安徽省江淮十校2020届高三数学（文）第一次联考试卷（附解析Word版）

江淮十校 2020 届高三第一次联考 数学（文科） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的。 1.已知全集 ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据补集和交集定义直接求得结果. 【详解】由题意得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集混合运算，属于基础题. 2.已知复数 满足 ,则 A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数除法运算可求得 ，根据模长运算可求得结果. 【详解】 本题正确选项： { } { } { }1,2,3,4,5,6 , 2,3,4,5 , 2,3,6U A B= = = ( )UB C A∩ = { }1,6 { }2,3 { }6 ∅ { }1,6UC A = ( ) { }6UB C A∴ = C z ( )1 2 3z i i+ = − z = 3 2 z ( )( ) ( )( ) 3 1 23 1 7 1 2 1 2 1 2 5 5 i iiz ii i i − −−= = = −+ + − 2 21 7 25 5z    ∴ = + − =       C 【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是能够通过复数除法运算求得复数. 3.设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 (  )． A. c>b>a B. b>c>a C. a>c>b D. a>b>c 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： ， ， ；且 ； . 考点：对数函数的单调性. 4.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列 数:1,1,2,3,5,8,13,21….该数列的特点是:前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于 它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”，则 A. 1 B. 2017 C. -1 D. -2017 【答案】C 【解析】 【分析】 根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当 为偶数时， ；当 为 奇数时， ，所求式子最末项 ，从而可得结果. 【详解】由题意得： ， ， ，… 当 为偶数时， ；当 为奇数时， 本题正确选项： { }na ( )( )( ) ( )2 3 3 2 1 3 2 2 4 3 3 3 4 2015 2017 2016a a a a a a a a a a a a− − − − = n 2 2 1 1n n na a a+ +− = − n 2 2 1 1n n na a a+ +− = 2015n = 2 1 3 2 1a a a− = 2 2 4 3 1a a a− = − 2 3 5 4 1a a a− = ∴ n 2 2 1 1n n na a a+ +− = − n 2 2 1 1n n na a a+ +− = ( )( )( ) ( )2 3 3 2 1 3 2 2 4 3 3 3 4 2015 2017 2016 1a a a a a a a a a a a a∴ − − − ⋅⋅⋅ − = − C 【点睛】本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律. 5.已知双曲线 ，则双曲线 的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将已知方程化为标准方程的形式，可得到 ；由 可求得结果. 【详解】由 得：双曲线标准方程为 ， ， 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据双曲线标准方程求解离心率的问题，属于基础题. 6.函数 的图像大致是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 通过奇偶性的定义可知函数为偶函数，图象关于 轴对称，排除 ；当 时，可确定 函数有两个零点，排除 ，从而得到结果. 【详解】 函数为偶函数 函数图象关于 轴对称，可排 ( )2 2: 3 0C x ay a a− = > C a 1a + 1a a + 3 2 2,a c 2 2 ce a = ( )2 2 3 0x ay a a− = > 2 2 13 3 x y a − = 0a > 2 3 3c a∴ = + 2 3a a= 2 2 3 3 1 3 c a ae a a a + +∴ = = = C 22 xy x= − y ,C D 0x > B ( )2 22 2x xx x− − − = − ∴ ∴ y 除 当 时， 令 ，解得： 或 ，即函数在 上有两个零点，可排除 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数图象的识别，常用方法是通过函数的奇偶性、零点、特殊位置符号、 单调性等方式，采用排除法来得到结果. 7.