高三年级联合考试数学（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算集合 ，再计算 得到答案.
【详解】 ，
故 .
故选：
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题型.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数计算法则化简得到答案.
【详解】 .
故选：
【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
3.2019 年篮球世界杯中，两位队员每场比赛得分的茎叶图如图所示，若甲得分的众数是 18，
乙得分的中位数是 15，则 （ ）
{ } { }| 3 2, , | 2 4A x x n n Z B x x= = + ∈ = − < < A B = ∅ { }1,2− { }1− { }2 A A B { } { }| 3 2, = ..., 4, 1,2,5,...A x x n n Z= = + ∈ − − { }| 2 4B x x= − < < { }1,2A B = − B 5 3 4 i i =− 4 3 5 5 i− + 4 3 5 5 i− − 4 3 5 5 i+ 4 3 5 5 i− ( )5 3 45 4 3 3 4 25 5 5 i ii ii += = − +− A x y+ =
A. 15 B. 8 C. 13 D. 33
【答案】C
【解析】
【分析】
根据众数和中位数的定义得到 ，计算得到答案.
【 详 解 】 甲 得 分 的 众 数 是 18 ， 所 以 ； 乙 得 分 的 中 位 数 是 15 ， 所 以 ， 故
.
故选：
【点睛】本题考查了众数和中位数，意在考查学生对于基础概念的理解.
4.已知向量 ， ，则 （ ）
A. 7 B. 8 C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 计算 ，得到 ，计算得到答案.
【详解】因为 ，所以 ， ， ，所以 .
故选：
【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.
5.已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
,x y
8x = 5y =
13x y+ =
C
( ) ( )4,2 , 2,6a b m= = + a b⊥ a b+ =
65
a b⊥ 5m = − ( )1,8a b+ =
a b⊥ 0a b⋅ = 5m = − ( )1,8a b+ = 65a b+ =
C
1 1
3 3
3
2 3 1, , log3 2 2a b c = = =
c b a< < a c b< < b a c< < c a b< > 0c < 1 10 03 32 2 3 30 1 03 3 2 2a b b a < = < = = < = ∴ > >
3 3
1log log 1 02c = < = c a b< < D ( )f x ( )f x′ ( ) ( )22ln 2 2f x x x f x′= − + ( )2f ′ = ( ) ( )2 2 2 2f x x fx ′ ′= − + 2x = ( ) ( )22ln 2 2f x x x f x′= − + ( ) ( )2 2 2 2f x x fx ′ ′= − + 2x = ( ) ( )2 1 4 2 2f f′ ′= − + ( )2 3f ′ = B 1A = A
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】 ； ； ； ； .
结束，输出答案
故选：
【点睛】本题考查了程序框图，根据程序框图依次计算是一种常用的方法，需要同学们熟练
掌握.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图所示画出几何体，再计算体积得到答案.
【详解】由三视图知该几何体是一个四棱锥，可将该几何体放在一个正方体内，如图所示：
在棱长为 2 的正方体 中，
取棱 的中点分别为 ，
1, 1A k= = 5, 2A k= − = 7, 3A k= = 17, 4A k= − = 31, 5A k= =
31
C
4
3
5
3
8
3
16
3
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1, , , ,B C DA AB BC CD , , , ,E M N P Q
则该几何体为四棱锥 ，其体积为 .
故选：
【点睛】本题考查了三视图，根据三视图还原立体图像是解题的关键.
9.已知函数 ，要得到 的图象，只需将 的图
象（ ）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数平移法则直接得到答案.
【详解】
.将 的图象向左平移 个单位长度可得到 的图象.
故选：
【点睛】本题考查了三角函数的平移，属于常考题型.
