2020届高考文科数学模拟黄金卷（全国卷）（一）（附解析Word版）

2020 届高考文科数学模拟黄金卷（全国卷）（一） 1、已知集合 ，则 =（ ） A． B． C． D． 2、已知 ，i 为虚数单位，且 ，则 ( ) A. B. C.2 D. 3、已知 是过抛物线 焦点 F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且 满足 , ,则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 4、设向量 , ,若向量 与 同向,则 ( ) A.2 B.-2 C. D. 0 5、已知函数 ，则函数 的图像只可能是( ) 6、若 满足约束条件 ,则 的最大值为( ) A.-6, B.-2 C.2 D.4 7、执行如图的程序框图,若 ,则输出的 S= （ ） }24 2 { 6 0{ }M x x N x x x= − < < = − − 2AF FB=  2 | |3OABS AB∆ = 2 4y x= 2 1 4y x= 2 8y x= 2 1 8y x= ( , 4)a x= − (1, )b x= − a b x = 2± ( ) ( ) 2 2log , 2f x x g x x= =− + ( ) ( )y f x g x= ⋅ ,x y 2 3 0 0 1 x y x y y + − ≤  + ≥  ≥ 3z x y= + 9p =A． B． C． D． 8、如图，线段 是半径为 2 的圆 O 的一条弦，且 的长为 2.在圆 O 内，将线段 绕 点 N 按逆时针方向转动，使点 M 移动到圆 O 上的新位置，继续将新线段 绕新点 M 按逆 时针方向转动，使点 N 移动到圆 O 上的新位置，依此继续转动…点 M 的轨迹所围成的区域是 图中阴影部分.若在圆 O 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 9、函数 的部分图象如图所示,给出下列四个结论: ① 9 10 7 18 8 9 2 5 MN MN MN MN 4π 6 3− 3 31 2π − 3 3π 2 − 3 3 2π ( ) sin( )( 0,0 π)f x xω ϕ ω ϕ= + > < < 3π 4 ϕ =② ③当 时, 的最小值为-1 ④ 在 上单调递增 其中所有正确结论的序号是( ) A.①②④ B.②③ C.①② D. ①②③④ 10、若关于 x 的方程 没有实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11、在 中，若 ，则 的面积为（ ） A.8 B.2 C. D.4 12、已知双曲线 的焦点为 ,渐近线为 ,过点 且与 平行的直线交 于 M,若 ,则 m 的值为( ) A.1 B. C.2 D.3 13、某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1， 2，…，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间 的人数为________. 14、已知函数 把函数 的图象与直线 交点的横坐标按从 小到大的顺序排成一个数列 则数列 的前 n 项和 ________. 15、已知直线 为曲线 的一条切线，则实数 a 的值为 . 16、在正方体 中，E 为棱 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切 值为______________. 17、已知各项都不相等的等差数列 , ,又 成等比数列. 1.求数列 的通项公式 2.设 ,求数列 的前 n 项和为 . 18、如图，在四棱锥 中，平面 平面 , , , ， ,M 是 的中点． 