在一次田径比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示。 若将运动员按成绩由好到差编为 1—35 号，再用系统抽样方法从中抽取 5 人，则其中成绩在 区间 上的运动员人数为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 分析】 根据系统抽样方法将运动员平均分组，得到每组成绩及排序；分别讨论取序号为 之间和 之间的运动员时满足题意的运动员人数，从而得到结果. 【详解】将 名运动员平均分为 组，可得每组成绩如下： 第一组 130，130，133，134，135，136，136；第二组 138，138，138，139，141，141， 141； 第三组 142，142，142，143，143，144，144；第四组 145，145，145，146，146，147， 148；第五组 150，151，152，152，153，153，153 若每组取排序第 、 、 或 位的运动员，则成绩在 的为第三组、第四组和第五 组的运动员，共有 人 若每组取排序在第 、 或 位的运动员，则成绩在 的为第二组、第三组和第四组 的运动员，共有 人 综上所述：成绩在 的恰好为 人 【 ,C D 0x > 22xy x= − 22 0x x− = 2x = 4 ( )0, ∞+ B A ( ]139,152 1 4− 5 7− 35 5 1 2 3 4 ( ]139,152 3 5 6 7 ( ]139,152 3 ( ]139,152 3 本题正确选项： 【点睛】本题考查系统抽样方法的应用，关键是能够通过平均分组，通过所取每组序号的不 同进行分类讨论. 8.已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据角的终边所在直线可求得 ；将 化为关于正余弦的齐次式的形式，分子分母同 时除以 即可构造出关于 的方程，代入求得结果. 【详解】 终边在 上 本题正确选项： 【点睛】本题考查任意角三角函数的定义、正余弦齐次式的求解，涉及到二倍角的正弦公式、 同角三角函数关系的应用等知识. 9.已知非零向量 满足 ，则 与 的夹角为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 根据平面向量减法的三角形法则和模长相等关系可知 构成等边三角形，从而得到夹 角. 【详解】 构成等边三角形 本题正确选项： 【点睛】本题考查平面向量减法运算的三角形法则，属于基础题. 10.阅读如图所示的程序框图，若输入的 ，则该算法的功能是 【 D θ x 2y x= − sin 2θ = 4 5 − 3 5- 3 5 4 5 tanθ sin 2θ 2cos θ tanθ θ 2y x= − tan 2θ∴ = − 2 2 2 2sin cos 2tan 4sin 2 2sin cos sin cos tan 1 5 θ θ θθ θ θ θ θ θ∴ = = = = −+ + A ,a b = = −  a b a b a a b−  6 π 3 π 2 3 π 5 6 π , ,a b a b−   a b a b= = −   , ,a b a b∴ −   , 3a a b π∴< − >=  B 10k = A. 计算数列 的前 9 项和 B. 计算数列 的前 10 项和 C. 计算数列 的前 10 项和 D. 计算数列 的前 9 项和 【答案】B 【解析】 【分析】 按照程序框图运行程序，可得输出结果为 ，从而可确定其功能. 【详解】第一次循环： ， ；第二次循环： ， ；…， 第十次循环： ， ，输出 可知功能为计算数列 的前 项和 本题正确选项： 【点睛】本题考查程序框图循环结构的功能判断，关键是能够准确求解输出的结果，从而可 根据结果判断出功能. { }12n− { }12n− { }2 1n − { }2 1n − ( )101 1 2 1 2S − = − 1S = 2 10i = < 3S = 3 10i = < 102 1S = − 11 10i = > ( )101 1 2 1 2S − = − { }12n− 10 B 11. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理将角化边可得 ；利用余弦定理构造方程，代入 可求得 ，根据正弦定理可知 ，从而得到结果. 【详解】由正弦定理得： ，即 由余弦定理得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查解三角形 相关知识，涉及到正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角 形等知识，属于常考题型. 12.设椭圆 的左右焦点为 ，过 作 轴的垂线与 交于 两点， 与 轴相交于点 ，若 ，则椭圆 的离心率等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由 过 且垂直于 轴，可得 坐标；易知 为 中点，得到 点坐标；根据垂直关 系可知 ，利用两点连线斜率公式可构造出关于 的齐次方程，构造出关于 的 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 sin sin 2 sina A b B c C− = 1cos 4A = sinB sinC = 2 2 2 2 2 c ba += 2 2 2 2 2 c ba += 1b c = sin sin B b C c = 2 2 22 2a b c− = 2 2 2 2 2 c ba += 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 12 2cos 2 2 2 4 4 c bb c bb c a bA bc bc bc c ++ −+ −= = = = = sin 1sin B b C c ∴ = = D ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1 2,F F 2F x C ,A B 1F A y D 1BD F A⊥ C 1 3 3 3 1 2 3 2 AB 2F x ,A B D 1F A D 1 1BD F Ak k⋅ = − ,a c e 的方程，解方程求得结果. 