2019～2020 年度河南省高三阶段性考试（四）数学（文科）
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解出集合 、 ，然后利用交集的定义可得出集合 .
【详解】解不等式 ，得 ，则 .
解不等式 ，得 ，解得 ，则 .
因此， .
故选 A.
【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了一元二次不等式与指数不等式的解法，考
查运算求解能力，属于基础题.
2.欧拉公式 （ 是自然对数的底数， 是虚数单位）是数学里令人着迷的
公式之一，根据欧拉公式可知， （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据欧拉公式和复数的乘法法则可计算出 .
【 详 解 】 根 据 欧 拉 公 式 和 复 数 的 乘 法 法 则 得
{ }2 5 6 0A x x x= − + < { }12 2 2xB x −= < A B = 52, 2 52, 2 − ( )2, 2 1+ ( )2, 2 1− + A B A B 2 5 6 0x x− + < 2 3x< < ( )2,3A = 3 1 22 2 2 2x− < = 31 2x − < 5 2x < 5, 2B = −∞ 52, 2A B = cos sinixe x i x= + e i 62 i ie π− = 3 i− 1 3i− 3 i+ 1 3i+ 62 i ie π−
.
故选 D.
【点睛】本题考查复数的基本运算，解题的关键就是利用欧拉公式将复数化为一般形式，考
查计算能力，属于基础题.
3.设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
比较 、 、 三个数与 和 的大小关系，从而可得出 、 、 三个数的大小关系.
【详解】对数函数 是增函数，则 ；
对数函数 是减函数，则 ；
指数函数 为增函数，则 ，且 .
因此， .
故选 C.
【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结
合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.
4.鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，
上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判
断框中应填入的是（ ）
6 3 12 2 cos sin 2 1 36 6 2 2
i
ie i i i i i
π π π− = − + − = ⋅ − = +
2loga e= 1
2
logb e= 1c e−=
a b c> > b a c> >
a c b> > c b a> >
a b c 0 1 a b c
2logy x= 2 2log log 2 1a e= > =
1
2
logy x= 1 1
2 2
log log 1 0b e= < = xy e= 1 0 1c e e−= < = 1 0c e−= >
b c a< 94m = 35m = 35m ≤
i j m
i j m
94 94m =
5.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分析函数 的定义域、奇偶性以及函数 在 和 上的函数值符号，
可得出正确选项.
【详解】自变量 满足 ，解得 且 ，
则函数 的定义域为 .
，则函数 为奇函数，
当 时， ， ，当 时， ， .
故选 D.
【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点和函数值
符号来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6.若非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
( ) 3
ln
xf x x
=
( )y f x= ( )y f x= ( )0,1 ( )1,+∞
x 0
ln 0
x
x
> ≠ 0x ≠ 1x ≠ ±
( )y f x= ( ) ( ) ( ) ( ), 1 1,0 0,1 1,−∞ − − +∞
( ) ( ) ( )
3 3
ln ln
x xf x f xx x
−− = = − = −− ( )y f x=
0 1x< < ln 0x < ( ) 0f x∴ < 1x > ln 0x > ( ) 0f x∴ >
a b 2 a b= (3 ) ( 2 )a b a b+ ⊥ − a b
4
π
3
π 2
3
π 5
6
π
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ， 得 ， 设 ， 从 而 可 得
，由 代入即可求解.，
【详解】由 ，得 ，
即 ，
设 ，则
又∵ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ .
【点睛】本题中考查了向量垂直的表示，由数量积求向量的夹角，重点考查了学生的计算能
力，属于中档题.
7.临近学期结束，某中学要对本校高中部一线科任教师进行“评教评学”调查，经调查，高
一年级 名一线科任教师好评率为 ，高二年级 名一线科任教师好评率为 ，高三
年级 名一线科任教师好评率为 .依此估计该中学高中部一线科任教师的好评率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出高中三个年级好评率的教师总数，再除以高中部一线科任教师总数即可得出结果.
【 详 解 】 由 题 意 可 知 ， 该 中 学 高 中 部 一 线 科 任 教 师 好 评 率 为
，
因此，该中学高中部一线科任教师的好评率为 .
