2
0.5
理科数学试卷
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写
在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A = {x | 2 − x ≥ 0} ， B = {x ∈ Z | y = ln(x + 1)} ，则 A B =
A．[−1, 2] B． (−1, 2] C．{0,1, 2} D．{ − 1, 0,1, 2}
2. 设复数 z 满足| z − i |=| z + i | ， i 为虚数单位，且 z 在复平面内对应的点为 Z (x, y) ，则
下列结论一定正确的是
A. x = 1 B. y = 1 C. x = 0 D. y = 0
3. 在△ABC 中， AB = ， BC = 2 ， ∠ABC = 135° ，若使该三角形绕直线 BC 旋
转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A. 2π
B． π C． 3π
D． 2π
3 2
4. 中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的
近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图 1）做统计，现将其抽象
成如图 2 所示的图形，其中圆的半径为 2cm，正方形的边长为 1cm，在圆内随机取点，若
统计得到此点取自阴影部分的概率是 P，则圆周率π的近似值为（ ）
4
A. 1− p
1
B. 1− p
1
C. 1− 4 p
1
D． 4(1 − p)
5. 已知 3a = 4 3b−1，c − b = log (2x2 + 4x + 4) ，则实数 a，b，c 的大小关系是（ ）
A. c > b > a B. a > b > c C. b > a > c D. a > c > b
3
6. 已知圆C : x2 + y2 = 1 ，定点 P ( x0 , y0 )，直线l : x0 x + y0 y = 1 ，则“点 P 在圆C 外”
是“直线l 与圆C 相交”的（ ）
A．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
B．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7. 已知等差数列{an
}的公差不为零，Sn 为其前 n 项和，S3 = 9 ，且 a2 −1，a3 −1 ，a5 −1
构成等比数列，则 S5 =（ ）
A． -15 B．15 C．25 D． 30
8. 对于函数y = f (x) ，如果其图象上的任意一点都在平面区域
{(x, y) | ( y + x)( y − x) ≤ 0} 内，则称函数f (x) 为“蝶型函数”，已知函数：①y = sinx ；
②y = ，下列结论正确的是 ( )
A． ① 、 ② 均是“蝶型函数” B． ① 、 ② 均不是“蝶型函数”
C. ① 是“蝶型函数”； ② 不是“蝶型函数”
D. ① 不是“蝶型函数”： ② 是“蝶型函数”
9．已知向量 a = (−1, t),b = (2, y) ，其中 y = t2 − 2 + 1
t2 + 1
，则当 y 最小时， cos a,b =
A. 5 5 B. − 5 5
C． − 2 5
5
D． 2 5
5
10 ． 函 数 f (x) = Asin(2x +ϕ) （ ϕ ≤
π ，
2 A > 0 ） 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 且
f (a) = f (b) = 0 ，对不同的 x1 ， x2 ∈[a,b] ，若 f (x1 ) = f (x2 ) ，有 f (x1 + x2 ) = ，
则（ ）
A. f (x) 在 (−
B. f (x) 在 (−
5π π
, ) 上是减函数
12 12
5π π
, ) 上是增函数
12 12
π 5π
C. f (x) 在 ( , ) 上是增函数
3 6
π 5π
D. f (x) 在 ( , ) 上是减函数
3 6
x 2 −1
∠F1MF2 的角平分线的垂线，垂足为 N ，若| ON |= 2（ O 为坐标原点），则| OM |=（ ）
A. 3 2
B. 3 3 C．
2
D． 2
12．已知函数 f (x) 是定义在[−100,100] 的偶函数，且 f (x + 2) = f (x − 2) ．当 x ∈[0, 2]
时， f (x) = (x − 2)ex ，若方程[ f (x)]2 − mf (x) +1 = 0 有 300 个不同的实数根，则实数
m 的取值范围为
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
已知∆ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，设 a cos B − b cos A = c ，
（1） 求 A ;
（2） 若 a = ， ∆ABC 的面积为 1，求以 a,2b,2c 为边的∆A1B1C1 的面积。
3 3
5
15
18．（12 分）
如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的多面体中，四边形 ACDF 是菱形，
∠FAC = 600 , 四边形 BCEF 为平行四边形，
AB = BC = 3, AF = 2 , BF = ，
（1） 求证：平面 ABC⊥平面 ACDF
（2） 求平面 AEF 与平面 ACE 所成的锐二面角的余弦值
19．（12 分）
设 F 为抛物线C : y2 = 2 px 的焦点，A 是C 上一点，FA 的延长线交 y 轴于点 B ，A
为 FB 的中点，且 FB = 3 .
（1） 求抛物线C 的方程；
（2） 过 F 作两条互相垂直的直线l1 ， l2 ，直线l1 与C 交于 M ， N 两点，直线l2 与C 交
于 D ， E 两点，求四边形 MDNE 面积的最小值.
20．（12 分）
已知函数 f (x) = k + 2 + a ln x ( k, a ∈ R 且 a > 0 ).
x
（1） 求 f (x) 在[2, +∞) 上的最小值;
（2） 若 a = 1 ,函数 f (x) 恰有两个不同的零点 x1 , x2 ,求证: x1 + x2 > 4 .
