2 2 2
文科数学试卷
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 M = {x ∈ Z | −1 ≤ x ≤ 1}, N = {x ∈ Z | x(x − 2) ≤ 0} ，则 M ∩ N = ( )
A．{−1,2} B.{0,1} C.{−1,0,1} D.{−1,0,1,2}
2. 若 z = 3 + 4i + iz （ i 是虚数单位），则 z = （ ）
1− i
3 5A． B．2 C．
2 2
D．3
→ → → → → → → →
3. 已知向量 a ，b 满足 a = 2 ， b = 1 且 a+ b = 2 ，则 a 与 b 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2 3 8 4
4. 已知数列{an }是公比不为 1 的等比数列， sn 为其前 n 项和，满足a2 = 2 ，且
16a1 ,9a4 ,2a7 成等差数列，则 s3 = （ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
2
A．2019 年 1~4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件
B．2019 年 1~4 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高
C. 从两图看 2019 年 1~4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D. 从 1~4 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 1+ ex
10.在棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中， E, F 分别为线段CD 和 A1B1 上的动点
且满足CE = A1F ，则四边形 D1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方
体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）
3A.有最小值
2
5
B. 有最大值
2
C. 为定值 3 D．为定值 2
11.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列 1，1，2，3，5，…画出
来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为 1 的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋
线，它是依次在以 1，2，3，5 为边长的正方形中画一个圆心角为90 的扇形，将其圆弧
连接起来得到的.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
π
A． B．
4
39π
160
19π+1C．
80
19π+ 2D．
80
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.某单位有 360 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 20 人做问卷调查，将 360 人按
1，2，…，360 随机编号，则抽取的 20 人中，编号落入区间[181, 288] 的人数为 ．
14.已知圆C : (x − 3)2 + ( y −1)2 = 3 及直线l : ax + y − 2a − 2 = 0 ，当直线l 被圆C 截得
的弦长最短时，直线l 的方程为 .
15.如图，矩形 ABCD 中， M 为 BC 的中点，将 ∆ABM 沿直线 AM 翻折成 ∆AB1M ，
连结 B1D ， N 为 B1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是 .
①存在某个位置，使得CN ⊥ AB ；
②翻折过程中， CN 的长是定值；
③若 AB = BM ，则 AM ⊥ B1D ；
④若 AB = BM = 1 ，当三棱锥 B1
− AMD 的体积最大时，三棱锥 B1
− AMD 的外接球的
表面积是 4π.
1 6 . 在 ∆ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，c = 4 ，a = 4 2 sin A ，且 C 为锐角 ，
则 ∆ABC 面积的最大值为 .
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 = 4 ， S5 = 25 ．
（1）求数列{a }的通项公式；（2）记b = 1 ，求数列{b }的前 n 项和T ．
an+1a n n
n+2
n n
18．（12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形， PD ⊥ 平面 ABCD ，
点 E ， F 分别为 AD ， PC 的中点．
PD = DC = 2 ，
（Ⅰ）证明： DF / / 平面 PBE ；
（Ⅱ）求点 F 到平面 PBE 的距离．
19．（12 分）近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但
也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在C 省的发展情况，某调查机构
从该省抽取了 5 个城市，并统计了共享单车的 A 指标 x 和 B 指标 y ，数据如下表所示：
（1） 试求 y 与 x 间的相关系数 r ，并说明 y 与 x 是否具有较强的线性相关关系（若
| r |≥ 0.75 ，则认为 y 与 x 具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）.
（2） 建立 y 关于 x 的回归方程，并预测当 A 指标为 7 时， B 指标的估计值.
（3） 若某城市的共享单车 A 指标 x 在区间( x − 3s, x + 3s) 的右侧，则认为该城市共享单
车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理，直至 A 指标 x 在区
间( x − 3s, x + 3s) 内现已知C 省某城市共享单车的 A 指标为 13，则该城市的交通管理部
门是否需要进行治理？试说明理由.
