 受到 P 向上的摩擦 力， ； 对 ab 物体及 P 组成的整体受力如图所示： 由平衡条件可知，整体在水平方向不受外力， ；故只有 C 正确，ABD 错。 故选 C 【总结升华】“整体隔离法”是力学中的重要方法，一定要熟练掌握，注意对于由多 个问题组成的系统，不涉及内力时优先考虑以整体为研究对象。 举一反三 【变式】在粗糙水平面上有一个三角形木块，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量 m1 和 m2 的物体 P 和 Q，如图所示．若两物体分别沿左右两斜面匀速下滑过程中，三角形木块静 止，则粗糙水平面对三角形木块的下列正确中的是（　） A.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右 B.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左 C.有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因为 m1、m2、θ1、θ2 的数值并来给出 1 0f ≠ 2 0f ≠ 3 0f =3 D.以上结论都不对 【答案】D 【解析】两小物体虽然是运动的，但只要物体的加速度相同，则多个物体一定可以看作是一 个整体处理。将三个物体看作整体，则整体受重力和支持力，因水平方向没有外力，故木块 不受地面的摩擦力，故 D 正确；故选 D． 例 2、如图，质量为 =24kg 的木板 B 放在水平地面上，质量为 =22kg 的木箱 A 放 在木板 B 上。一根轻绳一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为 =37° 。 已知木箱 A 与 B 之间的动摩擦因数 =0.5 ，现用水平方向大小为 200N 的力 F 将木板 B 从木箱 A 下面 匀速抽出 （sin37°≈0.6 ，cos37°≈0.8 ，重力加速度 g 取 10m/s²），求木块 B 与地面之间的动 摩擦因数 的大小为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】A 【思路点拨】“将木板 B 从木箱 A 下面匀速抽出”，说明 B 所受合力为零，受力平衡。先隔 离 A 求出绳子的拉力，再取整体求木块 B 与地面之间的动摩擦因数。 【解析】对物体 A 受力分析如图甲，由题意得 ① ② ③ 由①②③得 ，代入数据解得 。 对物体 A、B 整体受力分析如图乙，由题意得 ④ ⑤ ⑥ 由④⑤⑥得 Bm Am θ 1 µ 2 µ 1cosT fF Fθ = 1 sinN T AF F m gθ+ = 1 1 1f NF Fµ= 1 1cos sin A T m gF µ θ µ θ= + 100TF N= 2cosT fF F Fθ + = 2 sin ( )N T A BF F m m gθ+ = + 2 2 2f NF Fµ= 2 cos ( ) sin T A B T F F m m g F θµ θ −= + −4 代入数据解得 。故选项 A 正确。 【总结升华】（1）在分析两个或两个以上物体间的相互作用时，一般采用整体法与隔离法进 行分析。（2）采用整体法进行受力分析时，要注意各个物体的状态应该相同。本题中如果用 力将木板 B 从木箱 A 下面匀加速抽出，显然不再是平衡状态了，状态发生了变化 ，就不能 用整体法求解了。（3）当直接分析一个物体的受力不方便时，可转移研究对象，先分析另一 个物体的受力，再根据牛顿第三定律分析该物体。 举一反三 【变式 1】如图所示，轻绳的一端系在质量为 物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环 套子在粗糙水平杆 MN 上，现用水平力 F 拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改 变 F 的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动，则在这一过程中， 水平拉力 F、环与杆的摩擦力 Ff 和环对杆的压力 FN 的变化情况是（ ） A．F 逐渐增大，Ff 保持不变，FN 逐渐增大 B．F 逐渐增大，Ff 逐渐增大，FN 保持不变 C．F 逐渐减小，Ff 逐渐增大，FN 逐渐减小 D．F 逐渐减小，Ff 逐渐减小，FN 保持不变 【答案】D 【解析】竖直方向受力较少，整体在竖直方向受两个力：重力竖直向下，环对杆的支持力必 然向上，FN=mg，所以环对杆的压力 FN 保持不变。 再隔离开来看水平方向，作受力图 θ 减小，竖直方向： ，绳拉力 FT 减小； 水平方向： ，则力 F 减小； 再用整体法看水平方向， F=Ff ，所以摩擦力 Ff 逐渐减小。 故正确选项为 D。 【高清课堂：牛顿第一定律、牛顿第三定律例 3】 【变式 2】如图所示，四块质量均为 m 的木块 A、B、C、D 被两块相同的竖直木板静止夹 住。