【详解】由题意可得： ， 为 与 轴交点，且 轴 为 中点 ，即 整理可得： ，即 ，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题；关键是能够利用垂直关系得到斜率乘积为 ，进 而构造出关于 的齐次方程. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.曲线 在点 处的切线的方程为__________． 【答案】 【解析】 14.正项等比数列 的前 项和为 ，已知 ，则公比 _________________。 【答案】3 【解析】 【分析】 当 时可求得 不合题意，可知 ；将已知等式化为 和 的形式，结合 可解方程求得结果. 【详解】当 时， ，解得： ，不合题意 ，解得： 2 , bA c a      2 , bB c a  −   D 1F A y 2 / /F A y D∴ 1F A 2 0, 2 bD a  ∴    1BD F A⊥ 1 1BD F Ak k∴ ⋅ = − 2 2 2 02 10 b b b a a a c c c + − ⋅ = −− + 23 2b ac= ( )2 23 2a c ac− = ( )23 1 2e e∴ − = 3 3e = B 1− ,a c ( 1) xy x e= + (0,1) 2 1y x= + ( 2) 2 1 2 , 2 1xy x e k y x y x= + ∴ = ∴ = =′ − + { }na n nS 3 2 110S a a= + q = 1q = 1 0a = 1q ≠ 1a q 0na > 1q = 1 3 1 13 10a S a a= = + 1 0a = 1q∴ ≠ ( )3 1 3 1 1 1 101 a q S a q aq − ∴ = = +− 2 9q = 本题正确结果： 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列通项公式和前 项和公式的应用， 属于基础题. 15.函数 最小值为___________________。 【答案】-1 【解析】 【分析】 利用诱导公式和二倍角公式化简函数为 ，令 ， ，可将函数化为二次函数的形式，根据二次函数性质可求得最小值. 【详解】 令 ，则 ， 当 时， ，即 的最小值为 本题正确结果： 【点睛】本题考查换元法求解三角函数的最值问题，涉及到利用诱导公式、二倍角公式化简 三角函数、二次函数最值的求解等知识；易错点是在进行换元时，忽略新的自变量的取值范 围，造成求解错误. 16.三棱锥 中， 底面 ， ，底面 中 ，边 ，则三棱锥 外接球的体积等于___________________。 【答案】 【解析】 【分析】 设 为 外接圆圆心， 为球心，由球的性质知 平面 ；利用正弦定理可求得 的 0na > 0q∴ > 3q∴ = 3 n ( ) 1 3sin cos cos 22 2f x x x x π = + − −   ( ) sin cos sin cosf x x x x x= + + sin cosx x t+ = 2, 2t  ∈ −  ( ) 1sin cos sin 2 sin cos sin cos2f x x x x x x x x= + + = + + sin cosx x t+ = 2 sin 2, 24t x π   = + ∈ −     2 1sin cos 2 tx x −∴ = ( ) 2 21 1 1 2 2 2 tf t t t t −∴ = + = + − 2, 2t  ∈ −  ∴ 1t = − ( )min 1 11 12 2f t = − − = − ( )f x 1− 1− P ABC− PA ⊥ ABC 2 2PA = ABC∆ 4BAC π∠ = 2BC = P ABC− 32 3 π G ABC∆ O OG ⊥ ABC 外接圆半径；根据四边形 为矩形，得到 ，利用勾股定理构造方 程组即可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果. 【详解】设 为 外接圆圆心， 为三棱锥 外接球球心，则 平面 作 ，垂足为 由正弦定理可知 外接圆直径： 平面 ， 平面 又 ， 四边形 为矩形 设 ， 在 和 中，勾股定理可得： ，解得： 三棱锥 外接球体积： 本题正确结果： 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够根据球的性质，得到球心与底 面外接圆圆心连线必垂直于底面，从而根据底面外接圆圆心的位置和外接圆半径确定球心的 位置，并利用勾股定理构造出方程求得外接球半径. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知 是公差为 3 的等差数列，数列 满足 ， 。 