2019 学年第一学期期中考试高二数学试卷
一、选择题：
1.双曲线 的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将 化简成标准方程再进行焦点坐标运算即可.
【详解】由 得 ,故 ,故焦点坐标
故选：D
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与焦点坐标,属于基础题型.
2.已知椭圆 的一点 到椭圆的一个焦点的距离等于 6，那么点 到椭圆的另一
个焦点的距离等于( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可得椭圆上的点到两个焦点之间的距离之和为 ,利用 即可求得.
【详解】由题 ,故椭圆上的点到两个焦点之间的距离之和为 8,又 到椭圆的一
个焦点的距离等于 6,故 到椭圆的另一个焦点的距离等于
故选：A
【点睛】本题主要考查椭圆的定义,属于基础题型.
3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 ，腰为 ，上底长为 的等腰
梯形，那么原平面图形的面积为( )
为
2 22 2x y− =
1 0±（ ，） 1±（0， ） (0, 3)± ( 3,0)±
2 22 2x y− =
2 22 2x y− =
2
2 12
yx − = 2 2 2 2 21, 2, 3a b c a b= = = + =
( 3,0)±
2 2
116 8
x y+ = M M
2 8a = 2 8a =
4,2 8a a= = M
M 8 6 2− =
45 2 2
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的图像性质,原平面图形面积为斜二测画法所得面积的 倍,故先求得斜二
测画法梯形的面积再乘以 即可.
【详解】由题意得,斜二测画法内梯形的上底长为 2,高为 ,下底长为
,故斜二测图像内梯形面积 ,故原平面图形面积
.
故选：C
【点睛】本题主要考查原图形面积为斜二测画法内面积的 倍.属于基础题型.
4.设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命
题的是 （ ）
①若 ， ，则 ； ②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ； ④若 ， ， 则 。
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
【答案】B
【解析】
【详解】①错；②对；③对；④错；
5.一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长分别为 3、4、5，则它的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由两两垂直的三棱锥的外接球与此三棱锥外接的长方体的外接球为同一外接球,可直接算得
长方体的体对角线长度的平方 ,再根据外接球表面积公式即可算得.
3 2 6 6 2 12 2
2 2
2 2
2 sin 45 1× ° =
2 2 2 cos45 4+ × ° = 1 (2 4) 1 32S = + × =
0 3 2 2 6 2S = × =
2 2
m n α β
m n⊥ n ⊂ α m α⊥ a α⊥ a β⊂ α β⊥
m α⊥ n α⊥ //m n m α⊂ n β⊂ / /α β //m n
20 2 π 50π 25 2 π 200π
2 2 2 23 4 5D = + +
【详解】由题三条侧棱两两垂直且长分别为 3、4、5 的三棱锥与长宽高分别为 3、4、5 的长
方体外接球相同.且长方体体对角线长 为外接球直径,又 ,
故外接球表面积 .
故选：B
【点睛】本题主要考查三条侧棱两两垂直且长度分别为 时,三棱锥的外接球表面积
.
6.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个
交点，若 ，则 =( )
A. B. C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
作 轴于 点,根据 可求得 进而求得 横坐标,等于 的
横坐标再利用公式即可算得 .
【详解】
由题,设 在第一象限,则作 轴于 点,设准线 交 轴于 ,因为 ,
∥ ,故 ,又 ,故 ,所以 的横坐标也为 1.
利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离有
的
D 2 2 2 23 4 5 50D = + + =
2 24 50S R Dπ π π= = =
, ,a b c
2 2 2( )S a b c π= + +
C 2 8y x= F l P l Q PF C
4FP FQ= | |QF
6 5
2
QM x⊥ M 4FP FQ= 4FN FM= M Q
| |QF
Q QM x⊥ M l x N 4FP FQ=
QM PN 4FN FM= (2,0), ( 2,0)F N − (1,0)M Q
| | =1+2=3QF
故选：C
【点睛】遇到线段有比例关系，如 时,将线段的比例关系转换为 或者 的比值问
题是常见做法.
本题也考查了抛物线上的点 到焦点 的距离 这一知识点.
7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF； ②AB 与 CM 所成的角为 60°；
③EF 与 MN 是异面直线；④MN∥CD．
其中正确的个数为( )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.
【详解】还原正方体,以正方形 为底面有
对①,因为 ∥ ,且 有 ,故①正确.
