珠海市 2019~2020 学年度第一学期高三摸底测试
理科数学
时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， 则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
算出 后可得 .
【详解】 ，故 ，
故选 D.
【点睛】本题考查集合的补运算及求一元二次不等式的解，属于基础题.
2.已知 为虚数单位，若复数 满足 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法算出 后可求其模.
【详解】 ,
故 ，选 B.
【点睛】本题考查复数的除法及复数模的计算，属于基础题.
3.已知角 的终边过点(4，－3)，则 ＝( )
,
{ }2| 3 2 0A x x x= − + < { }1B x x= > ( )BC A =
{ }1x x > { }1 2x x< < { }2x x >
{ }2x x ≥
A ( )BC A
{ } ( )2 1,| 2 0 23A x x x < == − + ( ) [ )2,BC A = +∞ i z 3 1 iz i −= + z = 1 2i+ 3 i+ 5 10 z ( )( ) ( )( ) 3 13 2 4 1 21 1 1 2 i ii iz ii i i − −− −= = = = −+ + − 5z = θ cos( )π θ−
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据角 θ 的终边过点（4，-3），求得 cosθ 的值，进而根据诱导公式求得 cos（π-θ）
=-cosθ 求得答案．
【详解】解： 角 θ 的终边过点（4，-3）， ， ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了任意角三角函数定义及诱导公式的应用，属基础题．
4.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 可 得 ， 故 可 得 ， 再 利 用 等 差 数 列 的 性 质 可 得
，故可得 的值.
【详解】由 可得 ，故 ，
所以 ，所以 ，故选 A.
【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为
关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求
解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．
5.我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为 (单位:分钟) ,按
时间分下列四种情况统计：① ；② ；③ ；④ ，
有 名小学生参加了此项调查，如图是此次调查中某-项的程序框图，其输出的结果是 ,
则平均每天做作业时间在 分钟内的学生的频率是( )
3
5
3
5-
4
5
4
5
−
4cos 5
θ∴ = ( ) 4cos cos 5
π θ θ∴ − = − = −
{ }na n nS 5 10S S= 11 5a a+ =
0 5 8 16
5 10S S= 6 7 8 9 10 0a a a a a+ + + + = 8 0a =
11 5 82a a a+ = 11 5a a+
5 10S S= 6 7 8 9 10 0a a a a a+ + + + = 85 0a =
8 0a = 11 5 82 0a a a+ = =
X
0 30X≤ ≤ 30 60X< ≤ 60 90X< ≤ 90X >
1000 200
[ ]0,60
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
流程图输出的 的值是 的人数，故可得 的人数，据此可以计算在
分钟内的学生的频率.
【详解】流程图输出的 的值是 的人数，故 的人数为 200，
故 的人数为 ，所以所求的频率为 ，故选 D.
【点睛】本题考查流程图的理解，注意根据选择结构和循环结构及各变量的变化判断流程图
的作用，此类问题属于基础题.
6.已知函数 为定义在 上的奇函数，且 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的周期性可得 ，再根据奇偶性可得 .
【详解】因为 ，故 为周期函数，
而 ，所以 ，故选 D.
【点睛】本题考查函数的周期性和奇函数的性质，属于基础题.
7.“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分
也不必要条件
0.2 0.4 0.6 0.8
S 60X > 0 60X≤ ≤ [ ]0,60
S 60X > 60X >
0 60X≤ ≤ 800 0.8
( )f x R ( ) ( )3 f x f x+ = ( )2019f =
2019 3 3− 0
( ) ( )2019 0f f= ( )0 0f =
( ) ( )3 f x f x+ = ( )f x
2019 3 673= × ( ) ( )2019 0 0f f= =
ln lnx y< x ye e ( ) 0f x′ > ( )
ln
xf x x
= [ ),e +∞
( ) ( ) ( )4 , 3 ,a f b f c f e= = = 3 4e < < a b c> >
1 ABCD 60BAD∠ = E BE EC= AE BD⋅
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
以 为基底向量表示 后可计算 的值.
