知识讲解 物理学中等效法

1 物理学中等效法 【高考展望】 等效的思想方法几乎渗透于整个高中物理教材的各个部分之中。比如：力的合成就是把 几个力等效为一个力；在研究变速直线运动时，引入了平均速度，将变速直线运动等效变换 为匀速直线运动处理；在研究抛体运动时，将抛物线运动等效变换为两个直线运动的合成； 计算变力所做的功，可以等效变换为计算物体能量的变化量；计算变力的冲量，可以等效变 化为计算动量的变化量；在研究气体的性质时，利用等效假设可以把变质量问题转换为恒定 质量问题处理；在电路问题计算中，把几个电阻构成的部分电路等效变换为一个电阻；在计 算曲线导体切割磁力线产生的感应电动势时，可将曲线导体等效变换为直线导体；在求交流 电热量时可将交流电等效为直流电处理等等。可见等效法是高中物理中处理物理问题的常用 方法和重要方法。 【知识升华】 所谓“等效法”就是在特定的某种意义上，在保证效果相同的前提下，将陌生的、复杂 的、难处理的问题转换成熟悉的、容易的、易处理的一种方法。等效法是常用的科学思维方 法，在物理解题中有广泛的应用。 【方法点拨】 等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题， 以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因 素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。在应用等效法解题时，应知道两个事 物的等效不是全方位的，只是局部的、特定的、某一方面的等效。因此在具体的问题中必须 明确那一方面等效，这样才能把握住等效的条件和范围。 【典型例题】 类型一、力的等效 合力与分力具有等效性，关于这一点在力的合成和分解中得到充分的体现。如果物体受 到多个恒力作用时，也能够充分应用等效的观点，把多个恒力等效为一个力，就可以将较复 杂的模型转化为较简单的物理模型，然后再去应用我们熟知的规律去列方程，这样将大大降 低解题的难度，更有利于对问题的正确解答。实际上力的等效法与力的平行四边形法则（即 合成法）是一样的。 　例 1、质量为 m 的物体，受到六个共点力大小分别为 F、2F、3F、4F、5F、6F，相互 间夹角均为 60°，2F 的力方向水平向右，5F 的力方向水平向左，如图所示。 求（1）物体受到的合力大小和方向； （2）物体运动的加速度的大小和方向。 【思路点拨】力 F 与 4F 方向相反，2F 与 5F 方向相反，3F 与 6F 方向相反，分别合成后为 3 个 3F 的力，相互间夹角均为 60°，再合成。 【答案】（1）6F，方向水平向左；（2） ，方向水平向左。 【解析】力 F 与 4F 方向相反，2F 与 5F 方向相反，3F 与 6F 方向相反，分别合成后为 3 个 6F m2 3F 的力，相互间夹角均为 60°，再合成。两个相等的力夹角为 120°，合力的大小等于分力， 即两个 3F 的力合成后的合力也等于 3F，方向水平向左，再与水平向左的 3F 合成，最后合 力大小为 6 F，方向水平向左。 （2）根据牛顿第二定律， 则物体运动的加速度 ，方向水平向左。 【总结升华】这里得出一个基本的力学模型：两个大小相等的力夹角为 120°，合力的大小 等于分力，解题中要经常用到。同时也可以看出：力的等效，就是应用力的合成法则，即平 行四边形法则，可以进一步推广到矢量的合成。力的等效同样适用电场力、电场强度、磁感 应强度等矢量的等效。 举一反三 【变式 1】用一根长 1m 的轻质细绳将一副质量为 1kg 的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能 承受的最大张力为 ，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为（ 取 ） （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求两个挂钉间的最大间距，即绳承受的最大张力，重力也是 10N，根据等效原理， 画出力的平行四边形，由于三个力都是 10N，所以两根绳的夹角为 120°（合力等于分力）， 所求两个挂钉间的最大间距即 AB 间的距离，绳两边各长 0.5 米，根据几何关系求得 AB 间 的距离为 ，故选项 A 正确。 