对②,因为 ∥ ,所以②错误.
对③,由图可得显然正确.
对④, ,故④错误.
4FP FQ= x y
0 0( , )Q x y ( ,0)2
pF 0 2
pd x= +
NACF
AB CM CM EF⊥ AB EF⊥
AB CM
MN CD⊥
故选：B
【点睛】本题主要考查空间中线面的位置关系与夹角,一般利用平行将线段移至相交位置分析
夹角.
8.在长方体 中， ， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹
角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则
,所以 ,
因为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦
值为 ，选 C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空
间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，
求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
9.已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆交渐近
于点 （ 在第一象限）， 交双曲线左支于 ，若 是线段 的中点，则该双
曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画图分析,先算得 的坐标,再代入双曲线方程化简即可得离心率.
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= = 1 3AA = 1AD 1DB
1
5
5
6
5
5
2
2
1 1(0,0,0), (1,0,0), (1,1, 3), (0,0, 3)D A B D 1 1( 1,0, 3), (1,1, 3)AD DB = − =
1 1
1 1
1 1
1 3 5cos , 52 5
AD DBAD DB
AD DB
⋅ − += = =
×
1AD 1DB
5
5
1F 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2F F
by xa
= P P 1PF Q Q 1PF
5 1+ 5 1− 3 3+1
Q
【详解】画出图像,连接 ,则 ,故 ,又直线 的斜率为 ,
故 ,又 ,所以 ,又 在双曲线 上,
故 ,化简得 ,
故 .因 ,故解得
故选：A
【点睛】本题主要考查表达点的坐标代入双曲线方程进行化简求离心率的方法,属于中等题型.
10.如图，三棱柱 满足棱长都相等且 平面 ，D 是棱 的中点，E
是棱 上的动点．设 ，随着 x 增大，平面 BDE 与底面 ABC 所成锐二面角的平面角是
( )
A. 先增大再减小 B. 减小 C. 增大 D. 先减小再
增大
【答案】D
【解析】
【分析】
为
2PF 1 2PF PF⊥ 1 2
1
2 FO cFP = = OP b
a
( , )P a b 1( ,0)F c− ( , )2 2
a c bQ
−
( , )2 2
a c bQ
− 2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2 2
2 2 2 2( )
4 4
a c bb a a b
−⋅ − ⋅ = 2 2 2 2 2 2( ) 5 4 2 0b a c a b a ac c⋅ − = ⇒ − − + =
2 2 4 0e e− − = 0e > 1 5e = +
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC 1CC
1AA AE x=
可直接建立空间直角坐标系求解平面 BDE 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值 关于 的
函数,再分析函数的单调性即可.
【详解】以 中点 为坐标原点, 分别为 轴,并垂直向上作 轴建立空间直角
坐标系.
设所有棱长均为 2,则 , , ,设平面 BDE 法向量
则 ,令 有 ,
故 .又平面 ABC 的法向量 ,故平面 BDE 与底面 ABC 所成
锐二面角的平面角 的余弦值
,又 ,故 在 上单增, 上单减,即随着 x 增
大先变大后变小,所一以 随着 x 增大先变小后变大.
故选：D.
【点睛】本题主要考查建立空间直角坐标系求二面角以及二次函数的单调性问题等,属于综合
题型.
二、填空题
11.双曲线 的渐近线方程为_____，设双曲线 经过点
(4,1),且与双曲线 具有相同渐近线,则双曲线 的标准方程为_______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)由焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程可得；(2)设 ,代入点 求得 即可.
