太和中学高三一轮复习质量诊断考试数学试卷（理科）
一、选择题
1.已知全集 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简 ,根据 A 求出 ,再求出 .
【详解】 全集 ， ，
.又 ，
.
故选 A.
【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算,容易忽视全集 U 中的 .属于基础题.
2.“ ，使得 ” 否定是（ ）
A. ，使得
B. ，使得
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
将存在量词改为全称量词,再否定结论,即可得到.
【 详 解 】 “ ， 使 得 ” 的 否 定 是 “ ， 使 得
”.
故选 B.
的
{ }2 6U x N x= ∈ − < < { }2,4A = { }1,3,4B = ( )U A B = { }1,3 { }1,5 { }3,5 { }1,3,5 U UC A ( )U A B∩ { } { }2 6 0,1,2,3,4,5U x x= ∈ − < < =N { }2,4A = { }0,1,3,5U A∴ = { }1,3,4B = ( ) { }1,3U A B∴ = x∈N ( )2,x∃ ∈ +∞ 2 2 0x x+ >
( ]0 ,2x∃ ∈ −∞ 2
0 02 0x x− ≤
( )2,x∀ ∈ +∞ 2 2 0x x+ ≤
( )0 2,x∃ ∈ +∞ 2
0 02 0x x− ≤
( ],2x∀ ∈ −∞ 2 2 0x x+ >
( )2,x∃ ∈ +∞ 2 2 0x x+ > ( )2,x∀ ∈ +∞
2 2 0x x+ ≤
【点睛】本题考查了存在量词命题的否定,解题方法是:将存在量词改为特称量词,再否定结论.
如果命题中没有量词,要根据题意先加上量词.属于基础题.
3.已知在等差数列 中， ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意构造关于 的方程组，即可得出答案．
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ， .故选 B.
【点睛】本题考查基本量法求等差数列的通项公式，根据题意构造方程组，即可得，属于基
础题．
4.已知某扇形的面积为 ，若该扇形的半径 ，弧长 满足 ，则该扇形圆
心角大小的弧度数是（）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
由扇形的面积公式 构造关于 ， 的方程组，解出方程，由圆心角 即可算出圆
心角大小的弧度数．
【详解】据题意，得 解得 或 所以 或 .故选 D.
【点睛】本题考查扇形的面积公式 以及弧长公式 ，方程思想，牢记公式是解
答本题的关键．
5.函数 的一个零点所在区间为（ ）
{ }na 1 9 10a a+ = 2 1a = − 1n na a+ − =
1 2 3 4
1,a d
{ }na d 1
1
2 8 10
1
a d
a d
+ =
+ = −
1 3
2
a
d
= −∴ = 1 2n na a+∴ − =
22.5 cm r l 2 7 cmr l+ =
4
5 5 1
2
4
5 5
1
2S lr= r l l
r
α =
2 7,
1 2.5,2
l r
lr
+ = =
5 ,2
2
r
l
=
=
1,
5,
r
l
=
=
4
5
l
r
= 5
1
2S lr= l rα=
( ) 3 2 4f x x x x= − −
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令 ,将 化为 ,根据零点存在性定理可得 的一个零点
在区间 内,又 的零点也是 的零点,所以函数 的一个零点
所在区间为 .
【详解】因为 ，
令 ，则 ， ， ， ， .
又函数 的图象是一条连续不断曲线，且 ,
所以根据零点存在性定理可得, 有一个零点在区间 内，
又 的零点也是 的零点,
所以 的一个零点所在区间为 .
故选 A.
【点睛】本题考查了零点存在性定理,解题关键是转化为判断 的零点所在的
区间.属基础题.
6.如图，若 ， ， ， 是线段 靠近点 的一个四等分点，则下列等
式成立的是（）
A. B.
( )2,0− ( )1,0− ( )0,1 ( )1,2
2( ) 4g x x x= − − ( )f x ( ) ( )f x xg x= ( )g x
( 2,0)− ( )g x ( )f x ( ) 3 2 4f x x x x= − −
( 2,0)−
( ) ( )3 2 24 4f x x x x x x x= − − = − −
( ) 2 4g x x x= − − ( )2 2g − = ( )1 2g − = − ( )0 4g = − ( )1 4g = − ( )2 2g = −
( )g x ( 2) (0) 2 ( 4) 8 0g g− ⋅ = × − = − < ( )g x ( 2,0)− ( )g x ( )f x ( ) 3 2 4f x x x x= − − ( 2,0)− 2( ) 4g x x x= − − OA a= OB b= OC c= B AC C 2 1 3 6c b a= − 4 1 3 3c b a= +
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算即可求出答案.