【详解】 ， ，
所以
，故选 C.
【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和
向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标
系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积
的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把
未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．
10.函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性可排除 B，再根据 时 的符号可排除 D，再根据 时，
可排除 C，从而得到正确的选项.
1
3
− 1
2
− 1
4
− 1
6
−
,AB AD ,AE BD AE BD⋅
1 1
2 2AE AB BC AB AD= + = + BD AD AB= −
( )1
2AB AD ADAE B ABD + −
⋅ =
2 21
2
1
2 AB AD AD AB⋅ + −= 2 21 1 11 1 1 12 2 4
1
2
× × × + × − = −=
( ) , ,0 0,2s ( ) ( )in
x xe ef x xx
π π
−+= ∈ −
( )0,x π∈ ( )f x x π→
( ) +f x → ∞
【详解】函数的定义域关于原点对称，且 ，
故 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除 B.
又当 时， ，所以 ，故排除 D.
又当 时， ，故排除 C ，
综上，选 A.
【点睛】本题为图像题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到
函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大
小或取值范围．
11.已知点 .若直线 上存在点 使得 ,则实数 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
先求出 的轨迹，它是圆，再根据 在直线 上得到直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距
离小于或等于半径可得实数 的取值范围.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 即 ，
因为 在直线 上，所以圆心 到直线 的距离 即 ，
故选 C.
【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），
常见的“隐形圆”有：
（1）如果 为定点，且动点 满足 ，则动点 的轨迹为圆；
（2）如果 中， 为定长， 为定值，则动点 的轨迹为一段圆弧．特别地，如
【
( ) ( ) ( )
2sin
x xe ef x f xx
− +− = = −−
( )f x
( )0x π∈ ， sin 0, 0x xx e e−> + > ( ) 0f x >
x π→ ( ) +f x → ∞
( ) ( )1,0 , 1,0M N− :l x y m+ = P PM PN⊥ m
[ ]1,1− ( )1,1− 2, 2 −
( )2, 2−
P P l
m
( ),P x y ( ) ( )1, , 1,PM x y PN x y= + = −
PM PN⊥ 0PM PN⋅ = 2 2 1x y+ =
P l ( )0,0O l 1
2
md = ≤ 2 2m− ≤ ≤
,A B M ( )1MA MBλ λ= ≠ M
ABC∆ BC A A
果 ，那么动点 在以 为直径的圆上.
12.将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，若函数
在区间 上单调递增，且 的最大负零点在区间 上,则 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 的解析式，根据 在 上递增可得 ，再根据最大的负零点
的范围可得 ，故可得 的取值范围.
【详解】 ，
令 ，则 .
故 轴右侧的第一条对称轴为 ，左侧第一条对称轴为 ，
所以 ，所以 .
令 ，则 ，故 ，
最大的负零点为 ，所以 即 ，
综上， ，故选 B.
【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变
量 作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响.
三角函数图像问题中的参数的取值范围问题，常常需要结合图像的对称轴和对称中心来考虑.
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
2A
π= A BC
sin 2y x= 0 2
πϕ ϕ <
7 3 7 3 54 2 4 4 20a a a a a+ ≥ = =
3 7
510, 2a a= = 7 34a a+
x 2(90, )N σ
( )70 0.1P x < = 10 [ ]90,110 X X X 2.4 ( )90 110P x≤ ≤ ( )D X
【详解】因为 ，所以 ，
而 .
所以 ，
而 ，所以 .
【点睛】本题考查正态分布的概率计算和二项分布的方差的计算，此类问题为基础题.