则（ ） A. B 施于 A 的静摩擦力大小为 mg，方向向下 2 0.3µ = m cosTF mgθ = sinTF F θ=5 B.木板施于 D 的静摩擦力大小为 2mg, 方向向下 C. C 受到静摩擦力的合力大小为 mg，方向向上 D. C 施于 B 的静摩擦力为 0 【答案】ACD 【解析】 首先对四个物体整体分析，受力如图 1， ，木板施于 D 的静摩擦力大小 为 2mg， 方向向上，B 错。对 A，取 A 为研究对象受力如图 2，A 要平衡，右侧必然受向 下的静摩擦力（等于 mg），A 正确。 对 C 选项，C 处于静止，合力为零，受力如图 3，C 受到静摩擦力的合力大小应等于 C 的重 力，方向向上。C 正确。 对 D 选项，分析 B 受力，受力如图 4，B 受重力，A 对它的摩擦力大小为 mg，方向向上， 可见 B 已经平衡了，所以 C 对 B 没有静摩擦力，D 正确。 类型二、整体法和隔离法在动力学问题中的应用 由于系统内物体间没有相对运动，即整体内每个物体都具有相同的速度和加速度，这是 整体所受的合力提供整体运动的加速度。这种情况利用整体法，更容易把握整体的受力情况 和整体的运动特点。对于“连接体”求相互作用力问题，先利用整体法求出加速度，再利用 隔离法求出相互作用力。 例 3、如图所示光滑水平面上放置质量分别为 m 和 2m 的四个木块，其中两个质量为 m 的木块间用不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是 ，现用水平拉力 F 拉其中 一个质量为 2m 的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对 m 的最大拉力为（ ） A.  B.  C. D.  【答案】B 【思路点拨】求“轻绳对 m 的最大拉力”是典型的“连接体”问题，应该应用整体法和隔 离法求解。 【解析】先利用整体法：以四个木块为研究对象，由牛顿第二定律得 ① 再利用隔离法：绳的拉力最大时，m 与 2m 间的摩擦力刚好为最大静摩擦力 , 以 2m（右边的）为研究对象，受力图如图，则 ② 2f mg= mgµ 3 5 mgµ 3 4 mgµ 3 2 mgµ 3 mgµ 6F ma= mgµ 2F mg maµ− =6 由于根据① ②不能求出轻绳对 m 的最大拉力， 再隔离右上方的 m，对其进行受力分析如图 有 ③，联立以上三式得 故 B 正确。 【总结升华】应明确解题思路：应用整体法和隔离法求解；理解“最大拉力”与“最大静摩 擦力”相对应。 举一反三 【变式 1】如图所示，水平地面上两个完全相同的物体 A 和 B 紧靠在一起，在水平推力 F 的作用下运动，FAB 代表 A、B 间的作用力，则（ ） A.若地面是完全光滑的，则 FAB=F B.若地面是完全光滑的，则 C.若地面的动摩擦因数为 μ，则 FAB=F D.若地面的动摩擦因数为 μ，则 【答案】BD 【解析】设物体的质量为 m，且与地面间有摩擦，A、B 加速度相同，以整体为研究对象， 由牛顿第二定律有 ， 隔离 B，由牛顿第二定律有 联立解得 . 若地面是完全光滑的，同理 .故选项 BD 正确。 【变式 2】光滑的水平面上叠放有质量分别为 m 和 m/2 的两木块。下方木块与一劲度系数为 k 的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为 f， 为使这两个木块组成的系统象一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（ ） A． B． C． D． mg T maµ − = 3 4T mgµ= 1 2ABF F= 1 2ABF F= 2 2F mg maµ− = ABF mg maµ− = 1 2ABF F= 1 2ABF F= f k 2 f k 3 f k 4 f k7 【答案】C 【解析】物体做简谐运动，取整体为研究对象，弹簧的弹力充当回复力。取上面的小物块为 研究对象，则是由静摩擦力充当回复力。当两物体间的摩擦力达到最大静摩擦力时，两物体 达到了简谐运动的最大振幅。又因为两个物体具有共同的加速度，根据牛顿第二定律对小物 体有 ，取整体有 ，两式联立可得 ，答案为 C。 类型三、整体法和隔离法在动能定理、能量转化和守恒定律中的应用 例 4、（2015 福建卷）如图，质量为 M 的小车静止在光滑的水平面上，小车 AB 段是半 径为 R 的四分之一圆弧光滑轨道，BC 段是长为 L 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于 B 点， 一质量为 m 的滑块在小车上从 A 点静止开始沿轨道滑下，重力加速度为 g。 （1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力； （2）若不固定小车，滑块仍从 A 点由静止下滑，然后滑入 BC 轨道，最后从 C 点滑出 小车，已知滑块质量 ,在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的 2 倍，滑块与轨道 BC 间的动摩擦因数为 μ，求： ①滑块运动过程中，小车的最大速度 vm； ②滑块从 B 到 C 运动过程中，小车的位移大小 s。 