10.如图，在正方形 中， 分别是 的中点， 是 的中点.现在沿
及 把这个正方形折成一个空间图形，使 三点重合，重合后的点记为 ，
下列说法：
① 平面 ；② 平面 ；
E MNPQ− ( )21 42 23 3
× × =
A
( ) 2 cos2f x x= ( ) 2 cos 2 4g x x
π = +
( )f x
4
π
8
π
4
π
8
π
( ) 2 cos 2 2 cos24 8g x x x
π π = + = +
( )f x
8
π ( )g x
D
ABCD ,E F ,BC CD G EF
,AE AF EF , ,B C D H
AG ⊥ EFH AH ⊥ EFH
③ 平面 ；④ 平面 .
其中正确的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件依次判断每个选项 正误，判断得到答案.
【详解】因 ，所以 平面 ， 平面 .
②③正确
，所以 为锐角，所以 不垂直于 ，所以 不垂直于平面 ，
同理 不垂直于 ，所以 不垂直于平面 .
①④错误.
故②③正确，①④错误.
故选：
【点睛】本题考查了线面垂直，意在考查学生的空间想象能力.
11.如图，正方体 的棱长为 ， 为 的中点，动点 从点 出发，
沿 运动，最后返回 .已知 的运动速度为 ，那么三棱锥
的体积 （单位： ）关于时间 （单位： ）的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
的
为
HF ⊥ AEH HG ⊥ AEF
, ,AH HE AH HF EH HF⊥ ⊥ ⊥ AH ⊥ HEF HF ⊥ AEH
AH HG⊥ HGA∠ AG HG AG EFH
HG AG HG AEF
B
1 1 1 1ABCD A B C D− 2m E 1AA P D
DA AB BC CD− − − D P 1 /m s
1 1P EC D− y 3m x s
【解析】
【分析】
讨论点 在线段 、 、 、 上运动，求解体积即可得答案.
【 详 解 】（ 1 ） 当 时 ， 在 线 段 上 运 动 ， 此 时 ，
， 所 以
；
（2）当 时， 在线段 上，因为 平面 ，所以 到平面 的距
离为定值，所以 为定值， ；
（3）当 时， 在线段 上，取 的中点 ， ，此
时 ，同理可得 ，所以 ；
（4）当 时， 在线段 上，因为 平面 ，所以 到平面 的距
离为定值，所以 为定值， .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了棱锥的体积公式及空间想象力，本题的难点在于动点在不同的线段
上运动时需要分别求体积，属于难题.
12.已知函数 ，若 ，则 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
P DA AB BC CD
0 2x≤ ≤ P DA DP x=
1
1 2 2 24 22 2 2 2PED
x x xS∆
× − = − + + = −
( )
1 1 1 1
1 12 2 43 2 3P EC D C PED
xV V x− −
= = × × − = −
2 4x≤ ≤ P AB / /AB 1 1EC D P 1 1EC D
1 1P EC DV − ( )
1 1
1 24 23 3A EC DV − = − =
4 6x≤ ≤ P BC 1BB F 1 1 1 1P EC D P FC E E PFCV V V− − −= =
6CP x= −
1
12PC F
xS∆ = − ( )
1
1 23E PFCV x− = −
6 8x≤ ≤ P CD / /CD 1 1EC D P 1 1EC D
1 1P EC DV − ( )
1 1
1 46 23 3D EC DV − = − =
( ) ( )2 1 0,4f x bx b b x R= − − > ∈ ( ) ( )2 21 1 2m n+ + + =
( )
( )
f n
f m
3,2 − 3,2 3 + 2 3, 3 −
2 3,2 3 − +
由 ，可以看作点 与点 连线的斜
率，点 在圆 上，点 在直线 上，作
出图像，利用数形结合即可得解.
【详解】 ，可以看作点 与点 连
线的斜率，点 在圆 上，点 在直线
上，结合图形分析可得，当过点 作圆 的切线，此时两条切线的斜
率分别是 的最大值和最小值.圆心 与点 所在直线的夹角均为 ，两条切线
的倾斜角分别为 ， ，故所求直线的斜率的范围为 ．
故选：D.