cosθ x
AC O ,OB OC ,x y z
(0,2)x∈ ( 3, 1, 1)DB = − − (0, 2, 1)DE x= − −
( , , )n a b c= 2 ( 1) 00
0 3
b c xn DB
n DE a b c
− + − = ⋅ = ⇒ ⋅ = = +
2 3c =
1
3( 1)
2 3
a x
b x
c
= +
= −
=
( 1, 3( 1),2 3)n x x= + − (0,0,1)m =
θ
2 2 2
2 3 3cos
( 1) 3( 1) 12 4
m n
m n x x x x
θ ⋅= = =
+ + − + − +
2
3
1 15( )2 4x
=
− + (0,2)x∈ cosθ 1(0, )2x∈ 1( ,2)2x∈
θ
:C
2
2 14
xy − = 1 :C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
C 1C
1
2y x= ± 22
112 3
yx − =
y
2
2
4
xy λ− = (4,1) λ
【详解】(1)双曲线 的焦点在 轴上,且 ,渐近线方程为 ,
故渐近线方程为
故答案为：
(2)由双曲线 与双曲线 具有相同渐近线,可设 ,代入 有
,故 ,化简得
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线 渐近线的方程为 ,
与 共渐近线方程可设为
12.若一个圆柱的侧面展开图是边长为 2 的正方形，则此圆柱的体积是______；若一个圆锥的
侧面展开图是圆心角为 ，半径为 1 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是
_______．
【答案】 (1). (2). 4:3
【解析】
【分析】
(1)由题可得圆柱高为 2,再计算得出底面半径为 即可求得体积.
(2)设圆锥底面半径为 再表达出展开后的扇形半径列式即可求得底面半径 ,再计算出表面
积与侧面即即可.
【 详 解 】 (1) 设 底 面 半 径 为 , 则 由 题 意 , , 故 , 又 高 为 2, 所 以 体 积
,
故答案为：
(2)设圆锥底面半径为 ,则底面周长 ,故展开后的扇形弧长 ,又圆心角为
:C
2
2 14
xy − = y 1, 2a b= = ay xb
= ±
1
2y x= ±
1
2y x= ±
1C C
2
2
1 : 4yC x λ− = (4,1)
2
2 41 34
λ λ− = ⇒ = −
2
1
2: 34
xC y − = − 22
112 3
yx − =
22
112 3
yx − =
2 2
2 2 1y x
a b
− = ay xb
= ±
2 2
2 2 1y x
a b
− =
2 2
2 2
y x
a b
λ− =
120°
2
π
r
r r
r 2 2rπ = 1r π=
21 22V π π π
= × =
2
π
r 2C rπ= 2C rπ=
且半径为 1,故 ,所以 .故圆锥侧面积 ,
表面积 ,故表面积与侧面积的比是
故答案为：4:3
【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥 体积表面积公式,需要注意设半径为 方便列式计算,属
于基础题型.
13.一个几何体的三视图如图所示，
则该几何体的表面积为______，体积为______．
【答案】 (1). 10＋4 ＋2 (2). 4
【解析】
【分析】
由题可得该几何体为四棱锥,分别算出四个侧面与底面面积即可算得表面积,再利用体积公式
求解即可.
【 详 解 】 (1) 在 长 方 体 中 画 出 四 棱 锥 直 观 图 , 可 知 表 面 积
, 其 中 均 为 直 角 三 角 形 ,
为 等 腰 三 角 形 , 取 中 点 有 底 长 , 高 , 即 可 求 得 面 积
10＋4 ＋2 ,
故答案为：10＋4 ＋2
的
2120 3
π° = 2 2=1 3
rπ π 1
3r = 1
1 11 22 3 3S
ππ= × × × =
2
2
1 4
3 3 9S
π π π = + × =
2
1
4
49
3
3
S
S
π
π= =
r
2 3
ABC ABE ACD AED BCDES S S S S S= + + + +
, ,ABC ABE ACD
ADE AE O 2 6AE = 2OD =
1 2 6 2 2 32ADES = × × =
1 1 1 12 2 2 2 4 2 2 2 3 (2 4) 22 2 2 2
= × × + × × + × × + + × + × = 2 3
2 3
(2)该立体图形为四棱锥,故 .
故答案为：4
【点睛】本题主要考查立体几何的图形画法以及表面积体积计算.经常放到长方体中画出棱锥,
且注意在算表面积时三角形经常为直角或者等腰三角形,等腰三角形需要作底边上的高计算
面积.
14.方程 |x+1|＋|y-1|＝2 表示的曲线围成的图形对称中心的坐标为_______，面积为
_____．
【答案】 (1). (2). 8
【解析】
【分析】
由题可知,分别令 即可算得对称中心的坐标,又画图得图形为边长为 的
正方形即可算得面积.