【答案】：（1）3mg （2）① ②s=L/3 【解析】（1）由图知，滑块运动到 B 点时对小车的压力最大，从 A 到 B，根据动能定 理： 在 B 点： 1 2f ma= 1( )2kx m m a= + 3 fx k = 2 Mm = m 1 3v gR= 21 02 BmgR mv= −8 联立解得： FN=3mg，根据牛顿第三定律得，滑块对小车的最大压力为 3mg （2）①若不固定小车， 滑块到达 B 点时，小车的速度最大，根据动量守恒可得： mv′=Mvm 从 A 到 B，根据能量守恒： 联立解得： ②设滑块到 C 处时小车的速度为 v，则滑块的速度为 2v，根据能量守恒： 解得： 小车的加速度： 根据 解得：s=L/3 举一反三 【变式】如图所示，A、B 是位于水平面上的质量相等的小滑块，离墙壁距离分别为 2L 和 L，与水平面间的动摩擦因数均为 μ，今给 A 以某一向左的初速度使 A 向左滑动，假定 A、 B 之间及 B 与墙壁之间的碰撞时间很短，且均无能量损失，若要使 A 始终不向右滑动，A 的初速度最大不超过多大？ 【答案】 【解析】A 以 向左作匀减速运动，与 B 碰后速度交换，A 静止，B 以 向左作匀减速运 动，与墙碰后向右作匀减速运动，若 B 运动到 A 处速度刚好减为零，则 就是使 A 始终不 向右滑动的最大速度． 2 B N vF mg m R − = 2 2 m 1 1 2 2mgR mv Mv= ′ + m 1 3v gR= 2 21 1(2 )2 2mgR m v Mv mgLµ= + + 1 1 3 3v gR gLµ= − 1 2 mga gM µ µ= = 2 2 m 2v v as− = 0 6v gLµ= 0v 0v 0v9 　用整体法考虑，研究对象取 A、B 组成的系统，研究过程取从 A 开始运动到 B 刚好停止 的全过程．由动能定理得 解得 　 说明：①本题整体综合分析了研究对象和运动的全过程．②动能定理（以及动量定理） 一般适用于一个物体，但也适用于一个物体系．利用动能定理整体法解题时，要注意系统内 力做功之和必须为零，否则系统外力做功之和不等于系统的动能增量． 类型四、整体法和隔离法在动量定理、动量守恒定律中的应用 当所求的物理量只涉及运动的全过程而不必分析某一阶段的运动情况时，可通过整体研 究运动的全过程解决问题。运用动能定理、动量定理和动量守恒时，只需分析运动的初态和 末态，而不必追究运动过程的细节，这对于处理变力问题及难以分析运动过程和寻找规律的 问题，显示出极大的优越性。 例 5、质量为 m 的人原来静止在甲船上，乙船上无人，甲、乙两船质量均为 M 并静止 在水平面上。现甲船上的人水平跳到乙船上，而后再跳回甲船，求两船速率之比 . 【答案】 【思路点拨】本题涉及的物理过程有：①人跳离甲船，②人跳到乙船，③人跳离乙船， ④人跳回甲船，每个过程都可用动量守恒定律列方程，如此求解，实在麻烦。若用整体思维 方法，把人和甲、乙两船当成整体，对从起跳到跳回的 4 个过程统筹分析，当成一个大过程， 则该大过程仍满足动量守恒定律。 【解析】把人和甲、乙两船当成整体，系统的动量守恒 初动量：人跳离甲船前，都静止，总动量为零 末动量：人与甲船一起运动，动量为 乙船的动量为 （乙船的运动方向与甲船相反） 根据动量守恒定律 解得 【总结升华】当所求的物理量只涉及运动的全过程时，可对整个运动过程进行研究，类似于 对全过程应用动能定理、动量定理。 举一反三 【变式 1】如图所示，甲、乙两船的总质量（包括船、人和货物）分别为 10m、12m，两船 沿同一直线同一方向运动，速度分别为 、 。为避免两船相撞， 乙船上的人将一质量 为 m 的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度。（不计 水的阻力） 2 0 12 0 2mgL mg L mvµ µ− − ⋅ = − 0 6v gLµ= :v v甲 乙 :( )M M m+ ( )M m v+ 甲 -Mv乙 0 ( )M m v Mv= + −甲 乙 : = :( )v v M M m+甲 乙 02v 0v10 　　 【答案】 【解析】将两船隔离后取系统分析求解： 设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为 ，抛出货物后船的速度为 ，甲船上的人接到 货物后船的速度为 ，设船运动的方向（向右）为正方向，由动量守恒定律得 对乙船和抛出的货物组成的系统 ① 对甲船和抛过来的货物组成的系统 ② 两船相撞应满足 ③ 联立①②③式 ④ 应用整体法和隔离法求解： 避免两船相撞的临界条件是：两船速度相同 设向右为正方向，两船速度为 ，对整体应用动量守恒定律 解得两船速度为 在隔离乙船，设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为 ，应用动量守恒定律 解得 . 