安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试
文科数学试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知复数 为虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对复数 进行乘法运算，并计算得到 ，从而得到虚部为 2.
【详解】因为 ，所以 z 的虚部为 2.
【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意 .
2.设集合 ，则 ( )
A. B. 或 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对集合 通过解绝对值不等式化简为 或 ，再和集合 取交集.
【详解】因为 或 ， ，
所以 .
【点睛】两个集合进行交运算时，注意大于取大、小于取小的原则.
3.已知函数 是定义在 上 奇函数，当 时， ，则 ( )
A. 9 B. -9 C. 45 D. -45
【答案】C
【解析】
的
(1 )(3 )(z i i i= + −
2i 4i
z 4 2z i= +
(1 )(3 ) 4 2z i i i= + − = +
2 1i = −
{ } { }| 1 , | 1M x x N x x= ≥ = < M N = { }| 1x x < { | 1x x < }2x ≥ { }|0 1x x≤ < { }| 1x x ≤ − M { | 1M x x= ≥ 1}x ≤ − N { | 1} { | 1M x x x x= ≥ = ≥ 1}x ≤ − { }| 1N x x= < M N = { }| 1x x ≤ − ( )f x R ( ),0x∈ −∞ 3 2( ) 2f x x x= − (3)f =
【分析】
函数 为奇函数，有 ，再把 代入已知条件得到 的值.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 .
【点睛】本题考查利用奇函数的定义求函数值，即 ，考查基本运算能力.
4.若 ，则下列不等式不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式的基本性质及指数函数的单调性，易知 D 是不正确的.
【详解】因为 ，所以 ，
考查指数函数 ，所以 ，
所以 D 不正确.
【点睛】本题考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，求解时注意利用分析法判断不等
式的正确性.
5.已知函数 ，则 的大致图象是( )
A. B.
( )f x (3) ( 3)f f= − − 3x = − (3)f
( )f x R
3 2(3) ( 3) [( 3) 2( 3) ] ( 27 18) 45f f= − − = − − − − = − − − =
(3) ( 3)f f= − −
1,0 1a c b> < < < 2019 2019log loga b> log logc ba a>
( ) ( )c bc b a c b a− > − ( ) ( )c ba c a a c a− > −
1,0 1a c b> < < < 0a c− >
( 1)xy a a= > ( ) ( )c b c ba a a c a a c a⇔< − < − 2 1( ) 4 4f x x x = − ( )f x
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用特殊值 、 、 ，排除错误选项.
【详解】当 时， ，排除 A，
当 时， ，排除 D，
当 时， ，排除 C，
故选 B.
【点睛】从函数解析式结合选项，发现零点、单调性、奇偶性、过特殊点等性质，是求解函
数图象问题的常见方法.
6.甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这 6 次考
试的平均成绩分别用 表示，则下列结论正确的是（ ）
A. ，且甲成绩比乙成绩稳定 B. ，且乙成绩比甲成绩稳定
C. ，且甲成绩比乙成绩稳定 D. ，且乙成绩比甲成绩稳定
【答案】C
1
2x = 1
4x = 1x = −
1
2x = 2
1 1( ) 11 12 4( ) 4( )2 2
f = = −
−
1
4x = 2
1 1 4 1( ) ( )1 14 3 24( ) 4( )4 4
f f= = − < − 1x = − 1 1( 1) 04 4 8f − = = >+
,x x乙甲
x x>
乙甲 x x>
乙甲
x x< 乙甲 x x< 乙甲
【解析】
【分析】
从茎叶图提取两个人的成绩，分别求出两个人的平均分，得到甲的平均数比乙的平均数要低，
但甲数据比较集中，所以成绩比较稳定.
【详解】 ， ，
所以 ，
因为甲数据比较集中，所以成绩比较稳定.
【点睛】茎叶图保留了原始数据，所以可通过计算平均数来比较大小，再通过数据的集中与
离散程度判断稳定性.
7.如图程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在 和 两
个空白框中，可以分别填入（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】
程序框图为当型循环，所以 进入判断框后，只有满足条件才会进行循环，所以填
，要求输出 为偶数，且 的起始值为 0，所以 .