【 详 解 】
.故选 C.
【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属
于基础题型．
7.若 ，且 为第三象限角，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据 的值以及 所在的象限,由同角公式解得 ,再由同角公式解得 ,然后根
据两角和的正切公式可得.
【详解】因为 ， 为第三象限角，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选 D.
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式,属基础题.
8.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线 于 ， 两点， 为坐标
4 1
3 3c b a= − 2 1
3 6c b a= +
1
3c OC OB BC OB AB= = + = + ( )1 4 1
3 3 3OB OB OA OB OA= + − = −
4 1
3 3b a= −
4cos 5
θ = − θ πtan 4
θ +
1
7
1
7
− 7− 7
cosθ θ sinθ tanθ
4cos 5
θ = − θ 2 3sin 1 cos 5
θ θ= − − = −
sin 3tan cos 4
θθ θ= =
π 3tan tan 1π 4 4tan 7π 34 1 tan tan 14 4
θ
θ
θ
+ + + = = = − ⋅ −
2: 4C y x= F F C A B O
原点，若 的面积为 ，则线段 的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
当直线 垂直于 轴时,经计算可知不符合题意;
当直线 不垂直于 轴时，设 方程为 ,求出原点 O 到直线 AB 的距
离 ,联立直线 AB 与抛物线 C 的方程,根据韦达定理以及弦长公式求出弦长 AB,然后根据面积
列方程可解得 ,再代入 ,可得.
【详解】当直线 垂直于 轴时， ，不符合题设；
当直线 不垂直于 轴时，设 方程为 ，即 .
点 到直线 距离 .
联立 得 ，
设 ,
则由韦达定理得, , ,
所以由弦长公式得,
,
因为 的面积为 ,
AOB∆ 3 2
2
AB
9 4 9
2 8
AB x
AB x AB ( )1 ( 0)y k x k= ≠−
d
2 8k =
2
2
4(1 )| | kAB k
+=
AB x ( )1 2 2 1 22AOBS∆ = × + × =
AB x AB ( )1 ( 0)y k x k= ≠− kx y k 0− − =
( )0,0 AB 2 1
kd
k
=
+
( )
2
1 ,
4 ,
y k x
y x
= −
=
( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + =
1 1( , ),A x y 2) 2( , )B x y
2
1 2 2
(2 4)kx x k
− ++ =
2
1 2 2 1kx x k
= =
2 2
1 2 1 21 ( ) 4AB k x x x x= + ⋅ + −
2
2 2
2
(2 4)1 ( ) 4 1kk k
− += + ⋅ − ×
2
2
4(1 )k
k
+=
AOB∆ 3 2
2
所以 ，所以 ，
所以 .
故选 C.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,韦达定理,弦长公式,点到直线的距离,三角形
面积公式,属中档题.
9.已知在矩形 中， ， ，若 ， 分别为 ， 的中点，则
（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由平面向量的线性运算得 ， ，利用平面向量的数量积运算法
则进行计算．
【 详 解 】 据 题 意 ， 得
.故选 B.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，属于基础题．
10.已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， 的面
积等于 ，则 外接圆的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角形面积公式 ，算出边 ，再根据余弦定理得出边 ，然后利用
即可算出 外接圆的半径．
2
2 2
1 4 4 3 2
2 21
kk
k k
+× × =
+
2 8k =
9
2AB =
ABCD 4AB = 2AD = E F AB BC
DE DF⋅ =
8 10 12 14
DE DA AE= + DF DC CF= +
( ) ( )DE DF DA AE DC CF⋅ = + ⋅ + = DA DC DA CF⋅ + ⋅ +
AE DC AE CF⋅ + ⋅
0 2 1 cos0= + × × 2 4 cos0 0 10+ × × + =
ABC∆ A B C a b c π
3A = 2b = ABC∆
2 3 ABC∆
16π 8π 6π 4π
1 sin2ABCS bc A∆ = c a
2sin
a RA
= ABC∆
【 详 解 】 在 中 ， ， ， ，
，解得 ， .设
外接圆的半径为 ，则 ， ， 外接圆的面积为 .故选 D.