16.已知 是抛物线 ： 的焦点，点 ，点 是 上任意一点，当点 在
时， 取得最大值，当点 在 时， 取得最小值.则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
依据题意作出图象，由三角形知识可得： ，当且仅当 三
点共线时， 取得最小值 ，即可求得 ，由抛物线定义可将
转化成 ，结合图象可得 ,当且仅当 三点
共线时， 取得最大值 ,即可求得 ，问题得解。
【详解】作出抛物线 ： 的图象如下：
( )290,x N σ ( ) ( )190 110 1102P x P x≤ ≤ = − >
( ) ( )110 70 0.1P x P x> = < = ( )90 110 0.4P x≤ ≤ = ( )10,0.4X B ( ) 10 0.4 0.6 2.4D X = × × = F C 2 8y x= (2,6)M P C P 1P PF PM− P 2P PF PM− 1 2PP = 5 17 2 MF PF PM MF− ≤ − ≤ , ,P M F PF PM− MF− ( )2 2, 4P − PF PM− PN PM− PN PM ME− ≤ , ,P M E PF PM− ME 1 9 ,62P C 2 8y x=
过点 作抛物线准线的垂线段 ，过点 作抛物线准线的垂线段
由抛物线方程可得：
由三角形知识可得：
所以
当且仅当 三点共线时， 取得最小值 ，
即点 位于图中的 处，可求得：
由抛物线定义可得： ，
由图可得： ，
当且仅当 三点共线时， 取得最大值 ,
即点 位于图中的 处，可求得： .
所以 .
【点睛】本题主要考查了三角形中的边长关系，还考查了抛物线的定义及数形结合思想，考
P PN M ME
( )2,0F
PF PM MF− ≤
MF PF PM MF− ≤ − ≤
, ,P M F PF PM− =-6MF−
P 2P ( )2 2, 4P −
PN PF=
PF PM− = =4PMPN ME− ≤
, ,P M E PF PM− ME
P 1P 1
9 ,62P
( )2
2
1 2
9 5 172 4 62 2PP = − + − − =
查计算能力及转化能力，属于难题。
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：共 60 分
17.已知 的内角 的对边长分别为 ,且 .
(1)求角 的大小;
(2)若 ,求 周长的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理化简边角关系式后可得 ，从而可求 的大小.
（2）利用基本不等式和三角形两边之和大于第三边可求 的取值范围，从而可求周长的取
值范围.
【详解】(1)在 中， ，
即 ，
因为 ，所以 ， ，
(2)由于 由余弦定理有 ，
，
又根据基本不等式有 ，所以
解得 (当且仅当 时等号成立)
又因为三角形两边之和大于第三边，所以 .
因为 ，所以 周长 的取值范围为 .
【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cosa A ccosB bcosC= +
A
2a = ABC∆
3
π
( ]4,6
1cos 2A = A
b c+
ABC∆ 2 cos cos cosa A c B b C= +
2sin cos sin cos sin cosA A C B B C∴ = + ( )2sin cos s sininA A C AB= + =
( )0,A π∈ sin 0A > 1 cos 2A∴ =
( ),0, .3A A
ππ ∴∈ =
2, 3a A
π= = 2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= =
( )22 2 4 4 2bc b c b c bc∴ = + − = + − − ( )2 4
3
b cbc
+ −∴ =
2
2
b cbc
+ ≤
( )2 24
3 2
b c b c+ − + ≤
4b c+ ≤ 2c b= =
2b c+ >
2a = ABC∆ a b c+ + ( ]4,6
条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦
定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为
角的关系式或边的关系式.与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利
用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质
求最值或范围.
18.如图，在直角梯形 中， ,点 是 中点，且
,现将三角形 沿 折起，使点 到达点 的位置，且
与平面 所成的角为 .
(1)求证:平面 平面 ;
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析；
（2） .
【解析】
【分析】
（1）可证 平面 ，从而可证平面 平面 .
（2）以 为坐标原点，过点 与 平行的直线为 轴， 所在的直线 轴 所在的直
线为 轴建立空间直角坐标系, 求出平面 和平面 的法向量后可求二面角的余弦值.