1 2( )2 2f = − 5[1, ]2x∈ ( )f x ( )f x 11 7[ , ]4 4 − − 0xe ax a+ − = ( 2,0e−  )20,e ( ],0e− [ )0,e ABC∆ sin 2sin 60 2 3A C B b°＝ , ＝ , ＝ ABC∆ 2 3 2 2 1( 0)yx mm − = > 1 2,F F 1 2,l l 2F 1l 2l 1 2 0F M F M⋅ =  3 [ ]481,720 1e , 1( ) ( 2) 2, 1 x xf x f x x − ≤=  − + > ( )y f x= y x= { }na { }na nS = 3y x= + ( ) xf x ae= 1 1 1 1ABCD A B C D﹣ 1C C { }na 6 6a = 1 2 4, ,a a a { }na 2 2na nb n= + { }nb nS P ABCD− PAB ⊥ ABCD ,PB PA PB PA⊥ = 90DAB ABC∠ =∠ = ° / /AD BC 8, 6, 10AB BC CD= = = PA(1)求证： 平面 ； (2)求三棱锥 的体积． 19、为喜迎元旦,某电子产品店规定的买超过 5 000 元电子产品的顾客可以今与抽奖活动，中 奖者可获得扫地机器人一台.现有甲品牌和乙品牌的扫地机器人作为奖品.从这两种品牌的扫 地机器人中各随机抽取 6 台,检侧它们充满电后的工作时长(单位:分).相关数据如下表所示. 机器序号 1 2 3 4 5 6 甲品牌扫地机器 人工作时长/分 220 180 210 220 200 230 乙品牌扫地机器 人工作时长/分 200 190 240 230 220 210 (1)根据所提供的数据分别计算抽取的甲、乙两种品牌扫地机器人充润电后工作时长的平均数 与方差. (2)从甲品牌被抽中的 6 台扫地机器人中随机抽出 2 台.求抽出的 2 台扫地机器人充满电后工作 时长之和小于 420 分钟的概率 (3)下表是一台乙品牌扫地机器人的使用次效与当次充满电后工作时长的相关欲据.求该扫地机 器人工作时长 y 与使用次数 x 之间的回归直线方程，并估计该扫地机舒人使用第 200 次时间 充满电后的工作时长 使用次 数 x 20 40 60 80 100 120 140 工作时 长 y/分 210 206 202 196 191 188 186 / /BM PCD B CDM−附 , , 20、已知椭圆 的四个顶点围成的菱形的面积为 ，椭圆的一个焦点为 圆 的圆心 (1)求椭圆的方程. (2)若 为椭圆上的两个动点，直线 的斜率分别为 ，当 时， 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由 21、设 . (1)若 对一切 恒成立,求 a 的最大值; (2)是否存在正整数 a,使得 对一切正整数 n 都成立？若存在,求 a 的最小值;若不存在,请说明理由. 22、在直角坐标系 中,以 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的参数方程为 ( 为参数),曲线 的方程为 ,定点 ,点 是曲线 上的 动点, 为 的中点. （1）求点 的轨迹 的直角坐标方程; （2）直线 与直线 交于 两点,若 ,求实数 的取值范围. 23、设函数 ， ． (1)当 时，求不等式 的解集. (2)对任意 ， 恒有 ，求实数 a 的取值范围． ˆy b x a ∧ ∧ = + 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i x x y y b x x ∧ = = − − = − ∑ ∑ a y b x ∧ ∧ = − ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 4 3 2 2 2 0x y x+ − = M N, OM ON, 1 2k k, 1 2 3 4k k = − MON△ ( ) e ( 1)xf x a x= − + 0, ( ) 0a f x> ≥ Rx∈ e1 3 ... (2 1) ( )e 1 n n n nn an+ + + − < − xOy O x l {x t y at = = t 1C ( 4 sin ) 12ρ ρ θ− = ( )6,0A P 1C Q AP Q 2C l 2C ,A B 2 3AB ≥ a ( ) 1 3 3f x x x a a= − + − + Rx∈ 1a= ( ) 7f x > Rm +∈ Rx∈ ( ) 49f x m m ≥ − −答案以及解析 1 答案及解析： 答案：C 解析：∵ ， ， ∴ 2 答案及解析： 答案：B 解析：∵ ,i 为虚数单位,且 ,∴ ，解得 . 则 . 故选：B. 3 答案及解析： 答案：A 解析：设 , ，则 ，又由抛物线焦点弦性质， ，所以 ，得 ， ， 得 。 ， 得 ，抛物线的标准方程为 ，故选 A 4 答案及解析： 答案：A 解析：由题意得 且 ,所以 ,故选 A. 5 答案及解析： 答案：C 解析：函数 是偶函数, 是偶函数， 故排除 A. D， { }| 4 2M x x= − < < { } { }2| 6 0 | 2 3N x x x x x= − − < = − < < { }| 2 2M N x x= − < 2x= ( ) 2logf x x= ( ) 2 2g x x=− +当 时, ， 故选 C. 6 答案及解析： 答案：D 解析：作出可行域如图阴影部分所示,由图可知当直线 经过点 时,z 取得最大值 ,选 D 7 答案及解析： 答案：D 解析：根据题意，本程序框图为求和运算，程序执行如下： 第 1 次循环： 第 2 次循环： … 第 8 次循环： 此时， ，输出 8 答案及解析： 答案：B 解析：圆 O 的面积为 ，阴影部分的面积为 ，则所求概率 0x → ( ) ( )0, 0f x g x< > 3z x y= + (1,1)A max 3 1 4z = + = 10 22 3S n= + =× 1 1 32 3 3 4S n= + =× × 1 1 92 3 9 10S n+…+ =× ×= 9n< 1 1 2 2 10 5S = − = 4π 2 21 π 36 2 2 4π 6 32 3 4  × × × − × = −   为 . 9 答案及解析： 答案：C 解析：由题图得 ,得 ,所以 ①正确 ,所以②正确 当 时, ,所以 的最小值是 ,所以③不 正确;令 ,解得 ,所以 的单调递增 区间为 ,当 时, 的单调递增区间为 ,所以④不正确, 故选 C 10 答案及解析： 答案：A 解析： 方程 没有实数根，得方程 没有实数根， 等价为函数 与 没有交点， 当 时，直线 与 恒有交点，不满足条件． 当 时，直线 与 没有交点，满足条件． 当 时，当过 点的直线 相切时，设切点为 ，则 ，则 ， 则切线方程为 ．即 ， ∵切线过 点，则 ，得 ，即切线斜率为 ， 4π 6 3 3 314π 2π − = − π4 5 2π4 ω ϕ ω ϕ  + =  + = π 3π 4 ω ϕ = = 3π( ) sin(π + )4f x x= 1 π 3π 3π 2( ) sin( ) cos2 2 4 4 2f = + = = − 5[1, ]2x∈ 3π 7 13 3π 2π [ π, π],sin(π ) [ ,1]4 4 4 4 2x x+ ∈ + ∈ − ( )f x 2 2 − π 3π π2 π π ,2 4 2k x k Z− + ≤ + ≤ ∈ 5 12 π 2 π,4 4k x k k Z− + ≤ ≤ − + ∈ ( )f x 5 1[ 2 π, 2 π],4 4k k k Z− + − + ∈ 1k =− ( )f x 13 9[ , ]4 4 − − 0xe ax a+ − = ( 1)xe a x= − − xy e= ( 1)y a x= − − 0a> ( 1)y a x= − − xy e= 0a= 0y = xy e= 0a< (1,0) xy e= ( , )mm e ( ) xf x e′ = ( ) mf m e′ = ( )m m m my e e x m e x me− = − = − m m my e x m e e= − + (1,0) 0m m me me e− + = 2m = 2e要使 与 没有交点，则满足 ，即 ， 综上 ，即实数 a 的取值范围是 ． 11 答案及解析： 答案：C 解析： 中， ，则 ， 又 ， ∴ ， ， ， ∴ ， 的面积为 . 12 答案及解析： 答案：D 解析：不妨设 ,所以过点 且与渐近线 平 行的直线方程为 ,由 ,解得 ,所以 ,所以 , . 因为 ,所以 ,即 ,解得 或 (舍 去).