21．（12 分）
世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格
的大型综合性运动会，每四年举办一届，会期 7 至 10 天，比赛设 27 个大项，参赛规模
3
约 100 多个国家 8000 余人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增
进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被誉为“军人奥运会”.根据各方达成的共识，军运
会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在武汉举行，赛期 10 天，共设置射击、游泳、田径、篮
球等 27 个大项、329 个小项．其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞
5 个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目．现对某国在射击比赛预赛中的得分数
据进行分析，得到如下的频率分布直方图：
（1） 估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值 x （同一组中的数据用该组区间的中点值
代表）；
（2） 根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩 X 近似地服从正态分布
N (µ,σ2 ) ，经计算第（1）问中样本标准差 s 的近似值为 50，用样本平均数 x 作为µ的
近似值，用样本标准差 s 作为σ的估计值，求射击成绩得分 X 恰在 350 到 400 的概率；[参考
数据：若随机变量ξ服从正态分布 N (µ,σ2 ) ，则： P (µ−σ< ξ≤µ+σ) ≈ 0.6827 ， P (µ− 2σ< ξ≤µ+ 2σ) ≈ 0.9545 ， P (µ− 3σ< ξ≤µ+ 3σ) ≈ 0.9973 ⋅ ； （3） 某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏， 送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控 1 车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知骰子出现任意点数的概率都是 ， 6 方格图上标有第 0 格，第 1 格，第 2 格，……第 50 格．遥控车开始在第 0 格，客户每抛 掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是 1，2，3，4，5 点，遥 控车向前移动一格（从 k 到 k +1 ），若抛掷出正面向上的点数是 6 点，遥控车向前移动 两格（从 k 到 k + 2 ），直到遥控车移动到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格（失败大本 营）时，游戏结束．设遥控车移动到第 n 格的概率为 Pn ，试证明{Pn − Pn−1}(1≤ n ≤ 49) 是 等比数列，并求 P50 ，以及根据 P50 的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做
的第一题记分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 C 的极坐标方程为ρcosθ= m ，曲线 C 的极坐标方程为ρ2 = 12 ．
1 2 3 + sin2 θ
（1） 求曲线C1 的直角坐标方程和曲线C2 的参数方程；
（2） 设曲线C1 与曲线C2 在第二象限的交点为 A ，曲线C1 与 x 轴的交点为 H ，点
M (1, 0) ，求△AMH 的周长l 的最大值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) = 2 | x −1 | +mx ， m ∈ R ．
（1） 当 m = −3 时，求不等式 f (x) + 4 < 0 的解集； （2） 若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m 的值．
理科数学参考答案
一．选择题：CDADB BCACB DA
二．填空题：
13．-3 14． 15． -10 16．
三．解答题：
17．解：
（1）由 结合正弦定理，得 ,
又 = 所以 ,因为
，所以 ,因为 所以 … 5分
（2）依题意 ， 得 且 ，设 中，内角
的对边分别为 ，则 = = ，则 ，
所以 的面积 =
= 。 … 12分
18．
（1）证明：设 是 中点，连结 、 、 ，在 中， ，
，
四边形 是菱形， ， 是等边三角形， ，
是二面角 的平面角,在 中， ，
，
， ，又 ， ， ，
平面 平面 ． … 5分
（2）由（1）知 、 、 两两垂直，以 为原点， 为 轴， 为 轴，
为 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ，0， ， ， ，
，
2
6 32 8 5
5
cAbBa =− coscos CABBA sincossincossin =−
( )BAC += sinsin BABA sincoscossin + ABAB cossincossin- =
0sin ≠B 0cos =A π 1(M x 1)y 2(N x 2 )y ∴ 1 2 2
42x x k
+ = +
则 ；同理设 ， 、 ， ，
，则 ．
四边形 的面积 ．
当且仅当 时，四边形 的面积取得最小值32． …12分
20．解：
（1）定义域 ,
若 即 时，在 上 ， 单调递增,故 在 的最小值
为 ;
若 当 时,在 上 ， 单调递减,在 上 ，
单调递增,故 在 的最小值为
综上所述,当 时,故 在 上的最小值为 ;
当 时, 在 的最小值为 …6分
（2）当 时,不妨 ,
, ,
得 ,故
令 ,则 , ,
所以 ,故 ,
令 ,
而 ,所以 在 上单调递增
又 ,所以 ,而 ,故 …12分
21. 解：（1）
； …3 分
1 2 2
1| | 2 4(1 )MN x x k
= + + = + 3(D x 3 )y 4(E x 4 )y
∴ 2
3 4 2 4x x k+ = + 2
3 4| | 2 4(1 )DE x x k= + + = +
∴ MDNE 321282
1
2
2 ≥
++=⋅=
kkDEMNS
1k = ± BCDE
2 2
2 2(0, ) ( ) a axf x x x x
′ −+∞ = − =
22 ≤
a 1a ≥ [2, )+∞ ( ) 0' >xf ( )f x ( )f x [2, )+∞
(2) 1 ln 2f k a= + +
22 >
a 0 1a< < 22, a ( ) 0'
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