10N g 210m/s 3 m2 2 m2 1 m2 3 m4 3 m2 6F ma= 6Fa m =3 【变式 2】如图所示，在 a、b、c 三处垂直纸面放置三根长直通电导线，abc 是等边三角形 的三个顶点，电流大小相等，a 处电流在三角形中心 O 点的磁感应强度大小为 B，求 O 处 磁感应强度。 【答案】2B，方向平行于 ab 连线向右。 【解析】因 Oa = Ob = Oc，且各电流等大，所以 b、c 两处的电流在 O 点产生的磁场大小也 为 B，根据安培定则，各电流在 O 处产生的 B 的方向应垂直于各点和 O 的连线，再根据平 行四边形定则和几何关系知，a、b 在 O 处的合磁感应强度为 B，方向向右，O 处的合磁感 应强度大小为 2B，方向平行于 ab 连线向右。 类型二、运动的等效 由于合运动和分运动具有等效性，所以平抛运动可看作是水平方向的匀速直线运动和竖 直方向的自由落体运动的合运动。“小船过河”中小船的运动可以看作是沿水流的方向的匀速 直线运动和垂直于河岸方向的匀速直线运动的合运动。带电体在电场中的类平抛运动是带电 体在垂直于场强方向的匀速直线运动和沿场强方向的匀变速直线运动的合运动。在计算大小 不变方向变化的阻力做功时，如空气阻力做功的时候，可以应用公式 ，只是式中的 是路程而不是位移，不管物体的运动方向如何变，均可等效为恒力 作用下的单向直线运 动。 例 2、如图所示，斜面高 1m，倾角 θ=30°，在斜面的顶点 A 以速度 水平抛出一小球， 小球刚好落于斜面底部 B 点。不计空气阻力，g 取 10m/s2.求小球抛出的速度 和小球在空 中运动的时间 。 　　　 【思路点拨】根据平抛运动的规律，可将平抛运动等效为水平方向的匀速直线运动和竖直方 向的自由落体运动。 W fs= s f 0v 0v t4 【答案】 ， 【解析】水平方向： 竖直方向： 根据几何关系： 代入数据解得 ， 。 【总结升华】把平抛运动等效为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 举一反三 【变式 1】（2016 广东模拟）一个猎人用枪水平射击同一高度的树上的猴子，正当这个 时候猴子发现了猎人，在子弹从枪口射出的瞬间，它从静止开始做自由落体运动，不计阻力 ，说法正确的是（ ） A. 猎人能射中猴子 B. 猎人不能射中猴子，射击在猴子的上方 C. 猎人不能射中猴子，射击在猴子的下方 D. 以上说法都不对 【答案】A 【解析】子弹射出枪口后做平抛运动，平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动， 与猴子的运动情况完全相同，当子弹飞出枪口时，猴子恰好同时下落，所以子弹会和猴子同 时到达某一点，即恰好击中猴子。A 正确，BCD 错。 故选 A。 【总结升华】解决本题的关键是知道平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，在水平 方向上做匀速直线运动，以及分运动与合运动具有等时性。 【变式 2】两个半径均为 R 的圆形平板电极，平行正对放置，相距为 d，极板间 的电势差为 U，板间电场可以认为是均匀的。一个 粒子从正极板边缘以某一初 速度垂直于电场方向射入两极板之间，到达负极板时恰好落在极板中心。已知质 子电荷为 e，质子和中子的质量均视为 m，忽略重力和空气阻力的影响，求： （1）极板间的电场强度 E； （2） 粒子在极板间运动的加速度 a； （3） 粒子的初速度 v0。 0 15 /v m s= 5 5t s= 0x v t= 21 2y gt= tany x θ= 0 15 /v m s= 5 5t s= α α α5 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）平板电极，电势差为 U，相距为 d 则电场强度 . （2） 粒子是氦核 ，质量数是 4，电荷数是 2， 加速度 （3） 粒子的初速度： 粒子在垂直于场强方向做匀速直线运动，沿场强方向做初速度为 零的匀加速直线运动，在电场力做类平抛运动，如图。 