【详解】因为程序框图为当型循环，所以当 满足条件时，才会进行循环，显然不能填
75 77 82 83 85 90 826x
+ + + + += =甲
72 76 81 86 91 92 836x
+ + + + += =
乙
x x< 乙甲 3 2 2020n n− > n
2020A > 1= +n n 2020A > 2= +n n
2020A ≤ 1= +n n 2020A ≤ 2= +n n
A
2020A ≤ n n 2= +n n
A
，故排除 A,B，由于要求输出 为偶数，且 的起始值为 0，所以 .
【点睛】本题考查程序框图中的当型循环，只要读懂题意，易得判断框和循环体各自应填的
条件与表达式.
8.函数 （ 其中 ）的图象如图所示，则 ( )
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数图象得到 ，由函数的最小值为-1，得 ，由函数图象过点 及
得 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
【点睛】本题考查利用三角函数的图象获取信息求得 的值，特别是在求 值时，如果
要选择图象过点 ，则要注意 为函数的第二零点.
9.如图，在平行四边形 中， 分别为 上的点，且 ，连接
交于 点，若 ，则点 在 上的位置为（ ）
2020A > n n 2= +n n
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0,| | 2A
πϕ> < ( )f π = 1 2 2 2 3 2 4 4 T π= 1A = 7( , 1)12 π − | | 2 ϕ π< ϕ 7 4 12 3 4 T π π π= − = 2 2T ππ ωω= = ⇒ = min( ) 1f x = − 1A = 7 12x π= 7 7( ) sin( ) 112 6f π π ϕ= + = − | | 2 ϕ π< 3 πϕ = ( ) sin(2 )3f x x π= + 3( ) sin(2 )3 2f ππ π= + = , ,A ω ϕ ϕ ( ,0)3 π 3x π= ABCD ,M N ,AB AD 4 5AM AB= ,AC MN P 4 11AP AC= N AD
A. 中点 B. 上靠近点 的三等分点
C. 上靠近点 的四等分点 D. 上靠近点 的五等分点
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理把 表示成基底 的线性组合，即 ，
再根据三点共线得到关于 的方程.
【详解】设 ，
因为 ，
又 三点共线，所以 ，解得： ，所以 ，
所以点 在 上靠近点 的三等分点.
【点睛】运用平面向量基本定理求解向量问题，其关键在于基底的选择，再把涉及的向量全
部用基底表示，于是向量的运算就转化成基底的运算.
10.已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线
与椭圆相交于 、 两点.若 ，点 到直线 的距离不小于 ，
则椭圆离心率的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆对称性可证得四边形 为平行四边形，根据椭圆定义可求得 ；利用点到
直线距离构造不等式可求得 ，根据 可求得 的范围，进而得到离心率的范围.
AD AD D
AD D AD D
AP ,AM AN 5 4
11 11AP AM AN
λ= +
λ
AD ANλ=
4 4 4 5( (11 ) )11 11 4AP AC AB AD AM ANλ= + = += 5 4
11 11AM AN
λ= +
, ,M N P 5 4 111 11
λ+ = 3
2
λ = 2
3AN AD=
N AD D
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > F P
: 4 3 0l x y− = A B | | | | 6AF BF+ = P l 6
5
9(0, ]5
3(0, ]2
5(0, ]3
1 3( , ]3 2
AFBF′ 3a =
2b ≥ 2 2 2a b c= + c
【详解】设椭圆的左焦点为 ， 为短轴的上端点，连接 ，如下图所示：
由椭圆的对称性可知， 关于原点对称，则
又 四边形 为平行四边形
又 ，解得：
点 到直线 距离： ，解得： ，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，重点考查椭圆几何性质，涉及到椭圆的对称性、椭圆
的定义、点到直线距离公式的应用等知识.
11.某罐头加工厂库存芒果 ，今年又购进 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一
用于加工为芒果罐头．被加工为罐头的新芒果最多为 ，最少为 ，则下列坐标
图最能准确描述 、 分别与 的关系是（ ）
A.