【详解】(1)由 画出图形,故对称中心
为
1 1 6 2 43 3A BCDE BCDEV S AC− = × × = × × =
( 1,1)−
1 0, 1 0x y+ = − = 2 2
1 1 2,( 1, 1)
1 1 2,( 1, 1)1 1 2 1 1 2,( 1, 1)
1 1 2,( 1, 1)
x y x y
x y x yx y x y x y
x y x y
+ + − = ≥ − ≥
+ − + = ≥ − > 1x y+ = Γ ,M N
MN Γ 3
2
a
101, 2
MN
,a b 3
2
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y MN
2 2
2 2 1
1
x y
a b
x y
+ =
+ =
y
2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0a b x a x a a b+ − + − =
2 2 2
1 2 2 2
a a bx x a b
−⋅ = +
> 0∆ 2 2 1a b+ >
MN
2 2
2 2 1
1
x y
a b
x y
+ =
+ =
x 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0a b y b y b a b+ − + − =
2 2 2
1 2 2 2
b a by y a b
−⋅ = + MN 0OM ON⋅ =
故 ,即 ,化简得 .
又椭圆离心率 不大于 ,故 ,即 ,
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系问题,重点在于设而不求,先翻译题目条件,用坐
标去表示所给条件,列出对应的不等式,再联立方程利用伟大定理代换即可求解.属于综合题
型.
三、解答题
18.如图，已知三棱锥 ，平面 平面 ， ，
．
（1）证明： ；
（2）设点 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)由题可利用余弦定理计算 ,再利用勾股定理证明 ,进而得到 平面
,进而证明
(2)由(1)可知 面 ,故可以 为坐标原点建立空间直角坐标系,求出 对应的向量
1 2 1 2 0x x y y⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2+ 0a a b b a b
a b a b
− − =+ +
2
2
22 1
ab a
= −
2
21 be a
= − 3
2
2
2
31 2
b
a
− ≤ 2 2 21
4a b a> ≥
2
2 2 2
2
1 101 2 1 4 12 1 4 2
aa a a aa
> ≥ ⇒ < − ≤ ⇒ < ≤− 101, 2 P ABC− PAC ⊥ ABC 1 22AB BC PA PC= = = = 120ABC∠ = ° PA BC⊥ E PC AE PBC 21 7 AC PA AC⊥ PA ⊥ ABC PA BC⊥ PA ⊥ ABC A AE
与面 的法向量即可求得 与平面 所成角的正弦值.
【详解】(1) , ,由余弦定理得
,故 .
又 ,故 .又平面 平面 ,且平面
平面 ,故 平面 .又 平面 ,故 .
证毕.
(2)由(1)有 平面 ,故以 为坐标原点,垂直 为 轴, 为 轴正向,
为 轴正向建如图空间直角坐标系.
则 , , , , .
故 , , ,
设平面 的法向量 则 ,
令 有 ,故 ,设 与平面 所成角为 ,则
故答案为：
【点睛】本题主要考查线面垂直的一般证明方法,包括线线垂直与勾股定理等基本方法.
一般求解先与面的夹角的正弦值,均先求直线的向量与平面法向量,再根据直线与法向量的夹
角的余弦值等于直线与平面夹角的正弦值求得即可.
PBC AE PBC
2AB BC= = 120ABC∠ = °
2 2 2 2 cos 12AC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ∠ = 2 3AC =
2 2 24 12 16PA AC PC+ = + = = PA AC⊥ PAC ⊥ ABC PAC
ABC AC= PA ⊥ ABC BC ⊂ ABC PA BC⊥
PA ⊥ ABC A ,AC AP x AC y AP
z
(0,0,0)A (1, 3,0)B (0,0,2)P (0,2 3,0)C (0, 3,1)E
(0, 3,1)AE = (0,2 3, 2)PC = − ( 1, 3,0)BC = −
PBC ( , , )m x y z= 2 3 2 00
0 3 0
y zm PC
m BC x y
− =⋅ = ⇒ ⋅ = − + =
1y =
3
1
3
x
y
z
=
=
=
( 3,1, 3)m = AE PBC θ
( ) ( ) ( )2 2 22
2 3 21sin 73 1 3 1 3
AE m
AE m
θ = = =
+ + +
21
7
19.过椭圆 的焦点 且垂直于长轴的直线交椭圆于 两点，
线段 的长度为 1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 经过定点 ，且与椭圆 交于 两点， 为原点，求三角形 面积的最
大值.