【详解】(1)证明:在平面 中，
为 沿 折起得到，
平面 ，
又 平面 平面 平面
(2)解:在平面 中，
ABED / / , AB ED AB EB⊥ C AB
, 2 4AB CD AB CD⊥ = = ACD CD A P PE
PBC 45
PBC ⊥ DEBC
D PE B− −
7
7
−
CD ⊥ PBC PBC ⊥ DEBC
O O BE x CB y OP
z PDE PEB
ABED , AB CD BC CD⊥ ⊥
PC AC CD PC CD∴ ⊥
PC BC C CD= ⊥ ， PBC
CD ⊂ ,DEBC ∴ PBC ⊥ DEBC
ABED / /AB CD AB BE CD EB⊥ ⊥， ，
由(1)知 平面 平面 而 平面 故 .
由 与平面 所成的角为 ，得 ，
为等腰直角三角形， ,
，又 ，得 ,
，故 为等边三角形，
取 的中点 ,连结 ,
平面 ，
以 为坐标原点，过点 与 平行的直线为 轴， 所在的直线 轴 所在的直
线为 轴建立空间直角坐标系如图，
则
从而 ，
设平面 的一个法向量为 , 平面 的一个法向量为 ,
则由 得
，令 得 ，
由 得 ，令 得 ，
所以 ，
设二面角 的大小为 ，则 为钝角且 ，
即二面角 的余弦值为
CD ⊥ PBC EB∴ ⊥， PBC， PB ⊂ PBC， EB PB⊥
PE PBC 45 45EPB∠ =
PBE∴∆ PB EB∴ =
/ /AB DE / /CD EB 2BE CD= =
2PB∴ = PBC∆
BC O PO
,PO BC PO⊥ ∴ ⊥ EBCD
O O BE x CB y OP
z
( ) ( )0,1,0 2,1,0B E， ， ( )2, 1,0 0,0, 3 ( )D P− ，
( ) ( )0,2,0 2,0,0 1(2 3), ,DE BE PE= = = − ， ，
PDE ( ), , m x y z= PEB ( ), , n a b c=
0
0
m DE
m PE
⋅ =
⋅ =
2 0
2 3 0
y
x y z
= + − = 2z = − ( )3,0, 2m = − −
0
0
n BE
n PE
⋅ =
⋅ =
2 0
2 3 0
a
a b c
= + − =
1c = ( )0, 3,1n =
2 7cos 77 2
m nm n
m n
⋅ −= = = −
×⋅
，
D PE B− − θ θ 7
7cosθ = −
D PE B− − 7
7
−
【点睛】面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.空间中
的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空
间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
19.珠海市某学校的研究性学习小组，对昼夜温差(最高温度与最低温度的差)大小与绿豆种子
一天内出芽数之间的关系进行了研究,该小组在 4 月份记录了 1 日至 6 日每天昼夜最高、最低
温度(如图 1),以及浸泡的 颗绿豆种子当天内的出芽数(如图 2)
已知绿豆种子出芽数 (颗) 和温差 具有线性相关关系.
(1)求绿豆种子出芽数 (颗)关于温差 的回归方程 ;
(2)假如 4 月 1 日至 7 日的日温差的平均值为 ,估计 4 月 7 日浸泡的 颗绿豆种子一
天内的出芽数.
附： ， .
【答案】（1） ；
（2）640.
100
y ( )x C
y ( )x C ˆˆ ˆy bx a= +
10 C 2000
( )( )
( )
1 1
2 2 2
1 1
ˆ
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
= =
= =
− − − ⋅
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆˆa y bx= −
^ 11 9
4 2y x= +
【解析】
【分析】
（1）利用公式可求线性回归方程
（2）利用（1）的公式可估计 4 月 7 日浸泡的 颗绿豆种子一天内的出芽数.
详解】(1)依照最高(低)温度折线图和出芽数条形图可得如下数据:
故 ,
，
,
所以 ，
则 ，
所以绿豆种子出芽数 (颗)关于温差 的回归方程为： ；
(2)因为 4 月 1 日至 7 日温差的平均值为 ,
所以 4 月 7 日的温差 ,
所以
(颗),
所以 4 月 7 日浸泡的 颗绿豆种子一天内的出芽数约为 颗.