F′ P ,AF BF′ ′
,A B OA OB=
OF OF′ = ∴ AFBF′
AF BF′∴ =
2 6AF BF BF BF a′+ = + = = 3a =
P l 3 6
5 5
bd
−= ≥ 2b ≥ 2 2 29 2a c c− = − ≥
0 5c∴ < ≤ 50, 3 ce a ∴ = ∈ C ( )m kg ( )n kg ( )1f kg ( )2f kg 1f 2f n
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意分类讨论 、 分别与 的关系，再对照图象选择.1f 2f n
【详解】要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存芒果，即当 时
此时 ，当 时， ，对照图象舍去 C,D;
要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当 时
，当 时 ，因为 ，所以选 A.
【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.
12.如图， 是双曲线 左、右焦点，过 的直线与双曲线
交于 两点．若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，利用双曲线的定义求出 和 的值，再利用勾股定
理求 ，由 得到双曲线的渐近线方程.
【详解】设 ，
由双曲线的定义得： ，解得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会
的
m n m,n 2m3
+ ≤ ≤
2f 0= n 2m> 2
n m n 2mf m3 3
+ −= − =
m n mn,n3 2
+ ≤ ≥
1
m nf 3
+= m n mn,n3 2
+ > < 1f n= m 2m2 < 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2F C
,A B 1 1: : 3: 4:5AB BF AF =
2 3y x= ± 2 2y x= ± 3y x= ±
2y x= ±
1 1 23, 4, 5,AB BF AF AF x= = = = 3x = a
c by xa
= ±
1 1 23, 4, 5,AB BF AF AF x= = = =
3 4 5x x+ − = − 3x =
2 2
1 2| | 4 6 4 13F F = + = 13c⇒ =
2 5 2 1a x a= − = ⇒ = 2 3b =
2 3by x xa
= ± = ±
用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13.若函数 的图象存在与直线 垂直的切线，则实数 的取值范围是
____．
【答案】
【解析】
【分析】
由两直线垂直斜率相乘为-1，得切线的斜率为 ，由切线的存在性，则
在 有解，再利用参变分离求 的取值范围.
【详解】 ，
因为 的图象存在与直线 垂直的切线，所以切线斜率为 ，
所以 在 有解，即 在 有解，
因为 ，所以 .
【点睛】本题考查两直线垂直斜率的关系、利用导数研究函数的切线及参数的取值范围，考
查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中注意参数 的值能否取到等号.
14.设 等 差 数 列 的 公 差 不 为 0 ， , 若 是 与 的 等 比 中 项,则 等
于____．
【答案】5
【解析】
【分析】
由 是 与 的 等 比 中 项，得 ，把等差数列通项公式与等比中项公式代入
等式，求得 的值.
【详解】因为 是 与 的 等 比 中 项,，所以 ，
所以 ，整理得 ，
( ) ln 2f x x ax= − 2 0x y+ = a
1 ,4
− +∞
1
2
' 1 1( ) 2 2f x ax
= − =
0x > a
' 1( ) ln 2 ( ) 2f x x ax f x ax
= − ⇒ = −
( )f x 2 0x y+ = 1
2
' 1 1( ) 2 2f x ax
= − = 0x > 1 12 2a x
= − 0x >
1 1 1
2 2x
− > − 1 12 2 4a a> − ⇒ > −
a
{ }na d 1 16a d= ka 1a 2ka k
ka 1a 2ka 2
1 2k ka a a= ⋅
k
ka 1a 2ka 2
1 2k ka a a= ⋅
2
1 1 1[ ( 1) ] [ (2 1) ]a k d a a k d+ − = ⋅ + − 2 2 15 0k k− − =
解得： 或 （舍去）.
【点睛】本题考查等差数列通项公式与等比数列中项的性质，考查基本量法的运用.
15.将函数 与直线 的所有交点从左到右依次记为
，若 点坐标为 ，则 ____.