ABC∆ OMAG OG AM x= = G ABC∆ O P ABC− OG ⊥ ABC OM PA⊥ M ABC∆ 22 2 2 2sin sin 4 BCr AG BAC π= = = =∠ 2AG∴ = PA ⊥ ABC OG ⊥ ABC / /AP OG∴ OM PA⊥ AG PA⊥ / /OM AG∴ ∴ OMAG OG AM∴ = OG x= OP OA R= = Rt OMP∆ Rt OGA∆ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x R x R  + = − + = 2 2 x R  = = ∴ P ABC− 34 32 3 3V R ππ= = 32 3 π { }na { }nb 1 21, 3b b= = 1n n n na b b nb ++ = （1）求 的通项公式； （2）求 的前 项和。 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）将 代入 即可求得 ；由等差数列通项公式可求得结果；（2）将 代入 ，可证得数列 为等比数列；由等比数列前 项和公式求得结果. 【详解】（1）由已知 ， ， 得： 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列 （2）由（1）知： ，即： 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 记 的前 项和为 ，则 【点睛】本题考查等差数列通项、等比数列前 项和的求解问题，关键是能够准确求解出等差 和等比数列的基本量，属于基础题. 18.下表是我省某地区 2012 年至 2018 年农村居民家庭年纯收入 （单位：万元）的数据如下 表： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 年纯收入 2 3 3.5 4 4.5 5 6 { }na { }nb n 3 1na n= − 3 1 2 n − 1n = 1n n n na b b nb ++ = 1a na 1n n n na b b nb ++ = { }nb n 1 1b = 2 3b = 1 1 1 2a b b b+ = 1 2a = ∴ { }na 2 3 ( )2 3 1 3 1na n n∴ = + − = − ( ) 13 1 n n nn b b nb +− + = 1 3n nb b+ = ∴ { }nb 1 3 { }nb n nS 1 3 3 1 1 3 2 n n nS − −= =− n y t y （1）求 关于 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析 2012 年至 2018 年该地区农村居民家庭年纯收入的变化 情况，并预测该地区 2019 年农村居民家庭年纯收入（结果精确到 0.1）。 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 。 【答案】（1） （2）该地区 2012 年至 2018 年农村居民家庭年纯收入逐年递增, 预计 2019 年该地区农村居民家庭纯收入为 万元 【解析】 【分析】 （1）利用最小二乘法可直接求得回归直线；（2）根据回归直线斜率为正可判断出收入逐年 增长，并得到增长率；代入 即可求得预估值. 【详解】由数据表得： ， ， 所求回归方程为： （2）由 可知：该地区 年至 年农村居民家庭年纯收入逐年递增，且增长 率约为 令 ，解得： 预计 年该地区农村居民家庭纯收入为 万元 【点睛】本题考查最小二乘法求解回归直线、回归直线意义的辨析、利用回归直线求解预估 值的问题，对于学生的计算和求解能力有一定要求，属于基础题. y t ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ n i i i n i i t t y y b t t = = − − = − ∑ ∑ ˆˆa y bt= − 17 11ˆ 28 7y t= + 6.4 8t = ( )1 1 2 3 4 5 6 7 47t = + + + + + + = ( )1 2 3 3.5 4 4.5 5 6 47y = + + + + + + = ( )( ) ( ) 7 1 7 2 1 17ˆ 28 i i i i i t t y y b t t = = − − ∴ = = − ∑ ∑ 17 11ˆˆ 4 428 7a y bt= − = − × = ∴ 17 11ˆ 28 7y t= + 17ˆ 028b = > 2012 2018 17 60.7%28 ≈ 8t = 45 6.47y = ≈ ∴ 2019 6.4 19.设 。 （1）求 的单调增区间； （2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，求 面积 的最大值。 【答案】（1） 的单调递增区间是 （2） 【解析】 【分析】 利用二倍角公式、两角和差余弦公式和辅助角公式可化简函数为 ；（1） 令 ，解出 的范围即为所求的单调递增区间；（2） 利用 为锐角和 可求得 ；利用余弦定理和基本不等式可求得 ，代入三角 形面积公式即可求得面积的最大值. 