垂直于场强方向 沿场强方向 加速度 联立解得 类型三、过程的等效 有些题目所涉及的过程非常复杂，以致我们无法或不必要严格地搞清楚整个过程中的各 个细节，特别是在动量和能量解的某些题目中，整个运动过程中的“动态”是很复杂的，往往 只要把握住起始和终了时刻的状态，定性地分析过程，运用等效的观点，将整个过程等效为 一个相对简单的过程，从而方便求解。这也正是等效法的精要之一。 例 3、如图所示，两个底面积都是 的圆桶放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分 别 和 ，已知水的密度为 ，现把连接两桶的阀门 打开，直至两桶水面高度相等，这 一过程中，水的重力势能如何变化？变化多少？水的动能如何变化？变化多少（不计阻力） 　　　　 UE d = 2 eUa md = 0 2 R eUv d m = UE d = α 4 2 He 2 4 4 2 F eE eUa m m md = = = α α 0R v t= 21 2d at= 2 eUa md = 0 2 R R eUv t d m = = S 1h 2h ρ K6 【思路点拨】本题可以采用“等效法”来解决，连接两桶的阀门打开后到两桶水面高度相等， 这一过程可以等效为大部分水没有迁移，只是左方桶中虚线上方的水移到右方桶中虚线下方 的空缺处。 【答案】水的重力势能减少，减少了 ； 水的动能的增加，增加了 。 【解析】阀门 K 打开后，左桶中的水逐渐流向右桶……，直至两桶水面高度相等。这一过 程中我们无需分析其中的细节。如果观察开始的状态和结束的状态（如图）。整个过程可等 效为左方桶中 高度以上的部分移动到右方桶中虚线下方的空缺处。 重心下降了： 被移动部分的水的质量为： 水的重力势能减少了 根据机械能守恒定律，水的重力势能的减少量等于水的动能的增加量 即水的动能的增加了 【总结升华】过程的等效分析中，无需分析其中的细节，关键是分析清楚初态和末态。 举一反三 【变式】如图、一根长为 l、质量为 m 的绳子搭在光滑的桌子上，绳子一半垂在桌面以下。 在受到一扰动后从桌边下滑，则绳子离开桌边时的速度为__________。 【答案】 【解析】认为桌面下的部分重力势能不变，桌面上的一半质量为 ， 重心下降了 ，如图所示， 重力势能减少了 2 1 2 1 ( )4 gS h hρ − 2 1 2 1 ( )4 gS h hρ − 1 2 1 ( )2 h h− 1 2 1 ( )2 h h− 1 2 2 h hm Sρ −= 2 1 2 1 ( )4PE mgh gS h hρ∆ = = − 2 1 2 1 ( )4kE gS h hρ∆ = − 3 4 gl 1 2 mg 3 4 l 1 3 2 4mg l×7 根据机械能守恒定律，减少的重力势能等于增加的动能 解得绳子离开桌边时的速度为 . 说明：本题用机械能守恒定律的方法掌握熟练后，不必刻意用等效法。 类型四、模型的等效 等效就是相互替代的效果相同。利用等效法，不仅可以使非理想模型变为理想模型，使 复杂问题变成简单问题，而且可以使感性认识上升到理性认识，使一般理性认识升华到更深 层次。在解题过程中，我们应用最多的、最典型的物理模型并不是很多，如碰撞模型、人船 模型、子弹射木块模型、卫星模型、弹簧振子模型等等。要提高解决综合问题的能力，从根 本上讲还是提高构建物理模型的能力，要学会透过现象看本质，进而对物理模型进行等效转 化。 1、单摆中等效摆长问题 例 4、如图所示，三根等长的绳 、 、 ，长度为 ，共同系住一密度均匀的小球 m， 组成了所谓的双线摆，小球直径为 d。 、 与天花板的夹角 。 （1）若摆球在纸面内做小角度的左右摆动（简谐运动），其周期为多少？ （2）若摆球做垂直纸面的小角度摆动（简谐运动），其周期为多少？ 【思路点拨】本题的双线摆模型是我们不熟悉的，考察其运动发现完全可以用一个单摆来等 效替代。（1）其单摆的等效摆长为小球球心到 点的距离，（2）其单摆的等效摆长为小球 球心到 O 点的距离，运用单摆的周期公式很容易地可以求出答案。 【答案】见解析。 