对动量守恒中“避免相撞”问题，可以应用整体法和隔离法求解，但与纯粹隔离后取系 统分析解题相比较并没有优势，所以老师都不要求用整体法列方程求解。 【变式 2】 如图所示，小车质量 M＝4kg，车内壁 ABC 为一半径 R＝2.5m 的半圆，车左侧 紧靠墙壁．质量 m＝1kg 的小滑块，从距车壁 A 点正上方高度为 R 的 D 点，由静止沿车内 壁滑下．不计一切摩擦，取 g=10m/s2．求滑块经过车右端点 C 时相对于地面的速度大小是 多少？ 04v minv 1v 2v 0 1 min12 11m v m v m v× = × − × 0 min 210 2 11m v m v m v× − × = × 1 2v v= min 04v v= v 0 010 2 12 11 11m v m v m v m v× + × = × + × 0 16 11v v= minv 0 min12 11m v m v m v× = × − × min 04v v=11 【解析】小滑块由 D 运动至 B 为下落过程，由 B 运动至 C 为上升过程，在车的半圆内壁中 运动时，m 受变力作用，故拟考虑从功和能、动量的角度求解，并由此确定相应的研究对象。 　小滑块从 D 运动至 B 的过程中，只有重力做功，故机械能守恒，为此取小滑块和地球 组成的系统为研究对象， 解得 　小滑块从 B 运动至 C 的过程中，与车发生相互作用，使车向右运动．由于在水平方向上 无外力作用，故系统的动量守恒，为此取小滑块和小车组成的系统为研究对象，且设小滑块 运动至 C 点时的系统的水平速度为 ，则有 解得 小滑块滑至 C 处后，将有沿切向方向（即竖直方向）飞出的效果，设小滑块竖直方向的 速度为 ，为求 ，可取小滑块从 D 至 C 的全过程来研究，因只有重力做功，故机械能 守恒，为此取小滑块和地球组成的系统为研究对象， 有 ，代入数据解得 . 　小滑块在 C 处相对于地面的速度为水平方向速度 和竖直方向速度 的合速度， 即 . 说明：本题综合优化运用了隔离法和整体法．从研究的对象看，由于机械能守恒，故用 整体法取小滑块和地球组成的系统为研究对象；由于动量守恒，故用整体法取小滑块和小车 组成的系统为研究对象．从研究的运动过程看，为避免处理变力问题，故用隔离法取 D→B 的过程求解 ；为求解 ，用隔离法取 B→C 的过程．为求解 ，用整体法取 D→C 的 全过程．最后用整体法思想，从全局考虑，将 和 合成小滑块在 C 处对地的速度 。 类型五、整体法和隔离法在电路分析中的应用 　 例 6、在如图所示电路中，当滑线变阻器的滑动触片 P 向 b 端移动时，电压表、电流表 读数变化情况是 （ ） 　 A．电压表读数增大、电流表读数减小 　 B．电压表和电流表读数都增大 　 C．电压表和电流表读数都减小 　 D．电压表读数减小、电流表读数增大 【答案】A 212 2 Bmg R mv⋅ = 2 2 10 2.5 / 10 /Bv gR m s m s= = × × = Cxv ( )B Cxmv M m v= + 1 10 / 2 /4 1Cx B mv v m s m sM m = = × =+ + Cyv Cyv 2 21 1 ( )2 2Cy CxmgR mv m M v= + + 2 30Cyv = Cxv Cyv 2 2 22 30 / 5.8 /C Cx Cyv v v m s m s= + = + = Bv Cxv Cyv Cxv Cyv Cv12 【思路点拨】 P 的移动，影响 （局部），从而影响总电阻 R、干路电流 I、路端电压 U （整体），导致各部分电路（局部）上的特性发生变化． 【解析】 对于 ，当 P 向 b 端移动时，接入电路的 变大，使 和 的并联电阻 变 大．从而影响整个电路，外电阻 R 变大．干路电流强度（ ）变小．路端电压 （ ）变大． 所以电压表读数增大． 对于 段电路，其两端电压（ ）变小． 对于 和 ，并联电路两端的电压（ ）变大． 对于 段电路，通过的电流强度( )变大。 对于电流表和 所在的一段电路，通过的电流强度（ ）变小，所以电流表的读 数减小．综上分析，正确选项为 A。 【总结升华】本题交互运用了隔离法和整体法：对 、U1、U23、I2、I3 的分析，必须将有 关的部分电路从整体电路上隔离出来．对 R、I、U 的分析，必须对整个电路加以考虑。 举一反三 【变式】如图所示电路，电源内阻不可忽略。开关 S 闭合后，在变阻器 R0 的滑动端向下滑 动的过程中（ ） A．电压表与电流表的示数都减小 B．电压表与电流表的示数都增大 C．电压表的示数增大，电流表的示数减小 D．电压表的示数减小，电流表的示数增大。 【答案】A 类型六、整体法和隔离法在热学中的应用 例 7、一个圆筒形气缸静置于地面上，如图所示，气缸质量为 M，活塞（连同手柄）的 质量为 m，气缸内不得横截面积为 S，大气压强为 P0，平衡时气缸容积为 V。现用手握住手 柄缓慢上提，设气缸足够长，在整个上提过程中气体温度保持不变，并不计气缸内气体的质 量及活塞与气缸壁间的摩擦。