东 2020 届高三年级第一次摸底考试数学（文科）试题
一、选择题
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ， 求得集合 ，再求 即可
【详解】由 求得集合 ，则
故选：B
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题
2.已知 是虚数单位，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算化简即可
详解】
故选：C
【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题
3.若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可先判断 ， ，再根据指数函数性质进一步判断即可
【
{ }1,2,3,4,5,6A = { }2 ,B y y x x A= = ∈ A B =
{ }2,4 { }1,4 { }1,2,4 { }2,4,16
2y x= x A∈ B A B
{ }2 ,B y y x x A= = ∈ { }1,4,9,16,25,36B = { }1,4A B =
i 2
1 i
=−
1 i− 2i 1 i+ i−
( )
( )( )
2 12 11 1 1
i ii i i
+= = +− − +
0.21.5a = 0.41.5b = 50.9c =
c b a> > a b c> > b c a> > b a c> >
1, 1a b> > ( )0,1c ∈
【详解】由题可知 ， ， ，设 ，则函数为增
函数，则 ，则
故选：D
【点睛】本题考查根据指数函数的性质比大小，属于基础题
4.给出下列三个命题：①“若 ，则 ”的逆命题为假命题；②“ ”是“函
数 至少有一个零点”的充要条件；③命题“ ”的否定是
“ ”.其中真命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对命题①，先求逆命题，再判断真假；对命题②，先将 至少有一个零点作
等价转化，再结合充要条件判断；对命题③，结合命题的否定一般方法加以否定即可
【详解】对①，“若 时，则 ”的逆命题为：“若 时，则 ”，
当 时不成立，逆命题为假命题，说法正确；
对②，若函数 至少有一个零点，等价于 ，即 ，故
②为真命题；
对③，存在命题的否定：存在改全称，“ ”改成“ ”，故③为真命题
故真命题的个数为 3 个
故选：D
【点睛】本题考查命题真假的判断，属于基础题
5.函数 的图象是（ ）
A. B. C. D.
0.2 11.5a = > 0.41.5 1b = > ( )50.9 0,1c = ∈ 1.5xy =
b a> b a c> >
0a b> > 2 2a b> 2 1a ≥
( ) 2 2 1f x x ax= + + 0
0 ,3 0xx R∃ ∈ ≤
,3 0xx R∀ ∈ >
0 1 2 3
( ) 2 2 1f x x ax= + +
0a b> > 2 2a b> 2 2a b> 0a b> >
3, 2a b= − =
( ) 2 2 1f x x ax= + + 0∆ ≥ 2 24 4 0 1a a− ≥ ⇒ ≥
≤ >
| |xy x x
= +
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数图像上两个点 ，选出正确选项.
【详解】由于函数 经过点 ，只有 C 选项符合.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题.
6.已知函数 ，则 的图像（ ）
A. 关于原点对称，但不关于 轴对称
B. 关于 轴对称，但不关于原点对称
C. 关于原点对称，也关于 轴对称
D. 既不关于原点对称，也不关于 轴对称
【答案】B
【解析】
【分析】
先求 ，再结合奇偶函数判断方法进一步判断即可
【详解】 ，即 ，函数为偶函数；
故选：B
【点睛】本题考查奇偶函数的判断方法，属于基础题
7.设 ， ，则 约等于（ ）（参考数据： ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
( ) ( )1,2 , 1, 2− −
| |xy x x
= + ( ) ( )1,2 , 1, 2− −
( ) ( )1 1f x x x x R= − + + ∈ ( )f x
y
y
y
y
( )f x−
( ) 1 1 1 1f x x x x x− = − − + − + = + + − ( ) ( )f x f x= −
652 1m = + 452n = m
n
lg 2 0.3≈
2010 310 610 910
可采用两边同取对数的方式，结合对数运算性质求解即可
【详解】由题知 ， ，对 同取对数，得 ，
， ，即 ，即 ；
故选：C
【点睛】本题考查对数的运算性质，指数与对数的互化，同取 是解题关键，属于基础题
8.若函数 的零点与函数 的零点之差的绝对值不超过 ，则
可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断 的零点区间，即可求解
【详解】对 A， 的零点为 ；
对 B， 的零点为 ；
对 C， 的零点为 ；
对 D， 的零点为 ；
， ， ，故 零点在
之间，再用二分法，取 ， ， ，故
的零点 ，由题 的零点之差的绝对值不超过 0.25，则只有
的零点符合；
故选：A
【点睛】本题考查函数零点的求法，二分法的应用，属于基础题
65 652 1 2m = + ≈ 452n = ,m n 65lg lg 2 65lg 2m ≈ ≈
45lg lg 2 45lg 2n = = lg lg 65lg 2 45lg 2 20lg 2m n− ≈ − ≈ lg 20lg 2 6m
