文科数学试题
考试时间 120 分钟 总分 150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 虚部为（ ）
A． B． C． D．
3.等差数列 中， ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
4. 在平面直角坐标系中， 为角 的终边上一点，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 的长轴长与焦距之和为 6，
则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6.若平面向量 在 方向上的投影为 2，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．20
7．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8.已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的
{ }na
(3, 4)P − α sin( )4
πα + =
2
10
2
10
− 7 2
10
7 2
10
−
a b ( 1,3)b = − a b⋅ =
10 10 2 10
{ }2,1,1−=A { }01| ≥+= xxB =∩ BA
{ }2,1,1− { }2,1 { }2,1− { }2
z izi 2)1( =+ i z
i i− 1 1−
853 =+ aa =++ 741 aaa
)0(1: 2
2
2
2
>>=+ bab
y
a
xC 2
1 C
C
1625
4 22
=+ yx 124
22
=+ yx 134
22
=+ yx 12
2
2
=+ yx
x
xxxf cos)(
2 +=
2 1log , ( 6) , ln 2a e b cπ
−= = = , ,a b c
c b a> > c a b> > a b c> > a c b> >
“更相减损术”．执行该程序框图，若输入 ， ， 的值分别为 ， ， ，则输出和 的值
分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．偶函数 的图象在 处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
11. 已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 、 ，左、右焦点分别是 ,
在线段 上有且只有一个点 满足 ，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
12．已知定义在 上的函数 对于任意的 都满足 ，当 时，
，若函数 至少有 6 个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.某校现有高一、高二、高三三个年级共 48 个教学班，各年级学生数分别是 1000 人、1050
人、1200 人，若按分层抽样从全校抽出 65 名学生，则高二年级比高一年级多抽出 名
学生.
14. 在区间 上随机取两个数 、 ,则其中使函数 在 内有零点
的概率是 _____.
15.设数列 满足 ，点 对任意的 ，都有向量 ，
则数列 的前 项和 .
16. 已知长方体 各个顶点都在球面上， , , 过棱 作该
球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 、（本 小 题 满 分 12 分 ） 在 中 ， 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 函 数
在 处取得最小值.
（1）求角 的大小.
（2）若 且 ，求 的面积.
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
( ) 2cos sin( ) sin ( )f x x x A A x R= − + ∈
ABC∆
a b i 6 8 0 a i
2 3 0 3
0 4 2 4
)()( xx aeexxf −−= 1=x
e2 e e
2
ee 1+
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > A B 21 FF ,
AB P 21 PFPF ⊥
3
2
3 1
2
− 5
3
5 1
2
−
R )(xfy = x )()1( xfxf −=+ 11 > ba 2
3=e
1F 2F 32|| 21 =FF ),( 11 yxM ),( 22 yxN
4
1−
C 2
2
2
1 xx +
( ) ( )ln ,f x x x f x= ′ ( )f x
( ) ( ) 2 ,g x f x ax−′= ( )g x
( ) 22 xf x e −< xOy 1C = += α α sin cos1 y x α 13: 2 2 2 =+ yxC O x 21,CC )0(3 ≥= ρπθ 1C A 2C B || AB
参考答案
1-12 ACBBC CCBDA DA
13. 1 14. 15. 16. 5
17.解：由已知得 ；………………3 分
………………6 分
(2)由正弦定理 得 ………………8 分
即 由余弦定理
………………10 分
………………………12 分
18.解：（1）2×2 列联表
数学成绩不优秀 数学成绩优秀 合计
物理成绩不优秀 6 4 10
物理成绩优秀 6 14 20
合计 12 18 30
……………………2 分
∴ ……………4 分
而 ∴有 85℅把握数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联。……6 分
（2）根据所给公式可求： ……………8 分
∴ 关于 的回归方程为 .……………10 分
据此估计，数学成绩每提高 10 分，物理成绩约提高 3.2 分。……………12 分
19．解：(1)取线段 的中点 ，连接 ， ……………………………1 分
因为 为 的中点，所以 ，且 ，
在折叠前，四边形 为矩形， 为 的中点，
所以 ，且 .…………………………………………………2 分
所以 ，且 ,…………………………………………………………3 分
AC M ,MF MB
F AD 1
2MF CD=
ABCD E AB
1
2BE CD=
MF BE=
9
2 2n
)2sin()( Axxf −=
11( ) 12f x x
π= 在 处取得最小值 11 32 2 , , 2 ,12 2 3A k k Z A k k Z
π π ππ π∴ × − = + ∈ = + ∈其中 即
3A A
ππ∈ ∴ = （0， ）,
sin sin sin
a b c
A B C
= = sin sin sinb cB C Aa
++ =
13 3 3 , 1314 7 2
b c b c
+= × ∴ + = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 得
2 2( ) 2 2 cos ,a b c bc bc A= + − − ∴即49=169- 3bc, bc=40
1 1 3sin 40 10 32 2 2ABCS bc A∴ = = × × =
.5.218122010
)46146(30 2
2 =×××
×−×=K
.15.0)072.2( 2 =≥KP
.6.41,32.0 =≈
∧∧
ab
y x 6.4132.0 += xy
CDMF //
CDBE //
BEMF //
所以四边形 为平行四边形，故 ， …………………………………4 分
又 平面 平面 ，
所以 // 平面 .…………………………………………………………………5 分
(2) 在折叠前，四边形 为矩形， 为 的中点，
所以 都是等腰直角三角形，且 ，
所以 ，且 .
