茂名市 2020 届五校联盟高三第一次联考
数学（文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则 ( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求集合 ，再求 .
【详解】 或 ， .
故选 B.
【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题型.
2.已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的虚部为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先 ，然后化简求虚部.
【详解】 ，虚部为 .
故选 A.
【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的相关概念，属于简单题型.
3.设实数 ，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
{ }2 4 3 0x x xA − + ≥= { }2 2x xB = − ≤ ≤ A B =
[2,3] [ 2,1]− [1,2] [ 2,3]−
A A B
{ | 3A x x= 1}x [ ]2,1A B = −∴
Z ( )1 2Z i i+ = + i Z
1
2
− 1
2
1
2 i− 1
2 i
2
1
iZ i
+= +
2 3 1
1 2 2
i iiZ
+ = −+= 1
2
−
1
2
3 1
5
1log 5 , log , 43a b c
−= = =
b c a> > a c b> > a b c> > b a c> >
【分析】
和中间值 和 1 比较，得到大小关系.
【详解】 ， ，
，且 ， ，
故选 C.
【点睛】本题考查指数和对数化简，以及比较大小，一般指对幂函数比较大小，可以根据单
调性比较，也可以根据中间值比较大小.
4.下列命题是真命题的是（ ）.
A. 命题 ， 则 ；
B. 若平面 ，满足 则 ；
C. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”；
D. “命题 为真”是“命题 为真”的充分不必要条件；
【答案】C
【解析】
【分析】
逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】A.全称命题 的否定 ，故 A 不正确；
B. 若平面 ，满足 则 或 与 相交，故 B 不正确；
C.根据逆否命题的形式，可知 C 正确；
D.命题 为真，不能推出 是真，反过来 是真时， 为真，所以“命题
为真”是“命题 为真”的必要不充分条件，故 D 不正确.
故选 C
【点睛】本题考查命题的相关知识，意在考查命题的简单应用，属于基础题型.
, ,a b c 1
2
3 3log 5 log 3 1a = > = 1a∴ >
1 5 5
5
1 1log log 3 log 53 2b = = > = 1b< 1 12 b∴ < < 1 2 14 2c −= = a b c∴ > >
2: , 1 1p x R x∀ ∈ −
2
0 0: , 1 1P x R x¬ ∃ ∈ −
, ,α β γ ,α γ β γ⊥ ⊥ / /α β
( 1) 1 0xx e− + = 0x = 0x ≠ ( 1) 1 0xx e− + ≠
p q∨ p q∧
2: , 1 1p x R x∀ ∈ −
2
0 0: , 1 1P x R x¬ ∃ ∈ − >
, ,α β γ ,α γ β γ⊥ ⊥ / /α β α β
p q∨ p q∧ p q∧ p q∨ p q∨
p q∧
5.已知两个向量 满足 且 与 的夹角为 ，则 （ ）.
A. 1 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据 ，代入求 .
【详解】
，
即
，
故选 B
【点睛】本题考查向量数量积的运算，意在考查公式的转化与计算能力，属于基础题型.
6.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不
为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：
有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一
半，走了 6 天后到达目的地，问此人前三天共走了（ ）.
A. 48 里 B. 189 里 C. 288 里 D. 336 里
【答案】D
【解析】
【分析】
记每天走的路程里数为 ， 是等比数列，根据等比数列公式求解
【详解】记每天走的路程里数为 ， 是等比数列，
,a b 1, 2 7a a b= − = a b
3
π
| | =b
3 5
( )2 2 22 4 4 7a b a a b b− = − ⋅ + = b
( )2 2 22 4 4a b a a b b− = − ⋅ +
224 4 cos 3a a b b
π= − +
214 4 1 2b b= − × × × +
2
2 4b b= − +
2
2 4 7b b− + = 2
2 3 0b b⇒ − − =
( )( )1 3 0b b+ − =
3b∴ =
{ }na { }na
{ }na { }na
设第一天行走里程数是 ， ， ， ，
，
故选 D.
【点睛】本题考查数学文化问题，意在考查抽象，概括和计算求解能力，属于基础题型.