【答案】10
【解析】
【分析】
由函数 与直线 的图象可知，它们都关于点 中心对称，
再由向量的加法运算得 ，最后求得向量的模.
【详解】由函数 与直线 的图象可知，
它们都关于点 中心对称，
所以 .
【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结
合思想解决问题的能力.
16.如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 是 的中点，动点 在底面
内（不包括边界），若 平面 ，则 的最小值是____．
【答案】
【解析】
5k = 3k = −
( ) 4cos 2f x x
π = ( ) 1g x x= −
1 2 5, ,...,A A A P ( )0, 3 1 2 5...PA PA PA+ + + =
( ) 4cos 2f x x
π = ( ) 1g x x= − 3 (1,0)A
1 2 5 3... 5PA PA PA PA+ + + =
( ) 4cos 2f x x
π = ( ) 1g x x= −
3 (1,0)A
2 2
1 2 5 3... 5 | | 5 (0 1) ( 3 0) 10PA PA PA PA+ + + = = − + − =
1 1 1 1ABCD A B C D− M AD P
ABCD 1 / /B P 1A BM 1C P
30
5
【分析】
由面面平行找到点 在底面 内的轨迹为线段 ，再找出点 的位置，使 取得最
小值，即 垂直 于点 ，最后利用勾股定理求出最小值.
【详解】取 中点 ，连结 ，作 ，连 ，
因为面 面面 ，所以动点 在底面 内的轨迹为线段 ，
当点 与点 重合时， 取得最小值，
因为 ，
所以 .
【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点 的位置，再通过解三角形
的知识求最值.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.设等比数列 满足 .
（1）令 ，求 的最大值；
（2）令 ，求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1）1024；（2） .
【解析】
【分析】
P ABCD DN P 1C P
1C P DN O
BC N 1 1, ,B D B N DN CO DN⊥ 1C O
1 / /B DN 1A BM P ABCD DN
P O 1C P
1
1 1 52
2 2 55
2
DN CO DC NC CO⋅ = ⋅ ⇒ = =
2 2
1 min 1 1
1 30( ) 15 5C P C O CO CC= = + = + =
P
{ }na 1 3 2 420, 10a a a a+ = + =
1 2 3n nT a a a a= nT
2logn nb a= { }n na b nS
( ) 596 3 2 n
nS n −= + − ⋅
（1）根据条件求出等比数列通项公式 ，解不等式 可得前 4 项都大于 1，
，从而求得 的最大值；（2）利用错位相减法进行求和.
【详解】（1）设等比数列 首项为 ，公比为 ，
所以 ，解得：
所以 ，当 时，解得： ，
所以 ， ，
所以 的最大值为 .
（2）由（1）知 ，则 ，
，
两边同时乘以 得：
，
两式相减得：
所以 .
【点睛】等比数列前 项积达到最大，主要是根据各项与 1 的大小进行比较；错位相减法进行
求和时，要注意最后得到的常数的准确性，即本题中的 96 必需确保没有算错，其它项可以合
并，也可以不合并.
18.在 中， 分 别 为 角 的 对 边 ，且 .
5
1
2n na −=
5
1 12n na −= ≥
5 1a = nT
{ }na 1a q
2 3
1 1 1 120, 10a a q a q a q+ = + =
1 16,
1 ,2
a
q
= =
5
1
2n na −=
5
1 12n na −= ≥ 5n ≤
1 2 3 4 5 1a a a a a> > > > = 6 71 a a> > >
nT 4 5 16 8 4 2 1024T T= = × × × =
2logn nb a= 2 5
1log 52n n−= = − 51(5 ) ( )2
n
n na b n −⋅ = − ⋅
4 3 51 1 14 ( ) 3 ( ) (5 ) ( )2 2 2
n
nS n− − −= ⋅ + ⋅ + + − ⋅
1
2
3 2 41 1 1 14 ( ) 3 ( ) (5 ) ( )2 2 2 2
n
nS n− − −= ⋅ + ⋅ + + − ⋅
4 3 5 41 1 1 1 14 ( ) [( ) ( ) ] (5 ) ( )2 2 2 2 2
n n
nS n− − − −= ⋅ − + + − − ⋅
3 1
4
1 1( ) [1 ( ) ] 12 24 16 (5 ) ( )1 21 2
n
nn
− −
−
−
= × − − − ⋅
−
1 41 164 16[1 ( ) ] (5 ) ( )2 2
n nn− −= − − − − ⋅
4148 ( 3) ( )2
nn −= + − ⋅
( ) 596 3 2 n
nS n −= + − ⋅
n
ABC∆ , ,a b c , ,A B C ( )sin sin sinB C A C− = −
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用 展开代入已知条件，化简得 ，再根据 ，求
得 ；
（2）用角 这一变量来表示 ，转化成研究 的最大值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）得 ，
由正弦定理 ，所以 ，
所以 ，
所以
，其中 ，
由 ，存在 使得 ，所以 的最大值为 1，
所以 的最大值为 .