【点睛】本题考查了数形结合思想解决求范围问题，经问题转化为直线与圆的位置关系问题
是解题的关键，属于难题.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸卡的横线上
13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数成等差数列，现用分层抽样的方法从这三个年级
中抽取 90 人，则应从高二年级抽取的学生人数为___________.
【答案】30
( )
( )
2
2
11
44
1 1
4 4
n bbn bf n b
f m bm b m b b
− +− − = = − − − +
( ),m n 1 1,4 4b bb b
+ +
( ),m n ( ) ( )2 21 1 2x y+ + + = 1 1,4 4b bb b
+ +
( )1y x x= ≥
( )
( )
2
2
11
44
1 1
4 4
n bbn bf n b
f m bm b m b b
− +− − = = − − − +
( ),m n 1 1,4 4b bb b
+ +
( ),m n ( ) ( )2 21 1 2x y+ + + = 1 1,4 4b bb b
+ +
( )1y x x= ≥
( )1,1 ( ) ( )2 21 1 2x y+ + + =
( )
( )
f n
f m
( )1, 1− − ( )1,1 6
π
12
π 5
12
π
2 3,2 3 − +
【解析】
【分析】
设高一、高二、高三年级的学生人数分别为 ，再由等差关系得 ，进而得高二
年级所占比例，从而得解.
【详解】设高一、高二、高三年级的学生人数分别为 ，因为 成等差数列，所以
，所以 ， ，所以应从高二年级抽取 30 人.
故答案为：30.
【点睛】本题主要考查了分层抽样的计算，属于基础题.
14.过直线 上的任意一点作圆 的切线，则切线长的最小值为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出圆心到直线的距离，再由切线长公式即可得解.
【 详 解 】 直 线 上 的 点 到 圆 的 圆 心 的 最 近 距 离 为
，则切线长的最小值为 ．
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，切线长公式，属于基础题.
15.五个同学重新随机调换座位，则恰有两人坐在自己原来的位置上的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先选出两人位置不变，再排剩余三人都不在自己位置上的数目，最后利用古典概型求解即可.
【详解】根据题意，分 2 步分析：①先从 5 个人里选 2 人，其位置不变，有 种选法，
②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，
, ,a b c 2b a c= +
, ,a b c , ,a b c
2b a c= + 1
3 3
b b
a b c b
= =+ +
1 90 303
× =
2 3 0x y+ = ( ) ( )2 22 3 1x y- + - =
2 3
2 3 0x y+ = ( ) ( )2 22 3 1x y- + - = ( )2,3
2 2
2 2 3 3 13
2 3
× + × =
+ ( )2
13 1 2 3− =
2 3
1
6
2
5 10C =
被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有 2 种调换方法，
故不同的调换方法有 10×2＝20 种．而基本事件总数为 ，所以所求概率为
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了古典概型的概率求法，考查了计数原理，排列组合的知识，本题属于基
础题．
16.已知三棱锥 满足平面 平面 ， ， ， ，
则该三棱锥 外接球的表面积为________________.
【答案】
【解析】
【分析】
先确定球心就是 的外心，再利用正弦定理得到 ，计算表面积得到答案.
【详解】因为 ，所以 的外心为斜边 的中点，
因为平面 平面 ，所以三棱锥 的外接球球心在平面 上，
即球心就是 外心，根据正弦定理 ，解得 ，
所以外接球的表面积为 .
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心为 的外心是解题的关键.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每
道题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共 60 分
17.某研究机构为了解某学校学生使用手机的情况，在该校随机抽取了 60 名学生（其中男、
女生人数之比为 2：1）进行问卷调查.进行统计后将这 60 名学生按男、女分为两组，再将每
组学生每天使用手机的时间（单位：分钟）分为 5
组，得到如图所示的频率分布直方图（所抽取的学生每天使用手机的时间均不超过 50 分
钟）.