n
≈ ≈ 610m
n
≈
lg
( )f x ( ) 4 2 2xg x x= + − 0.25 ( )f x
( ) 4 1f x x= − ( ) ( )3log 2f x x= −
( ) 3 1xf x = − ( ) 2 3f x x= −
( )g x
( ) 4 1f x x= − 1
4x =
( ) ( )3log 2f x x= − 1x =
( ) 3 1xf x = − 0x =
( ) 2 3f x x= − 3
2x =
( ) 00 4 2 1 0g = − = − < 1 21 14 2 2 1 02 2g = + × − = >
( ) 10 02g g ⋅
≥ − × +
( ]1,2a ∈
( ) 22f x x x kx= − − 0 2x< ≤ 31, 2 k 30, 3 ( )1, 3 3 ,13 1 ,12 ( ) 22 0f x x x kx= − − = ( ) 2 22 0 2f x x x kx x x kx= − − = ⇒ − = ( ) [ ]22 , 0,2g x y x x x= = − ∈ ( ) [ ]0,2h x kx x= ∈， ( ) 22f x x x kx= − − 0 2x< ≤ 31, 2 31, 2x ∈ ( )g x ( )h x ( )g x ( )h x
当 时， ，此时 ；当 时， ，此时
故
故选：C
【点睛】本题考查根据函数零点区间求解参数问题，构造函数法求解参数，属于中档题
11.已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，当
时，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分函数为常函数和不是常函数两种形式讨论，当函数不是常函数时，函数 为偶
函数可知，对称轴为 ，再结合 判断函数的增减性，画出拟合图形，结
合绝对值含义即可求解
【详解】若 ，则 ，此时 和 为偶函数都成立，
函数值恒等于 ，当 时，恒有 ，故等号成立；
若 不是常数，因为函数 为偶函数，所以 ，函数关于
对称，所以 ；
由 ，当 时， ，函数 单减；当 时， ，函
数 单增，可画出拟合图像，如图：
1x = ( )1 1g = 1k = 3
2x =
23 3 3 32 =2 2 2 2g = × −
3
32 =3 3
2
k =
3 ,13k
∈
R ( )f x ( ) ( )4 0x f x′− ≤ ( )4y f x= +
1 24 4x x− < − ( ) ( )1 28 8f x f x− ≤ − ( ) ( )1 28 8f x f x− < − ( ) ( )1 28 8f x f x− > − ( ) ( )1 28 8f x f x− ≥ −
( )4y f x= +
4x = ( ) ( )4 0x f x′− ≤
( )f x c= ( )' 0f x = ( ) ( )4 0x f x′− ≤ ( )4y f x= +
c 1 24 4x x− < − ( ) ( )1 28 8f x f x− = − ( )f x ( )4y f x= + ( ) ( )4 4f x f x+ = − 4x = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2= 8 , = 8f x f x f x f x− − ( ) ( )4 0x f x′− ≤ 4x > ( )' 0f x < ( )f x 4x < ( ) 0f ' x >
( )f x
，从绝对值本身含义出发，即等价于 轴上 到 4 的距离小于 到 4 的距离，
由图可知， ，即
综上所述，则
故选:D
【点睛】本题考查偶函数性质的延伸，根据偶函数性质比较函数值大小，数形结合思想，对
思维转化能力要求高，属于难题
12.将边长为 正三角形纸片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
梯形周长和面积采用间接法结合图形即可快速求解，再结合导数求解最值即可
【详解】如图：
设 的边长为 ，则梯形周长为： ， 的面积为： ，梯形面积为：
，则 ，
1 24 4x x− < − x 1x 2x ( ) ( )1 2f x f x> ( ) ( )1 28 8f x f x− > −
( ) ( )1 28 8f x f x− ≥ −
1m
( )2
y = 梯形的周长
梯形的面积
y
16 3
3
32 3
3
100 3
9
196 3
15
ADE∆ x 3 x− ADE∆ 23
4 x
( )23 14 x−
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
4=
13 314
y
xx
= ⋅
−−
3- x x- 3
，当 时， ，
当 时， ，故当 时，
故选：B
【点睛】本题考查根据导数求解实际问题的最值，属于中档题
二、填空题
13.曲线 在 处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义和点斜式求解即可
【详解】 ， ，当 时， ，
故函数过 ，由点斜式可得 即曲线 在 处的切线
方程为 ；
故答案为：
【点睛】本题考查过曲线上某点对应的切线方程的求法，属于基础题
14.已知函数 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
先化简 ，再求值即可
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
22
2 22 2
2 1 2 3 2 3 14 4'
3 31 1
x x x xy
x x
− + − − −= ⋅ = ⋅
− −
x- 3 x- 3 10, 3x ∈ ' 0y < 1 ,13x ∈ ' 0y > 1