【点睛】本题考查三角恒等换、正弦定理及三角函数的最值等知识，考查逻辑推理和运算求
解能力，解题过程中要特别注意，求最值的方法，即引入变量 ，构造关于变量 的函数，
接着研究函数的值域，从而得到目标式子的最值.
19.某商场近 5 个月 销售额和利润额如表所示：的
A
3a = 2b c+
3A
π= 2 21
sin sin( )B A C= + 1cos 2A = 0 A π< < 3A π= B 2b c+ 2 3(2sin 3cos )B B+ ( )sin sin sinB C A C− = − ( ) ( )sin sin sinA C C A C+ − = − 1sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos 2A C A C C A C A C A+ − = − ⇒ = 0 A π< < 3A π= 2 3C B π= − 2sin sin sin a b c RA B C = = = 3 2sinsin sin( )3 3 b c B B π π= = − 22 3sin , 2 3sin( )3b B c B π= = − 22 2 3sin 4 3sin( ) 2 3(2sin 3cos )3b c B B B B π+ = + − = + 2 21sin( )B ϕ= + 3tan , (0, )2 2 πϕ ϕ= ∈ 2(0, )3B π∈ B 2B πϕ+ = sin( )B ϕ+ 2b c+ 2 21 B B
（1）画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；
（2） 求出利润额 关于销售额 的回归直线方程；
（3） 当销售额为 4 千万元时，利用（2）的结论估计该商场的利润额（百万元）.
, ,
【答案】（1）散点图见解析；（2） ；（3）1.9 百万元.
【解析】
【分析】
（1）画出坐标系，并描出 5 个离散的点；
（2）由最小二乘法公式求出系 ，再由回归直线过散点图的中心 求 ；
（3）把 代入回归直线，得到预报值 .
详解】（1）散点图如图所示：
两个变量正相关，且具有线性相关关系.
（2）易求 ，
由公式有
且 ，
则线性回归方程为 .
（3）当 时，由（1）可求得 ，即利润额约为 百万元.
【点睛】本题考查统计中的散点图、回归直线方程及其应用，考查数据处理能力，注意回归
【
y x
1 1
2 2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x y nxy x x y y
b
x n x x x
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
a y bx= −
0.65 .7ˆ 0y x= −
b (6,3.2) a
4x = 1.9y =
6, 3.2x y= =
2 2 2 2
3 2.2 1 0.2 0 1 0.8 3 1.8 20ˆ 0.653 1 1 3 13b
× + × + + × + ×= = =+ + +
ˆ 3.2 0.65 6 0.7a = − × = −
0.65 .7ˆ 0y x= −
4x = 1.9y = 1.9
方程的写法与平时写的直线方程的区别.
20.如图所示，三棱柱 中，侧面 为菱形， 在侧面
上的投影恰为 的中点 ．
（1） 证明： ；
（2） 若 ，且三棱柱 的体积为 ，求三棱柱 的高.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）证明 垂直 所在的平面 ，进而可得证；
（2）根据三棱柱 的体积为 ，求得 ，由 ，
得到三棱柱的高 .