【点睛】本题考查线性回归方程的计算及其应用，属于基础题.
20.已知离心率为 的椭圆 ，与直线 交于 两点，记直线 的斜
率为 ，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆方程;
.
【
2000
( ) ( ) ( )7,23 , 8, 26 , 12,37 , ( ) ( ) ( )9,31 , 13, 40 , 11,35
10 32x y= =，
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )6
1
3 9 2 6i i
i
x x y y
=
− − = − − + − × −×∑ ( )22 5 1 3 8 1 3 77+ × + − + × + × =
( ) ( ) ( ) ( )6 2 2 2 2
1
2 2 23 2 2 1 3 1 28i
i
x x
=
− = − + − + + − + + =∑
( )( )
( )
1
2
1
77 11ˆ
28 4
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
= = =
−
∑
∑
11 9ˆˆ 32 104 2a y bx= − = − × =
y ( )x C
^ 11 9
4 2y x= +
10 C
( )7 7 10 60 10x C°= × − =
7
11 9ˆ 10 324 2y = × + =
32 2000 640100
× =
2000 640
2 2
3
( )2
2
2 1 1x y aa
+ = > l ,P Q OP
1k OQ 2k
(2)若 ，则三角形 的面积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，请说明
理由.
【答案】（1） ；
（2）是定值且为 ，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题设可得关于 的方程组，解出 后可得椭圆的标准方程.
（2）当直线 的斜率存在时，设其方程为 ,联立直线方程和椭圆方程，消去 后
利用韦达定理化简可得 可得 ，再利用韦达定理把面积表示成关于
的代数式，利用前者化简可得面积为定值.注意斜率不存在时的讨论.
【详解】(1)由题意可知 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
(2)设 ，
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ,
联立椭圆方程得 ，
则 ，
点 到直线的距离 ，
所以 ，
1 2
1
9k k⋅ = − OPQ
2
2 19
x y+ =
3
2
, ,a b c , ,a b c
PQ y kx m= + y
1 2
1 2
1
9
y y
x x
= − 2 29 2 1k m= −
,k m
2 2 2
1
2 2
3
b
ce a
a b c
=
= =
= +
3, 2 2a c= =
2
2 19
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y
PQ y kx m= +
( )2 2 29 1 18 9 9 0k x kmx m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
18 9 9,9 1 9 1
km mx x x xk k
− −+ = =+ +
O 21
md
k
=
+
2 2
2 2
1 3 12 9 1 9 1POQ
m mS PQ d k k∆
= ⋅ = − + +
由 ，
化简得 ，
整理得到 ，入上式得 .
若直线斜率不存在易算得 .
综上得，三角形 的面积是定值 .