( ) ( )3 2a b a b+ ⊥ − ( ) ( )3 2 0a b a b + ⋅ − = ,a b θ=
2 23 | 5 cos 2 | 0a a b bθ− ⋅ − = 2 a b=
( ) ( )3 2a b a b+ ⊥ − ( ) ( )3 2 0a b a b + ⋅ − =
2 23 5 2 0a a b b− ⋅ − =
,a b θ= 2 23 | 5 cos 2 | 0a a b bθ− ⋅ − =
2 a b=
2 2 23 | 10 | cos 8| | 0a a a θ− − =
1cos 2
θ = −
0 θ π≤ ≤
2
3
πθ =
80 90% 75 92%
80 95%
92% 93% 94% 95%
80 0.9 75 0.92 80 0.95 217 0.9280 75 80 235
× + × + × = ≈+ +
92%
故选 A.
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.
8.在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，则
该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理计算出 的外接圆半径 ，然后利用公式 计算出外接
球的半径 ，最后利用球体表面积公式可计算出该三棱锥的外接球的表面积.
【 详 解 】 在 中 ， 设 该 三 角 形 外 接 圆 半 径 为 ， 由 正 弦 定 理 得
，
平面 ，设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，
，因此，该三棱锥的外接球的表面积为 .
故选 B.
【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的
模型来求出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
9.已知函数 ，若 在 上无极值点，则 的取
值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
的
D ABC− DB ⊥ ABC 2AB AC= = 30ABC∠ = 3DB =
20π 25π 125
6
π 30π
ABC∆ r ( )2 22 2R r DB= +
R
ABC∆ r
22 4sin sin30
ACr ABC
= = =∠
BD ⊥ ABC D ABC− R ( )2 22 2 5R r BD= + =
5
2R∴ =
2
2 54 4 252Rπ π π = × =
( ) ( )2 sin 04f x x
πω ω = − >
( )f x ( )2 ,3π π ω
1
8
1
2
7
12
23
24
当 时，计算出 ，然后对四个选项中的 的值进
行检验，结合题中条件得出合乎题意的选项.
【详解】 ， .
当 时， ，此时函数 在 上无极值；
当 时， ，此时函数 在 上无极值；
当 时， ，此时函数 在 上无极值；
当 时， ，此时函数 在 上有极大值点.
故选 D.
【点睛】本题考查利用三角函数的极值点求参数的值，在解题时要求出对象角的取值范围，
考查运算求解能力，属于中等题.
10.已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ，过 的直
线与椭圆 交于 、 两点，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ，由题意得出 ，由椭圆定义得出 ，利用余弦定
理求出 的值，设 ，根据椭圆定义得出 ，然后
利用余弦定理求出 的值，由此可得出 的值.
( )2 ,3x π π∈ 2 ,34 4 4x
π π πω ωπ ωπ − ∈ − −
ω
( )2 ,3x π π∈ 2 ,34 4 4x
π π πω ωπ ωπ ∴ − ∈ − −
1
8
ω = 0,4 8x
π πω − ∈
( )y f x= ( )2 ,3π π
1
2
ω = 3 5,4 4 4x
π π πω − ∈
( )y f x=
7
12
ω = 11 3,4 12 2x
π π πω − ∈
( )y f x= ( )2 ,3π π
23
24
ω = 5 21,4 5 8x
π π πω − ∈
( )y f x= ( )2 ,3π π
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
+ = > > 3
5 1F 2F 1F
C M N 2 1 2NF F F= 2
1
MF
NF
=
2
5
3
5
1
2
2
3
0a b> > 2 2NF c= 1 2
42 3NF a NF c= − =
1 2cos F NF∠ 1MF x= 2
102 3MF a x c x= − = −
x 1
1
MF
NF
【详解】设 ，椭圆的焦距为 ，由题意得出 ，椭圆的离心率为 ，
.
由椭圆的定义可得 ，
由余弦定理得 ，
设 ，由椭圆的定义可得 ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 .
所以， ， ，因此， .
故选 D.
【点睛】本题考查椭圆焦点三角形中线段的长度比，同时也涉及了椭圆的定义和余弦定理的
应用，考查运算求解能力，属于中等题.