3x =
2
min
134 32 33
1 33 1 9
y
− = × =
−
( ) cosf x x=
6x
π=
6 12 6 3 0x y π+ − − =
( )' sinf x x= − 1' sin6 6 2f = − = −
π π
6x
π= 3cos =6 6 2f =
π π
3,6 2
π
1 3 ,2 6 2
πy x = − − +
( ) cosf x x=
6x
π=
6 12 6 3 0x y π+ − − =
6 12 6 3 0x y π+ − − =
( ) 2 4f x x x= − 2
1log
2
f
=
9
4
2
1log
2
【详解】 ，则
故答案为：
【点睛】本题考查对数的化简函数值的求法，属于基础题
15.已知函数 的定义域为 ，对于任意实数 ，都有 ，且 共
有五个零点，则 的所有零点之和为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据 可得函数的对称中心为 ，再由函数的对称性和零点个数求解
即可
【 详 解 】 由
则函数的对称中心为 ，
因函数有五个零点，设两对对称的零点为： 和
则 ， ，
又函数过 ，故 ，所以
故答案为：
【点睛】本题考查函数对称中心的求法，根据函数零点个数求解零点之和，属于中档题
16.已知定义域为 的奇函数 ，满足 ,下面四个关于函数
1
2
2 2
1 1log log 2 22
−= = − 2
1 1 1 9log = +2=2 4 42
f f
= −
9
4
( )f x R x ( ) ( )1f x f x+ = − − ( )f x
( )f x
5
2
( ) ( )1f x f x+ = − − 1 ,02
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 0 1 0 + 02 2f x f x f x f x f x f x f x f x + = − − ⇒ − + + = ⇒ + − = ⇒ + − =
1 ,02
( ) ( )1 2,0 , ,0x x ( ) ( )3 4,0 , ,0x x
1 2 1x x =+ 3 4 1x x+ =
1 ,02
( )5
1 02f x f = = 1 2 3 4 5
5+ 2x x x x x+ + + =
5
2
R ( )f x ( )
2
2 , 22 3
2 2,0 2
xf x x
x x x
>= −
− + < ≤
的说法：①存在实数 ，使关于 的方程 有 个不相等的实数根；②当
时，恒有 ；③若当 时， 的最小值为 ，则
；④若关于 的方程 和 的所有实数根之和为零，则
．其中说法正确的有______．（将所有正确说法的标号填在横线上）
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据题意，画出函数图像，结合函数图像和函数性质逐一判断即可
【详解】结合函数为奇函数，则 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，作出函数图
像，如图：
对①，如图，存在实数 使得函数有 7 个交点，故①对；
对②，结合函数图像，明显函数不是严格的减函数，故②错；
对③，可令 ，如图，两函数相交时，可求得交点为 ，要使函数最小值为 1，则
，③对；
( )f x k x ( )f x kx= 7
1 21 1x x− < < < ( ) ( )1 2f x f x> ( ]0,x a∈ ( )f x 1
51, 2a ∈ x ( ) 3
2f x = ( )f x m=
3
2m = −
( )0 =0f
2x < − 2x− > ( ) ( ) ( )2 2 2
2 3 2 3 2 3f x f x fx x xx− −= = ⇒− =+= − − +
2 0x− ≤ < 0 2x< − ≤ ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2f fx xf x x xx x+ += ⇒ −− = − − −= k 1y = ( ) 51,1 , ,12 51, 2a ∈
对④，若 ，令 ，则 ，令 ，则
，
若满足④的条件，则 ，则 ，故④错；
故答案为：①③
【点睛】本题考查分段函数与奇函数的综合性质，函数的零点与方程的关系，数形结合的思
想，属于难题
三、解答题
17.在 中，角 的对边长分别为 ， ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用诱导公式和三角形内角和进行代换即可求解；
（Ⅱ）由正弦定理即可求解
【详解】（Ⅰ） 为 的内角，且 ， ，
， ，
( ) 3
2f x = 3
2y = 1 2 2x x+ = 3
3
2 3 13=2 3 2 6xx
= ⇒−
1 2 3
25
6x x x+ + =
25 2 3
256 82 36
f − = = − × − +
3
8m = −
ABC△ , ,A B C , ,a b c
3B
π= 4cos 5A =
sinC
6a = c
3 4 3
10
+
3 4 3+
, ,A B C ABC△
3B
π= 4cos 5A =
2
3C A
π∴ = − 2 3sin 1 cos 5A A= − =
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，
在 中，由正弦定理得 ．
【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的使用，正弦定理解三角形，同角三角函数的基本
求法，属于基础题
18.设函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的极值；
（Ⅱ）当 时，判断 的单调性.