【解析】（1）若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在 处， 故等效摆长为 ， 根据单摆的周期公式 21 3 1 2 4 2mg l mv× = 0 3 4v gl= 1l 2l 3l l 2l 3l 30α <  1O 1O 1 2 2 d dl l+ = + 2 LT g π=8 周期为 ； （2）若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在 O 处， 故等效摆长为 ， 周期为 。 【总结升华】求等效摆长问题时，首先要找到单摆模型摆动的圆心，再分析出摆球球心到摆 动圆心的距离，这个距离就是等效摆长。 举一反三 【变式】如图，在半径为 2.5m 的光滑圆环上切下一小段圆弧，放置于竖直平面内，两端点 距最低点高度差 H 为 1cm。将小环置于圆弧端点并从静止释放，小环运动到最低点所需的 最短时间为＿＿＿＿s，在最低点处的加速度为＿＿＿＿m/s2。(取 g＝10m/s2) 【答案】 ，0.08 【解析】将小球的运动等效成单摆运动，把半径等效为摆长，则小环运动到最低点所需的最 短时间为 周期，即最低时间为 ． 设小环运动到最低点时的速度为 ，根据机械能守恒定律得： ，得 小环在最低点的加速度为 。 2、单摆中等效重力加速度问题 （1）公式中的 g 由单摆所在的空间位置决定。 由 知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此 应求出单摆所在处的等效值 代入公式，即 g 不一定等于 9.8 m/s2。 （2）g 还由单摆系统的运动状态决定。 　　单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为 ，此时摆球处于超重状态，沿圆弧 切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值 。若单摆若在轨道 1 22 dl T g π + = 1 2 sin sin2 2 d dl l l lα α+ + = + + 2 sin 22 dl l T g α π + + = 4 π 1 4 sTt 4g R24 1 4 1 ππ =⋅== v 21 2mgH mv= 2 2v gH= 2 2 /08.05.2 01.01022 smR gH R va =××=== 2 MG gR = g′ a = +g g a′9 上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值 ，所以周期为无穷大， 即单摆不摆动了。 　　当单摆有水平加速度 时（如加速运动的车厢内），等效重力加速 ，平衡 位置已经改变。 （3）g 还由单摆所处的物理环境决定。如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中， 回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有等效值 的问题。 例 5、细线长为 ，质量为 ，小球直径为 d，构成一个单摆，若将该单摆放在以加速 度 向上加速运动的电梯中，其周期为（ ） A. B. C. D. 【思路点拨】分析摆长，分析等效重力加速度，电梯以加速度 向上加速运动，属于超重问 题，相当于重力加速度变大，即等效重力加速度变大。 【答案】D 【解析】摆长是悬挂点到球心的距离，则摆长为 分析摆动前细线的拉力 F：由于电梯以加速度 向上加速运动 根据牛顿第二定律 ， 则摆动前细线的拉力 属于超重问题，相当于重力加速度变大，即等效重力加速度变大， 等效重力加速度大小为 ， 所以该单摆的周期为 . 故选项 D 正确。 【总结升华】分析摆动前细线的拉力，当电梯以加速度 向上加速运动时，属于超重问题， 等效重力加速度变大；若电梯以加速度 向下加速运动，属于失重问题，则等效重力加速度 变小，大小为 。同理可以分析单摆在电梯中减速上升、减速下降等问题，也适用 于光滑斜面上的单摆和小车上的单摆在斜面上的运动情况。 举一反三 【变式】光滑斜面倾角为 ，斜面上有一辆挂有单摆的小车，如图所示，在小车下滑过程中 单摆同时摆动，已知摆长为 L，单摆的振动周期为（ ） =0g′ a 2 2= +g a g′ g′ l m a 2 l g a π − 2 l g a π + 22 dl g a π + − 22 dl g a π + + a 2 dl + a F mg ma− = ( )F mg ma m g a= + = + g g a′ = + 22 dl T g a π + = + a a g g a′ = − θ10 A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】摆动前细线的拉力为 则等效重力加速度为 代入单摆的周期公式，该单摆的周期为 . 