11.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，
，点 是 的重心，且 ，则 （ ）
A. 或 B. C. 或 D.
0a b> > 2c 2 2NF c= 3
5
c
a
=
5
3a c∴ =
1 2
10 42 23 3NF a NF c c c= − = − =
( ) ( )2
2 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
4 2 2 13cos 42 32 23
c c cNF NF F FF NF NF NF c c
+ − + − ∠ = = =⋅ × ×
1MF x= 2
102 3MF a x c x= − = −
2 2 2
2 2 2 1 22 cosMF MN NF MN NF F NF= + − ⋅ ∠
( )2 2
210 4 4 12 2 23 3 3 3c x c x c c x c − = + + − × + × ×
8
9x c=
1
8
9MF c= 1
4
3NF c= 1
1
8
8 3 29
4 9 4 3
3
cMF
NF c
= = × =
ABC∆ A B C a b c 2b =
( ) ( )cos2 4 3 sin 2 3 1A B C+ + + = + P ABC∆ 2 7
3AP = a =
2 3 2 5 2 13 2 3 2 13 2 7
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求出 ，可得出 或 ，然后由点 是
的重心，得出 ，两边平方后化简得出 ，然
后分 或 两种情况讨论，求出 的值，由余弦定理可求出 的值.
【 详 解 】 ，
，
整理得 ，解得 或 （舍去）.
或 .
又 点 是 的重心，则 ，
等式两边平方得 ，
， ， ，整理得 .
①当 时，则有 ，解得 ，
由余弦定理得 ，则 ；
②当 时，则有 ，解得 ，
由余弦定理得 ，则 .
因此， 或 .
故选 C.
【点睛】本题考查二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形问题，本题涉及三角形的重心问题，
在解题时可充分利用向量来处理，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.
3sin 2A =
3A
π= 2
3
π
P
ABC∆ ( )1
3AP AB AC= + 2 4 cos 24 0c c A+ − =
3A
π= 2
3
π c a
( ) ( )cos2 4 3 sin 2 3 1A B C+ + + = +
( )2 4 3 sin1 n 2si 32 1A A+ + =∴ +−
( )22sin 4 3 sin 2 3 0A A− + + = 3sin 2A = sin 2A =
3A
π∴ = 2
3
π
P ABC∆ ( )1
3AP AB AC= +
( )2 2 21 2 cos9AP AB AC AB AC A= + + ⋅
2 7
3AP = 2b = ( )228 1 4 4 cos9 9 c c A∴ = × + + 2 4 cos 24 0c c A+ − =
3A
π= 2 2 24 0c c+ − = 4c =
2 2 2 12 cos 4 16 2 2 4 122a b c bc A= + − = + − × × × = 2 3a =
2
3A
π= 2 2 24 0c c− − = 6c =
2 2 2 12 cos 4 36 2 2 6 522a b c bc A = + − = + − × × × − = 2 13a =
2 3a = 2 13
12.已知函数 ，若关于 的不等式 在 恒成
立，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分析函数 在 上的单调性，并作出函数 在 上的图象，求出函数
图象的两个端点 、 ，求出过点 、 且斜率分别为 、
的直线与 轴的交点坐标，利用数形结合思想可得出实数 的取值范围.
【 详 解 】 当 时 ， ， 则 ， 令 ， 得
.
当 时， ；当 时， .
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
( )
2 , 3 02
2 2 ,0 32 1
x xxf x x xx
− − − ≤
( ) ( ) 0xf x f x′ − < ( ) 3f x x < ( ) ( ), 3 3,−∞ − +∞ ( ) ( )f xg x x = ( )y g x= ( )3 3g = ( )y g x= ( )0, ∞+ ( ) 3f x x < ( ) ( )3g x g< ( ) ( )3g x g< 3x >
【详解】构造函数 ， 函数 为奇函数，则函数 为偶函数，
所以， ，且 .
又 ，当 时， ，此时， .
所以，函数 在 上为减函数，由 ，得 ，
由于函数 为偶函数，则有 ， ，解得 或 .
因此，不等式 的解集为 .
故答案为 .
【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考
查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16.已知双曲线 ， 、 是平面内的两点， 关于两焦点的对称点分别为 、
（ 与焦点不重合），线段 的中点在双曲线 上，则 _____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设双曲线 的焦点分别为 、 ， 的中点为 ，连接 、 ，可得出 、
分别为 和 的中位线，然后利用双曲线的定义可求出 的值.
【详解】设双曲线 的焦点分别为 、 ， 的中点为 ，连接 、 ，
如下图所示，则 、 分别为 和 的中位线，
由双曲线的定义可得 ，因此， .
故答案为 .