【答案】（Ⅰ）极小值为 ，无极大值；（Ⅱ）函数 在 上单调递
增．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求 的导数，将 时，代入 ，结合导数正负求解原函数的极值即可；
（Ⅱ）结合 和二次函数性质判断导数正负，再判断 单调区间即可
【详解】（Ⅰ）由已知， 的定义域为 ，
，
当 时，令 ，得 ．
又 ，所以 ，
当 时， ；
当 时， ．
因此，当 时， 有极小值，极小值为 ， 无极大值；
2sin sin 3C A
π ∴ = − =
3 1 3 4 3cos sin2 2 10A A
++ =
3sin 5A = 3 4 3sin 10C
+=
ABC△
3 4 36sin 10
3sin
5
a Cc A
+×
= = 3 4 3= +
( ) 2 2 lnf x x x a x= − +
4a = − ( )f x
1
2a > ( )f x
( )2 4ln2f = − ( )f x ( )0, ∞+
( )f x 4a = − ( )'f x
1
2a > ( )f x
( )f x ( )0,+∞
( ) 2 2 af x x x
′ = − + =
22 2x x a
x
− +
4a = − ( ) 0f x′ = 22 2 4 0x x− − =
0x > 2x =
0 2x< < ( ) 0f x′ < 2x > ( ) 0f x′ >
2x = ( )f x ( )2 4ln2f = − ( )f x
（Ⅱ）由已知， 的定义域为 ，
，
令 ，
则 在 上递减，在 上递增，
因此， 有最小值 ．
当 时， ，则 ，
此时，函数 在 上单调递增．
【点睛】本题考查根据导数求解函数极值，求解含参函数的单调性，属于中档题
19.已知四棱锥 ，底面 是菱形， ， 为正三角形，平面
底面 ， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求点 到平面 距离．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ．
【解析】
【分析】
（ Ⅰ ） 要 证 ， 即 证 与 所 在 平 面 垂 直 ， 可 取 取 的 中 点 ， 连 结
，证明 平面 ；
（Ⅱ）采用等体积法进行转化，由 求解，先求 的体积，再求 ，
即可求得 到平面 的距离
【详解】证明：（Ⅰ）取 的中点 ，连结 ，则 ，
的
( )f x ( )0,+∞
( ) 2 2 af x x x
′ = − +
22 2x x a
x
− +=
( ) ( )22 2 0g x x x a x= − + >
( )g x 10, 2
1 ,2
+∞
( )g x 1 1
2 2g a = −
1
2a > 1 02a − > ( ) 0f x′ >
( )f x ( )0,+∞
P ABCD− ABCD 60BAD∠ = ° PAD△
PAD ⊥ ABCD 2AD =
AD PB⊥
C PBD
2 155h =
AD PB⊥ AD PB AD O
PO BO、 AD ⊥ POB
P BCD C PBDV V− −= P BCDV − PBDS
C PBD
AD O PO BO、 PO AD⊥
因为底面 是菱形， ，
所以 是正三角形，所以 ，
又因 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ．
（Ⅱ）因为平面 底面 ，且 ，
所以 平面 ， ，
，
所以 ，
在 中， ， ，
取 的中点 ，连结 ，则 ，
，
因为 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以 ．
【点睛】本题考查线线垂直的证明，由等体积法求点到直线距离，属于中档题
20.在直角坐标系 中，动点 （其中 ）到点 的距离的 倍与点 到直
线 的距离的 倍之和记为 ，且 .
（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与轨迹 交于 两点，求 的取值范围.