【点睛】本题考查解三角形，着重考查正弦定理与余弦定理，考查三角形的面积公式，属于
中档题．
11.一艘轮船从 出发，沿南偏东 的方向航行 40 海里后到达海岛 ，然后从 出发，沿
北偏东 35°的方向航行了 海里到达海岛 ．如果下次航行直接从 出发到 ，此船航
行的方向和路程（海里）分别为（ ）
A. 北偏东 ，
B. 北偏东 ，
C. 北偏东 ，
D. 北偏东 ，
【答案】C
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 可 知 ， 在 中 ， ， 所 以
． ，所以
，所以下次航行直接从 出发到 ，航向为北偏东 ．故选 C．
考点：正余弦定理
12.若函数 在区间 上有两个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
ABC∆ 1 sin 2 32ABCS bc A∆ = = 2b = π
3A =
1 π2 sin 2 32 3c∴ × × × = 4c = 2 2 2 cos 4 16 8 2 3a b c bc A∴ = + − = + − =
ABC∆ R
2 32
3
2
R =
2R∴ = ABC∆∴ 4π
A 70° B B
40 2 C A C
80° ( )20 6 2+
65° ( )20 3 2+
65° ( )20 6 2+
80° ( )20 3 2+
105ABC∠ = ° ABC 40, 40 2AB BC= =
( ) ( )22 2 2 22 cos 40 40 2 2 40 40 2 cos 60 45 3200 1600 3AC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × °+ ° = +
( )20 6 2AC∴ = + sin 2sinsin sin 2
BC AC AC ABCBACBAC ABC BC
⋅= ⇒ ∠ = =∠
45BAC∠ = ° A C 65°
( ) 2 3
3log 6 9 4f x x x x x a= + − − + − ( ]0,3
a
( ]0,5 ( ),5−∞ ( )0,5 [ )5,+∞
【解析】
【分析】
将函数 在 上有两个不同的零点转化为关于 的方程
在区间 上有两个不同的实数根.再构造函数 ,再转化为函
数 与函数 的图象在 上有两个不同的交点.利用导数求得 在
处取得最大值 ,根据图象可知: 且 ,从而可解得 的范围.
【详解】因为函数 在区间 上有两个不同的零点,
所以关于 的方程 在区间 上有两个不同的实数根.
引入函数 ，
所以函数 与函数 的图象在 上有两个不同的交点,
.
讨论：当 时， ， 在区间 上单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， 在 处取得极大值，也是最大值 .
又函数 与函数 的图象在 上有两个不同的交点,
如图:
( )f x (0,3] x 3 2
3log 6 9 4x x x x a= − + − +
( ]0,3 ( ) 3 26 9 4G x x x x a= − + − +
3| log |y x= ( )y G x= (0,3] ( )g x
1x = (1)G a= 0a > (1) 1G ≤ a
( ) 2 3
3log 6 9 4f x x x x x a= + − − + − ( ]0,3
x 3 2
3log 6 9 4x x x x a= − + − + ( ]0,3
( ) 3 26 9 4G x x x x a= − + − +
3| log |y x= ( )y G x= (0,3]
( ) 23 12 9G x x x′∴ = − +
1 3x< < ( ) 0G x′ < ( )G x ( )1,3 0 1x< < ( ) 0G x′ > ( )G x ( )0,1
∴ ( ]0,3x∈ ( )G x 1x = ( )max (1)G x G a= =
3| log |y x= ( )y G x= (0,3]
，且 ，
.
故选 A.
【点睛】本题考查了函数的零点,利用导数研究函数的最值.解题关键是转化为两个函数的图
象的交点个数来做,最后通过两个函数在 和 时的函数值的大小关系满足的条件可
解决.属较难题.
二、填空题
13.已知平面向量 ， ，若 ，则实数 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
由两向量垂直则两向量的数量积为零，根据向量的数量积的坐标运算得到方程，解出即可．
【详解】据题意， 得 ，解得 .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、向量垂直的充要条件，属基础题．
14.二项式 的展开式中的常数项是 __________．
【答案】45
【解析】
二 项 式 的 展 开 式 中 通 项 公 式 为
.
令 ．解得 .
所以当 时，二项展开式的常数项为 .
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r＋1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r＋1 项，由
特定项得出 r 值，最后求出其参数.
