天津市部分区 2020 年高三质量调查试卷（一）
数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120
分钟.
参考公式：
如果事件 互斥，那么 .
如果事件 相互独立，那么 .
柱体的体积公式 ，其中 表示柱体的底面面积， 表示柱体的高.
锥体的体积公式 ，其中 表示锥体的底面面积， 表示锥体的高.
第 I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
2．本卷共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知 ，若 （ 是虚数单位），则复数 是
A. B． C． D．
2．设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．充要条件
BA, )()()( BPAPBAP +=
BA, )()()( BPAPABP =
V Sh= S h
1
3V Sh= S h
,a b∈ R i2i i
ba
+− = i ia b+
1 2i− 1 2i+ 2 i− 2 i+
∈θ R 2 2
π πθ − < sin 0θ >o 40 60 80 20
0.02
100
0.015
0.01
a
分成绩/
频率
组距
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知函数 .若曲线 在点 处的切线与直线
平行，则实数
A． B． C． D．
4．在 中， ， ， ，以边 所在的直线为轴，将
旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为
A． B． C． D．
5．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取
部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）
的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组
依次为 ， ， ， .
若分数在区间 的频数为 ，则大于等于 分的人数为
A． B． C． D．
6．已知函数 .若 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为
A． B． C． D．
7．已知函数 （ ）的最小正周期为 ，其图象关于直线
对称.给出下面四个结论：①将 的图象向右平移 个单位长度后得到的函
( ) 2ln= + −f x x x ax ( )y f x= ( )( )1, 1f
y = 2x =a
7
2 2 3
2 1
∆ABC 90∠ = °B 3=AB 4=BC BC ∆ABC
36π 12π 36 12
[ )20,40 [ )40,60 [ )60,80 [ ]80,100
[ )20,40 5 60
15 20 35 45
( ) 2 5= +xf x x 1
3
1log 2a f
=
( )3log 5b f= ( )0.26c f= a
b c
> >a b c > >a c b > >c a b > >c b a
( ) ( )sin= +f x xω ϕ 0, 2
> < πω ϕ π
6
=x
π ( )f x 6
π数图象关于原点对称；②点 为 图象的一个对称中心；③ ；
④ 在区间 上单调递增.其中正确的结论为
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
8．设双曲线 的两条渐近线与圆 相交于 ， ， ，
四点，若四边形 的面积为 ，则双曲线的离心率是
A. B.
C. 或 D．
9．在等腰梯形 中， ， ， ， .若 为线段
的中点， 为线段 上一点，且 ，则
A. B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上.
2．本卷共 11 个小题，共 105 分.
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分, 共 30 分；答题直接填写结果，不必写计算或
推证过程.
10．已知集合 ， （ ），且 ，则
▲ .
5 012
，π ( )f x 1
4 2
= f
π
( )f x 0 6
，π
2 2
2 2 1− =x y
a b
( )0> >a b 2 2 10+ =x y A B C
D ABCD 12
10
3 10
10 10
3 2 10
ABCD AB // CD 60∠ = °BAD 8=AB 4=CD M
BC E CD 27⋅ = AM AE ⋅ = DM DE
15 10 20
3 5
{ }2,2= mA { },=B m n ,m n∈ R 1
4
= A B =A B11．在 的展开式中， 项的系数为 ▲ （用数字作答）.
12．设 ，若 与 的等差中项是 ，则 的最大值是 ▲ .
13．已知圆 ，过点 的直线 与 相交于 ， 两点，
且 ，则的方程为 ▲ .
14．天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为:每位参赛教师都要回答 个
问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对 个问题，得 分；
答错，得 分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励.已
知对给出的 个问题，教师甲答对的概率分别为 .若教师甲恰好答对 个问题
的概率是 ，则 ▲ ；在前述条件下，设随机变量 表示教师甲答对题目的
个数，则 的数学期望为 ▲ .
15．已知函数 若存在 使得关于 的不等式 成
立，则实数 的取值范围是 ▲ .
三、解答题:本大题共 5 个小题,共 75 分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算
步骤.
16.（本小题满分 14 分）
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ，
， .
（1）求角 的大小； （2）求 的值.