的
的
5
5 120A =
20 1
120 6
=
1
6
P ABC− PAB ⊥ ABC AC BC⊥ 4AB = 030APB∠ =
64π
PAB∆ 4R =
AC BC⊥ ABC∆ AB
PAB ⊥ ABC P ABC− PAB
PAB∆ 2sin
AB RAPB
=∠ 4R =
64π
PAB∆
[ ) [ ) [ ) [ ) [ ]0,10 , 10,20 , 20,30 , 30,40 , 40,50
（1）求出女生组频率分布直方图中 的值；
（2）求抽取的 60 名学生中每天使用手机时间不少于 30 分钟的学生人数.
【答案】（1） （2）抽取的 60 名学生中每天使用手机时间不少于 30 分钟的学生人
数为 23
【解析】
【分析】
（1）利用概率和为 1 计算得到答案.
（2）分别计算男生和女生的人数，相加得到答案.
【详解】（1） ，解得 ；
（2）60 名学生中男、女生人数分别为 40，20，
，
即抽取的 60 名学生中每天使用手机时间不少于 30 分钟的学生人数为 23.
【点睛】本题考查了频率分布直方图，意在考查学生的应用能力.
18.在 中，角 的对边分别为 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式得到 ，利用正弦定理得到答案.
（2）先计算 得到 ， ， ，再利用正弦
定理计算得到答案.
a
0.035a =
( )0.01 0.015 0.03 0.01 10 1a+ + + + × = 0.035a =
( ) ( )0.035 0.01 10 20 0.02 0.015 10 40 9 14 23+ × × + + × × = + =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 32 , 9 7,cos 4C A a b A= + = =
c
a
c
3
2
c
a
= 6 7c =
sin 2sin cosC A A=
1cos cos2 8C A= = 3 7sin 8C = 7sin 4A = 5 7sin 16B =
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
（2）因为 ，
所以 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 ，故 .
【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力，也可以利用余弦定理解
得答案.
19.已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用公式 代入计算得到答案.
（2）先计算得到 ，再利用错位相减法计算得到答案.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以当 时， ，即 ，
2C A= sin sin 2C A= sin 2sin cosC A A=
sin 2cossin
C AA
= 3cos 4A = 3
2
c
a
=
2 1cos cos2 2cos 1 8C A A= = − =
2 3 7sin 1 cos 8C C= − = 7sin 4A =
( ) 5 7sin sin sin cos cos sin 16B A C A C A C= + = + =
16sin sin sin sin
a b a b
A B A B
+= = =+
4 7a = 3 6 72c a= =
{ }na n nS 4 1
3 3n nS a= −
{ }na
1nb n= + { }n na b n nT
14n
na −= 3 2 249 9
n
n
nT
+= × −
1n n na S S −= −
( ) 11 4n
n na b n −= + ×
4 1
3 3n nS a= − ( )1 1
4 1 23 3n nS a n− −= − ≥
2n ≥ 1
4 4
3 3n n na a a −= − 14n na a −=
当 时， ，所以 ，
所以 .
（2） ，
于是 ，①
，②
由①-②，得 ，
所以 .
【点睛】本题考查了数列的通项公式，利用错位相减法计算数列的前 n 项和，意在考查学生
对于数列公式方法的灵活运用.
20.如图，在三棱锥 中， ，二面角
的大小为 120°，点 在棱 上，且 ，点 为 的重心.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）连接 ，并延长 与 相交于点 ，连接 ，可证得 ，从而得证；
（2）过点 在 中作 ，与 相交于点 ，可得 ，以点 为
坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分
别求平面 的法向量 和平面 的一个法向量为 ，再求得
1n = 1 1
4 1
3 3S a= − 1 1a =
14n
na −=
( ) 11 4n
n na b n −= + ×
( )0 1 2 2 12 4 3 4 4 4 4 1 4n n
nT n n− −= × + × + × + + × + + ×
( )1 2 3 14 2 4 3 4 4 4 4 1 4n n
nT n n−= × + × + × + + × + + ×
( )1 2 1 2 23 2 4 4 4 1 4 43 3
n n n
nT n n− − = + + + + − + × = − + ×
3 2 249 9
n
n
nT
+= × −
A BCD− , 2, 5BD BC BD BC AB AD⊥ = = = =
A BD C− − E AC 2CE EA= G BCD∆
//GE ABD
B AC D− −
390
20
CG CG BD O OA / /EG AO
O BCD∆ OF BD⊥ DC F 0120FOA∠ = O
OB x OF y
ABC ( ), ,m x y z= ACD ( )1 1 1, ,n x y z=
，进而利用同角三角函数关系即可得解.