( ) ( )f xg x x
= ( )y f x= ( )y g x=
( ) ( )g x g x= ( ) ( )33 33
fg = =
( ) ( ) ( )
2
xf x f xg x x
′ −′ = 0x > ( ) ( ) 0xf x f x′ − < ( ) 0g x′ < ( )y g x= ( )0, ∞+ ( ) 3f x x < ( ) ( )3g x g< ( )y g x= ( ) ( )3g x g< 3x∴ > 3x < − 3x >
( )
3f x
x
< ( ) ( ), 3 3,−∞ − +∞ ( ) ( ), 3 3,−∞ − +∞ 2 2: 13 xC y− = P Q P A B P PQ C AQ BQ− = 4 3 C 1F 2F PQ M 1MF 2MF 1MF 2MF PAQ∆ PBQ∆ AQ BQ− C 1F 2F PQ M 1MF 2MF 1MF 2MF PAQ∆ PBQ∆ 1 2 2 3MF MF− = 1 22 4 3MF MFAQ BQ −= =− 4 3
【点睛】本题考查双曲线的定义以及中位线性质的应用，考查分析问题和解决问题的能力，
属于中等题.
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知首项为 的等比数列 的前 项和为 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ， ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设等比数列 的公比为 ，根据题中条件求出 的值，然后利用等比数列的通项公式
可求出数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，求出 ，可得出 ，然
后利用裂项求和法可求出数列 的前 项和 .
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，由题意可得 ，整理得
，
解得 或 ，因此， 或 ；
（2） ， ， ，
，
1 { }na 3 3
{ }na
2 1a ≠ 2logn nb a=
1 2
1
n nb b+ +
n nT
1na = ( ) 12 n
na −= −
1n
nT n
= +
{ }na q q
{ }na
( ) 12 n
na −= − 1nb n= − ( )1 2
1 1 1 1
1 1n nb b n n n n+ +
= = −+ +
1 2
1
n nb b+ +
n nT
{ }na q 21 3q q+ + =
2 2 0q q+ − =
1q = 2q = − 1na = ( ) ( )1 11 2 2n n
na − −= × − = −
2 1a ≠ ( ) 12 n
na −∴ = − 1
2 2log log 2 1n
n nb a n−∴ = = = −
( )1 2
1 1 1 1
1 1n nb b n n n n+ +
∴ = = −+ +
因此， .
【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能
力，属于基础题.
18.《哪吒之魔童降世》于 年 月 日在中国上映，据统计， 年 月 日 点
分，《哪吒之魔童降世》超《流浪地球》，升至中国影史票房榜第二位.某电影院为了解观看该
影片的观众的年龄构成情况，随机抽取了 名观众，得到如下的频数统计图.
（1）估计所调查的 名观众年龄的平均数和中位数；
（2）在上述 名观众中，若从年龄在 的范围内选出 人进行观后采访，求这 人至
少有 人的年龄在 的概率.
【答案】（1）平均数为 ，中位数为 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将每个矩形的中点乘以矩形的高相加后除以 ，可得出这 名观众年龄的平均数，利
用中位数左右两边人数都为 求出中位数的值；
（2）记年龄在 的 人分别为 、 、 、 ，记年龄在 的 人分别为 、 ，
列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可计算出所求
事件的概率.
【详解】（1）由频数统计图可知，这 名观众年龄的平均数为
，
设中位数为 ，则 ，解得 ，
因此，这 名观众年龄的中位数为 ；
1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1n
nT n n n n
= − + − + + − = − = + + +
2019 7 26 2019 8 31 15 15
40
40
40 [ )50,70 2 2
1 [ )50,60
37 35 14
15
40 40
20
[ )50,60 4 a b c d [ )60,70 2 A B
40
15 6 25 8 35 12 45 6 55 4 65 2 75 2 3740
× + × + × + × + × + × + × =
x 306 8 12 2010
x −+ + × = 35x =
40 35
（2）年龄在 有 人，分别记为 、 、 、 ，年龄在 有 人，分别记为
、 ，从这 人中取出 人共 种情况，分别为： 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
，
其中年龄均在 的只有一种情况 ，
因此，至少有 人年龄在 的概率为 .
【点睛】本题考查频数统计图中平均数和中位数的计算，同时也考查了古典概型概率的计算，
在涉及“至少”问题时，可采用对立事件的概率公式来进行计算，考查收集数据和整理数据
的能力，属于中等题.