【详解】（1）连接 ，因为侧面 为菱形，
所以 ，且 与 相交于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，
1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C 1 60 ,CBB A∠ =
1 1BB C C 1B C O
1B C AB⊥
1AC AB⊥ 1 1 1ABC A B C− 3
8 1 1 1ABC A B C−
21
7
1B C AB ABO
1 1 1ABC A B C− 3
8 1 11B C BC B B= = = 7
8ABCS∆ =
21
7h =
1BC 1 1BB C C
1 1B C BC⊥ 1B C 1BC O
AO ⊥ 1 1BB C C 1B C ⊂ 1 1BB C C
所以 ，又 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）由 且 垂直平分 可知 是等腰直角三角形，则 ，
又
得 .
，且等边 中， ，故 中，
又 ，易求得等腰 中 边上的高为 ，
则 ，
由 有 .
【点睛】本题考查线面垂直判定定理、三棱柱高的概念，注意利用割补思想进行体积的求解
运算，考查空间想象能力和运算求解能力.
21. .
（1）讨论函数 的极值点情况；
（2）若 ，存在 ， 使得
成立，求 的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）6.
【解析】
【分析】
（1）求出函数定义域为 ，对参数进行分类讨论，求导后解不等式，从而得到单调区
间，进而得到函数的极值点；
1B C AO⊥ 1B C AO O∩ = 1B C ⊥ ABO
AB Ì ABO 1B C ⊥ AB
1AC AB⊥ AO 1B C 1ACB∆ 1
1
2AO B C=
1 1 1 1 1 1
13 3 3 3ABC A B C B ABC A B BC B BCV V V S AO− − − ∆= = = × ⋅ 2 3
1 1
3 3 3·4 8 8B C AO B C= = =
1 11B C BC B B= = =
1
2AO = 1BCB∆ 3
2BO = Rt AOB∆
221 3 12 2AB
= + =
2
2AC = ABC∆ AC 14
4
1 2 14 7
2 2 4 8ABCS∆ = × × =
1 1
3· 8ABC A BC ABCV S h− ∆= = 21
7h =
2( ) ln ( )f x x a x a R= − ∈
( )f x
2a = 1 2
1, , , ,nx x x ee
∈
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1n nf x f x f x f x−+ + + ≤ n
(0, )+∞
（2）当 时， ，由于 ，可得
，再取 ，得到
，故 的最大值为 .
【详解】（1）定义域 ， ，
故当 时， ，所以函数 上单调递增，无极值点；
当 时，令 ，得 所以函数 在 上单调递增，
令 ，得 ，所以函数 在 上单调递减，有极小值点 ，
无极大值点；
综上所述，当 时，无极值点；当 时，有极小值点 ，无极大值点.
（2）当 时，由（1）知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故
又因为 ，
故 ，
故 时， ，
由于 ，
则 ，
取 ，则 ，
故 的最大值为 .
【点睛】本题考查函数与导数中的极值、不等式证明、最值等问题，对逻辑思维能力、运算
求解能力等的要求较高，属于难题.
在
1 ,x ee
∈
2( ) 1, 2f x e ∈ − ( )2 2 ( ) 1ne f e f x n− = ≥ ≥ −
2 1 7n e≤ − < 1 2 3 4 5 1x x x x x= = = = = ( ) ( ) ( ) 2 1 2 5 5 2f x f x f x e+ +…+ = < − n 6 (0, )+∞ 22( ) 2 a x af x x x x −′ = − = 0a ≤ ' ( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞
0a > ' ( ) 0f x > 2
2
ax > ( )f x 2 ,2
a +∞
' ( ) 0f x < 2 2 ax < ( )f x 20, 2 a 2 2 a 0a ≤ 0a > 2
2
a
2a = ( )f x 1[ ,1)e
(1, ]e
min( ) (1) 1f x f= =
2 2 2
2
1 1 2 3, 5.29 2.7 2 ( ) 2 2.8 2 5.84f f e ee e
= + < = − < = − < − = 2 max( ) ( ) 2f x f e e= = − 1 ,x ee ∈ 2( ) 1, 2f x e ∈ − ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 12 ( ) ( 1) (1) 1n ne f e f x f x f x f x n f n−− = ≥ ≥ + + + ≥ − = − 2 1 7n e≤ − < 1 2 3 4 5 1x x x x x= = = = = ( ) ( ) ( ) 2 1 2 5 5 2f x f x f x e+ +…+ = < − n 6
22.在平面直角坐标系 中， 圆 为 的内切圆.其中 .