城市 1 城市 2 城市 3 城市 4 城市 5
A 指标 2 4 5 6 8
B 指标 3 4 4 4 5
参考公式：回归直线 y = bx + a 中斜率和截距的最小二乘估计分别为
文科数学参考答案
一、选择题
1—5：BCDCD 6—10：DBCCD 11—12：DC
二、填空题
13：6 14： 15：②④ 16：
三、解答题
17：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，因为 ， ，
则： ，解得 ，
所以 ．----------------------------------------------------
-----------------（6分）
（2）由于 ，
所以 ．
则 ．-------（12
分）
18：（Ⅰ）证明：取点 是 的中点，连接 ， ，则 ，且 ，
∵ 且 ，
∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ∴ 平面 ．----------（6分）
0=− yx 244 +
{ }na 1a d 2 4S = 5 25S =
1
1
2 4
5 45 252
a d
a d
+ = ⋅+ ⋅ =
1 2
1
a
d
=
=
1 2( 1) 2 1na n n= + − = −
2 1na n= −
( )( )1 2
1 1 1 1 1
2 1 2 3 2 2 1 2 3n
n n
b a a n n n n+ +
= = = − + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 6 9n
nT n n n n
= − + − +…+ − = − = + + + +
G PB EG FG / /FG BC 1
2FG BC=
/ /DE BC 1
2DE BC=
/ /DE FG DE FG=
DEGF
/ /DF EG ,PBEEG 平面⊂ ,PBEDF 平面⊄ / /DF PBE
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 平面 ，所以点 到平面 的距离与 到平面 的
距离是相等的，故转化为求点 到平面 的距离，设为 ．
利用等体积法： ，即 ，
，
∵ ， ，∴ ，∴ ．--------------------
（12分）
19：（1）由题得 ，
所以 ， ，
则 .
因为 ，所以 与 具有较强的线性相关关系.-------------------------------
------（5分）
（2）由（1）得 ， ，
所以线性回归方程为 .---------------------------------------------
---------------（8分）
当 时， ，
即当 指标为7时， 指标的估计值为4.6.----------------------------------------
----------（10分）
（3）由题得 ，
因为 ，所以该城市的交通管理部门需要进行治理.---------------------------
-------（12分）
20：（1）直线 的一般方程为 .
依题意 ，解得 ，故椭圆 的方程式为 .--------
（4分）
（2）假若存在这样的直线 ，
当斜率不存在时，以 为直径的圆显然不经过椭圆 的左顶点，
/ /DF PBE D PBE F PBE
D PBE d
D PBE P BDEV V− −= 1 1
3 3PBE BDES d S PD∆ ∆⋅ = ⋅
1 12BDES DE AB∆ = × × =
5PE BE= = 2 3PB = 6PBES∆ = 6
3d =
2 4 5 6 8 55x
+ + + += = 3 4 4 4 5 45y
+ + + += =
( )( )5
1
6i i
i
x x y y
=
− − =∑ ( )5 2
1
20i
i
x x
=
− =∑ ( )5 2
1
2i
i
y y
=
− =∑
6 0.9 0.95
2 5 2
r = = ≈
×
0.75r > y x
6 0.320b = = 4 0.3 5 2.5a = − × =
0.3 2.5y x= +
7x = 0.3 7 2.5 4.6y = × + =
A B
( 3 , 3 ) ( 1,11)x s x s− + = −
13 11>
1x y
a b
+ = 0bx ay ab+ − =
2 2
2 2 2
2 2 15
30
4
ab
ab
a b
a b c
=
=
+
= +
5
3
a
b
=
=
C
2 2
15 3
x y+ =
l
AB C
所以可设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 .
由 ，得 .
由 ，得 .