故选项 B 正确。 或者应用特殊值代入法 令 ，则小车在平面上运动，其周期是 ，故选项 B 正确。 3、等效重力场问题 在匀强电场中，带电体受到的电场力和重力皆为恒力，可将重力和电场力进行合成，如 图所示， 则合力等效为新重力，加速度 ，等效于新重力加速度， 的方向等效于“竖直向 下”的方向，这样就构建了一个新的重力场空间，并可利用重力场中熟知的规律求解相关问 题。 例 6、如图所示，小球的质量为 ，带电量为 ，整个区域加一个场强为 E 的水平方 向的匀强电场，小球系在长为 L 的绳子的一端，且在与竖直方向成 45°角的 P 处平衡。则 （1）小球所受电场力多大？ （2）如果小球被拉至与 O 点在同一水平面的 C 点自由释放，则小球到达 A 点的速度是多 大？此时绳上的拉力又是多大？ （3）若使小球在竖直平面内恰好做圆周运动，最小速度为多少？ 2 L g π 2 cos L g π θ 2 sin L g π θ cosF mg θ= cosg g θ′ = 2 cos LT g π θ= 0θ = 2 LT g π= Fg m ′ = 合 F合 m q11 【思路点拨】因为重力 mg 与电场力 qE 都是大小、方向始终不变的恒定，故可以把 mg 与 qE 合成为一个合力 ，方向与竖直成 45°角，则 。我们把带电小 球看成是处于一个合力场中的物体，于是 P 点是它在运动过程中的等效“最低点”。把解题 过程中的 g 替换成 就可以了。 【答案】见解析。 【解析】（1）小球受力如图所示，因小球在与竖直方向成 45°角的 P 点处于平衡， 所以电场力 （2）因重力 mg 与电场力 qE 恒定不变，故可将合力等效为新重力 ， 若将小球拉至与 O 点在同一水平面的 C 点自由释放，则小球到达 A 点时恰好与 C 点位置关 于 OP 对称，因而小球在 A 点的速度为零，此时绳的拉力等于重力， 。 （3）由于等效重力 所以等效重力加速度为 若使小球在竖直平面内恰好做圆周运动， 在最高点最小速度满足（等效重力提供向心力）： 所以最小速度为 . 【总结升华】解题的关键是要正确找到等效“最低点”，求出等效重力加速度，在最高点速 度最小，条件是等效重力提供向心力，将我们平常的 ，将式中的 用等效重力 加速度 代替即可。 举一反三 2 2= ( ) ( )F mg qE+合 mg qE= cos45 2g g g′ = = F qE mg= = F合 T mg= 2 2= ( ) ( ) 2F mg qE mg+ =合 2g g′ = 2 min2 vmg m L = min 2v gL= minv gR= g 2g g′ =12 【变式】 在水平方向的匀强电场中，有一质量为 m 的带正电的小球，用长为 L 的细线悬于 O 点，当小球平衡时，细线和竖直方向成 θ 角，如图所示，现给小球一个冲量，冲量的方向 和细线垂直，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。求： （1）小球做圆周运动的过程中，在哪个位置有最小速度？并求这个速度值。 （2）施加的冲量值至少为多大？ 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由于重力和电场力都是恒力，则可以用它们的合力（即等效合外力）来代替， Q 点就是等效最低点。分析其等效合外力对小球做功的情况，若等效合力做正功，则小球动 能增大，反之小球动能减少。小球受重力和电场力等效场力沿 OQ 方向，故小球运动到圆周 上 OQ 反方向延长线上 P 点时，小球速度有最小值，就是等效最高点。 