【 详 解 】 （1）令 ，解得： 的单调递增区间为： （2） ，即 ( ) 2cos2 2cos 16f x x x π = − + +   ( )f x ABC∆ , ,A B C , ,a b c 1, 12 Af a  = =   ABC∆ ( )f x ( ),3 6k k k Z π ππ π − + + ∈   3 4 ( ) sin 2 6f x x π + =  ( )2 2 22 6 2k x k k Z π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ x A 12 Af   =   A 1bc ≤ ( ) 1 3cos2 cos 2 cos2 cos2 cos sin 2 sin cos2 sin 23 3 3 2 2f x x x x x x x x π π π = − + = − + = +   sin 2 6x π = +   ( )2 2 22 6 2k x k k Z π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ ( ) 3 6k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈ ( )f x∴ ( ),3 6k k k Z π ππ π − + + ∈   sin 12 6 Af A π   = + =       0, 2A π ∈   2,6 6 3A π π π ∴ + ∈   6 2A π π∴ + = 3A π= 由余弦定理 得： （当且仅当 时 取等号） （当且仅当 时取等号） 即 面积的最大值为： 【点睛】本题考查三角函数与解三角形知识的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三 角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基 本不等式求解三角形面积的最值等知识，属于常考题型. 20.如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， ， ，垂足为 ，点 在面 上的投影为 。 （1）证明：点 为线段 中点； （2）求点 到平面 的距离。 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）利用线面垂直性质和正方形中的垂直关系可证得 平面 ，根据面面垂直判定定 理可证得平面 平面 ，由面面垂直性质可知 在 上，从而利用等腰三角形三线 合一证得结论；（2）根据线面垂直判定定理可证得 平面 ，可知 即为所求距离； 连接 后，利用勾股定理推导即可求得 . 【详解】（1） 平面 ， 平面 四边形 为正方形 又 平面 ， 平面 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 1 2b c bc bc bc bc+ − = ≥ − = b c= 1 3 3sin2 4 4ABCS bc A bc∆∴ = = ≤ b c= ABC∆ 3 4 S ABCD− ABCD SA ⊥ ABCD 2SA AB= = AE SC⊥ E A SDC F F SD C AEF 4 3 3 CD ⊥ SAD SDC ⊥ SAD F SD SC ⊥ AEF CE AC CE SA ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD SA CD∴ ⊥  ABCD CD AD∴ ⊥ ,AD SA ⊂ SAD AD SA A= CD\ ^ SAD 平面 平面 平面 又平面 平面 ，点 在平面 上的投影为点 ，又 为线段 中点 （2） 平面 ， 平面 又 ， 平面 ， 平面 即为点 到平面 的距离 连接 平面 ， 平面 又 即点 到平面 的距离为 【点睛】本题考查立体几何中线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质定理的应用、 点到面的距离的求解等知识；求解点到面的距离的常用方法为作出距离或体积桥的方式，本 题因垂直关系易找到，故选择直接求解的方式较为简单. 21.已知抛物线 ， 是坐标原点，点 是抛物线上一点（与坐标原点 不重合），圆 是以线段 为直径的圆。 （1）若点 坐标为 ，求抛物线 方程以及圆 方程； （2）若 ，以线段 为直径的圆 与抛物线 交于点 （与点 不重合），求圆 面积 的最小值。 CD ⊂ SDC ∴ SDC ⊥ SAD SDC  SAD SD= A SDC F F SD∴ ∈ AF SD∴ ⊥ SA AB AD= = F∴ SD AF ⊥ SDC SC ⊂ SDC SC AF∴ ⊥ AE SC⊥ ,AE AF ⊂ AEF AE AF A∩ = SC∴ ⊥ AEF CE∴ C AEF AC SA ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD SA AC∴ ⊥ 4 4 2 2AC = + = 4 8 2 3SC∴ = + = 2 2 2 2 6 32 3 SA ACAE SC ⋅ ×∴ = = = 8 4 38 3 3CE∴ = − = C AEF 4 3 3 ( )2: 2 0C x py p= > O A O 1C OA A ( )2,4− C 1C 1 2p = OA 1C C B O A、 1C S 【答案】（1）抛物线方程为 ，圆方程为： （2） 【解析】 【分析】 （1）将 代入抛物线方程即可得到抛物线方程；根据 点坐标可求得圆心和半径，从 而得到圆的方程；（2）根据 得抛物线方程 ，设 ， ，根据 在圆上可得 ，整理可得 ，利用基本不等式可求得 ；代入圆 的面积公式即可求得结果. 