【答案】(1) ；(2)1
【解析】
【分析】
(1)由题得 ,且 为通经长 再化简求值即可
(2)根据题意先分析斜率不存在时的情况,再联立方程求得韦达定理与判别式,再根据
列出面积表达式代入韦达定理运算,最后关于斜率的函数表达式可用基
本不等式求最值即可.
【 详 解 】 (1) 由 题 得 , 故
,
因为 所以 , ,故椭圆方程
(2) 当直线 斜率不存在时,无三角形 ,当直线 斜率存在时,设 ,
则联立直线 与椭圆方程 ,消去 得 ,故
,且 化简得 .故
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ( 3,0) ,M N
MN
C
l (0,2) C ,A B O OAB
2
2 14
x y+ =
3c = MN
22b
a
OAB OPB OPAS S S= −
223, 1bc a
= =
2
22( 3) 1 2 6 0 (2 3)( 2) 0a a a a aa
− = ⇒ − − = ⇒ + − =
0a > 2a = 2 2 1b a c= − =
2
2: 14
xC y+ =
l OAB l : 2l y kx= + (0,2)P
AB
2
2 14
2
x y
y kx
+ =
= +
y 2 2(4 1) 16 12 0k x kx+ + + =
1 2 1 22 2
16 12,4 1 4 1
kx x x xk k
−+ = =+ + ( ) ( )2 216 4 4 1 12 0k k∆ = − + > 2 3
4k >
2 2
1 2 1 2 1 2 2 2
1 1 2 ( ) 4 = ( ) 42 2
16 12
4 1 4 1OAB OPB OPAS S S OP x x x kx kx kx= − = − = × + − − ×−
+ +
,
当且仅当 即 时取得“=”.
故三角形 面积的最大值为 1.
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，联立方程表达出面积
可用简化计算,同时最后求最值时基本不等式是常用做法.
20.已知抛物线 ,,过点 A(1,1)．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）如图，直线 与抛物线 交于 两个不同点（均与点 不重合），设直线
的斜率分别为 且 ，求证直线 过定点，并求出定点.
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4 3 4 4 3 4 4 144 1 4 3 4 44 3 2 4 34 3 4 3
k k
k k k kk k
− −= = = ≤ =+ − + − + − ×− −
2
2
44 3
4 3
k
k
− =
−
2 2 74 3 4, 4k k− = =
OAB
OAB OPB OPAS S S= −
2: 2C y px=
MN C ,M N A ,AM AN
1 2,k k 1 2 3k k+ = MN
2y x= 1 2( , )3 3
−
(1)将点 代入 即可
(2)设直线 : ,联立直线与抛物线方程,表达出 ,再化简代入韦达定理算得
,再代入直线方程即可求得定点.
【详解】(1) 将点 代入 有 ,故抛物线方程为：
(2)设 直线 : .联立 有 ,
且
因为 ,同理 .由 得
,
化简得 .所以直线 : ,
故 过定点
【点睛】本题主要考查定点定值问题,联立方程列出韦达定理,设而不求翻译条件,再代入韦达
定理求解相关量的关系,属于综合题型.
21.如图,四棱锥 中， , ， ，△ 是等边
三角形， 分别为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正切值．
(1,1) 2: 2C y px=
MN x ty m= +
1 2,k k
2 1
3
tm
+=
(1,1) 2 2y px= 1 2p= 2y x=
2 2
1 1 2 2( , ), ( , )A y y B y y ， MN x ty m= +
2
x ty m
y x
= +
=
2 0y ty m− − =
2
1 2 1 24 0, ,t m y y t y y m∆ = + > + = = −
1 1
1 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
y yk x y y
− −= = =− − + 2
2
1
1k y
= + 1 2 3k k+ =
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 21 1 2 31 1 (1 ) (1 ) 1 1
y y y y tk k y y y y y y y y m t
+ + + + ++ = + = = = =+ + + + + + + − + +
2 1
3
tm
+= MN 2 1 2 1( )3 3 3
tx ty m ty t y
+= + = + = + +
MN 1 2( , )3 3
−
P ABCD− / /AB CD AB AD⊥ 2 2BC CD AB= = = PAD
,M N ,BC PD
/ /MN PAB
P AD C－ － 3
π
MN PAD
【答案】（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）3.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取 中点 ，连接 、 ，根据线面平行的判定定理，得到平面 平面
，进而可得 平面 ；
（Ⅱ）连接 ，根据题意得到 是二面角 的平面角，过点 作
于 ，得到 平面 ， 是直线 与平面 所成角的平面角，
再由题中数据，即可求出结果.