求将气缸刚提离地面时活塞上升的距离。 3R 3R 3R 2R 3R 23R EI R r = + U E Ir= − 1R 1 1U IR= 2R 3R 23 1U U U= − 2R 23 2 2 UI R = 3R 3 2I I I= − 3R13 【答案】 【思路点拨】取活塞为研究对象，根据平衡条件求出气缸内气体的压强 ；当气缸刚要离 开地面时，再取气缸为研究对象，根据平衡条件求出气缸内气体压强 ；由于初、末状态 的变化过程中，缸内气体的质量和温度都保持不变，取气缸内气体为研究对象，根据玻意耳 定律列方程求出活塞上升的距离。 【解析】设开始状态气缸内气体的压强为 ，气缸刚要离开地面时气缸内气体压强为 ， 体积为 V2。开始时，取活塞为研究对象，活塞受到重力 mg、大气压强的压力 和缸内气 体的压力 而达到平衡，根据平衡条件得： ，则 . 当气缸刚要离开地面时，取气缸为研究对象，气缸体受到重力 Mg、外面大气压力 和缸内气体压强的压力 作用而平衡， 则 得 . 由于初、末状态的变化过程中，缸内气体的质量和温度都保持不变，取气缸内气体 为研究对象，设活塞上升的距离为 L， ， 根据玻意耳定律有： ， 即 解得活塞上升的距离为 . 【总结升华】取活塞为研究对象，就是把活塞隔离出来，分析其受力，取气缸为研究对象， 就是把气缸隔离出来，分析其受力，本题仍然可以认为是平衡问题。 举一反三 【变式】如图所示，一圆筒形气缸静置于地面上，气缸筒的质量为 M，活塞（连同手柄）的 质量为 m，气缸内部的横截面积为 S，大气压强为 P0。现用手握塞手柄缓慢向上提，不计气 缸内气体的重量及活塞与气缸壁间的摩擦，若将气缸刚提离地面时气缸内气体的压强为 P、 0 ( ) ( ) V M m gL S p S Mg += − 1p 2p 1p 2p 0p S 1p S 1 0p S p S mg= + 1 0 mgp p S = + 0p S 2p S 2 0p S Mg p S+ = 2 0 Mgp p S = − 1V V= 2V V LS= + 1 1 2 2pV p V= 0 0( ) ( )( )mg Mgp V p V LSS S + = − + 0 ( ) ( ) V M m gL S p S Mg += −14 手对活塞手柄竖直向上的作用力为 F，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【解析】此题中的活塞和气缸处于平衡状态，以活塞为对象，受力分析如图，由平衡条件得， ① 再以活塞和气缸整体为对象，则有 ② 由①②式解得 ，故选项 C 正确。 0 mgP P S = + F mg= 0 mgP P S = + 0 ( )F P S m M g= + + 0 MgP P S = − ( )F m M g= + 0 MgP P S = − F Mg= 0F PS mg P S+ = + ( )F m M g= + 0 MgP P S = −15 【巩固练习】 一、选择题 1、体育器材室里，篮球摆放在如图所示的球架上．已知球架的宽度为 d，每个篮球的质 量为 m，直径为 D，不计球与球架之间的摩擦，则每个篮球对一侧球架的压力大小为(　　) A. B. C. D. 2、用轻质细线把两个质量未知的小球挂起来，如图甲所示，今对小球 a 持续施加一个向 左偏下 30°的恒力，并对小球 b 持续施加一个向右偏上 30°的同样大的恒力，最后达到平 衡，在下列图乙中表示平衡状态的是（ ） A. 图 A B.图 B C.图 C D.图 D 3、（2016 青海自主招生）跨过定滑轮的绳的一端挂一吊板，另一端被吊板上的人拉住， 如图所示。已知人的质量为 70kg，吊板的质量为 10kg，绳及定滑轮的质量、滑轮的摩擦均 不计，取重力加速度 g=10m/s2。当人以 440N 的力拉绳时，人与吊板的加速度 a 和人对吊板 的压力 F 分别为（ ） A. a=1.0m/s2. F=330N B. a=1.0m/s2. F=260N C. a=3.0m/s2. F=110N D. a=3.0m/s2. F=50N 1 2 mg mgD d 2 22 mgD D d− 2 22mg D d D −16 4、（2016 江西模拟）如图所示，质量为 M 的长木板位于光滑水平面上，质量为 m 的物 块静止在长木板上，两物块之间的滑动摩擦因数为 μ，现对物块 m 施加水平向右的恒力 F， 若恒力 F 使长木板与物块出现相对滑动，则恒力 F 的最小值为（重力加速度大小为 g，物块 与长木板之间的最大静摩擦力等于两者之间的滑动摩擦力）（ ） A. B. C. D. 5、如图所示，斜面体 ABC 置于粗糙的水平地面上，小木块 m 在斜面上静止或滑动时， 斜面体均保持静止不动。下列哪种情况下，斜面体受到地面向右的静摩擦力（ ） A. 小木块 m 静止在 BC 斜面上 B. 小木块 m 沿 BC 斜面加速下滑 C. 小木块 m 沿 BA 斜面减速下滑 D. 小木块 m 沿 AB 斜面减速上滑 6、在水平地面上运动的小车车厢底部有一质量为 的木块，木块和车厢通过一根轻质弹 簧相连接，弹簧的劲度系数为 k.