(1) 0G a∴ = > 3 2(3) 3 6 3 9 3 4 1G a= − × + × − + ≤
0 5a∴ < ≤ 1x = 3x = ( )4, 3a = − ( ),2b x= − a b⊥ x = 3 2 − a b⊥ · 0a b∴ = ( ) ( )4, 3 ,2 4 6 0x x− ⋅ − = − − = 3 2x = − 2 101( )x x − 10 21 x x − 1 5 10(10 )10 2 22 2 1 10 10 10 1( ) ( ) ( 1) ( 1) rrr r r r r r r r rT C x C x x C x x −− −− + = ⋅ − = − ⋅ ⋅ = − 5 10 02 r − = 2r = 2r = 2 2 2 1 10( 1) 45T C+ = − =
15.化简： __________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数值可以化简 ,
根据诱导公式可以化简 , , ,然
后代入原式可化简得.
【详解】
【点睛】本题考查了两角差的正弦公式以及诱导公式,属基础题.
16.已知奇函数 在定义域 上单调递增，若
对任意的 成立，则实数 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数且在 上单调递增，将函数不等式转化为自变量的不等式，参变分
离，将不等式转化为 在 恒成立问题，结合二次函数在
闭区间上求最值的方法，即可得到 的最小值．
【 详 解 】 ， .
又 是奇函数， .又 是定义域 上的增函数，
.
( )
( )
3πsin cos π2
πsin π cos 2
θ θ
θ θ
− − = + −
2
2
cos
sin
θ
θ
3sin( ) cos2
πθ θ− =
cos( ) cosπ θ θ− = − sin( ) sinθ π θ+ = − cos( ) sin2
πθ θ− =
( )
( )
( )
( )
3π 3π 3πsin cos π sin cos cos sin cos2 2 2
π sin cos π cos sin π cos( )sin π cos 22
θ θ θ θ θ
πθ θ θθ θ
− − − − =
+ −+ −
( ) 2
2
cos cos cos
sin sin sin
θ θ θ
θ θ θ
⋅ −= =− ⋅
( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )sin cos2 sin 0f x x f x m+ + + ≥
( ),x∈ −∞ +∞ m
3
( ),−∞ +∞
22sin 2sin 1m x x≥ − − ( ),x∈ −∞ +∞
m
( ) ( )sin cos2 sin 0f x x f x m+ + + ≥ ( ) ( )sin cos2 sinf x x f x m∴ + ≥ − +
( )f x ( ) ( )sin cos2 sinf x x f x m∴ + ≥ − − ( )f x R
，
.令 ， 当
时， ， ， 实数 的最小值为 .
【点睛】本题在已知函数 的单调性与奇偶性的前提下，解决一个不等式恒成立的问题，
着重考查了函数的单调性和奇偶性，二次函数在闭区间上求最值等知识，属于一般题．
三、解答题
17.已知 ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由题可得 ，把已知等式化弦为切求解；
（2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切计算．
【详解】（1） ，
，
.
sin cos2 sinx x x m∴ + ≥ − −
22sin 2sin 1m x x∴ ≥ − − ( ) 2
2 1 32sin 2sin 1 2 sin 2 2g x x x x = − − = − −
∴
sin 1x = − ( )max 3g x = 3m∴ ≥ ∴ m 3
( )f x
tan 11 tan
θ
θ =−
sin cos
sin cos
θ θ
θ θ
−
+
( ) ( ) 2 πsin π cos π cos 22
θ θ θ − + − + −
1
3
− 13
5
−
tanθ
tan 11 tan
θ
θ =−
1tan 2
θ∴ =
sin cos tan 1
sin cos tan 1
θ θ θ
θ θ θ
− −∴ =+ +
1 12
1 12
−
=
+
1
3
= −
（2）
.
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
18.已知函数 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）当 时，求函数 的最小值.
【答案】（1） （2）函数 的最小值是
【解析】
【分析】
（1）求出函数 的导函数 ，令 解不等式，即可得函数 的单调递减
区间．
（2）根据（1）中的 ，可求函数的单调区间、极值点，列表表示；计算函数 在区
间端点的函数值，与极小值比较即可得到最小值．
【详解】解：（1） ，
.
令 ，得 .
