数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设集合 ， ， 则阴影部分表
示的集合为
A. B.
C. D.
2. 假设要考察某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从 500 袋牛奶中抽取 60 袋
进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将 500 袋牛奶按 000，001， ，499 进
行编号，如果从随机数表第 8 行第 4 列的数开始，按三位数连续向右读取．到达行
末后，接着从下一行第一个数继续，则最先检验的 5 袋牛奶的号码是 下面摘
取了某随机数表第 7 行至第 9 行
A. 206 301 169 105 071 B. 164 199 105 071 286
C. 478 169 071 128 358 D. 258 392 120 164 199
3. 已知 a，b 为实数，则“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列三个不等式中
；
；
恒成立的个数为
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5. 从 2，3，4， 中随机选取一个数为 a，从 2， 中随机选取一个数为 b，则
的概率是
A. B. C. D.
6. 已知幂函数 为奇函数，则
A. 1 B. 4 C. 1 或 4 D. 2
7. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的
样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是
A. 46，45 B. 45，46 C. 45，45 D. 47，45
8. 函数 的大致图象是
A. B.
C. D.
9. 若 ，则 的最小值是
A. B. C. D.
10. 函数 的零点个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 已知在 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，若 ，点 O 在线段 CD 上，
若 ，则实数 t 的取值范围是
A. B. C. D.
12. 设 ，关于 x 的方程 ，给出下列四个命
题，其中假命题的个数是
存在实数 k，使得方程恰有 3 个不同的实根；
存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同的实根；
存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根；
存在实数 k，使得方程恰有 6 个不同的实根．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知： ， ，用 a，b 表示 ______．
14. 某次调查的 200 个数据的频率分布直方图如图所
示，则在 内的数据大约有______个．
15. 如图，已知 ， ， ， ，
，若 ，则 ______．
16. 已知实数 a，b，c 满足 ， ，则 b 的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17. 已知集合 ， ．
若 是 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围；
设命题 p： ， ，若命题 p 为假命题，求实数
m 的取值范围．
18. 地震是一种自然现象，地震的震级是震波最大振幅来确定的震级单位是“里氏”，
通常用字母 M 表示，其计算公式为： ，其中 A 是被测地震的最大振幅，
是“标准地震”的振幅使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成
的偏差，例如：用 和 分别表示震级为 和 的最大振幅．
若一次地震中的最大振幅是 50，此时标准地震的振幅是 ，计算这次地震的
震级精确到 ； 年 5 月 12 日，我国汶川发生了 级地震；2011 年 3 月 11
日在日本东北部太平洋海城发生了 级地震．试计算 级地震的最大振幅是 级
地震的最大振幅的多少倍？以下数据供参考：
19. 平面内给定三个向量 ， ， ．
求满足 的实数 m，n；
设 ，满足 ，且 ，求向量 ．
20. 某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感
兴趣的 3 对 3 篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为 且各
场比赛互不影响．
若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；
若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．
21. 已知函数 ．
若 ，求 x 的值；
若 对于 恒成立，求实数 m 的取值范围．
22. 已知 是 的反函数．
若在区间 上存在 使得方程 成立，求实数 a 的取值范围；
设 ，若对 ，函数 在区间 上的最
大值与最小值的差不超过 1，求 b 的取值范围．
答案
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】A
12.【答案】C
13.【答案】
14.【答案】140
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解： ，
，
是 的充分不必要条件， ，解得 ；
由题知： ： ， 为真命题，
设 ，则 ，解得 ，
．
18.【答案】解：
因此，这次地震的震级约为里氏 级．
由 可得，
当 时，地震的最大振幅为
当 时，地震的最大振幅为
所以，两次地震的最大振幅之比是：
答： 级地震的最大振幅约为 级地震的最大振幅的 10 倍．
19.【答案】解： 由 ， ， ，
则 ，
即 ，
解得 ， ；
设 ，则 ，
；
又 ，
且 ，
所以 ，
解得 或 ；
所以向量 或
20.【答案】解：设 2，3，4， 表示甲队在第 i 场比赛获胜，
由题意知采用三局两胜制进行比赛，
甲队获胜的概率为
，
由题意知采用五局三胜制进行比赛，
乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率为
．
21.【答案】解： ， ，
，解得 ．
当 时， ，且 ，
，
设 ，任取 ， ，且 ，则
，
是增函数， ，
又 ， ， ， ，
， 在区间 上单调递增，
， 在 上恒成立，
．
22.【答案】解： 由题知 ，
由 得 ，
所以， ，
，
．
当 时， ，
所以， ，
因为 ，
所以， 在 上单调递减．
，
即 ，对任意 恒成立．
， 的图象为开口向上，且对称轴为 的抛物
线．
在区间 上单调递增．
时， ，
由 ，得 ．
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