由受力图可知，等效合外力 则等效场的加速度（等效重力加速度）为 故最小速度值 （2）从 Q 点开始转过 180°到 P 点过程中，由动能定理得： cos gl θ 5 cos glm θ = cos mgF θ等 = = cos F gg m θ 等 等 min = cos glv g l θ= 等 2 2 min 1 12 2 2 QF l mv mv− ⋅ = −等13 解得 所以施加的冲量值至少为 类型五、等效法在电学中的应用 1、电场中的等效电场强度问题 例 7、如图所示，图甲中 MN 为足够大的不带电薄金属板，在金属板的右侧，距离为 d 的位置上放入一个电荷量为+q 的点电荷 O，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布。P 是金属板上的一点，P 点与点电荷 O 之间的距离为 r，几位同学想求出 P 点的电场强度大小， 但发现问题很难。几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资 料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。图乙中两异号点 电荷电荷量的大小均为 q，它们之间的距离为 2d，虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们 分别对 P 点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是（ ） A．方向沿 P 点和点电荷的连线向左，大小为 B．方向沿 P 点和点电荷的连线向左， 大小为 C．方向垂直于金属板向左，大小为 D．方向垂直于金属板向左，大小为 【思路点拨】本题应用了等效法，也可以认为应用的是类比法。把甲图中 P 点的场强等效 为等量异种电荷中垂线上 P 点的场强，分别求出正负电荷在 P 点的场强进行矢量合成即可。 【答案】C 【解析】+q、-q 在 P 点的场强方向如图，大小相等， 5 cosQ glv θ= 5 cosQ glI mv m θ= = 3 2 r kqd 3 222 r drkq − 3 2 r kqd 3 222 r drkq − 1 2 qE k r =14 等量异种电荷中垂线上场强方向垂直于中垂线，方向垂直于金属板向左。 两电荷在 P 点的场强大小都为 ， 在水平方向的场强大小为 ， ， 所以 P 点的场强为 ，故选项 C 正确。 【总结升华】解题的关键是把甲图中 P 点的场强等效为我们所熟悉的等量异种电荷模型中 垂线上 P 点的场强，再求出正负电荷在 P 点的场强，然后进行矢量合成。 举一反三 【变式】图甲中，MN 为很大的薄金属板（可理解为无限大），金属板原来不带电。在金属 板的右侧，距金属板距离为 d 的位置上放入一个带正电、电荷量为 q 的点电荷，由于静电感 应产生了如图甲所示的电场分布。P 是点电荷右侧，与点电荷之间的距离也为 d 的一个点， 几位同学想求出 P 点的电场强度大小，但发现问题很难。几位同学经过仔细研究，从图乙 所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右 侧的电场分布是一样的。图乙中两异号点电荷电荷量的大小均为 q，它们之间的距离为 2d， 虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们分别求出了 P 点的电场强度大小，一共有以下四 个不同的答案（答案中 k 为静电力常量），其中正确的是（ ） 【答案】A A. B. C. D. 【解析】把图中 P 点的场强等效为等量异种电荷在 P 点的场强，如图 1E 1 2 qE k r = 1E 2E 2 1 cosE E θ= cos d r θ = 2 32 2P qdE E k r = = 2 8 9 kq d 2 kq d 2 3 4 kq d 2 10 9 kq d15 +q 在 P 点的场强方向水平向右，大小为 ，+q 到 P 点的距离为 d， 设向右为正方向，则 -q 在到 P 点的距离为 d，方向水平向左，大小为 ，-q 到 P 点的距离为 3d，则 所以 P 点的合场强大小为 方向水平向右，故选 A。 2、电路中的等效电阻、等效电路问题 例 8、如图所示电路由 8 个不同的电阻组成，已知 R1＝12Ω，其余电阻阻值未知，测得 A、B 间的总电阻为 4Ω。今将 R1 换成 6Ω 的电阻，则 A、B 间的总电阻为_______Ω。 