数学理科试题
一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．已知集合A = { x | }，B = {x | y = }，A B = （ ）
A．[1, +∞) B．[1, 3] C．(3, 5] D．[3, 5]
2.设复数 满足 ( 为虚数单位)， 在复平面内对应的点为( ， )，则( ).
A. B. C. D.
3.“ ”是“直线 和直线 相互垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则实数 的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5.函数 的图象大致为( ).
6． 的展开式中 的系数是( )
A．5 B．－5 C．－20 D．20
7．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上，且 ，
若 ，则 的值（ ）
A． B．2 C． D．3
8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极
衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐
藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，
则此数列第 20 项为( )
A．180 B．200 C．128 D．162
9．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是减函数，
2| 6 5 0x x x− + ≤ | 3x y x= −
z 1 iz z− = − i z x y
y x= − y x= ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = ( ) ( )2 21 1 1x y+ + + =
1a = 1 0x y+ + = ( ) 22 2 0a x a y− + + =
( ) ( 1)lnf x ax x= − (1,0) 1y x= − a
2 2
cos
x x
y x x
−−= −
51 22 x y −
2 3x y
2: 12C y x= F l M C N l ( )0FN FMλ λ= >
4MF = λ
3
2
5
2
R ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = − [1,2]
令 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
10.已知函数 在区间 上是增函数，且在区间 上恰好取
得一次最大值，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
11．在四棱锥 中， 是边长为 6 的正三角形， 是正方形，平面 平面
，则该四棱锥的外接球的体积为 （ ）
A． B． C． D．
12.已知函数 的定义域为 ， ，对任意的 满足 .当 时，不等
式 的解集为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13.已知两个单位向量 ，满足 ，则 的夹角为____
14.若函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是________.
15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑
八卦)，每一卦由三根线组成(“ "表示一根阳线，“ ” 表示一根阴线)，从八卦中任
取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 ．
ln 2a =
1
21( )4b
−= 1
2
log 2c = ( )f a ( )f b ( )f c
( ) ( ) ( )f b f c f a< < ( ) ( ) ( )f a f c f b< < ( ) ( ) ( )f c f b f a< < ( ) ( ) ( )f c f a f b< < ( ) 4sin( ) cos( )( 0)2 2 x xf x ω ω ω= • > 2,2 3
π π −
[ ]0,π
ω
( ]0,1 30, 4
1 ,12
1 3,2 4
A BCDE− ABC△ BCDE ABC ⊥
BCDE
21 21π 28 21π 7 21π 84π
( )f x R 1 1
2 2f = x R∈ ( ) 4f x x′ > [0,2 ]α π∈
(sin ) cos2 1 0f a a+ − >
7 11,6 6
π π
4 5,3 3
π π
2,3 3
π π
5,6 6
π π
1 2,e e
1 22 3e e− =
1 2,e e
7, 2( ) 3 log , 2a
x xf x x x
− + > F A B F y
P Q QF N PB x M M A N
ABC A B C、 、 a b c、 、 cos cos sinA B C
a b c
+ =
sinC
sinA sinB
ABC
1
4S = ABC 1 ABC L
P ABCD− 60BAD °∠ = 90APD °∠ =
AD PB=
OB ⊥ PAD
AD PB⊥
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2
,M N
1 22F M MF= −
1NF P 1F MN△
C
2 2 1x y+ = l C ,A B OA OB⋅ O
1X
1X 1( ) 120E X = 2X
(0 1)P p< < 1 P− X 2X ,a b 2X 1X P a b X 2X
（3）若该公司投资乙项目一年后能获得较甲项目更多的利润，求 的取值范围。
21.已知