在车厢的顶部用一根细线挂一质量为 的小球。某段时间 内发现细线与竖直方向的夹角为 ，在这段时间内木块与车厢保持相对静止，如图所示。不 计木块与车厢底部的摩擦力，则在这段时间内弹簧的形变为（ ） A．伸长量为 B. 压缩量为 C. 伸长量为 D. 压缩量为 7、(2015 山东青岛一模)如图所示，水平桌面上有三个相同的物体 a、b、c 叠放在一起，a 的左端通过一根轻绳与质量为 m＝3 kg 的小球相连，绳与水平方向的夹角为 60°，小球 静止在光滑的半圆形器皿中，水平向右的力 F＝40 N 作用在 b 上，三个物体保持静止状 态．g 取 10 m/s2，下列说法正确的是(　　) (1 )mmg M µ + (1 )Mmg m µ + mgµ Mgµ 1m 2m θ 1 tanm g k θ 1 tanm g k θ 1 tan m g k θ 1 tan m g k θ17 A．物体 c 受到向右的静摩擦力 B．物体 b 受到一个摩擦力，方向向左 C．桌面对物体 a 的静摩擦力方向水平向右 D．撤去力 F 的瞬间，三个物体将获得向左的加速度 8、如图所示，在光滑的水平面上，A、B 两物体的质量 ，A 物体与轻质弹簧相 连，弹簧的另一端固定在竖直墙上，开始时，弹簧处于自由状态，当物体 B 水平向左运动， 使弹簧压缩至最短时，A、B 两物体间作用力为 F，则弹簧给 A 物体的作用力大小为（ ） A. F B.2F C. 3F D.4F 9、如图所示，在不光滑的水平面上，质量相等的两个物体 A、B 间用一轻质弹簧相连组 成系统，现用一水平拉力 F 作用在 B 上，从静止开始经一段时间后，A、B 一起做匀加速直 线运动，当它们的总动能为 时撤去水平力 F，最后系统停止运动，从撤去拉力 F 到系统 停止运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．系统克服阻力做的功等于系统的动能 B．系统克服阻力做的功大于系统的动能 C．系统克服阻力做的功可能小于系统的动能 D．系统克服阻力做的功一定等于系统机械能的减小量 10、如图所示的电路中，R1 、R2、 R3 均为可变电阻，当开关 S 闭合后，两平行金属板 MN 中有一带电液滴正好处于静止状态。为使带电液滴向上加速运动，可采取的措施是（ ） A．增大 R1 B．减小 R2 C．减小 R3 D．增大 MN 间距 2A Bm m= kE kE kE kE18 二、解答题 11、光滑水平面上，放一倾角为 的光滑斜木块 M，质量为 m 的光滑物体放在斜面上， 如图所示，现对斜面施加力 F，若使 M 与 m 保持相对静止，F 应为___________。 . 12、如图所示，质量为 M 的木箱放在水平地面上，木箱中的立杆上套着一个质量为 m 的 小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的二分 之一，即 ，则小球在下滑的过程中，木箱对地面的压力为___________。 13、两个质量相同的小球 A、B 中间用轻弹簧相连，放在光滑的水平面上，A 球挨着左墙 壁，如图所示。若用水平向左的瞬时冲量作用于 B 球，B 球将弹簧压缩，弹簧的最大弹性 势能是 4J，当 A 球离开墙壁瞬间，B 球的动量大小是 2kg﹒m/s。则 B 球的质量是 _______kg；水平冲量的大小是___________N﹒s。 14、一个木块从如图所示的左边斜面上 A 点自静止起滑下，又在水平面上滑行，接着滑 上右边的斜面，抵达 B 点静止，设动摩擦因数处处相同，转角处撞击不计，测得 A、B 两 点连线与水平面夹角为 θ，则木块与接触面间的动摩擦因数为__________。 15、如图所示的装置中，竖直向上放置的横截面积为 S 的气缸内，有两个质量分别为 和 的圆柱形光滑活塞，封闭着两部分理想气体 A 和 B。若外界大气压强为 ，试求气 体 A 的压强 . θ 1 2a g= 1m 2m 0p Ap19 16、如图所示，劲度系数为 k 的轻质弹簧一端与墙固定，另一端与倾角为 的斜面体小车 连接，小车置于光滑的水平面上，在小车上叠放一个物体，已知小车质量为 M，物体质量 为 m，小车位于 O 点时，整体系统处于平衡状态．现将小车从 O 点拉到 B 点，令 OB=b， 无初速释放后，小车即在水平面 B、C 间来回运动，而物体和小车始终没有相对运动．求： 　（1）小车运动到 B 点时的加速度大小和物体所受到的摩擦力大小． （2）b 的大小必须满足什么条件，才能使得小车和物体一起运动的过程中，在某一位置 时，物体和小车之间的摩擦力为零． 17、如图所示，在倾角为 30°的光滑斜面上，有一劲度系数为 k 的轻质弹簧，其一端固定 在固定挡板 C 上，另一端连接一质量为 m 的物体 A．有一细绳通过定滑轮，细绳的一端系 在物体 A 上（细绳与斜面平行），另一端系有一细绳套，物体 A 处于静止状态．当在细绳套 上轻轻挂上一个质量为 m 的物体 B 后，物体 A 将沿斜面向上运动，试求： （1）未挂物体 B 时，弹簧的形变量； （2）物体 A 的最大速度值． 