故选 D. 13 答案及解析： 答案：12 xy e= ( 1)y a x= − − 20 a e< − < 2 0e a− < < 2 0e a<  ( 2- ,0e  ABC∆ sin 2sinA C＝ a=2c 60 2 3B b°＝ ,＝ 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 112 4 2 2 2c c c c= + − ⋅ ⋅ ⋅ 2c= 4a= ABC∆ 1 1 3sin 4 2 2 32 2 2S ABC ac B∆ = = × × × = 1 2 1 2: , : , ( 1 , 0), ( 1 , 0)l y m x l y m x F m F m= = − − + + 2F 1l ( 1 )y m x m= − + ( 1 ) y mx y m x m  = − = − + 1 2 (1 ) 2 mx m my  += + = − (1 )1 ,2 2 m mmM  ++ −    1 (1 )3 1 ,2 2 m mF M m  += + −     2 (1 )1 1 ,2 2 m mF M m  += − + −     1 2 0F M F M⋅ =  3 (1 )(1 ) 04 4 m mm +− + + = 3(1 )( ) 04 4 mm+ − + = 3m = 1m=−解析：采用系统抽样的方法,从 840 人中抽取 42 人,则分段间隔为 20,所以从编号落在区间 内的 240 人中抽取 12(人). 14 答案及解析： 答案： 解析：当 时 ; 当 时, 当 时, 当 时, 当 时, 易知 所以 令 又 有唯一解 所 以 , 故 ,所以 15 答案及解析： 答案： 解析：设曲线 在点 处的切线为直线 . 由题意，得 ， ， 则曲线 在点 处的切线方程为 . 曲线 在点 处的切线为直线 ， ， ，即 ， ，解得 . ，解得 . 16 答案及解析： 答案： 解析：如图，连接 BE: [ ]481,720 2n 1x≤ 1( ) e xf x −= 1 3x< ≤ 31 2 1, ( ) e 2xx f x −− < − ≤ = + 3 5x< ≤ 51 2 3, ( ) e 4xx f x −< − ≤ = + 5 7x< ≤ 73 2 5, ( ) e 6xx f x −< − ≤ = + *2 3 2 1( 2, N )n x n n n− < ≤ − ≥ ∈ 2 1( ) e 2 2x nf x n− += + − 2 1 *( ) e 2 2( N )x nf x n n− += + − ∈ 2 1( ) e 2 2x nf x x n x− +− = = − − 2 1 , ( ) e 1tx n t g t t− = = = − − e 1 0t t− − = 0t = *2 1( N )x n n= − ∈ *2 1( N )na n n= − ∈ 2(1 2 1) 2n n nS n + −= = 2e ( ) xf x ae= 0( )xx ae, 3y x= + ( ) xf x ae′ = ( ) 0 0 xf x ae′∴ = ( )f x 0 0( )xx ae, ( )0 0 0 x xy ae ae x x− = −  ( )f x 0 0( )xx ae, 3y x= + 0 1xae∴ = ( )01 1y x x∴ − = × − 0 1y x x= − + 0 1 3x∴ − + = 0 2x = − 0 2 1xae ae−∴ = = 2a e= 5 2因为 ，所以异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与 AB 所成的角，即 . 不妨设正方体的棱长为 2，则 ，由勾股定理得 ．又由 平面 BCC1B1 可得 ，所以 17 答案及解析： 答案：1.因为 成等比数列,所以 , 设公差为 d,则 ,解得 , 又因为各项都不相等,所以 , 所以 , 由 ,所以 . 2.由 1 知, ,所以数列 的前 n 项和为 解析： 18 答案及解析： 答案：(1)取 中点 N 连接 , ∵ 为 的中位线,∴ ,且 ， 又∵ 且 ,∴ ，且 ， 则 为平行四边形,∴ ， / /AB CD EAB∠ 1 2CE BC= =， 5BE = AB⊥ AB BE⊥ 5tan 2 BEEAB AB ∠ = = 1 2 4, ,a a a 2 2 2 4a a a= ⋅ ( ) ( )2 1 1 3a d a a d+ = + 2 1 0d a d− = 0d ≠ 1a d= 6 16 1a a d= ⇒ = = na n= n2 2nb n= + { }nb 1 2n nS b b b= + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 12 1 2 12 2 +2 + +2 2 1 2 2 2 2 +11 2 2 n n nn nn n n+ − += + + + + + = + ⋅ = − +−  PD ,MN NC MN PAD△ / /MN AD 1 2MN AD= / /BC AD 1 2BC AD= / /MN BC MN BC= BMNC / /BM NC又∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . (2)过 M 作 的垂线,垂足为 ，取 中点 ，连结 ， 又∵平面 平面 ,平面 平面 平面 ， ∴ 平面 . ∴ 为三棱锥 的高， ∵ ， 为 中点，∴ ， ∵ ，∴ 为等腰直角三角形， ， ∵平面 平面 ,平面 平面 平面 ， ∴ 平面 .∴ ， ∵M 为 的中点,∴ ， 过 C 作 ，交 于点 H， ∴ ,∵ ，∴ 为平行四边形， ∴ ， ， ∴三棱锥 的体积为： ， 解析： 19 答案及解析： 答案：(1) (分) (分) (2)记甲品牌中序号为 n 的扫地机器人为 ,则从这 6 台扫地机器人中随机抽取 2 台的所有情况为 ,共 15 种 NC ⊂ PCD MB⊄ PCD / /BM PCD AB M′ AB P′ PP′ PAB ⊥ ABCD PAB ,ABCD AB MM ′= ⊂ PAB MM′⊥ ABCD MM′ M BCD− PA PB= P′ AB PP AB′⊥ 8, 90AB BPA= ∠ = ° PAB△ 4PP′= PAB ⊥ ABCD PAB ,ABCD AB PP′= ⊂ PAB PP′⊥ ABCD / /MM PP′ ′ PA 1 22MM PP′ ′= = CH AD⊥ AD / /AB CD / /BC AD ABCH 8CH AB= = 12 12 6 8 24BCDS BC CH= × × = × × =△ B CDM− 1 1 24 2 163 3B CDM M BCD BCDV V S MM− − ′= = × = × × =△ 220+180 210 220 200 230= 2106x + + + + =甲 200 190 240 230 220 210 2156x + + + + += =乙 2 2 2 2 2 21 800= [(220 210) (180 210) (210 210) +(220-210) +(230-210) ]=6 3s × − + − + −甲 2 2 2 2 2 2 21 875[(200 215) (190 215) (240 215) (230 215) (220 215) (210 215) ]6 3s = × − + − + − + − + − + − =乙 ( , 2,3, 4,5,6)nA n = 1 2 1 3 1 4 1 5, , , ,A A A A A A A A 1 6 2 3 2 4 2 5, , , ,A A A A A A A A 2 6 3 4 3 5 3 6, , , ,A A A A A A A A 4 5 4 6 5 6, ,A A A A A A其中满足条件的有 共 6 种 记事件 C 为”抽出的 2 台扫地机器人充满电后工作时长之和不小于 420 分钟” 则 (3)计算的 , 所以 所以线性回归方程为 所以估计该扫地机器人使用第 200 次时冲满电后的工作时长为 171.5 分钟 解析： 20 答案及解析： 答案：(1)由题意可知， ， 圆 的圆心坐标为 ，所以 ， 因此 ，结合 得 ， ， 故椭圆的方程为 . (2)当直线 的斜率存在时，设其方程为 ， ， ， 由 消去 y 可得， ， ，即 ， ， . 所以 1 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 5, , , , ,A A A A A A A A A A A A 6 2( ) 15 5P C = = 80, 197x y= = 1 2 1 ( )( ) 2380 17 11200 80( ) n i i i n i i x x y y b x x ∧ = = − − −= = = − − ∑ ∑ 214a y b x ∧ ∧ = − = 17 200 214 171.580y ∧ = − × + = 2 4 3ab = 2 2 2 0x y x+ − = (1 )0, 1c = 2 2 1a b− = 2 3ab = 2 4a = 2 3b = 2 2 14 3 x y+ = MN ( )0y kx m m= + ≠ 