又 ，………………………………7 分
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，即 为三棱锥 的高. ……………………………9 分
因为 为 的中点，所以 ，………………………10 分
所以四面体 的体积 .……………12 分
20.解：⑴ ， ，∴ ，
则椭圆 的方程为 ……………4 分
⑵由于 ，则 ， …………6 分
而 ， ，则 ，
∴ ，则 …………9 分
，展开得 为一定值. …………12 分
21．【解析】（1）
…………………………………………………1 分
当 时， 单调递增，
的单调增区间为 ，无单调减区间；………………………………………2 分
BEFM
EF ⊄ ,ABC BM ⊂ ABC
ABC
ABCD 2, 4,AD AB E= = AB
,ADE CBE∆ ∆ 2AD AE EB BC= = = =
45DEA CEB∠ = ∠ = 2 2DE EC= =
180 , 90DEA DEC CEB DEC∠ + ∠ + ∠ = ∴∠ =
ADE ⊥ BCDE ADE ,BCDE DE CE= ⊂ BCDE
CE ⊥ ADE CE C EFD−
F AD
FACE
BMEF //
EF
12
1
2
1 =×××=∆ AEADS AEF
3
222213
1
3
1 =××=××= ∆ CESV AEF
3=c
3
2e = 2a = 2 2 2 1b a c= − =
C
2
2 14
x y+ =
1 2
1 2
1
4
y y
x x
× = − 1 2 1 24x x y y= −
1
2 2 2 2
1 2 216x x y y=
2
21
1 14
x y+ =
2
22
2 14
x y+ =
2
21
11 4
x y− =
2
22
21 4
x y− =
2 2
2 21 2
1 2(1 )(1 )4 4
x x y y− − = 2 2 2 2
1 2 1 2(4 )(4 ) 16x x y y− − =
2 2 2 2
1 2 1 2(4 )(4 )x x x x− − = 2 2
1 2 4x x+ =
( ) ( ) ( )2 2 1 1 21 ln , 2 axg x f x ax x ax g x axx x
−= − = + − = − =′ ′
)0(2121)(
2
>−=−=′ xx
axaxxxg
0a ≤ ( ) ( )0,g x g x′ >
( )g x ( )0,+∞
当 时， 得 ，…………………………………………………3 分
当 ；所以 的单调递增区间为 ，……………4 分
当 ，单调递减区间为 ……………………5 分
（2）即证： ，即证： ………………………6 分
令 ，……7 分
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
所以 的最小值为 ，………………………………………………………8 分
令 ，则 ，…………………………………………………9 分
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
所以 的最大值为 ，……………………………………………………10 分
因为 ，……………………………………………………………………………11 分
所以 ，即 .…………………………………………………12 分
22.解：（1）曲线 : （ 为参数）化为普通方程为 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ，……………………2 分
曲线 的极坐标方程为 .……………………4 分
（2）射线 与曲线 的交点的极径为 ，……………6 分
0a > ( ) 0g x′ = 2
2
ax a
=
( )20, , 02
ax g xa
∈ > ′
( )g x 20, 2
a
a
( )2 , , 02
ax g xa
∈ +∞ =′ ⋅ = ⋅
0 2x< < ( ) ( )0,h x h x′ < 2x > ( ) ( )0,h x h x′ >
( )h x ( ) 12 2h =
( ) lnxk x x
= ( ) 2
1 lnxk x x
−′ =
0 x e< < ( ) ( )0,k x k x′ >
x e> ( ) ( )0,k x k x′ < ( )k x ( ) 1k e e = 1 1 2e < ( ) ( )k x h x< 22ln xex x − < C1 cos sin x y α α = + = 1 α 0222 =−+ xyx C1 θρ cos2= C2 3)sin21( 22 =+ θρ )0(3 ≥= ρπθ C1 13cos21 == πρ
射线 与曲线 的交点的极径满足 ，
解得 ，…………………8 分
所以 …………………………………10 分
23.解：（1）当 时， ， ,
上述不等式可化为 或 或 ,
解得 或 或 , ∴ 或 或 ，
∴原不等式的解集为 . ……………………………5 分
（2）∵ 的解集包含 ，∴ 在 上恒成立，
∴ ，即 ∴ ,
∴ 在 上恒成立，∴ ∴ ，
所以实数 a 的取值范围是 ．……………………………10 分
)0(3
≥= ρπθ C2 3)3sin21( 22
2 =+ πρ
5
30
2 =ρ
15
30|||| 21 −=−= ρρAB
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