【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆
锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于 或
的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，
该关系中含有 或 ，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方
程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
21.已知函数
（1）若 对 恒成立，求 的取值范围；
（2）数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）不等式 可变形为 ，这样只要求得 在 上的最小值
即可得 的范围；
（2）利用（1）的结论进行放缩，由（1）知 在 上恒成立，于是可令 ，
则 ，取对数有 ，即 ，求
和后可证得题中不等式成立．
【详解】解：（1）函数 ，若 对 恒成立，
( )2 2
1 2 1 21 2
1 2
1 2 1 2
1
9
k x x km x x my yk k x x x x
+ + += = = −
2 2 2 2 2 2 2 2 29 9 18 9 1k m k k m k m m m− − + + = −
2 29 2 1k m= − 3
2POQS∆ =
3
2POQS∆ =
POQ 3
2
x y
1 2 1 2,x x x x+ 1 2 1 2,y y y y+
1( ) xf x e −=
( )f x ax≥ (0, )x∈ +∞ a
( )*
2
ln n n Nn
∈ n nT
2
2( 1)n
nT n
< + ( ,1]−∞ ( )f x ax≥ 1xea x − ≤ 1 ( ) xeg x x − = (0, )+∞ a 1xe x− ≥ (0, )+∞ 2x n= 2 1 2ne n− ≥ 2 21 ln 2lnn n n− ≥ = 2 2 2 2 2ln 1 1 11 1 ( 1) n n n n n n n −≤ = − < − + 1( ) xf x e −= ( )f x ax (0, )x∈ +∞
即： 在 上恒成立
令 ，
则： ．
令 ，
得到： ，
令 ，
整理得： ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以： ，
所以： ．
则： 的取值范围为 ．
（2）由（1）知：当 时，有 恒成立，
即对任意的 有 ．
令： ，
则： ，
得到： ，
所以： ．
所以： ，
则：
1xea x
−
≤ (0, )x∈ +∞
1
( )
xeg x x
−
=
1
2
( 1)'( )
xe xg x x
− −=
'( ) 0g x >
1x >
)'( 0g x < 0 1x< < ( )g x (0,1) (1, )+∞ min( ) (1) 1g x g= = 1a ≤ a ( ,1]−∞ 1a = (x) xf ≥ x 1xe x− 2x n= 2 1 2ne n− ≥ 2 21 1n nn− 2 2 2 2 2 1 ln 2lnn n n n n n − ≥ = 2 2 ln 1 1 1 1 1 1 11 1 12 2 ( 1) 2 1 n n n n n n n ≤ − < − = − − + + 1 2 1 1 1 1 1 112 2 2 2 3 1 i n n lni nT i n n = = ∑ < − − + − + + − +
，
．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查不等式的证明．（1）不等式恒成立问题，通常可
用分离参数法分离参数，把问题转化为求函数的最值，而这又可由导数进行求解．（2）在此
类不等式证明中通常要用到题（1）的结论进行放缩．这需要学生要有敏捷的思维，如何在题
（1）结论中得出能证明该不等式的结论，在于同学们平常的积累及丰富的数学知识．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22/23 题中任选一题作答.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)把 的参数方程化为极坐标方程：
(2)求 与 交点的极坐标 .
【答案】（1） （2） 与 交点的极坐标为 ，和
【解析】
【分析】
（1）先把曲线 化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；
（2）联立曲线 和曲线 的方程解得即可.
【详解】(1)曲线 的直角坐标方程为： ，即
. 的参数方程化为极坐标方程为
；
1 112 2 1
n
n
= − − +
2
2( 1)
n
n
= +
xQy 1C 2 2cos ,4 2sin
x
y
α
α
= +
= +
α
x 2C 4sinρ θ=
1C
1C 2C ( )0,0 2ρ θ π≥ ≤ < 2 4 cos 8 sin 16 0p p pθ θ− − + = ； 1C 2C 4, 2 π 2 2, 4 π 1C 1C 2C 1C ( ) ( )2 22 4 4x y− + − = 2 2 4 8 16 0x y x y+ − − + = 1C∴ 2 4 cos 8 sin 16 0p p pθ θ− − + =
(2)联立 可得： ， 与 交点的极坐
标为 ，和 .
【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的
联立，属于基础题.
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 的解集为 R，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；
（2）由绝对值三角不等式可得 ，从而得 或 ，进而可得解.
【详解】（1）当 时，原不等式可化为
解得 所以不等式的解集为
（2）由题意可得 , 当
时取等号.
或 ， 即 或
【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.
2 4 8 16 0
4
p pcos psin
p sin
θ θ
θ
− − + =
=
4 2 2
2 4
p p
π πθ θ
= = = =
或 1C 2C
4, 2
π
2 2, 4
π
( ) | 1| | |f x x x a= + + −
2a = ( ) 5f x < ( ) 2f x ≥ a -2,3（ ） 1 3a a≥ ≤ −或 min( ) 1f x a= + 1 2a + ≥ 1 2a + ≤ − 2a = 1 -1 2 2 1 2 5 3 5 2 1 5 x x x x x < − ≤ ≤ >
− < < −
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