【详解】（1）证明：连接 ，并延长 与 相交于点 ，连接 ，
因为点 为 的重心，所以 ，
在 中，有 ，
所以 ，
则 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解：过点 在 中作 ，与 相交于点 ，因为 ，
，则 为二面角 的平面角，则 。
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系 ，
因为 ， ， ，则 ，
， ， ，
所以
记平面 的法向量 ，
则
令 ，得到平面 的一个法向量 ，
3 2 10cos , 204 10
m n
− += = −
×
CG CG BD O OA
G BCD∆ 2CG GO=
CAO∆ 2CE CG
EA GO
= =
/ /EG AO
AO ⊆ ABD GE ⊄ ABD
//GE ABD
O BCD∆ OF BD⊥ DC F DB BC⊥
AB AD= FOA∠ A BD C− − 0120FOA∠ =
O OB x OF y
O xyz−
, 2BD BC BD BC⊥ = = 5AB AD= = 0120FOA∠ = ( )0, 1, 3A −
( )1,0,0B ( )1,2,0C ( )1,0,0D −
( ) ( ) ( ) ( )1,1, 3 , 0,2,0 , 1,1, 3 , 2,2,0AB BC AD DC= − = = − − =
ABC ( ), ,m x y z=
· 3 0
· 2 0
m AB x y z
m BC y
= + − = = =
1z = ABC ( )3,0,1m =
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得到平面 的一个法向量 ，
，
设二面角 的平面角为 ，则 ，
即二面角 的正弦值为 .
【点睛】本题主要考查了线面平行的证明及求解二面角，利用空间直角坐标系正确写点坐标
是解题的关键，属于中档题.
21.已知函数 .
（1）当 时，不等式 恒成立，求实数 取值范围；
（2）证明： ， .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将不等式变形为 ，记 ，
求导利用单调性即可证得；
（2）由（1）可知当 时，取 ，可得 恒成立，令 ，则
，列式相加即可证得.
【详解】（1）解：不等式 ，等价于 ，
的
ACD ( )1 1 1, ,n x y z=
1 1 1
1 1
· 3 0
· 2 2 0
n AD x y z
n DC x y
= − + − = = + =
1 3x = − ABC ( )3, 3,2n = −
3 2 10cos , 204 10
m n
− += = −
×
B AC D− − θ
2
10 390sin 1 20 20
θ = − =
B AC D− − 390
20
( ) ( ) ( )1 ln 1 1f x x x k x= + + − +
1x ≥ ( ) 0f x ≥ k
2,n n N∀ ≥ ∈ ( )2 2ln5 ln11 ln 1 2 1n n n n
+ + + + − > − + +
k 2≤
( )( )1 1 lnx x kx
+ + ≥ ( ) ( )( ) ( )1 1 ln 11 1 lnx xg x xx x
+ + = = + +
1x ≥ 2k = 2ln 1 1x x
≥ − +
( )1x n n= +
( ) ( )
2 1 1ln 1 1 1 1 21 1n n n n n n
+ − ≥ − = − − + +
( ) 0f x ≥ ( )( )1 1 lnx x kx
+ + ≥
记 ，∴ ，
令 ，则 ，∵ ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，从而 ，
故 在 上单调递增，
∴ ，故 ；
（2）证明：由（1）可知当 时，取 ， ，则
，即 恒成立，
则当 时， 恒成立，当且仅当 时取等号，
令 ，则 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
……
，
上式相加可得 ，
即 ，原不等式得证.