（1）判断当 时 的单调性；
（2）若 为 的两个极值点，求证
选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的方程为 ，已知直线
与曲线 相交于 两点，求 ．
23．设函数 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 的解集为[0,2]， ( )，求证：
数学（理科）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A C A C D B C D B D
二、填空题
13. 14. 15. 16 .3π
3
3
14
P
( 1) 2ln( 1) ( 1)kf x x k xx
− = − − + >
1 0k− ≤ ≤ ( )f x
1 2 1 2, ( )x x x x≠ ( )f x [ ] [ ]1 2( ) ( ) ( 1) ( ) 2 2x f x f x x f x x+ ≥ + + −
xOy C
sin cos
sin cos
x
y
α α
α α
= +
= −
α
C
O x l 12 sin 04 2
πρ θ − + =
l C ,A B AB
( )f x x a= −
2a = ( ) 4 1f x x≥ − −
( ) 1f x ≤ 1 1
2 am n
+ = 0, 0m n> > 2 4m n+ ≥
(1, 2)
三、解答题
17.解： ，由正弦定理可得
即 ，即
（5 分）
(2) 外接圆直径为 ， ，又由(1)得
的面积 ，
由余弦定理得
或 （ 舍）
的周长. （12 分）
18.（1）证明：连结 OP，BD，因为底面 ABCD 为菱形， ，
故 ，又 O 为 AD 的中点，故 ．
在 中， ，O 为 AD 的中点，所以 ．
设 ，则 ， ，
因为 ，
所以 ．（也可通过 来证明 ），
又因为 ， 平面 PAD， 平面 PAD，所以 平面 PAD； （5 分）
（2）因为 ， ，
， 平面 POB， 平面 POB，
所以 平面 POB，又 平面 POB，所以 ．
由（1）得 平面 PAD，又 平面 PAD，故有 ，又由 ，
所以 OA，OB，OP 所在的直线两两互相垂直．
故以 O 为坐标原点，以 OA，OB，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴如图建 系．
设 ，则 ， ， ， ．
所以 ， ， ，
由（1）知 平面 PAD，
故可以取与 平行的向量 作为平面 PAD 的法向量．
( )1 cos cos sinA B C
a b c
+ =
cos cos sin
sin sin sin
A B C
A B C
+ =
cos sin cos sin 1sin sin
A B B A
A B
+ = sin 1sin sin
C
A B
=⋅
ABC 1 , ,a sinA b sinB c sinC∴ = = = sinC sinA sinB c ab= ∴ = ，
∴ ABC 21 1 1 1
2 2 2 4S absinC csinC c= = = = 2sin 2c C∴ = =
2 2 2 2 2 22 2 2 2a b abcosC c ccosC c sinCcosC c sin C c+ = + = + = + = +
2 31 2c= ± + = 1
2
− 1
2
− ( ) ( )2 22 21 2 1 2 1a b c ab c c c+ = + + = + + = +∴
ABC 2 1 2 1L a b c c= + + = + = +
60BAD °∠ =
AD AB BD= = OB AD⊥
APD△ 90APD °∠ = 1
2PO AD AO= =
2AD PB a= = 3OB a= PO OA a= =
2 2 2 2 2 23 4PO OB a a a PB+ = + = =
OB OP⊥ POB AOB∆ ≅ ∆ OB OP⊥
OP AD O= OP ⊂ AD ⊂ OB ⊥
AD PB⊥ AD OB⊥
OB PB B= PB ⊂ PB ⊂
AD ⊥ PO ⊂ PO AD⊥
OB ⊥ OP ⊂ OP OB⊥ AD OB⊥
2AD = ( )1,0,0A ( )1,0,0D − ( )0, 3,0B ( )0,0,1P
( )0, 3, 1PB = − ( )2,0,0BC AD= = − ( )0, 3,0OB =
OB ⊥
OB ( )0,1,0n =
设平面 PBC 的法向量为 ，则 ，
令 ，所以 ．
设平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角为 θ，则 ，
则 ，所以平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角的正弦值为 ． （12 分）
20．【解析】（1）连接 , , ，
是线段 的中点， 是线段 的中点， ，
由椭圆的定义知， ，
周长为 ，
由离心率为 知， ，解得 ， ，
椭圆 的方程为 .（4 分）
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 ，代入椭圆方程 解得 ，
此时 ，（5 分）
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由直线 与圆 相切知， ， ，（6 分）
将直线 方程 代入椭圆 的方程 整理得，
，
设 ，则 ， ，
，（8 分）
，
，
， ， ，
，（11 分）
( ), ,m x y z = 2 0
3 0
m BC x
m PB y z
⋅ = − = ⋅ = − =
1y = ( )0,1, 3m =
1cos cos< , | || | 2 m nm n m n θ ⋅= > = =
3sin 2
θ = 3
2
2PF 1 22F M MF= − ∴ 1 2 2F F F M=