（1）求圆 的方程及 点坐标；
（2）在直线 上是否存在异于 的定点 使得对圆 上任意一点 ，都有
为常数 )？若存在，求出点 的坐标及 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）圆 的圆心为 ，利用点到直线距离公式，求得半径 ，得到圆的方程 ，
再由线段 、线段 均与圆相切，得到点 ；
（2）假设存在 为常数)，设 ，几何关系坐标化，转化成恒
成立问题，进而得到 或 ，分别代入 并进行检验，得到定点 .
【详解】（1）由 知直线 的方程为 ，
由于圆 与线段 相切，所以半径 即圆 的方程为 .
由题意 与线段 相切，所以线段 的方程为 ，即 .
又 与线段 也相切，所以线段 的方程为 ，即 .
故
（2）设 ，则 ，
，
若在直线 上存在异于 的定点 ，使得对圆 上任意一点 ，
都有 为常数 )，等价于 ，
对圆 上任意点 恒成立.
即
xOy O ABC∆ ( , ), (2, 1), ( 1,3)A m n B C− −
O A
AO A Q O P
(PA PQλ λ= Q λ
2 2 1x y+ = ( )1, 1A − − 1 1, , 22 2Q − −
O (0,0) 1r = 2 2 1x y+ =
AC AB ( 1, 1)A − −
(PA PQλ λ= ( )0 0, , ( , )Q x y P x y
2λ = 1λ = 0 2
1x λ= − 1 1,2 2Q − −
(2, 1), ( 1,3)B C− − BC 4 3 5 0x y+ − =
O BC | 5 | 15r
−= = O 2 2 1x y+ =
2 2 1x y+ = AC AC 1x = − 1m = −
2 2 1x y+ = AB AB 1y = − 1n = −
( 1, 1)A − −
( )0 0, , ( , )Q x y P x y 2 2| | ( 1) ( 1)PA x y= + + +
( ) ( )2 2
0 0| |PQ x x y y= − + −
AO A Q O P
(PA PQλ λ= ( ) ( )2 22 2
0 0( 1) ( 1)x y x x y yλ+ + + = − + −
O ( , )P x y
( ) ( )2 22 2 2 2
0 0( 1) ( 1)x y x x y yλ λ+ + + = − + −
整理得：
因为点 在直线 上，所以 ，由于 在圆 上，所以 .
故 对任意 恒成立，
所以 显然 ，所以 故 ，
因为 ，解得： 或 ；
当 时， 此时 重合，舍去.
当 时，
综上，存在满足条件的定点 ，此时 .
【点睛】本题考查圆的方程、点到直线距离公式、直线与圆的位置关系等知识，考查逻辑推
理能力和运算求解能力，特别是坐标法思想的灵活运用，即把几何问题转化为代数问题中的
恒成立问题，从而得到方程组 是解决本题的难点.
( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 01 2 2 2 2 2 0x y x x y y x yλ λ λ λ− + + + + + + − + =
Q AO 0 0x y= P O 2 2 1x y+ =
( )2 2 2 2
0 02 2 ( ) 3 2 0x x y xλ λ λ+ + + − − = [ 2, 2]x y+ ∈ −
2
0
2 2 2
0
2 2 0
3 2 0
x
x
λ
λ λ
+ =
− − = 0λ ≠ 0 2
1x λ= − 2
2
23 0λ λ− − =
0λ > 2λ = 1λ =
1λ = ( 1, 1)Q − − ,Q A
2λ = 1 1,2 2Q − −
1 1,2 2Q − − 2λ =
2
0
2 2 2
0
2 2 0
3 2 0
x
x
λ
λ λ
+ =
− − =
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