天津市和平区2020届高三数学第一次模拟试题（带答案Word版）

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。 考试时间 120 分钟。祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（共 45 分） 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。 如果事件 互斥,那么 如果事件 相互独立,那么 . 柱体的体积公式 . 球体的体积公式 . 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集 ， ， ，则 ( ) A． B． C． D． （2）“ ”是“ ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）已知 表示不超过实数 的最大整数， 为取整函数， 是函数 的零点，则 （ ） A．5 B．4 C．3 D．2 （4）已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于 ， 两点．若双曲线 的离心率为 ，△AOB 的面积为 ， 为坐标原点，则抛物线 的焦点坐标为 ( ) A． B． C． D． （5）某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是： [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于 80 分的学生中随机 选取 2 人,记这 2 人成绩在 90 分以上 (含 90 分)的人数为 ξ,则 ξ 的数学期望为( ) A． B． C． D． （6）已知函数 ，给出下列四个结论，其中正确的结论是 （ ）. A．函数 的最小正周期是 B．函数 在区间 上是减函数 C．函数 的图象关于 对称 D．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到 （7）函数 是定义在 上的奇函数，对任意两个正数 ，都有 ，记 ， ， ，则 大小 关系为（ ） A． B． C． D． （8）国际高峰论坛，组委会要从 6 个国内媒体团和 3 个国外媒体团中选出 3 个媒体团进 行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能 连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( ) A．378 B．306 C．268 D．198 （9）已知圆 的半径为 2， 是圆 上任意两点，且 ， 是圆 的一 条直径，若点 满足 （ ），则 的最小值为（ ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 • BA， • BA， )()()( BPAPBAP += )()()( BPAPABP = • ShV = • 3 3 4 RV π= { }3 3,I x x x Z= − < < ∈ { }1,2A = { }2,0,2B = − ( )IA C B = { }1,1,2− { }1 { }2 { }0,1,2 ( )3 k k Z πα π= + ∈ 3tan 6 3 πα − =   [ ]x x ( ) [ ]g x x= 0x ( ) ln 4f x x x= + − ( )0g x = A B C 2 3 O ( 2,0) (1,0) ( 2 ,02 ) 1( ,0)2 1 3 1 2 2 3 3 4 2( ) sin 2 2sin 1f x x x= − + ( )f x 2π ( )f x 5,8 8 π π     ( )f x ( )f x 2 sin 2y x= 4 π ( )f x R ( )1 2 1 2, ,x x x x< ( ) ( )1 2 1 2 f x f x x x > ( )225 0.2a f= ( )1b f= 5 1 3 log 3 log 5c f  = −     , ,a b c c b a> > b c a> > a b c> > a c b> > O ,P Q O 060POQ∠ = AB O C ( )1OC OP OQλ λ= − +   Rλ ∈ •CA CB 2C第Ⅱ卷 非选择题（共 105 分） 注意事项: 1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。 2. 本卷共 11 小题，共 105 分。 二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷上. (10)已知 a 为实数，i 为虚数单位，若复数 z=(a2-1)+(a+1)i 为纯虚数，则 __ . (11) 若 的展开式中 的系数为 -448，则实数 ____________. (12) 已知一个体积为 8 的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上， 下底面的四个顶点在半球体的底面圆内.则该半球体的体积为　 　． (13) 函数 的图象在 处的切线被圆 截 得弦长为 ，则实数 的值为________. (14）若 ， ，且 ，则此时 ， 的最小值为__________． (15)已知函数 ，则 若方程 在区间[-2,4]有三个不等实根，则实数 的取值范围为 . 三、解答题：本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 14 分) 在 中，内角 的对边分别为 ， . （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 .求： （ⅰ）边长 ;（ⅱ） 的值. (17)(本小题满分 14 分) 如图所示，平面 ABCD⊥平面 BCEF，且四边形 ABCD 为矩形， 四边形 BCEF 为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4， BC=BF=2． (Ⅰ)求证：AF∥平面 CDE； (Ⅱ)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小； (Ⅲ)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值． (18) (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 F1、F2，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x－y＋2＝0 相切． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设 Q 为椭圆 C 上不在 x 轴上的一个动点，过点 F2 作 OQ 的平行线交椭圆 C 于 M、N 两个不同的点，记△QF2M 的面积为 S1，△OF2N 的面积为 S2，令 S＝S1＋S2， 求 S 的最大值． (19) (本小题满分 16 分) 数列 是等比数列，公比大于 ，前 项和 ， 是等差数列，已知 ， ， ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式 ， ； （Ⅱ）设 的前 项和为 ： （ⅰ）求 ； （ⅱ）若 ，记 ，求 Rn 的取值范围. (20)(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)＝ ex，a，b∈R，且 a>0. （Ⅰ）若函数 f(x)在 x＝－1 处取得极值 ，求函数 f(x)的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 f(x)的单调区间； （Ⅲ）设 g(x)＝a(x－1)e x－f(x)，g′(x)为 g(x)的导函数．若存在 x0∈(1，＋∞)， 使 g(x0)＋g′(x0)＝0 成立，求b a 的取值范围． 2020 1 a i i + =+ 8 3 ax x  +   4x a = ( ) lnf x x x a= + 1x = 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − + − = 2 a 0x > 0y > 2 2 4log 3 log 9 log 81x y+ = 2 3 3 x y x y ++ [ ] ( ) 1 1 , 2,0( ) 2 ( 2), 0, x xf x f x x  − + ∈ −=  − ∈ +∞ ( )f x x a= + ABC∆ 、 、A B C a b c， ， ( )2 cos cos cos 0C a B b A c+ + = C 2 2a b= =， ( )sin 2B C− { }na 0 n nS ( )n N ∗∈ { }nb 1 1 2a = 3 2 1 1 4a a = + 3 4 6 1a b b = + 4 5 7 1 2a b b = + { } { },n na b na nb { }nS n nT ( )n N ∗∈ nT 1 1 3 1 2 ( )n n n n n n T b bc b b + + + + + −= 1 n n n n R C = = ∑ ax b x + e 1 ______;3 256log )3( =f =+ yx 2 a 1高三年级数学答案 第 1 页（共 6 页） 高三年级数学答案 第 2 页（共 6 页） 和平区 2019-2020 学年度第二学期高三年级第一次质量调查 数学学科参考答案 一、选择题：（45 分）. 1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 8. D 9.C 二、填空题：（30 分） 10. 11. -2 12. 13. 或 2. 14. 2; 15.81; 三、解答题：（75 分） (16) (本小题满分 14 分) 解:（Ⅰ）由已知及正弦定理得 ……… (2 分) ∴ ，∴ ，∵ ，…………(4 分) ∴ ………………… (5 分) （Ⅱ）（ⅰ）因为 ， ，由余弦定理得 ， ∴ ………………… (7 分) （ⅱ）由 ，………………… (9 分) 因为 为锐角，所以 ………………… (10 分) ， ………………… (12 分) ……(14 分) (17) (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)证明：∵四边形 BCEF 为直角梯形，四边形 ABCD 为矩形， ∴BC⊥CE，BC⊥CD， 又∵平面 ABCD⊥平面 BCEF，且平面 ABCD∩平面 BCEF=BC， ∴DC⊥平面 BCEF．………………… (2 分) 以 C 为原点，CB 所在直线为 x 轴，CE 所在直线为 y 轴，CD 所在直线为 z 轴建立如图所 示空间直角坐标系．则： A(2, 0，4)，B(2, 0，0)，C(0, 0，0)，D(0,0，4)，E(0, 4，0)，F(2, 2，0)， 则 ， ………………… (3 分) ∵BC⊥CD，BC⊥CE， ∴ 为平面 CDE 的一个法向量．………………… (4 分) 又∵ AF 平面 CDE， ∴AF∥平面 CDE. ………………… (6 分) (Ⅱ)设平面 ADE 的一个法向量为 ， 则 ， ，取 z1=1，得 … (8 分) ∵DC⊥平面 BCEF，∴平面 BCEF 一个法向量为 ， 设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 α， 则 ．………………… (10 分) 因此，平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 ．………………… (11 分) (Ⅲ)根据（Ⅱ）知平面 ADE 一个法向量为 ， ， 设直线 EF 与平面 ADE 所成角为θ,则 因此，直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为 ………………… (14 分) 4 6π 6− ( )2 cos sin cos sin cos sin 0C A B B A C+ + = 2 cos sin sin 0C C C+ = 2cos 2C = − 0 C π< < 3 4C π= 2 2a b= =， 3 4C π= 2 2 2 22 cos 2 4 2 2 2 102c a b ab C  = + − = + − × × × − =    10c = 5sinsin sin 5 c b BC B = ⇒ = B 2 5cos 5B = 5 2 5 4sin 2 2 5 5 5B = × × = 2 2 3cos2 cos sin 5B B B= − = ( ) 4 2 3 2 7 2sin 2 sin 2 cos cos2 sin 5 2 5 2 10B C B C B C  − = − = × − − × = −    (0,2, 4)AF = − (2,0,0).CB = CB 0 2 2 0 ( 4) 0 0AF CB⋅ = × + × + − × =  1 1 1 1( , , )n x y z= 1 1 0 0. AD n DE n  ⋅ = ⋅ =     ( 2,0,0), (0,4, 4)AD DE= − = −   1 1 1 2 0 4 4 0 x y z − =∴ − = 1 (0,1,1)n = (0,0,4)CD = 1 1 4 2cos 24 2 CD n CD n α ⋅= = = ×⋅     4 π 1 (0,1,1)n = (2, 2,0)EF = −  2 3sin1cos 2 1 222 2,cossin 2 1 1 1 =−=∴ = • −=•== θθ θ nEF nEFnEF 2 3 ……………… (12 分) 2 3 662 + { }12 1, ∪     −∞−高三年级数学答案 第 3 页（共 6 页） 高三年级数学答案 第 4 页（共 6 页） (18) (本小题满分 15 分) 解：（Ⅰ）由题意知: 又以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆为 且与 直线相切， 所以 ，…………( 3 分) 所以 ，故椭圆 C 的标准方程为 . …………( 4 分) （Ⅱ）设 直线 则直线 …………( 5 分) 因为点 O 到直线 的距离 (19) (本小题满分 16 分) 解:（Ⅰ）设数列 的公比为 ， 因为 ， ，可得 ，整理得 ， 解得 （舍）或 ……………… (3 分) 所以数列 通项公式为 ，……………… (4 分) 设数列 的公差为 ，因为 ， ， 可得 ，即 ，解得 ，……………… (6 分) 所以数列 的通项公式为 .……………… (7 分) （Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前 n 项和公式，可得 ，………(8 分) 所以 ，……(10 分) （ⅱ）由（ⅰ），可得 ， 所以 的前 项和 22 2,2 2 baa ce =∴==    =+ += 124 2 22 yx myx 由 ( ) 2 2 2 22 02222 221221 22 + −=+−=+∴ =−++ myym myy myym得 ( ) ( ) 2 14 411 2 2 21 2 21 2 21 2 + += −++=−+=∴ m m yyyymyymMN 2 122 2 1 2 2 + +==∴ m mdMNS ).1(1,1 222 ≥−=+= ttmmt 则令 .2 11,21 1 22 1 22 2 == ==≥+ + =+= maxS0,m .ttttt ttt tS 此时 时等号成立，即当且仅当 { }na ( 0)q q > 1 1 2a = 3 2 1 1 4a a = + 1 2 1 1 1 2 1 1 4 a a q a q  =  = +  2 1 1 2 0q q − − = 1q = − { }na 1 2n na = { }nb d 3 4 6 1a b b = + 4 5 7 1 2a b b = + ( )1 1 1 1 8 2 4 1 1 16 3 16 b d b d  = +  = + 1 1 4 4 3 16 16 b d b d + =  + = 1 0 1 b d =  = { }nb 1nb n= − 1 11 12 2 11 21 2 n n nS  −  = = − − 2 1 1 1 1 1(1 1 1) 1 12 2 2 2 2n n n nT n n   = + + + − + + + = − − = − +        1 1 3 1 1 1 2 1 1 ( 2) ( 2) 1 12 ( 1) ( 1) ( ) 2 2 ( 1) 2 n n n n n n n n n n n n n nT b bc b b n n n n n n + + + + + + + +  + − ⋅ +  + = = = −⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ −= { }nc n 1 2 2 3 12 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 ( 1) 2n n nn nc c nR c +     = − + − + + −    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅     +  = + +  ( ) 121 1 2 1 +•+ −= nn ( ) ,2 1 21 1 2 1 1 < •+ − +nn 易知 ( ) .2 1,8 3 .8 3 ,21 1 2 1 1 1     ∈ =≥∴ •+−= + n n nn R RR nnR 从而 的单调递增函数是关于又 … (12 分) ……………… (14 分) ……………… (16 分) ……………… (1 分) 222 byx =+ 02 =+− yx 2=a 124 22 =+ yx ( ) 2 11 2 22 = −+ =b ……………… (6 分) ……………… (9 分) ……………… (13 分) ……………… (15 分) ( ) ( ),,,, 2211 yxNyxM .: myxOQ = 2: += myxMN OMN MOFMQF SSSS SSOQMN ∆ ∆∆ =+=∴ =∴ 21 22 ,// 2: += myxMN . 1 2 2 hMN m d 上的高即为 + = ……………… (12 分) ,2 1=q高三年级数学答案 第 5 页（共 6 页） 高三年级数学答案 第 6 页（共 6 页） (20)(本小题满分 16 分) 解:（Ⅰ）函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． f′(x)＝ ex，由题知 即 解得 a＝2，b＝1， 所以函数 (x≠0)．……………… (4 分) （Ⅱ） 令 f′(x)>0 得 x1 2 ， 令 f′(x)1， x2＝ (舍去)，x3＝0(舍去)，得 u(x1)＝b>0，……… (15 分) 又 u(1)＝－a－b1，使 2ax30－3ax20－2bx0＋b＝0 成立，此时b a>0. 综上有 b a 的取值范围为(－1，＋∞)．……………… (16 分) 2 2 ax bx b x + −    =− =− ef f 1)1( 0)1('    =•− +− =− − − eeba eba 1 1 )( 0)2( 1 1 2 1( ) xxf x ex += xx ex xxex xxxf •−+=•−+=′ 22 )12)(1(12)( ),2 1( +∞ )2 1,0( xeax baxxg )2()( −−= xeax baxx bxg )()( 2 −−+=′∴ 0)()2( 2 =−−++−− xx eax baxx beax bax 23 9 16 4 a a ab a + + 23 9 4 a a a + 23 9 16 4 a a ab a − + ……………… (2 分) …… (5 分) …… (7 分) …… (8 分)