∴ 2F 1F M P 1F N ∴ 2
1//
2PF MN=
1 2| | | | 2PF PF a+ =
∴ 1F MN△ 1 1 1 2 1 2| | | | | | 2(| | | | | |) 4 4 12NF MN FM FP PF FF a c+ + = + + = + =
1
2
1
2
c
a
= 2, 1a c= = ∴ 2 2 2 3b a c= − =
∴ C
2 2
14 3
x y+ =
l 1x = ±
2 2
14 3
x y+ = 3
2y = ±
9 51 4 4OA OB⋅ = − = −
l l y kx m= +
l 2 2 1x y+ =
2
| | 1
1
m
k
=
+
2 2 1m k∴ = +
l y kx m= + C 2 23 4 12 0x y+ − =
2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 2
8
3 4
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−= +
2 2 2 2 2 2(8 ) 4(3 4 )(4 12) 48(4 3) 48 3 2) 0km k m k m k∆ = − + − = − + = +（ ＞
1 2 1 2( )( )y y kx m kx m= + + = 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 2 2 2
(4 12) 8 3 12( ) 3 4 3 4 3 4
k m k m m kk x x km x x m mk k k
− −+ + + = − + =+ + +
2 2 2
1 2 1 2 2 2
4 12 3 12
3 4 3 4
m m kOA OB x x y y k k
− −⋅ = + = ++ +
2 2 2
2 2 2
7 12 12 5 5 5 5
3 4 4 3 4 16 12
m k k
k k k
− − += = − = − −+ + +
216 12 12k + ≥ ∴
2
1 10 16 12 12k
< + ≤ ∴ 2 5 5 012 16 12k − − 210 10 117.6 120P P∴− + + >
0.4 0.6p< < p∴ ( )0.4,0.6 ( 1)( 1) 2ln( 1) ( 1)k xf x x xx −− = − + >
( ) 2ln ( 0)1
kxf x x xx
= + >+
2
2 2
2 2 (4 ) 2( ) ( 1) ( 1)
k x k xf x x x x x
+ + +′ = + =+ +
1 0k− ≤ ≤ 2(4 ) 16 ( 8) 0,k k k∆ = + − = + ≤ 22 (4 ) 2 0x k x+ + + >
( )f x
2
2 2
2 2 (4 ) 2( ) ( 1) ( 1)
k x k xf x x x x x
+ + +′ = + =+ +
( ) 0f x′ = 1 2,x x
1 2
1 2
2
4 02
1 0 8
(4 ) 16 0
kx x
x x k
k
+ + = − >
• = > ⇒ < − ∆ = + − >
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) 2ln 2ln 2ln( ) ( )1 1 1 1
kx kx x xf x f x x x x x kx x x x
+ = + + + = + ++ + + +
2X
P (1 )p p− 2 2(1 )p p+ − (1 )p p−
（9 分）
又 ，故欲证原不等式成立等价于证明不等式：
（10 分）
也就是要证明：对任意 ，有 ， （11 分）
令 ，由于 ，并且
当 时， 则 在 上是减函数，
当 时， 则 在 上是增函数
则 在 上有最大值 ，即 ，故原不等式成立 （12 分）
22．解：（1）由 得 ，将两式相加得 ，
故曲线 的普通方程为 ； 4 分
（2）由 得 ，
（3）化为直角坐标方程为 ， 6 分
圆心到直线 的距离 ， 8 分
由垂径定理得 ． 10 分
23．(1)当 a＝2 时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4.
当 x≥2 时，原不等式化为 2x－3≥4，解得 x≥ ，所以 x≥ ；
当 1≤x＜2 时，原不等式化为 1≥4，无解；
当 x ln 1x x≤ −
( ) ln 1( 0)g x x x x= − + > (1) 0g = 1( ) 1g x x
′ = −
1x > ( ) 0,g x′ < ( )g x (1, )+∞ 0 1x< < ( ) 0,g x′ > ( )g x (0,1)
( )g x (0, )+∞ (1) 0g = ( ) 0g x ≤
sin cos
sin cos
x
y
α α
α α
= +
= −
2
2
1 2sin cos
1 2sin cos
x
y
α α
α α
= +
= −
2 2 2x y+ =
C 2 2 2x y+ =
12 sin 04 2
πρ θ − + =
1cos sin 02
ρ θ − ρ θ + =
1 02x y− + =
l
1
22
42
d = =
2 22AB r d= − 1 302 2 8 2
= − =
7
2
7
2
1
2
1
2
1 7, ,2 2
−∞ − +∞
而 f(x)≤1 的解集是[0,2]，
所以 ，解得 a＝1，所以 ＝1(m>0，n>0)．
所以 m＋2n＝(m＋2n) ＝2＋ ，
当且仅当 m＝2n 时，等号成立
1 0
1 2
a
a
− =
+ =
1 1
2m n
+
1 1
2m n
+
2 22 2 42 2
n m n m
m n m n
+ ≥ + ⋅ =
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