为
ABCD 60BAD∠ = °
ABD△ BO AD⊥
PO BO O = AD ⊥ POB
PB ⊂ POB AD PB⊥
PAD ⊥ ABCD PO AD⊥
PO ⊥ ABCD 3PO BO= =
1
2BCD ABDS S AD BO= = × ×△ △
1 2 3 32
= × × =
1
3P BCD ABDV S PO− = × ×△
1 3 3 13
= × × =
PBD△ 2PD BD= = 2 2PB PO BO= + = 3 3 6+ =
PB E DE DE PB⊥
1
2PBDS PB DE= × × =△
2
21
2 2
PBPB BD × × −
1 10 1562 2 2
= × × =
P BCD C PBDV V− −=
C PBD h
1
3C PBD PBDV S h− = × ×△
1 15 13 2 h= × × =
2 155h =
xOy ( ),P x y 2x ≥ ( )3,0F 4 P
2x = 3 d 18d x= +
P C
F l C ,M N MN
【答案】（Ⅰ） （ ）；（Ⅱ） ．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意列出方程 ，化简即可求得；
（Ⅱ）分析可知，曲线只包括部分图像，分两种具体情况讨论：当斜率不存在时和斜率存在
时，先确定弦长 对应斜率 的范围，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理表示出根与系
数关系，利用焦半径公式表示出 ， ，结合前式韦达定理表示出
关于 的表达式，利用不等式性质即可求解
【详解】（Ⅰ）依题意， ，
化简得 ，
点 的轨迹 的方程为 （ ）．
（Ⅱ）将 代入曲线方程，解得 ，设点 ， ．
由（Ⅰ）知，轨迹 是椭圆 在直线 的右侧的部分（包括点 ）．
可求出直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .
（1）当直线 的斜率不存在时，设 ， ，
此时， .
（2）当直线 的斜率 存在时，直线 的方程为 .
由已知，直线 与轨迹 交于 两点，
则 或 .
设 ， ，
2 2
136 27
x y+ = 2 6x≤ ≤ 1009 11MN≤ ≤
( ) ( )2 24 3 3 2 18x y x x− + + − = +
MN k
1
16 2MF x= − 2
16 2NF x= −
k
( )2 24 3x y− + + ( )3 2 18x x− = +
( )2 2 13 6 2x y x∴ − + = −
2 2
136 27
x y+ =
∴ P C
2 2
136 27
x y+ = 2 6x≤ ≤
2x = 2 6y = ± ( )2,2 6A ( )2, 2 6B −
C
2 2
136 27
x y+ = 2x = A B、
AF 2 6− BF 2 6
l 93, 2M
93, 2N −
9MN =
l k l ( )3y k x= −
l C ,M N
2 6k ≥ 2 6k ≤ −
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
由（Ⅰ）知， ， ，
所以
由 ，得 .
则 ，
所以
因为 或 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 .
综上可知， ．
【点睛】本题考查曲线的轨迹方程求解，直线与椭圆相交弦长的求法，属于中档题
21.己知函数 ．
（Ⅰ）当 时，函数 在 上是减函数，求 的取值范围；
（Ⅱ）若方程 的两个根分别为 ，求证： .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题，可将条件进行转化，依题意， 在 上是减函数等
价于 对 恒成立，再采用分离参数法解不等式即可；
（Ⅱ）由于方程 的两个根分别为 ，故有
1
16 2MF x= − 2
16 2NF x= −
MN MF NF= + = ( )1 2
112 2 x x− +
( )
2 2
3
136 27
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 23 4 24 36 108 0k x k x k+ − + − =
2
1 2 2
24
3 4
kx x k
+ = +
( ) 2
1 2 2
2
1 12 1212 12 12 32 3 4 4
kMN x x k
k
= − + = − = −+ +
2 6k ≥ 2 6k ≤ −
2 24k ≥
2
1 10 24k
< ≤ 2 12 1009 12 3 114k < − ≤ + 1009 11MN< ≤ 1009 11MN≤ ≤ ( ) 2 lnf x ax bx x= + − 2a = − ( )f x ( )0, ∞+ b ( ) 0f x = ( )1 2 1 2,x x x x< 1 2 02 x xf + ′ >
4b ≤
( ) 22 lnf x x bx x= − + − ( )0,+∞
( ) 14 0f x x b x
′ = − + − ≤ ( )0,x∈ +∞
( ) 0f x = ( )1 2 1 2,x x x x
14 4x x
∴ + ≥
1
2x = = 4b∴ ≤
( )
( )
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
ln 0
ln 0
f x ax bx x
f x ax bx x
= + − = = + − =
2
1 1 1
2
2 2 2
ln
ln
x ax bx
x ax bx
= +∴ = +
( )( ) ( )1
1 2 1 2 1 2
2
ln x a x x x x b x xx
= + − + − ( ) ( )1 2 1 2x x a x x b= − + +
( ) 12f x ax b x
′ = + − ( )1 2
1 22
x xf a x x
+ ′ = + + 1 2
2b x x
− +
1
1 2 2 1 2
1 2ln x
x x x x x
= − =− +
( )1 21
1 2 2 1 2
21 ln x xx
x x x x x
− − = − +
1
21
11 2 2
2
2 1
1 ln
1
x
xx
xx x x
x
− − − +
设 ，则 .