【详解】（Ⅰ）取 中点 ，连接 、 ．
由于 ， ， ， ，
从而平面 平面 ．
又 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）连接 ．
由于 ， ，
则 是二面角 的平面角， ， 是边长为 的正三角形，
且 平面 ．
又 平面 ，则平面 平面 ．
过点 作 于 ，则 ， 平面 ， 是直线 与平面
所成角的平面角．
AD E EN EM / /PAB
EMN / /MN PAB
PM PEM∠ P AD C− − M
MF PE⊥ F MF ⊥ PAD MNF∠ MN PAD
AD E EN EM
/ /EN AP / /EM AB AP AB A∩ = EM EN E∩ =
/ /PAB EMN
MN ⊆ EMN
/ /MN PAB
PM
PE AD⊥ ME AD⊥
PEM∠ P AD C− −
3PEM
π∠ = PEM∆ 3
2
AD ⊥ PEM
AD ⊆ PAD PEM ⊥ PAD
M MF PE⊥ F 3 3
4MF = MF ⊥ PAD MNF∠ MN
PAD
由于 分别是 的中点，则 ，从而 ，即直
线 与平面 所成角的正切值为 3.
【点睛】本题主要考查线面平行的证明以及直线与平面所成的角，熟记判定定理以及几何法
求线面角即可，属于常考题型.
22.已知椭圆 的短轴长为 ，右焦点 与抛物线 的焦点
重合， 为坐标原点
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 、 是椭圆 上的不同两点，点 ，且满足 ，若 ，
求直线 的斜率的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题设可直接得到 的值，从而得到 的值，据此可得椭圆的方程.
（2）设 的方程为 ，联立直线方程和椭圆方程并消去 ，利用韦达定理和向
量关系得到 的关系式，最后利用 的范围得到 的取值范围.
【详解】（1）由已知得 ，所以 ,椭圆的方程为 .
,N F ,PD PE 1 3
2 4NF DE= = tan 3MFMNF NF
∠ = =
MN PAD
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 3 F 2 4y x=
O
C
A B C ( 4,0)D − DA DBλ= 3 1,8 2
λ ∈
AB
2 2
14 3
x y+ = 5 21 21 5, ,6 22 22 6
− −
,b c a
AB ( 4)y k x= + x
,k λ λ k
3, 1b c= = 2a =
2 2
: 14 3
x yC + =
（2）∵ ，∴ 三点共线，而 ，且直线 的斜率一定存在，所以
设 的方程为 ，与椭圆的方程 联立得
，由 ，得
设 ， ①
又由 得： ，∴ ②.
将②式代入①式得:
消去 得 ，
当 时， 是减函数，所以 ，
∴ ，解得 ，
又因为 ，所以 ，即 或 ，
∴直线 的斜率的取值范围是 .
【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆
锥曲线的位置关系中的定点、定值、范围问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于 或
的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，
该关系中含有 或 ，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方
程（或函数），从而可求定点、定值、范围问题.
DA DBλ= , ,D A B ( 4,0)D − AB
AB ( 4)y k x= + 2 2
14 3
x y+ =
2 2 2(3 4 ) 24 36 0k y ky k+ − + = ( )2144 1 4 0k∆ = − > 2 1
4k < ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 1 2 1 22 2 24 36,3 4 3 4 k ky y y yk k + = ⋅ =+ + DA DBλ= 1 1 2 2( 4, ) ( 4, )x y x yλ+ = + 1 2y yλ= 2 2 2 2 2 2 24(1 ) 3 4 36 3 4 ky k ky k λ λ + = + = + 2y ( )2 2 116 1 23 4k λ λλ λ += = + ++ 3 1,8 2 λ ∈ ( ) 1 2h λ λλ= + + ( )9 121 2 24h λ≤ ≤ 2 9 16 121 2 3 4 24k ≤ ≤+ 221 5 484 36k≤ ≤ 2 1 4k < 221 5 484 36k≤ ≤ 5 21 6 22k− ≤ ≤ − 21 5 22 6k≤ ≤ AB 5 21 21 5, ,6 22 22 6 − − x y 1 2 1 2,x x x x+ 1 2 1 2,y y y y+
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