( ) ( ) 2 πsin π cos π cos 22
θ θ θ − + − + − =
2sin cos sin 2θ θ θ− − −
( )2 2 2sin sin cos 2 cos sinθ θ θ θ θ = − + + +
2 2
2 2
3sin sin cos 2cos
sin cos
θ θ θ θ
θ θ
+ += − +
2
2
3tan tan 2
tan 1
θ θ
θ
+ += − +
1 13 24 2
1 14
× + +
−
+
13
5
= −
( ) 3 22 3 4f x x x= − +
( )f x
[ ]1,2x∈ − ( )f x
( )0,1 ( )f x 1−
( )f x ( )f x′ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x′ ( )f x ( ) 3 22 3 4f x x x= − + ( ) 26 6f x x x′∴ = − ( ) 0f x′ < 0 1x<
π
4
ω
（2）将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标
变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
(1)先根据二倍角的正弦公式,正弦的降幂公式将 化成 ,再根
据两角和的正弦公式的逆用进一步化成 ,然后利用正弦型函数的周期
公式列等式可得;
(2)根据图象的平移变换(口诀:左加右减)和周期变换 ,可以得到 的解析式,然后可求得
.
【详解】解：（1）
.
又函数 图象两条相邻的对称轴间的距离为 ， ，
所以 ，
即 .
（2）由(1)可知， .
将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度后，
( )f x x π
8
2 ( )g x ( )2019πg
2ω =
1
2
( )f x 1 3sin 2 cos22 2x xω ω= +
π( ) sin 2 3f x xω = +
( )g x
(2019 )g π
( ) 2 3sin cos 3sin 2f x x x xω ω ω= − +
1 3(1 cos2 ) 3sin 22 2 2
xx
ωω −= − +
1 3sin 2 cos22 2x xω ω= +
πsin 2 3xω = +
( )f x π
4 0>ω
π 2π2 4 2ω× =
2ω =
( ) πsin 4 3f x x = +
( )f x x π
8
得到函数 的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标变为到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，
所以
.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式,正弦的降幂公式,两角和的正弦公式以及图象的平移
变换和周期便能换,属于中档题.
21.已知函数 .
（1）若函数 是偶函数，求实数 的值；
（2）若函数 ，关于 的方程 有且只有一个实数根，求实数
的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求 的值；
（2）根据题意方程 有且只有一个实数根，等价于
只有一个实数根，等价于 有且只有一个实数根，令， 则需关
于 的方程 有且只有一个大于 的实数根，结合二次函数的性质来分析．
πsin[4( ) ] sin(4 ) cos 48 3 3 2 3y x x x
π π π π = + + = + + = +
2
( ) πcos 2 3g x x = +
( ) π2019π cos 2 2019π 3g = × +
πcos 3
=
1
2
=
( ) ( )2 42 3
xf x a x a a R= ⋅ − − ∈
( )f x a
( ) 24 1
2
x
xg x x
+= − x ( ) ( )f x g x= a
0a = { }3 1a a a= − >或
a
( ) ( )f x g x= 2 24 4 12 3 2
x
x
xa x a x
+⋅ − − = −
4 1 422 3
x
x
x a a
+ = ⋅ − ( )2 0x t t= >
t ( ) 2 41 1 03a t at− − − = 4
3
【详解】解：（1）因为 是偶函数，
所以 对任意 成立，
所以 对任意的 成立，
所以 对任意的 成立，
所以 .
（2）因为 ， ，
所以 ，
所以
设 ，则有关于 的方程 .
若 ，即 ，则需关于 的方程 有且只有一个大于 的实数
根.
设 ，则 ，
所以 ，
所以 成立，
所以 ，满足题意；
若 ，即 时，解得 ，不满足题意；
若 ，即 时， ，且 ，
的
( ) ( )2 42 3
xf x a x a a R= ⋅ − − ∈
( ) ( )f x f x− = x∈R
( )2 24 42 23 3
x xa x a a x a−⋅ − − − = ⋅ − − x∈R
( )2 2 0x xa −⋅ − = x∈R
0a =
( ) 24 1
2
x
xg x x
+= − ( ) ( )f x g x=
2 24 4 12 3 2
x
x
xa x a x
+⋅ − − = −
42 0,3
4 1 42 .2 3
x
x
x
x
a a
a a
⋅ − > + = ⋅ −
( )2 0x t t= > t ( ) 2 41 1 03a t at− − − =
1 0a − > 1a > t ( ) 2 41 1 03a t at− − − = 4
3
( ) ( ) 2 41 13h t a t at= − − − 4 03h −
所以 .