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 2 14 3 x y y kx m  + =  = + ( ) 22 23 4 8 4 12 0k kmx x m+ + + − = ( )( )2 2 2 264 4 3 4 4 12k m k m∆ = − + − ( )2 248 4 3 0k m= − + > 2 24 3m k< + 1 2 2 8 3 4 kmx x k + = − + 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k −= + 2 1 21MN k x x= + − ( )22 1 2 1 21 4k x x x x= + ⋅ + − 2 2 2 2 2 8 4 121 43 4 3 4 km mk k k − − = + − − ⋅ + + . 又点 O 到直线 的距离 ， 所以 ， 又 所以 ， 化简可得 ，满足 . 则 ， 当直线 的斜率不存在时，由于 ，且 关于 x 轴对称， 不妨设 ， 则易得 ， 或 ， ， 此时 . 综上， 的面积为定值，定值为 . 解析： 21 答案及解析： 答案：(1)∵ , ∴ 令 ,解得 ,令 , 则 ,令 ,则 , ∴ , ∵ 对一切 恒成立, ∴ , 2 2 2 2 4 3 1 4 33 4 k k mk += ⋅ − ++ MN 21 md k = + 1 2MONS MN d= ⋅△ 2 2 2 2 3 4 33 4 m k mk = ⋅ − ++ 1 2 1 2 1 2 3 4 y yk k x x = = − ( )2 2 1 2 1 2 1 2 k x x km x x m x x + + + 2 22 2 2 8 33 4 4 12 4 3 4 kmkm mkk m k −⋅ ++= + = −− + 2 22 4 3m k= + 0∆ > 2 2 2 2 3 4 33 4MON mS k mk = ⋅ − ++△ 2 2 2 3 32 m m = = MN 1 2 3 4k k = − OM ON, 1 3 2k = 2 3 2k = − 62, 2M       62, 2N  −    62, 2M  − −    62, 2N  −    1 2 6 32MONS = × × =△ MON△ 3 ( ) e ( 1)xf x a x= − + '( ) e xf x a= − '( ) e 0xf x a= − = lnx a= '( ) 0f x > lnx a> '( ) 0f x < lnx a< min( ) (ln ) (ln 1) lnf x f a a a a a a= = − + = − ( ) 0f x ≥ Rx∈ ln 0a a− ≥∴ ,∴ ∴a 的最大值为 1. (2)设 , 则 ,令 ,得 . 当 时, 单调递减;当 时, 单调递增, ∴ 的最小值为 ,故 . 取 , 得 ,即 , 累加得 . ∴ . 故存在正整数 ,使得 . 假设当 时也符合题意,取 ,有 ,矛盾. 故 a 的最小值为 2. 解析： 22 答案及解析： 答案：（1）根据题意,得曲线 的直角坐标方程为 , 设点 , ,根据中点坐标公式, 得 代入 , 得点 的轨迹 的直角坐标方程为 . （2）直线 的直角坐标方程为 , 根据题意,得圆心 到直线的距离 , ln 0a a ≤ 0 1a< ≤ ( ) e 1xt x x= − − '( ) e 1xt x = − '( ) 0t x = 0x= 0x< '( ) 0, ( )t x f x< 0x> '( ) 0, ( )t x f x> ( )t x (0) 0t = e 1x x≥ + , 1,3,...,2 12 ix i nn = = − 21 2 i ni en −− ≤ 22( )2 i nn i en −− ≤ 1 2 1 1 2 2 2 1 1 3 2 1 e (1 e ) e( ) ( ) ... ( ) e ... e2 2 2 1 e e 1 n n n n nn n n n −− −− − − − −+ + + < + + = 或 ( ) 1 3 3 1 3 3 3 1 3f x x x a a x a x a a a= − + − + ≥ − + − + = − + 49 9 4 5m m − − ≤ − = 3 1 3 5a a− + ≥ 1a≥ [ )1,+∞