18、两根金属杆 ab 和 cd 长度均为 L，电阻均为 R，质量分别为 M 和 m，且 M>m，用两 根质量和电阻均可忽略不计的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，两导线分别跨绕在 一根水平的光滑绝缘杆上，两金属杆 ab 和 cd 均处于水平位置，如图所示。整个装置处在一 个与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为 B.若金属杆 ab 正好匀速向下运动，求其 运动速度 的大小。 θ v20 【答案与解析】 一、【答案】C　 【解析】篮球受力如图所示： 设球架对篮球的弹力与竖直方向的夹角为 θ，由平衡条件得 而 则 ，选项 C 正确． 2、【答案】A 【解析】将 a、b 两球及两球间的绳看作一个物体系统，以这个系统为研究对象，因为作 用在 a、b 上的恒力等大反向，其合外力平衡，而 a、b 受的重力竖直向下，要保持平衡，故 系 a 及悬点的细绳施于 a、b 系统的力必然沿竖直方向向上，如图丙所示，故答案为 A。 3、【答案】A 【解析】以人与吊板整体为研究对象，受力如图 1 所示，根据牛顿第一定律，加速度为; 1 2 2cos mgF F θ= = 2 2 2 22 2cos 2 D d D d D D θ    −    −   = = 1 2 2 22 mgF D D d F −= = 2 22 ( ) 2 440 80 10 m/s 1m/s80 T M m ga M m − + × − ×= = =+21 再对吊板研究，受力如图 2 所示，则有： T-(mg+F)=ma 得到：F=T-ma-mg=440N-10×(1+10)N=330N 故选 A。 4、【答案】A 【解析】对物块与长木板整体进行受力分析：F=(M+m)a 对物块进行受力分析：F-f=ma 对木板进行受力分析：f=Ma 当物块与长木板即将相对滑动时，静摩擦力达到最大值，f=μmg。 求解以上方程组得： ，A 正确，BCD 错。 故选 A。 5、【答案】BC 【解析】以斜面体和小木块整体为研究对象，在水平方向上，只有斜面体受到地面向右的 静摩擦力这一个外力，由于斜面体整体静止不动，M 的加速度为零，所以小木块的运动必 须有水平向右的加速度分量才行。当小木块静止时，m 的加速度为零，A 错。当小木块沿 BC 斜面加速下滑，存在水平向右的加速度分量，B 对。当小木块 m 沿 BA 斜面减速下滑时， 也存在水平向右的加速度分量，C 对，D 错。 6、【答案】A 【解析】对小球受力分析，如图 由几何关系和牛顿第二定律 ，即加速度 故车向左加速或向右减速 = (1 )mF mg M µ +最小 2 2tanm g m aθ = tana g θ=22 对小物体受力分析，受重力、支持力和弹簧弹力，合力等于弹簧弹力， 根据牛顿第二定律 弹力= 物体受向左的弹力，结合胡克定律可知， 所以弹簧的伸长量为 ，故选项 A 正确。 7、【答案】B 【解析】C 物体处于平衡状态，既不受拉力也不受摩擦力，A 错误；b 处于平衡状态， 由于水平拉力 F＝40 N，因此受到水平向左的摩擦力也为 40N，B 正确；对小球 m 进行 受力分析可知，Tcos30°×2＝mg，可求出绳子拉力 ，因此桌面受到的 静摩擦力方向水平向左，大小为 ，C 错误；撤去力 F 的瞬间，由 于绳子拉力小于 a 与桌面间的摩擦力，因此三个物体仍将静止不动，D 错误． 8、【答案】C 【解析】隔离 B，由牛顿第二定律 对 A、B 整体由牛顿第二定律 ， 由已知 ，联立解得弹力 ，故选项 C 正确。 9、【答案】BD 【解析】 由于地面的摩擦力，A 物体会瞬时不动，从而弹簧就有拉长，存在弹性势能。 系统克服摩擦力做的功等于系统的动能和弹簧的弹性势能，所以 A、C 错误，B 正确；系 统的机械能等于系统的动能加上弹簧的弹性势能，当它们的总动能为 Ek 时撤去水平力 F， 最后系统停止运动，系统克服阻力做的功一定等于系统机械能的减小量，D 正确；故选 BD。 10、【答案】B 【解析】由题意知带电液滴带负电，带电液滴原来处于静止状态，则电场力与重力平 衡．为了让带电液滴向上加速运动，只要增大电场力即可，减小 R2 或增大 R3，都可使电场 力增大，B 项正确；若增加两板间距，电场强度减小，带电液滴将向下加速运动，不符合题 意．故正确选项为 B。 二、解答题 11、【答案】 【解析】由于斜面光滑，物块只受重力和斜面的弹力，而且和斜面一起运动（保持相对静 止）， 则先隔离物块 m 分析受力如图所示， 1 1 tanm a m g θ= 1 tankx m g θ= 1 tanm g k θ 10 3N 40NT= ＜ 40N 10 3N 22.7N- = BF m a= ( )t A BF m m a= + 2A Bm m= 3tF F= ( ) tanM m g θ+23 计算出加速度， ，方向水平向左， 再根据整体法可以求得 12、【答案】 【解析】隔离小球为研究对象，小球受到的摩擦力沿杆向上， 根据牛顿第二定律 ，解得 再取木箱为研究对象，木箱受重力，地面对木箱的支持力向上， 小球给木箱的摩擦力大小为 ，方向向下， 则 ， 由牛顿第三定律，木箱对地面的压力为 。 