当 时，关于 的方程 有且只有一个实数根 ，满足题意.
综上，所求实数 的取值范围是 ..
【点睛】本题主要考查偶函数的性质以及指数函数性质的综合应用，同时考查了化归与方程
的思想的综合运用，综合性较强，涉及的知识点较多，属于难题．
22.已知函数 .
（1）求函数 的图象在点 处切线的方程；
（2）讨论函数 的极值；
（3）若 对任意的 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）当 时，函数 取得极小值，且 的极小值为 ，不存在极大值
（3）
【解析】
【分析】
(1)先求导函数 ,然后根据导数的几何意义求得切线的斜率为 ,再根
据直线方程得点斜式求得函数 的图象在点 处切线的方程;
(2)先求得导函数 的零点,再判断零点左右两侧导数的符号,根据导数符号可得极值点,
从而可得极值.
(3) 将 对任意的 成立转化为 对任意的
成立,然后构造函数 ,求导后讨论 得 的单
调性,根据单调性可得.
3a = −
3a = − t ( ) 2 41 1 03a t at− − − = 1
2
a { }3 1a a a= − >或
( ) lnf x x x=
( )f x ( )( )1, 1f
( ) ( ) 23 42g x f x x x= + −
( ) ( )2 1f x m x≤ − [ )1,x∈ +∞ m
1 0x y− − =
1x = ( )g x ( )g x 5
2
−
1 ,2
+∞
( ) 1 lnf x x′ = + (1) 1f ′ =
( )f x ( )( )1, 1f
( )g x′
( ) ( )2 1f x m x≤ − [ )1,x∈ +∞ 1ln x m x x
≤ −
[ )1,x∈ +∞ ( ) ( )1ln 1h x x m x xx
= − − ≥ m ( )h x
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，
所以 .
又 ，
所以函数 的图象在点 处切线的方程为 ，即 .
（2）因为 ，
所以 .
令 ,得 ,
因为 时, , 时, ,
所以函数 在 处取得极小值,极小值为 .不存在极大值.
（3）据题意，得 对任意的 成立，
即 对任意的 成立.
令 ，
所以 .
讨论：
当 时， ，此时 在 上单调递增.
又 ，所以当 时， ，
这与 对任意的 恒成立矛盾；
当 时，二次方程 的判别式 .
若 ，解得 ，此时 ， 在 上单调递减.
又 ，
( ) lnf x x x=
( ) ln 1f x x′ = +
( )1 1f ′ =
( )1 0f =
( )f x ( )( )1, 1f ( )0 1 1y x− = × − 1 0x y− − =
( ) 23ln 42g x x x x x= + −
( ) ( )ln 1 3 4 ln 3 1g x x x x x′ = + + − = + −
( ) ln 3( 1) 0g x x x′ = + − = 1x =
0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x > ( ) 0g x′ >
( )g x 1x = 5(1) 2g = −
( )2ln 1x x m x≤ − [ )1,x∈ +∞
1ln x m x x
≤ −
[ )1,x∈ +∞
( ) ( )1ln 1h x x m x xx
= − − ≥
( ) 2
2 2
1 11 mx x mh x mx x x
− + − ′ = − + =
0m ≤ ( ) 0h x′ > ( )h x [ )1,+∞
( )1 0h = 1x > ( ) 0h x >
( ) 0h x ≤ [ )1,x∈ +∞
0m > 2 0mx x m− + − = 21 4m∆ = −
0∆ ≤ 1
2m ≥ ( ) 0h x′ ≤ ( )h x [ )1,+∞
( )1 0h =
所以当 时， ，满足题设；
若 ，解得 ，此时关于 的方程 的两实数根是
， ，其中 ， .
又分析知，函数 在区间 上单调递增， ，
所以当 时， ，不符合题设.
综上，所求实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,不等式恒成立,构造法,属
于难题.
1x ≥ ( ) 0h x ≤
> 0∆ 10 2m< < x 2 0mx x m− + − = 2 1 1 1 4 2 mx m − −= 2 2 1 1 4 2 mx m + −= 1 1x
( )h x ( )1 2,x x ( )1 0h =
( )21,x x∈ ( ) 0h x >
m 1 ,2
+∞
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