17．（本小题满分 15 分）
如 图 ， 在 三 棱 柱 中 ， 四 边 形 ， 均 为 正 方 形 ， 且
5
21 2
− x
x
5x
0, 0> >a b a 2b 2 2 2log 2log+a b
:C ( ) ( )2 21 1 16x y+ + − = ( )2,3P − l C A B
2 11AB =
3
1 1
0
3 3 1, ,4 2 p 3
1
4 p = X
X
( ) 2 0,
2 0.
x x xf x
x x
− ≤= >
，
，
x∈ R x ( ) 1f x ax≤ −
a
∆ABC A B C a b c sin sin2
+ =A Ba c A
7=c 2 3=a b
C ( )sin −C B
1 1 1
−ABC A B C 1 1ABB A 1 1BB C C， 为 的中点， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）设 是棱 上一点，若直线 与平面
所成角的正弦值为 ，求 的值.
18．（本小题满分 15 分）
已知抛物线 的焦点为椭圆 （ ）的右焦点，
的准线与 交于 ， 两点，且 .
（1）求 的方程；
（2）过 的左顶点 作直线 交 于另一点 ，且 （ 为坐标原点）的延长线交
于点 ，若直线 的斜率为 ，求 的方程.
19.（本小题满分 15 分）
设 是 等 比 数 列 ， 是 等 差 数 列 . 已 知 ， ， ，
.
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 其中 ，求数列 的前 项和.
1 1 1 1
⊥A B B C M 1CC N 1A B
MN // ABC
1
− −B MN B
P 1 1B C PM
1MNB 2
15
1
1 1
B P
B C
:C 2 4 2=y x :E
2 2
2 2 1+ =x y
a b
0> >a b C
E P Q 2=PQ
E
E A l E B BO O E
M AM 1 l
{ }na { }nb 4 8a = 3 2 2a a= + 1 2b a=
2 6 5b b a+ =
{ }na { }nb
2 1 2 1
2
2 1,
+1 2 ,
m m
n
m
a b n mc b n m
− − = −= =
，
， m∈ N∗ { }nc 2n20.（本小题满分 16 分）
已知函数 在 处取得极值 ，函数
，其中 是自然对数的底数.
（1）求 的值，并判断 是 的最大值还是最小值；
（2）求 的单调区间；
（3）证明：对于任意正整数 ，不等式 成立.
( ) ln 1( )f x x m x m= − − ∈R 1x = A ( ) ( )g x f x= +
1xe x− − 2.71828e =
m A ( )f x
( )g x
n 2
1 1 11 1 12 2 2n e + + +
2, Bx−
2
2
8 42 = 2 1B
kx k
−− × +
2
2
2 4
2 1B
kx k
−= +
( ) 2
2 2
2 4 42 22 1 2 1B B
k ky k x k k k
−= + = + = + +
,B M E ,B M O所以点 ,即 ．………………………12 分
因为 ,所以 ，解得 ． ………………………14 分
故所求直线 的方程为 ，即 ． …………………15 分
【方法二】由题意，得 的左顶点 ，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ． ……………………………………………7 分
联立方程组
消去 并整理，得 ．
解得 ，或 ．………………………………………………………10 分
所以点 的横坐标 （因为 为点 的横坐标），
所以点 的纵坐标 ，从而点 ．…………………………12 分
由题意，点 均在 上，且 关于原点 对称，
所以点 的坐标为 ，所以 ．………………………………14 分
所以直线 的方程为 ,
( ),B BM x y− −
2
2 2
2 4 4,2 1 2 1
k kM k k
−− − + +
1AMk = 2
2
2
4
2 1 12 42+ 2 1
k
k
k
k
+ =−− +
1
2k = −
l ( )1 22y x= − + 2 2 0x y+ + =
E ( )2,0A − AM 1
AM 2y x= +
2 2
2,
1.4 2
y x
x y
= + + =
y 23 8 4 0x x+ + =
2x = − 2
3x = −
M 2
3Mx = − 2− A
M 4
3My = 2 4,3 3M −
,B M E ,B M O
B 2 4,3 3
−
1
2ABk = −
AB ( )1 22y x= − +即所求直线 的方程为 ．…………………………………………15 分
19．解：（1）设等比数列 公比为 ，由 ，
得 消去 并整理，得 ，………………………2 分
解得 ,从而 ．
所以 ； ……………………………………………………………………3 分
设等差数列 的公差为 ，由 , ，
得 …………………………………………………………………5 分
解得 ．
所以 ． …………………………………………………6 分
（2）由（1）及题意，得 其中 ． ………………8 分