7.某几何体的三视图如图：其中俯视图是等边三角形，正视图是直角三角形，则这个几何体
的体积等于（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图的三个图都是三角形，可知几何体是三棱锥，底面是如俯视图的底面，三棱锥的
高是正视图的高， .
【详解】由三视图可知几何体是三棱雉，底边是边长为 的等边三角形， ，
高为 3， ，
1a 1
2q = 1 6
6
11 2 37811 2
a
s
− = =
−
1 192a =
3
3
1192 1 2 33611 2
s
− = =
−
∴
3 3 2 3
3 3
3
1
3V Sh=
2 1 2 3 32S = × × =
1 3 3 33V = × × =
故选 C .
【点睛】本题考查根据三视图，求几何体的体积，意在考查空间想象和计算能力，属于基础
题型.
8.函数 的图象可能是（ ）.
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间 时， 判断选项.
【详解】 是偶函数， 是奇函数， 是奇函数，函数图象关
于原点对称，故排除 A,B
，当 时， ，
，排除 C.
故选 D .
3 sin 2xy x=
,2x
π π ∈
( ) 0f x < 3 xy = sin 2y x= ( ) 3 sin 2xf x x= 02f = π ( , )2x π π∈ 3 0xy = > sin 2 0y x= < 3 sin 2 0xy x∴ = 1)a ≠ ( ),k b m n b+ = 0, 0m n> > 4 1
m n
+
9
2
5
2
1, 2k b= = 2m n+ =
4 1
m n
+
(1,2)
1, 2k b∴ = =
2m n∴ + =
4 1 1 4 1( )( )2 m nm n m n
+ = + +∴ 1 4 9(5+ )2 2
m n
n m
= +
4m n
n m
=
4 2,3 3m n= = 9
2
( ) ( )2cos 2 3 cos 04 2
xf x x
π ωω ω = − − > 0, 2
π
ω
6
5
4
3
3
2
【解析】
【分析】
首先化简函数 ，需满足 ，根据函数在区间 单调递
减，所以求 的范围，且是 的子集，最后求 的范围.
【详解】
在区间 上单调递减，
,即
，
当 时，
，
，
，
综上可知 .
故选 C
【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中
档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首
先将三角函数写成形如 ，或 ，
的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参
数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.
( ) 2cos 33f x x
πω = + − 2 2
T π≥ 0, 2
π
3x
πω + [ ]0,π ω
( ) cos 3 1 cos 2f x x x
πω ω = − + −
cos 3sin 3x xω ω= − −
2cos 33x
πω = + −
( )f x 0, 2
π
2 2
T π∴ ≥
2
π π
ω ≥
0 2ω∴ < ≤ [0, ]2x π∈ [ , ]3 3 2 3x π π ω πω π+ ∈ + ∴ [ , ] [0, ]3 2 3 π ω ππ π+ ⊆ ∴ 2 3 ω ππ π+ ≤ 40 3 ω∴ < ≤ 40 3 ω< ≤ ( )siny A x bω ϕ= + + ( )cosy A x bω ϕ= + + ( )tany A x bω ϕ= + +
11.在等腰直角三角形 中， ， 为 的中点，将它沿 翻折，
使点 与点 间的距离为 ，此时四面体 的外接球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，将四面体 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的
半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.
【详解】 中，易知 ，
翻折后 ,
，
，
设 外接圆的半径为 ，
， ，
如图：易得 平面 ，将四面体 放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆
心连线中点，设几何体外接球的半径为 ，
，
四面体 的外接球的表面积为 .
故选 D
ABC , 2 22C CA
π∠ = = D AB CD
A B 2 3 ABCD
5π 20 5
3
π 12π 20π
ABCD
ABC∆ 4AB = 2CD AD BD= = =
2 3AB =
( )22 22 2 2 3 1cos 2 2 2 2ADB
+ −
∴ ∠ = = −× ×
120ADB∴∠ =
ADB∆ r
2 3 2 4sin120 r∴ = =
2r∴ =
CD ⊥ ABD ABCD
R
2 2 2 2 21 2 1 5R r= + = + =
∴ ABCD 24 20S Rπ π= =
【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中
档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径
容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，
或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.