【详解】（1） 在抛物线上 ，解得： 抛物线 的方程为： 又 圆心为 ，半径为 圆 方程为： （2） 设 ， 在以 为直径的圆上 ，即 又 ， 又 ，且 ， （当且仅当 ，即 时取等号） 圆 的面积 圆 面积的最小值为 【点睛】本题考查圆锥曲线知识的综合应用，涉及到抛物线与圆的方程的求解、圆锥曲线中 2x y= ( ) ( )2 21 2 5x y+ + − = 5π ( )2,4A − A 1 2p = 2x y= ( )2 1 1,A x x ( )2 2 2,B x x B 0AB OB⋅ =  1 2 2 1x x x = − − 2 1 4x ≥ ( )2,4A − 4 8p∴ = 1 2p = ∴ C 2x y= 4 16 2 5OA = + = ∴ ( )1,2− 5 ∴ 1C ( ) ( )2 21 2 5x y+ + − = 1 2p = 2:C x y∴ = ( )2 1 1,A x x ( )2 2 2,B x x B OA AB OB∴ ⊥ 0AB OB⋅ =  ( )2 2 2 1 2 1,AB x x x x= − − ( )2 2 2,OB x x= ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 11 0x x x x x x x x x x x x∴ − + − = − + + =   1 2x x≠ 1 0x ≠ 2 0x ≠ 1 2 2 1x x x ∴ = − − 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 4x x xx x  ∴ = − − = + + ≥    2 2 2 2 1x x = 2 2 1x = ∴ 1C ( )2 4 2 1 1 52 4 OAS x x ππ π = = + ≥   ∴ 1C 5π 的面积最值的求解问题；解决此类最值问题的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的 函数，通过已知的等量关系和基本不等式等知识求得变量所处的范围，从而根据函数最值的 求解方法得到所求的最值. 22.设函数 （ 为常数， 是自然对数的底数）。 （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若函数 在 内存在唯一极值点，求 的取值范围。 【答案】（1） 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】 （1）根据解析式可求得函数定义域为 ，求导后，根据 可知 ；从而根 据 的符号可确定导函数的符号，从而得到函数的单调区间；（2）由（1）知 时不满 足 题 意 ； 当 时 ， 将 问 题 转 化 为 与 在 范 围 内 有 唯 一 交 点 ； 设 ，利用导数可得到 的单调性，从而得到 在 内的图象， 进而得到 的取值范围. 【详解】（1）由题意得：函数 的定义域为 则 当 时， 当 时， ，函数 单调递减 当 时， ，函数 单调递增 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2）由（1）知，当 时， 在 内单调递减 在 内不存在极值点 ( ) ( )ln xef x a x xx = − − a 2.71828e =  0a ≤ ( )f x ( )f x ( )0,1 a ( )f x ( )0,1 ( )f x ( )1,+∞ ( ),e +∞ ( )0, ∞+ 0a ≤ 0xe ax− > 1x − 0a ≤ 0a > ex y x = y a= ( )0,1 ( ) ( ), 0,1 xeg x xx = ∈ ( )g x ( )g x ( )0,1 a ( )y f x= ( )0, ∞+ ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 11 11 0 xx x e axe xf x a xx x x − −⋅ −  ′ = − − = >   0a ≤ 0xe ax− > ∴ ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )f x∴ ( )0,1 ( )1,+∞ 0a ≤ ( )f x ( )0,1 ( )f x∴ ( )0,1 当 时，要使得 内存在唯一极值点，则 在 存在唯一变号零点 即方程 在 内存在唯一解，即 与 在 范围内有唯一交点 设函数 ，则 在 单调递减 又 ；当 时， 时， 与 在 范围内有唯一交点 综上所述： 的取值范围为： 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、根据极 值点个数求解参数范围的问题；解题关键是能够将极值点个数问题转化为方程零点个数问题， 即平行于 轴直线与曲线的交点个数问题，进而通过数形结合的方式求得结果. 在0a > ( )f x ( )0,1 ( ) ( )( ) 2 1 0 xx e ax f x x − −′ = = ( )0,1 0xe ax− = ( )0,1 ex y x = y a= ( )0,1 ( ) ( ), 0,1 xeg x xx = ∈ ( ) ( ) 2 1 0 xx eg x x −′ = < ( )g x∴ ( )0,1 ( ) ( )1g x g e> = 0x → ( )g x → +∞ ( ),a e∴ ∈ +∞ ex y x = y a= ( )0,1 a ( ),e +∞ x