【思路点拨】本题若直接用画等效电路图的方法，很难求解，如果用用等效替代法，就很容 易解决问题。将除 R1 以外的 7 个电阻等效为一个电阻 R0，则原电路可以等效为 R1 和 R0 的 并联，从而可以求出 R0，再将 R1 换成 6Ω 的电阻后，求出 A、B 间的总电阻。 【答案】3Ω 【解析】将除 R1 以外的 7 个电阻等效为一个电阻 R0，则原电路可以等效为 R1 和 R0 的并联， 等效电路图如图所示， 根据两电阻的并联关系 ，代入数据 解得 1E 1 2 kqE d = 2E 2 2 2(3 ) 9 kq kqE d d = − = − 1 2 2 2 2 8 9 9P kq kq kqE E E d d d = + = − = 1 0 1 0 R RR R R = + 0 0 124 12 R R ×= + 0 6R = Ω16 将 R1 换成 6Ω 的电阻，由于两电阻相等，则 A、B 间的总电阻为 。 【总结升华】由于那 7 个电阻未知，已知的是 R1，改变的也是 R1，7 个电阻未变，画等效 电路的方法显然不可取，还是用等效法用一个电阻等效替代“7 个未知电阻”，这个等效替 代的电阻与 R1 是并联关系，就可以求出等效替代的电阻 R0。 举一反三 【变式】如图所示的电路是由 12 个不同的电阻组成的，已知 R1=24Ω．其余电阻值未知， 测得 AB 间总阻值为 12Ω．今将 R1 换成 12Ω 的电阻．则 AB 间总阻值变为（　） A．12Ω B．8Ω C．6Ω D．4Ω 【答案】B 3、电路中的等效电源问题 例 9、（2015 四川卷）用实验测一电池的内阻 r 和一待测电阻的阻值 Rx。已知电池的电 动势约 6V，电池内阻和待测电阻阻值都为数十欧。可选用的实验器材有： 电流表 A1（量程 0～30mA）； 电流表 A2（量程 0～100mA）； 电压表 V（量程 0～6V）； 滑动变阻器 R1（阻值 0～5Ω）； 滑动变阻器 R2（阻值 0～300Ω）； 开关 S 一个，导线若干条。 某同学的实验过程如下： Ⅰ．设计如下图所示的电路图，正确连接电路。 Ⅱ．将 R 的阻值调到最大，闭合开关，逐次调小 R 的阻值，测出多组 U 和 I 的值，并 记录。以 U 为纵轴，I 为横轴，得到如下图所示的图线。 0 32AB RR = = Ω17 Ⅲ．断开开关，将 Rx 改接在 B、C 之间，A 与 B 直接相连，其他部分保持不变。重复Ⅱ 的步骤，得到另一条 U-I 图线，图线与横轴 I 的交点坐标为（I0，0），与纵轴 U 的交点坐标 为（0，U0）。 回答下列问题： ①电流表应选用 ，滑动变阻器应选用 ； ②由图 4 的图线，得电源内阻 r＝ Ω； ③用 I0、U0 和 r 表示待测电阻的关系式 Rx＝ ，代入数值可得 Rx； ④若电表为理想电表，Rx 接在 B、C 之间与接在 A、B 之间，滑动变阻器滑片都从最大 阻值位置调到某同一位置，两种情况相比，电流表示数变化范围 ，电压表示数变化 范围 。（选填“相同”或“不同”） 【答案】①A2 R2 ②25 ③ －r ④相同 不同 【解析】①根据题设条件中电池的电动势约为 6V，电池内阻和待测电阻阻值都为数十 欧，可估算出电路中的电流为数十毫安，因此电流表应选用 A2，为了电路正常工作，以及 方便调节，多测量几组数据，滑动变阻器应选用 R2。 ②根据图 3 电路结构可知，电压表测量了电路的路端电压，电流表测量了电路的总电流， 因此图 4 中，图线斜率绝对值即为电源的内阻，有：r＝|k|＝| |Ω＝25Ω。 ③当改接电路后，将待测电阻与电源视为整体，即为一“等效电源”，此时图线的斜率 为等效电源的内阻，因此有：r′＝r＋Rx＝|k′|＝ ，解得：Rx＝ －r ④若电表为理想电表，Rx 接在 B、C 之间与接在 A、B 之间，电路的总电阻可变范围不 变，因此电流表的示数变化范围相同，Rx 接在 B、C 之间时，电压表测量的是滑动变阻器两 端的电压，而 Rx 接在 A、B 之间时，电压表测量的是滑动变阻器与 Rx 两端电压的和，由于 对应某一滑动变阻器阻值时，电路的电流相同，因此电压表的读数不同，所以电压表示数变 化范围也不同。 