12.已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 是
偶函数， ，则不等式 的解集为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先构造函数 ，根据导数判断函数是单调递增函数， 将不等式转化为
即 ，利用单调性解不等式.
【详解】设 ， 在 上单调递增.
即 ，
在 上单调递增
R ( )f x ( )f x′ ( ) ( ) ( 1)f x f x y f x′ > = +且
2(0) 2f e= ( ) 2 xf x e< ( ,2)−∞ ( ,0)−∞ (0, )+∞ (2, )+∞ ( ) ( ) x f xg x e = ( ) 2x f x e < ( ) ( )2g x g< ( )( ) x f xg x e = ( ) ( )( ) 0x f x f xx e ′ −′ = >g∴ ( )g x∴ R
( ) 22 2f e=
( )( ) 2 2x
x
f xf x e e
< ⇔ < ( ) (2)g x g< ( )g x R
，答案 ，
故选 A
【点睛】本题考查根据导数判断函数的单调性，根据单调性解抽象不等式，意在考查转化与
变形，利用导数构造函数，首先要熟悉导数运算法则，其次要熟悉一些常见的函数的导数，
比如 ，
，
.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.设 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求 ，再求 .
【详解】
.
故答案为-2
【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单题型.
14.已知动点 满足 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
2x∴ < ( ,2)−∞ ( ) ( )g x xf x= ⇒ ( ) ( ) ( )g x f x xf x′ ′= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x xg x e f x g x e f x f x′ ′= ⇒ = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x f x x f xg x g xx x ′ ⋅ −′= ⇒ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f x f xg x g xe e ′ −′= ⇒ = 2 ( 0)( ) ln ( 0) x xf x x x ≤= >
1( ( ))f f e
− =
2−
1f e
−
1f f e
−
2
2
1 1 1f e e e
− = − =
2 2
1 1 1ln 2f f fe e e
− = = = −
( ),P x y
2 0
0
3 0
x y
y
x y
−
+ −
1
2
y
x
+
+
1[ ,1]5
首先做出可行域， 表示 与 连线的斜率 ，根据数形结合求 的范围.
【详解】作出可行域如图，
表示 与 连线的斜率 ，当直线过点 时， 最大，此时
，当直线过点 时， 最小，此时 的最小值为 ，
故答案为 .
【点睛】本题考查线性规划，根据目标函数的几何意义求最值，属于基础题型.
15.已知点 是角 终边上任一点，则 ________.
【答案】
【解析】
分析】
先求得 再利用齐次式进行化简计算即可.
【详解】 ，
.
【点睛】本题考查三角函数 定义和恒等变形，用 表示 和 的齐次式子，意
在考查变形和计算能力.
16.设正项等差数列 的前 项和为 ， 和 是函数 的极值
点，则数列 的前 项和为___________.
【答案】
【解析】
【
的
1
2
y
x
+
+
( ),P x y ( )2 1− −， k k
1
2
y
x
+
+
( ),P x y ( )2 1− −， k ( )1,2 k
( )
( )
2 1 11 2k
− −= =− − ( )3,0 k
( )
( )
0 1 1
3 2 5k
− −= =− − k 1
5
1[ ,1]5
( , 2 ) ( 0)p m m m ≠ α 2sin 2 cosα α− =
3
5
tan 2y
x
α = =
tan 2α =
2
2
2 2 2
2sin cos cos 2tan 1 3sin 2 cos sin cos tan 1 5
α α α αα α α α α
− −− = = =+ +∴
tanα sinα cosα
{ }na n nS 2a 1na −
21( ) ln 42f x x x nx= + −
{ }( 1)n
nS− 2n
24 2n n+
分析】
首先求函数的导数，得到 ，所以 ，根据等差数列的性质和求和
公式得到 ，再代入 ，利用并项求和.
【详解】 ，
.
， ， ，
数列 的前 项和为
.
【点睛】本题考查函数极值点和数列求和的综合应用，重点考查数列求和，一般数列求和包
含 1.公式法，利用等差和等比数列的前 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数
列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为 ，
4.分组转化法求和，适用于 ；5.并项求和法，比如本题；6.倒序相加法求和.