.
在 上递增， .
，
.
即 .
【点睛】本题考查根据函数增减性利用导数求解参数问题，已知函数零点利用导数求证不等
式恒成立问题，运算能力，属于难题
22.已知在直角坐标系 内，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为倾斜
角）．以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（Ⅰ）写出曲线 的直角坐标方程及直线 经过的定点 的坐标；
（Ⅱ）设直线 与曲线 相交于两点 ，求点 到 两点的距离之和的最大值．
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） ．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将曲线的极坐标化简成直角坐标即可求解曲线 的直角坐标方程，直线过的定点由参
数方程即可求得；
( )1
2
0,1xt x
= ∈
1
21
12
2
2 1
ln
1
x
xx
xx
x
− − =
+
( ) ( )2 1ln 1
tg t t t
−= − +
( ) ( )2
1 4
1
g t t t
′∴ = − =
+
( )
( )
2
2
1 0
1
t
t t
− >
+
( )g t∴ ( )0,1 ( ) ( )1 0g t g∴ < = 1 2 0x x− −
1 2 02
x xf
+ ′ >
xOy l
3 cos ,2
1 sin .2
x t
y t
θ
θ
= +
= − +
t θ
O x C
2 2 cos 4
πρ θ = +
C l P
l C A B、 P A B、
( ) ( )2 21 1 2x y− + + = 3 1,2 2P − 2 2
C
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的标准方程，联立可得关于 的一元二次方程，由韦达定理
可得根与系数关系，由参数 的几何意义结合三角函数即可求得最值
【详解】（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ，
直线 过定点 ．
（Ⅱ）将直线 的参数方程代入 ，
得
设点 对应的参数分别为 ，
则 ，
因为 ，所以，
因此，当 时， 有最大值 ．
【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，由直线参数的几何意义求解弦
长问题，属于中档题
23.已知函数 ， .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段法确定分类标准，然后去绝对值号进行不等式求解.
（2）根据 范围将 转化为 或 ，再分离参数求出 的
范围.
【详解】（1）当 时， 即
.
的
t
t
C ( ) ( )2 21 1 2x y− + + =
l 3 1,2 2P −
l ( ) ( )2 21 1 2x y− + + =
( )2 3cos sin 02t tθ θ+ + − =
A B、 1 2t t、
( )1 2 cos sint t θ θ+ = − + 1 2
3
2t t = −
1 2 0t t < 1 2 1 2PA PB t t t t+ = + = − = ( )2 1 2 1 24t t t t+ − = ( )2cos sin 6 7 sin 2θ θ θ+ + = + 4 πθ = PA PB+ 2 2 ( ) 2 2f x x x a= − − − a R∈ 1a = ( ) 0f x >
( ),2x∈ −∞ ( ) 0f x < a { | 1 1}x x− < < 4a ≥ x ( ) 0f x < 2 2x a x− > − 2 2x a x− < − a 1a = ( ) 0f x >
1
2
1 0
x
x
≤
+ >
等价于： ，或 ，或
解得 或 或
所以原不等式的解集为： .
（2） 所以 可化为
即 或
①式恒成立等价于 或
∵ ，∴ 或 ，
∴ .
【点睛】主要考查绝对值不等式的求解以及恒成立问题，属于中档题.绝对值不等式常用零点
分段法进行求解，而恒成立问题常用分离参数法或者构造函数法进行求解.
1 22
3 3 0
x
x
<
2
1 0
x
x
≥
− − >
( ) 2 2f x x x a= − − −
11 2x− < ≤ 1 12 x< < x φ∈ { | 1 1}x x− < < 2 2x a x− > − ( ) 0f x < 2 2x a x− > −
2 2x a x− < − ( )min3 2x a− >
( )max2x a+ < ( )max2x a+ < ( ),2x∈ −∞ a φ∈ 4a ≥ 4a ≥
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