19.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（ 1 ） 由 正 弦 定 理 边 角 互 化 思 想 得 出 ， ， 再 由
，利用两角和的正切公式结合已知条件求出 ，再对
的值进行分类讨论，可得出角 的值；
（2）由 、 的值可求出 、 的值，并利用正弦定理求出 、 的值，然
后利用三角形的面积公式可求出 的面积.
【详解】（1） ，由正弦定理得 ，
， ， .
在 中， ，
[ )50,60 4 a b c d [ )60,70 2
A B 6 2 15 ( ),a b ( ),a c ( ),a d ( ),a A
( ),a B ( ),b c ( ),b d ( ),b A ( ),b B ( ),c d ( ),c A ( ),c B ( ),d A ( ),d B
( ),A B
[ )60,70 ( ),A B
1 [ )50,60 1 141 15 15
− =
ABC∆ A B C a b c 2
cos 3cos cos
a b c
A B C
= =
A
3a = ABC∆
3
π 27 3
14
tan 3tanB A= 1tan tan2C A=
( )tan tanA B C= − + tan 3A = ± tan A
A
tan B tanC sin B sinC b c
ABC∆
2
cos 3cos cos
a b c
A B C
= =
sin sin 2sin
cos 3cos cos
A B C
A B C
= =
1tan tan 2tan3A B C∴ = = tan 3tanB A∴ = 1tan tan2C A=
ABC∆ ( )
2
13tan tantan tan 2tan tan 31 tan tan 1 tan2
A AB CA B C B C A
++= − + = − = −− −
，可得 ， .
当 时， ， ，
则角 、 、 均为钝角，不合乎题意，舍去.
，因此， ；
（2）由（1）知， ， ，
，同理可得 ，
， ，所以， ， .
由正弦定理得 ，解得 ， ，
因此， 的面积为 .
【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，解
题时要结合三角形元素类型合理选择正弦、余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题.
20.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
， ，点 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若三棱锥 的体积为 ，求点 到平面 的距离.
tan 0A ≠ 2tan 3A = tan 3A∴ = ±
tan 3A = − tan 3 3B = − 3tan 2C = −
A B C
tan 3A∴ =
3A
π=
tan 3 3B = 3tan 2C =
2
2 222
2 22 2 2
2 2
sin
sin tan 27cossin sin cossin cos tan 1 28
cos cos
B
B BBB B BB B B
B B
= = = =+ ++
2 3sin 7C =
sin 0B > sin 0C > 2 21sin 14B = 21sin 7C =
3
3 21 21sin 3 14 7
b c
π = = 9 7
7b = 6 7
7c =
ABC∆ 1 1 9 7 6 7 3 27 3sin2 2 7 7 2 14ABCS bc A∆ = = × × × =
P ABCD− PC ⊥ ABCD 3AB = 2BC = 19AD =
120BCD∠ = 90ABC∠ = E PD
//CE PAB
P ABE− 4 3
3
D PAB
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）延长 、 交于点 ，连接 ，利用余弦定理计算出 ，得出点 为 的中
点，然后利用中位线的性质可得出 ，并利用直线与平面平行的判定定理证明出
平面 ；
（2）由 平面 可得知三棱锥 的体积与三棱锥 的体积相等，利用
等体积法计算出点 到平面 的距离 ，由 为 的中点知点 到平面 的距离是
点 到平面 的距离的两倍，从而可得出答案.
【详解】（1）如图，延长 、 交于点 ，连接 .
因为 ， ， ，
所以 中， ， ， ，
在 中， ， ， .
由余弦定理，可得 ，
所以 或 （舍去），所以 为 的中点.
又因为点 为 的中点，所以 为 的中位线，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）因为 平面 ，所以三棱锥 的体积与三棱锥 的体积相等.
因为 平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， ，所以 平面 .
由三棱锥 的体积 ，
可得 ，
在
8 5
5
AB DC F PF DF C DF
//CE PF //CE
PAB
//CE PAB P ABE− P ABC−
C PAB d C DF D PAB
C PAB
AB DC F PF
2BC = 120BCD∠ = 90ABC∠ =
BCF∆ 30BFC∠ = 4FC = 2 3FB =
AFD∆ 30AFD∠ = 3 3AF = 19AD =
2 2 2 2 cosAD AF DF AF DF AFD= + − ⋅ ⋅ ∠
8DF = 1DF = C DF
E PD CE PDF∆ //CE PF
CE ⊄ PAB PF ⊂ PAB //CE PAB
//CE PAB P ABE− P ABC−
PC ⊥ ABCD AB Ì ABCD AB PC∴ ⊥
90ABC∠ = AB BC∴ ⊥ PC BC C= AB ⊥ PBC
P ABC− 1 1 1 4 33 23 3 2 3P ABC A PBC PBCV V AB S PC− −
= = × = × × × × =
4PC =
所以 ，所以 的面积 ，
记点 到平面 的距离为 ，由 ，
得 ，所以 .