13、【答案】0.5kg；2 N﹒s 【解析】B 球先向左压缩弹簧，动能转化为弹性势能，弹簧压缩量最大时弹性势能最大， 此时 B 球速度减小到零，动能全部转化为弹性势能。然后 B 向右加速运动而 A 不动，当弹 簧恢复到原长时 A 开始要离开墙壁，此时 B 的速度最大，弹性势能为零，即弹簧的弹性势 能又全部转化为 B 的动能，整个过程机械能守恒。 因此 解得 B 球的质量 水平冲量的大小 14、【答案】 【解析】如果隔离运动过程分析，需考察木块从左边斜面滑下、水平面上滑行、滑上右边 斜面三个过程，显然较繁．但如果整体分析木块从 A 至 B 的运动全过程，如图所示， 从 A 到 B 相当于物块从 A 点自由下落 h 到 B 的同一水平面，并以此时的速率滑动 s 到 B 点停止，即重力做的功等于克服摩擦力做的功．对运动全过程整体分析，初、末态速率为零， 用动能定理解极为方便． tana g θ= ( ) ( ) tanF M m a M m g θ= + = + 1 2Mg mg+ mg f ma− = 1 2f mg= 1 2 mg 1 2N Mg f Mg mg= + = + 1 2Mg mg+ 2 21 2 2p pE mv m = = 2 22 0.52 2 4p pm kg kgE = = =× 2I mv N s= = ⋅ tanµ θ=24 　　对木块运动的全过程分析，应用动能定理有 ，其中 f =μmg 解得 . 15、【答案】 【解析】常规解法是先分析 的受力，求出 B 气体的压强 ，再分析 的受力，求出 A 气体的压强 ，若将 、 和气体 B 看作一个整体，这样气体 B 对两活塞的压力就是 内力而不必考虑，理想气体的重力可忽略，由于整体平衡 得到 所以气体 A 的压强 . 16、【答案】（1） ， （2） 【解析】 所求的加速度 和摩擦力 f 是小车在 B 点时的瞬时值．当物体和小车之间的摩 擦力为零时，小车的加速度变为 ，小车距 O 的距离变为 ． （1）取 M、m、弹簧组成的系统为研究对象 ① 则加速度大小为 取 m 为研究对象，作受力图，进行正交分解如图， 根据牛顿第二定律列出方程 水平方向： ② 竖直方向： ③ 联立① ② ③解得摩擦力大小为 ， 方向沿斜面向上。 （2）取 m 为研究对象，当 f = 0 时，小车应位于 O 左侧偏离 O 点的距离 （由② ③也可以看出） 　 0mgh fs− = f mgµ= tanh s µ θ= = 1 2 0 ( ) A m m gp p S += + 1m Bp 2m Ap 1m 2m 0 1 2( )Ap S p S m m g= + + 1 2 0 ( ) A m m gp p S += + kba M m = + cossin kbmmg M m θθ + + ( ) tanM m gk θ+ a a′ b′ ( )kb M m a= + kba M m = + cos sinf N maθ θ− = cos sinN f mgθ θ+ = cossin kbmf mg M m θθ= + + b′ tana g θ= ( ) tankb M m g θ′ = +25 解得 . 17、【答案】（1） （2） 【解析】未挂物体 B 时，对于物体 A 由平衡条件求出此时弹簧的压缩量，挂 B 后 A 沿斜 面向上做加速度减小的加速运动，当 A 加速度为 0 时，A 速度最大，对 AB 分别根据平衡 条件求出此时弹簧的伸长量，进而判断在此过程中弹簧弹性势能改变量，设最大速度为 ， 对于 A、B 及弹簧组成的系统由机械能守恒即可求出 A 的最大速度值； （1）设未挂物体 B 时，弹簧的压缩量为 ， 则有 ，所以 ． （2）当 A 的速度最大时，设弹簧的伸长量为 ， 则有 ，所以 对 A、B 和弹簧组成的系统，从刚挂上 B 到 A 的速度最大的过程， 由机械能守恒定律得： 解得 ． 18、【答案】 . 【解析】取整体为研究对象，即根据整体法分析，ab 正好匀速向下运动，cd 正好匀速向 上运动，它们切割磁感线产生的两个感应电动势大小相等，方向相同，感应电流大小相等方 向相同，组成的电路为两个电源串联，两个电阻与两个电源串联。 根据能量守恒定律，由于匀速运动，它们重力的功率等于两个电阻的功率， 总电流 联立两式解得 . ( ) tanM mb gk θ+′ = 2 mgx k = 2 2m mgv k = mv x sin30mg kx= 2 mgx k = x′ sin30mg kx mg′+ = 2 mgx x k ′ == = 212 2 sin30 22 mmg x mg x mv⋅ − ⋅ = ⋅ 2 2m mgv gx k = = 2 2 ( ) 2 M m gRv B L −= 2( ) 2M m gv I R− = 2 2 BLvI R = 2 2 ( ) 2 M m gRv B L −=