①当 为奇数时，不妨设数列 的前 项和为 ，
所以 ，
即 ， …………………………9 分
所以 ．
上述两式相减，得
l 2 2 0x y+ + =
{ }na q 4 3 28, 2a a a= = +
3
1
2
1 1
8,
2
a q
a q a q
= = + ， 1a 2 4 4 0q q− + =
2q = 1 1a =
12n
na −=
{ }nb d 1 2b a= 2 6 5b b a+ =
1 2,
4 6 16
b
d
=
+ = ，
1 2, 2b d= =
( )2 1 2 2nb n n= + − × =
2 2 1,
2 1 2 ,
n
n
n n mc
n n m
⋅ = −= + =
，
， m N ∗∈
n { }2nn⋅ n S奇
1 3 5 2 1nS c c c c −= + + + +奇
( )3 5 2 11 2 3 2 5 2 2 1 2 nS n −= × + × + × + + − ×奇
( ) ( )3 5 7 2 1 2 14 1 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n nS n n− += × + × + × + + − × + − ×奇
( )3 5 2 1 2 13 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2n nS n− +− = + × + × + + × − − ×奇 ， …………11 分
所以 ． ………………………………………………12 分
②当 为偶数时，易得，数列 前 项和为
．………………14 分
设{Cn}的前 2n 项和为 T2n
则
．………………………………………15 分
20．解：（1）因为 （ ），
所以 （ ）． ……………………………………………1 分
因为 是 的极值点，所以 ，
即 ，所以 ． …………………………………………………………2 分
此时 ， ，（ ）．
易得，当 时， ；当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减；在区间 上单调递增，………4 分
所以函数 在 处的极值 是最小值．…………………………………5 分
( ) ( )
4 1
2 1 2 12 1 4 5 6 102 2 1 2 21 4 3 3
n
n nnn
−
+ +
− −= + − − × = × −−
S =奇
2 16 5 1029 9
nn +− × +
n { }2 +1n n
( ) ( ) 25 4 1=5 9 13 4 1 2 32
n nS n n n
+ + + + + + + = = +偶
2nT S S= +奇 偶
2 1 26 5 102 2 39 9
nn n n+−= × + + +
( ) ln 1f x x m x= − − ( )0,x∈ +∞
( ) 1 mf x x
′ = − ( )0,x∈ +∞
1x = ( )f x ( )1 0f ′ =
1 01
m− = 1m =
( ) ln 1f x x x= − − ( ) 1 11 xf x x x
−′ = − = ( )0,x∈ +∞
0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ >
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
( )f x 1x = A（2）由（1）知， ，所以 ，且 ．
所以 ． ……………………………………………………………6 分
设 （ ），则 ． ……………………7 分
显然，当 时， 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，且 ．………………………9 分
所以,当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ．
所以，函数 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ． ………11 分
（3）证明：由（1）可知,
当 时， ，即 ．………………………………12 分
不妨令 （ ），
则有 （ ）．……………………………………………13 分
所以 ，
即 ．…………………………………15 分
因为函数 在区间 上单调递增，
1m = ( ) 1 ln 1xg x e x−= − − ( )0,x∈ +∞
( ) 1 1xg x e x
−′ = −
( ) 1 1xh x e x
−= − ( )0,x∈ +∞ ( ) 1
2
1xh x e x
−′ = +
0x > ( ) 0h x′ >
( )h x ( )0,x∈ +∞ ( )1 0h =
0 1x< < ( ) 0h x < ( ) 0g x′ <
1x > ( ) 0h x > ( ) 0g x′ >
( )g x ( )0,1 ( )1,+∞
1x > ( ) ( )1 0f x f> = 1 lnx x− >
11 2nx = + n∈ N∗
1 1ln 1 2 2
+
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