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知向量 ，函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若 ，求 的值；
【答案】（1） ；
（2） ；
【解析】
【分析】
（1）首先利用向量数量积得到 ，利用三角函数恒等变形得
到 ， 然 后 利 用 周 期 公 式 求 周 期 ； （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知
【
2 4 1 0x nx− + = 2 1 4na a n−+ =
22nS n= ( )1 n
nS−
1'( ) 4 0f x x nx
= + − =
2 4 1 0x nx− + =∴
2 1 4na a n−+ =∴ 1 4na a n+ =∴ 22nS n=∴
{ }( 1)n
nS− 2n
2 2 2 2 2 2 2
2 2[ 1 2 3 4 5 (2 1) (2 ) ]nS n n= − + − + − + − − +
22[3 7 (4 1)] 4 2n n n= + + + − = +
n
( ) ( )1na f n f n= + −
n n nc a b= +
(cos ,sin ) , (cos , 3 cos )m x x n x x= = 1( ) 2f x m n= ⋅ −
( )f x
3, ( )6 2 5f
π πα α∈ =（ ， ） cos2α
π
3 4 3
10
−
2 1( ) cos 3sin cos 2f x x x x= + −
( ) sin 2 6f x x
π +
=
2T ω
π=
，求 值，然后利用 求解.
【详解】（1） ，
函数 的最小正周期 .
（2） ，
，
，
，
.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，意在考查变形与转化，以及计算
求解能力，属于基础题型.
18.在数列 中， 为 的前 项和， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明 .
【答案】（1） ；
（2）证明见解析；
【解析】
的3sin 2 6 5
πα + = cos 2 6
πα + cos2 cos 2 6 6
π πα α = + −
2 1( ) cos 3sin cos 2f x x x x= + −
1 cos2 3 1sin 22 2 2
x x
+= + −
3 1sin 2 cos22 2x x= +
sin(2 )6x
π= +
∴ ( )f x 2
2T
π π= =
3( ) sin(2 )6 5f
πα α= + =
,6 2
π πα ∈
72 ,6 2 6
π πα π ∴ + ∈
4cos(2 )6 5
πα + = −∴
cos2 cos 2 6 6
π πα α = + −
=cos(2 )cos sin(2 )sin6 6 6 6
π π π πα α+ + +
4 3 3 1 3 4 3= =5 2 5 2 10
−− × + ×
{ }na nS { }na n 2 2 3 ( )n nS n a n N ∗+ = ∈
{ }na
1
1 n
n
n n
ab a a +
+= ⋅ { }nb n nT 1
4nT < 3 1n na = −
【分析】
（1）首先根据已知得到 ，然后两式相减得到 ，构造
是 公 比 为 3 的 等 比 数 列 ， 求 通 项 公 式 ； （ 2 ） 根 据 （ 1 ）
，再利用裂项相消法求和，证明 .
【详解】（1） ，
，
两式相减得 ，
，
又 ，
数列 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，
（2）
【点睛】本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含 1.公
式法，利用等差和等比数列的前 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等
比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为 ，4.分组转化
法求和，适用于 ；5.倒序相加法求和.
19. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
( )1 12 2 1 3n nS n a+ ++ + = 1 3 2n na a+ = +
{ }1na +
1 1
3 1 1 1( )(3 1)(3 1) 2 3 1 3 1
n
n n n n nb + += = −− − − −
1
4nT < 2 2 3n nS n a+ = 1 12 2( 1) 3n nS n a+ +∴ + + = 1 3 2n na a+ = + 1 1 3( 1)n na a+ + = +∴ 1 1 12 2 3 , 2S a a+ = =∴ ∴ { }1na + 1 3 , 3 1n n n na a+ = = −∴ ∴ 1 1 3 1 1 1( )(3 1)(3 1) 2 3 1 3 1 n n n n n nb + += = −− − − − 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1........2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1n n nT + = − + − + + − − − − − − − ∴ 1 1 1 1 1 4 2 3 1 4n+= − ⋅ ( )h x
1
3 3
m− =
1m∴ = −
当 时， ，
， ，
曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 ，
（2）由（1）知 ，
时， 恒成立，
即 恒成立，
即 ，
令 ，
令 ， ，
时，
在 单调递减，
， ，
， 单调递增；
单调递减；
3 2( ) 1g x x x tx= − + −∴
1t = 3 2( ) 1g x x x x= − + −∴
2( ) 3 2 1g x x x′ = − +
(1) 0g = (1) 2g′ =
∴ ( )g x (1, (1))g 2( 1)y x= −
2 2 0x y− − =
3 2( ) 1g x x x tx= − + −
0x∴ > 3( ) 0xg x e x+ −
3 2 31 0xx x tx e x− + − + −
1 xet x x x
≥ + −
1( )
xeh x x x x
= + − ( )0x >
2
2 2
1 ( 1)( )
xx e xh x x x
− −′ = −
2
( 1)( 1 )xx x e
x
− + −= ( )0x >
( ) 1 xp x x e= + − ( ) 1 xp x e′ = −
(0, )x∈ +∞ ( ) 0p x′ < ( )p x (0, )+∞ ( ) (0) 0p x p< =∴ 1 0xx e+ −
(1, ), ( ) 0, ( )x h x h x′∈ +∞ < max( ) (1) 2h x h e= = −∴
，
的取值范围为 .
【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数证明不等式，证明不等式恒成立是导数常
考题型，一般可根据参变分离的方法转化为求最值，或是根据不等式直接设函数，讨论参数
求函数的最值.
22.已知函数 ，
（1）讨论 在 上的单调性.
（2）当 时，若 在 上的最大值为 ，证明：函数 在 内有且
仅有 2 个零点.
【答案】（1） ， 在 单调递减； 时， 在 单调递增；
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1） ，分 和 ，讨论函数 单调性；（2）根据（1）的结
论和最值求 ， ，因为函数单调递增， ，可知
上 有 一 个 零 点 ， 设 ， 再 求
，当 时 ，从而得到含 的单调性和零
点，再判断函数 的单调性和零点.
【详解】（1） ，
当 ， 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
的
2t e−∴
t∴ [ )2- ,e +∞
( )1( ) sin 02f x ax x a a R a= − ∈ ≠，
( )f x [0, ]2
π
0a > ( )f x 0, 2
π
1π − ( )f x (0, )π
0a < ( )f x 0 2 π ， 0a > ( )f x 0 2
π
，
( ) (sin cos )f x a x x x′ = + 0a > 0a < 2a = ( ) 2 sin 1f x x x= − ( )0 02f f π ⋅ ∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
综上得当 ， 在 单调递减；
时， 在 单调递增；
（2）由（1）知 时
的最大值为
由 得 ，
在 上单调递增；
且 ， ，
在 内有且仅有 1 个零点.
当 时
令 ，
，
在 内单调递减，
且 ， ，
存在 ，使得 ，
时，
在 单调递增
时，
在 上无零点，
当 时，
在 内单调递减；
0a < ( )f x 0 2 π ， 0a > ( )f x 0 2
π
，
0a >
( )f x 1( )2 2 2f a a
π π= −
1 12 2a a
π π− = − 2a =
∴ ( ) 2 sin 1f x x x= −
( )f x [0, ]2
π
(0) 1 0f = − < ( ) 1 02f π π= − >
( )f x∴ (0, )2
π
[ , )2x
π π∈
( ) ( ) 2(sin cos )g x f x x x x′= = +
( ) 2(2cos sin ) 0g x x x x′ = − < ( )g x∴ ( , )2 π π ( ) 2 02g π = > ( ) 2 0g π π= − < ∴ 0 ( , )2x π π∈ 0( ) 0g x = 0( , )2x x π∈∴ ( ) 0f x′ >
( )f x 0( , )2 x
π
0[ , )2x x
π∈∴ ( ) ( ) 1 02f x f
π π= − >
( )f x∴ 0( , )2 x
π
0( )x x π∈ ， ( ) 0f x′ < ( )f x 0( , )x π
又
在 内有且仅有 1 个零点，
综上所述， 在 内有且仅有 2 个零点.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点
个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，.解决零点问题常用
方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.
0( ) 0, ( ) 1 0f x f π> = − < ( )f x∴ 0( , )x π ( )f x (0, )π
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