【点睛】本题主要考查了导数的应用，利用导数讨论函数的单调性得不等关系，进而真么数
( ) ( )( ) ( )1 1 ln 11 1 lnx xg x xx x
+ + = = + +
( ) 2
lnx xg x x
−′ =
( ) lnh x x x= − ( ) 11h x x
′ = − 1x ≥ ( ) 0h x′ ≥
( )h x [ )1+ ∞
( ) ( )1 1 0h x h≥ = > ( ) 0g x′ >
( )g x [ )1+ ∞
( ) ( )min 1 2g x g= = k 2≤
1x ≥ 2k = ( )1 ln 1 0x x x+ − + ≥
( )( )1 1 ln 2x x
x
+ + ≥ 2ln 1 1x x
≥ − +
2x ≥ ( ) 2ln 1 1x x
− ≥ − 2x =
( )1x n n= + ( ) ( )
2 1 1ln 1 1 1 1 21 1n n n n n n
+ − ≥ − = − − + +
2n = ( ) 1 1ln 2 3 1 1 2 2 3
× − > − −
3n = ( ) 1 1ln 3 4 1 1 2 3 4
× − > − −
( ) 1 1ln 1 1 1 2 1n n n n
+ − > − − +
( ) ( ) ( )( ) 1 1ln 2 3 1 ln 3 4 1 ln 1 1 1 2 2 1n n n n
× − + × − + + + − > − − − +
( )2 2ln5 ln11 ln 1 2 1n n n n
+ + + + − > − + +
列问题，本题的难点是第二问要利用第一问的结论得 ，属
于难题.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （其中 为参数）.以坐标原点
为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）设点 ，直线 交曲线 于 两点，求 的值.
【答案】（1） : , : （2）
【解析】
【分析】
（1）消去 得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.
（2）将直线的参数方程代入 ，化简得到 ，利用韦达定理计算得到
答案.
【详解】（1）直线 的参数方程为 （其中 为参数），消去 可得
；
由 ，得 ，则曲线 的直角坐标方程为 .
（2）将直线 的参数方程 代入 ，得 ，
( ) 1 1ln 1 1 1 2 1n n n n
+ − ≥ − − +
xOy 1C
3
3
62 3
x t
y t
= −
= +
t
O x 2C 2cos 3sinρ θ θ=
1C 2C
( )0,2P 1C 2C ,M N 2 2PM PN+
1C 2 2 0x y+ − = 2C 2 3x y= 90
t
2 3x y= 2 3 6 18 0t t− − =
1C
3
3
62 3
tx
y t
= −
= +
t t
2 2 0x y+ − =
2cos 3sinρ θ θ= 2 2cos 3 sinρ θ ρ θ= 2C 2 3x y=
1C
3
3
62 3
x t
y t
= −
= +
2 3x y= 2 3 6 18 0t t− − =
设 对应的参数分别为 ，则 ，
.
【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得
到答案，是解题的关键.
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 的解集包含 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）函数化简为分段函数 分别解不等式得到答案.
（2）题目等价于当 时不等式恒成立，得到不等式 ，求 的
最小值得到答案.
【详解】（1） ，由 ，解得 ，
故不等式 的解集是 ；
（2） 的解集包含 ，即当 时不等式恒成立，
当 时， ， ，即 ，
因为 ，所以 ，
,M N 1 2,t t 1 2
1 2
3 6
18
t t
t t
+ = = −
( )2 2 2
1 2 1 22 90PM PN t t t t+ = + − =
( ) 2 3f x x x= − + −
( ) 2f x < ( ) 2 1f x xα≥ + [ ]3,5 a 3 7| 2 2x x <
= ≤ ≤
−
= − + − = ≤ ≤
−
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