2019-2020 学年高三 12 月考（文数）试卷
命题人：高三数学备课 组审核人：高三数学备课组
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|lnx＜1}，B={y|y= }，则 A∪B=（ ）
A. B. C. D. ,
2. 复数 ,则 （ ）
A. 5 B. 3 C. D.
3. 命题 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了 2018 年 1 月至
2018 年 11 月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下
面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是( )
A．月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数
B．1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳
C.月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月
D．月跑步平均里程逐月增加
5.已知向量 , 满足 , , ,则向量 在 方向上的投影为( )
A. B. C. 2 D. 1
6.函数 f（x）= 的图象大致是（ ）A. B. C. D.
7.将函数 f(x)=cos(2x- )的图象向左平移 个单位，得到函数 g(x)的图象，则下
列说法不正确的是( ).
A. B. 在区间 上是增
函数
C. 是 图象的一条对称轴 D. 是 图象的一
个对称中心
8.已知数列 满足 ， ，则 （）
A. B. C. 2 D. 3
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. 24 C. 16
D. 8
10.执行如图所示的程序框图，如果输入 n＝3，则输出的 S
＝（ ）
A. B. C. D.
11. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 其 导 函 数 ， 当 时 ， 恒 有
， 若 ， 则 不 等 式 的 解 集 为
A. B. C. D. 12. 已 知 是 椭 圆 与 双 曲 线 的 公 共 焦 点 ， 是 它 们 的 一 个 公 共 点 ， 且
，线段 的垂直平分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离
心率为 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C.6 D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13.从 2、3、8、9 任取两个不同的数值，分别记为 a、b，则 为整数的概率= .
14.设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值
为________．
15.在四面体 中， ， ， ， ，则
该四面体外接球的表面积是 .
16.已知数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ，
将数列 、 中的共有元素依次取出，构成数列 ，则 c10=________．
三、 解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17.（本题 12 分）已知函数 ．
（Ⅰ）求 f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 f（C）=1，S△ABC= ，
c= ，求△ABC 的周长．
18. （本题 12 分）某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的
满意程度，随机选取了 100 位同学进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其
bloga
21, FF P
|||| 21 PFPF > 1PF 2F 1e
2e 2
2 2
1
e
e
+
6 3 3
S ABC− BCAB ⊥ 2AB BC= = 2SA SC= = 6SB =满意度评分值（百分制）按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分
成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中 x 的值；（2）求这组数据的中位数；
（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80)的学生中按分层抽样的方法
抽取 5 人进行座谈了解，再从这 5 人中随机抽取 2 人作主题发言，求抽取的 2
人恰在同一组的概率．
19.（本题 12 分） 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AB∥CD，
AB⊥AD，PA⊥平面 ABCD，E 是棱 PC 上一点．
(1)证明：平面 ADE⊥平面 PAB．
(2)若 PE＝4EC，O 为点 E 在平面 PAB 上的投影， ，AB＝AP＝2CD＝2，求
四棱锥 P－ADEO 的体积．
20.（本题 12 分）
已知椭圆 的长轴与短轴比值是 2，椭圆 C 过点 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 P（0，m）作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，记△AOB（O 为
坐标原点）的面积为 S△AOB，将 S△AOB 表示为 m 的函数，并求 S△AOB 的最大值
21.（本题 12 分）函数 f（x）＝（x＋b）（ex-a）（b＞0）的图象在 x＝-1 处的切
线方程是（e-1）x＋ey＋e-1＝0．（1）求 a，b 的值；
（2）若 m≤0，证明：f（x）≥mx2＋x．
请考生在 22、23、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请
写清题号
22.（本题 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t
为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标
方程为 ．
（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，设 M（1，1），求 的值．
23.
2019-2020 学年高三 12 月考（文数）答案和解析
1. C 2. A. 3A. 4.B. 5.A 6.D 7.D 8.B 9.D 10.B 11.A 12.C
13. 14. -3 15. 6 π 16. 812 .
17. 解：（Ⅰ）根据题意，
=
．
当 时，f（x）取最小值为 ．
（Ⅱ） ，即 ，
又由 C∈（0，π），则 ，则 ；
，解可得 ab=3，
由余弦定理得 ，
∴（a+b）2=16，即 a+b=4，∴ ，
所以△ABC 的周长为 ．
18. 解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得 x=0.02．
（2）中位数设为 m，则 0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得 m=75．
（3）可得满意度评分值在[60，70）内有 20 人，抽得样本为 2 人，记为 a1，a2
满意度评分值在[70，80）内有 30 人，抽得样本为 3 人，记为 b1，b2，b3，
记“5 人中随机抽取 2 人作主题发言，抽出的 2 人恰在同一组”为事件 A，
基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），
（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共 10 个，A 包含的基本事件个数为 4 个，
利用古典概型概率公式可知 P（A）=0.4．
19. (1)证明：因为 PA⊥平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 PA⊥AD，
又 AB⊥AD，PA∩AB＝A，所以 AD⊥平面 PAB，
又 平面 ADE，所以平面 ADE⊥平面 PAB；
(2)解：取 AB 的中点 F，
1
6所以 CF∥AD，则 CF⊥AB，
又 PA⊥CF，PA∩AB＝A，所以 CF⊥面 PAB，
则 EO∥CF，即 O 点在线段 PF 上，
又 PE＝4EC，所以 PO＝4OF， ，
则 ， ，
， ．
20. 解：（1）∵椭圆 的长轴与短轴比值是 2，
∴a=2b，设椭圆 C 的方程为： ，
∵椭圆 C 过点 ，
∴ ，∴b=1，a=2，
∴椭圆 C 的标准方程为 ．
（2）由题意知，|m|≥1．
由题设知切线 l 的斜率存在，设切线 l 的方程为 y=kx+m，
由 ，得 ，
设 A、B 两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），
则 ，
又∵l 与圆 x2+y2=1 相切，
∴ =1，k2=m2-1，
∴|AB|=
=
= ，
∴ ，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）∴ （当且仅当 时取等号）
∴当 时，S△AOB 的最大值为 1．
21. 解：（1）由 得该切线斜率为 且 ，
所以 ，
解得 或 ，
又 ，
所以 ，
若 ，则 ，与 矛盾，
故 ， .
（2）证明：由（1）可知 ，
由 ，可得 ，
令 ， ，
当 时， ，
当 时，设 ， ，
故函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，
即函数 在区间 上单调递减，
当 时， ，
即函数 在区间 上单调递增，
，
所以 ，即 .
22. 解：（1）由 （t 为参数）消去参数 t，可得直线 l 的普通方程为：
,
由 得
所以曲线 C 的直角坐标方程为： ;
（2）依题意可得直线 l 的参数方程为： （m 为参数），
将其代入曲线 C 的方程得：m2+ m-3=0，显然 ，
且设点 A、B 对应的参数分别为 m1 和 m2,
所以 ，
所以
=
= .
23. 解：（1）当 a=-3 时，f（x）≥3 即|x-3|+|x-2|≥3，
即 或 或 ，
解得 或 ，
即原不等式的解集为 ；
（2）f（x）≤|x-4|的解集包含[1，2]，
即 f（x）≤|x-4|在[1，2]上恒成立，
即 在[1，2]上恒成立，等价于 ，即 ，
所以 在[1，2]上恒成立，
故当 时，-2-x 的最大值为-2-1=-3，2-x 的最小值为 0.
故 a 的取值范围为[-3,0]．
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