0 0 I U 310)2060( 5.45.5 −×− − 0 0 0 0 − − I U 0 0 I U18 【考点】测定电源电动势和内阻、伏安法测电阻的实验 举一反三 【变式】如图所示，R1=8Ω，电源的电动势 E=8V，内阻 r =2Ω，R2 为变阻器，要使变阻器 获得的电功率最大，R2 的值应是多大？这时 R2 的功率多大？ 【答案】10Ω，1.6W. 【解析】把 R1 看成是电源内阻的一部分，这样内电阻（等效内阻）就是 R1+r， 利用电源输出功率最大的条件，可以求出： 当 R2=R1+r =8+2=10Ω 时，R2 有最大功率 . 类型六、等效法在磁场、电磁感应中的应用 1、非直线电流的所受安培力（等效长度问题） 例 10、如图所示，在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，放置一个用粗细均匀的电阻丝折 成的平面三角形框架 abc，框架平面与磁场方向垂直，ab、bc、ca 三边的长度分别为 3L、 4L、5L，整个电阻丝的总电阻为 12r，现将框架的 a、c 两端与某一电动势为 E，内阻为 r 的 电池相连（所用的导线电阻不计）。试求该框架所受到的安培力的大小与方向。 【思路点拨】非直线电流等通电导体（如折线、半圆形、V 形等不规则形状），求其所受安 培力的问题，关键是求出等效长度。其求法是把两端点连接起来，电流从起点流向终点，起 点到终点的长度即为等效长度。本题中 ab、bc 的等效长度为 ac，即 5L。电流 I1 从 a 到 c， 折线 abc 导体与 ac 导体并联。 【答案】见解析。 【解析】如图所示，设框架的折线部分 abc 中通过的电流为 I1，ac 边中通过的电流为 I2，折 线 abc 所受的安培力等效为 ac 边通以 I1 电流所受的安培力，因此，整个框架所受的安培力 可等效为 ac 边通以整个闭合电路的总电流 I=（I1+I2）时所受的安培力。 电路的总电阻为 总电流为 安培力大小为 . 2 2 2 2 1 2 8 1.64( ) 4 4 10 E EP W WR r R = = = =+ × 7 5 7 5 r rR rr r ×= ++ 7 5 7 5 E EI r rR rr r = = × ++ 6057 5 47 7 5 ac E ELBF BIL B Lr r rrr r = = =× ++19 安培力方向由左手定则可知，框架所受的安培力的方向垂直 ac 边斜向上。 举一反三 【变式】如图，长为 2l 的直导线折成边长相等，夹角为 60°的 V 形，并置于与其所在平面 相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为 B，当在该导线中通以电流强度为 I 的电流时，该 V 形 通电导线受到的安培力大小为（ ） A. 0 B. 0.5 C. D. 【答案】C 2、非直线导体切割磁感线产生的感应电动势 例 11、（2015 重庆卷）如图为无线充电技术中使用的受电线圈示意图，线圈匝数为 ， 面积为 .若在 到 时间内，匀强磁场平行于线圈轴线向右穿过线圈，其磁感应强度大小 由 均匀增加到 ，则该段时间线圈两端 a 和 b 之间的电势差 A.恒为 B. 从 0 均匀变化到 C.恒为 D.从 0 均匀变化到 【答案】C 【解析】穿过线圈的磁场均匀增加，将产生大小恒定的感生电动势，由法拉第电磁感应 定律得 而等效电源内部的电流由楞次定律知从 a→b，即 b 点是等效电源的正极，即 n S 1t 2t 1B 2B a b ϕ ϕ− 2 1 2 1 ( )nS B B t t − − 2 1 2 1 ( )nS B B t t − − 2 1 2 1 ( )nS B B t t −− − 2 1 2 1 ( )nS B B t t −− − BIl BIl 2BIl 2 1 2 1 ( )S B BE n nt t t ϕ −∆= =∆ − 2 1 2 1 ( ) a b S B Bn t t ϕ ϕ −− = − −20 【考点】本题考查法拉第电磁感应定律、楞次定律。 举一反三 【变式】材料、粗细相同、长度不同的导体棒做成 ab、cd、ef 三种形状的导线，分别放在 电阻可忽略光滑金属导轨上，并与导轨垂直，如图所示，匀强磁场方向垂直导轨平面向 内．外力使导线水平向右做匀速运动，且每次外力所做功的功率相同，已知三根导线在导轨 间的长度关系是 Lab