记 ， 的坐标分别为 ， ，
则 ， ，
而 .-----------------------------
----（8分）
要使以 为直径的圆过椭圆 的左顶点 ，则 ，
即 ，
所以 ，
整理解得 或 ，
所以存在过 的直线 ，使 与椭圆 交于 ， 两点，且以 为直径的圆过椭圆 的
左顶点，直线 的方程为 或 .----------------------------
---（12分）
21：（1）函数 的定义域为 ， ，
令 ，则 ， ，
（i）若 ，则 恒成立，所以 在 上是增函数，------------
（2分）
（ii）若 ，则 ，
当 时， ， 是增函数，
当 时， ， 是减函数，
当 时， ， 是增函数，---------------------------------
--------（4分）
l k l 2y kx= +
2 2
2
3 5 15
y kx
x y
= +
+ =
( )2 23 5 20 5 0k x kx+ + + =
( )2 2400 20 3 5 0k k∆ = − + > 5 5, ,5 5k
∈ −∞ − ∪ +∞
A B ( )1 1,x y ( )2 2,x y
1 2 2
20
3 5
kx x k
+ = − + 1 2 2
5
3 5x x k
= +
( )( )1 2 1 22 2y y kx kx= + + ( )2
1 2 1 22 4k x x k x x= + + +
AB C ( )5,0D − 0DA DB⋅ =
( )( )1 2 1 25 5y y x x+ + + ( ) ( )( )2
1 2 1 21 2 5 9k x x k x x= + + + + + 0=
( ) ( )2
2 2
5 201 2 5 93 5 3 5
kk kk k
+ − + ++ + 0=
2 5
5k = 8 5
5k =
P l l C A B AB C
l 2 5 25y x= + 8 5 25y x= +
( )f x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( )( )1 111 1 x axf x a x x x
− −= − − + =′
( ) 0f x′ = 1 1x = 2
1x a
=
1a = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )0,+∞
0 1a< < 1 1a >
( )0,1x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
11,x a
∈
( ) 0f x′ < ( )f x 1 ,x a ∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
（iii）若 ，则 ，
当 时， ， 是增函数，
当 时， ， 是减函数，
当 时， ， 是增函数
综上所述：当 时， 在 上是增函数，
当 ， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数，
当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数；
-----------------------------------------------------------------------------
---------------------------（6分）
（2）当 时，
在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 的极小值为 ，
的极大值为 ,
设 ，其中 ，
,
所以 在 上是增函数，
所以 ，
因为 ，
所以有且仅有1个 ，使 .
所以当 时， 有且仅有1个零点.--------------------------------------
----（12分）
22：（1） 曲线 ， ，
曲线 的直角坐标方程为 ，即 ，
1a > 10 1a
< < 10,x a ∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
1 ,1x a
∈
( ) 0f x′ < ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
1a = ( )f x ( )0,+∞
0 1a< < ( )f x ( )0,1 11, a 1 ,a +∞ 1a > ( )f x 10, a
1 ,1a
( )1,+∞
1 a e< < ( )f x 10, a 1 ,1a ( )1,+∞ ( )f x ( )1 1 0f = − < ( )f x 21 1 1 1 11 ln ln 12 2 2 a af aa a a a a = − − + = − − − ( ) 1 ln 12 2 ag a aa = − − − ( )1,a e∈ ( ) ( )22 2 2 2 11 1 1 2 1 02 2 2 2 aa ag a a a a a −− + =′ = + − = >
( )g a ( )1,e
( ) ( ) e 1e 2 02 2eg a g< = − − < ( ) ( )2 1 14 4 1 4 ln4 9 4 ln4 ln4 02 2 2 af = − − + > × − + = + >
( )0 1,4x ∈ ( )0 0f x =
1 a e< < ( )f x : 4cosC ρ θ= 2 4 cosρ ρ θ∴ = ∴ C 2 2 4x y x+ = 2 2( 2) 4x y− + =
直线 的参数方程为： （ 为参数），
直线 的普通方程为： ---------------------------------------
-------（5分）
（2） 直线 的参数方程为： （ 为参数），
代入 ，得 ，
，
．--------------------------------
-（10分）
23：（I）因为 ，所以 .
① 当 时，得 ，解得 ，所以 ;
② 当 时，得 ，解得 ，所以 ;
③ 当 时，得 ，解得 ，所以 ;
综上所述，实数 的取值范围是 ----------------------------------------
--------（6分）
（II） ，因为 ,
所以 -----------
------------------------------------（10分）
l
13 2
3
2
x t
y t
= +
=
t
∴ l 3 3 3 0x y− − =
l
13 2
3
2
x t
y t
= +
=
t
2 2 4x y x+ = 2 3 0t t+ − =
1 2 1t t∴ + = − 1 2 3t t = −
∴ 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
| | | | | |1 1 1
| | | | | || | | | 3
1 1 t t t t
tPM P t t t t tN
−− += − = = =
( )1 3f < 1 2 3a a+ − < 0a ≤ ( )1 2 3a a− + − < 2 3a > − 2 03 a− < ≤ 10 2a< < ( )1 2 3a a+ − < 2a > − 10 2a< < 1 2a ≥ ( )1 2 3a a− − < 4 3a < 1 4 2 3a≤ < a 2 4,3 3 − ( ) 1f x ≥ 2 ,3a x R≥ ∈ ( ) 1 2f x x a a x= − − + − ( ) ( )1 2 1 3 3 1 1x a a x a a≥ − − − − = − = − ≥
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