因为点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的 倍，
所以点 到平面 的距离是 .
【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等
体积法来进行计算，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中等题.
21.已知抛物线 ，点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线
上， 且 ，过点 作斜率为 的直线 与抛物线 交于 、 两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 面积的取值范围为 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线的定义结合条件 可求出 值，从而得出抛物线 的方程；
（2）由题意可得出直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方
程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，并列出 的面积关于 的表达式，再结合题中
条件可得出关于 的不等式，解出即可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）由抛物线的定义得 ，得 ，
因此，抛物线 的方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ，设点 、 ，
由 ，得 ，
2 24 2 2 5PB = + = PAB∆ 1 3 16 4 152PABS∆ = × × + =
C PAB d C PAB A PBCV V− −=
1 1 4 3153 3 3PABd S d∆× = × × = 4 5
5d =
D PAB C PAB 2
D PAB 8 5
5
( )2: 2 0C y px p= > F C ( ) ( )1, 0A a a > C
2FA = F k l C P Q
C
APQ∆ 5,8 5 k
2 4y x= 1 12, ,22 2
− − ∪
2FA = p C
l ( )1y k x= − ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y l
APQ∆ k
k k
1 22
pFA = + = 2p =
C 2 4y x=
l ( )1y k x= − ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y
( )
2
1
4
y k x
y x
= −
=
( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + =
由韦达定理，得 ， .
因为 轴，所以
，
令 ，所以 ，
又 的面积的取值范围为 ，即 ，
所以 ，得 ，即 ，所以 或 .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，同时也考查了抛物线中的三角形问题，
一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查运算求解能力，
属于中等题.
22.已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）已知方程 有且仅有一个实数解，求 的取值范围；
（3）当 时，不等式 对于任意的 恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）将 代入函数 的解析式，求出 和 ，然后利用点斜式可得出所
求切线方程；
（2）解法一：由题意得出关于 的方程 ，转化为直线 与曲线
有且只有一个公共点，利用导数求出当直线 与曲线 相切时实数 的值，并
2
1 2 2
2 4kx x k
++ = 1 2 1=x x
AF x⊥ ( )2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 42APQS AF x x x x x x x x∆ = × × − = − = + −
22
2 4 2 2 4
2 4 16 16 1 14 4k
k k k k k
+= − = + = +
( )2
1 0t tk
= > 24APQS t t∆ = +
APQ∆ 5,8 5 25 4 8 5t t≤ + ≤
25 2016 t t≤ + ≤ 1 44 t≤ ≤ 21 44 k≤ ≤ 12 2k− ≤ ≤ − 1 22 k≤ ≤
k 1 12, ,22 2
− − ∪
( ) ( ) ( )2 1 12
x af x e x a x a R= + − + − ∈
0a = ( )y f x= ( )( )1, 1f
( ) 2 12
af x x= − a
0a > ( ) ( ) 3 812 10a f x f x a− ≤ + − < + [ ],x a a∈ − a ( )1 1y e x= − − ( ) { }, 1 1e−∞ − − [ )2,ln10 0a = ( )y f x= ( )1f ( )1f ′ x ( )1xe a x= + ( )1y a x= + xy e= ( )1y a x= + xy e= a
利用数形结合思想得出当直线 与曲线 有一个交点时实数 的取值范围，由
此可得出实数 的取值范围；
解法二：利用参变量分离法得出方程 只有一个实数解，构造函数 ，利
用导数分析函数 的单调性与极值，利用数形结合思想可求出当直线 与函数
的图象只有一个交点时，实数 的取值范围；
（3）构造函数 ，其中 ，可得知函数 为偶函数，
利用导数可分析出函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，由此
可得出函数 的值域为 ，根据题中条件可得出关于 的不等式组，解出
即可.
【详解】（1）当 时， ，则 ， ，所以
，
因此，曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
（2）（法一）方程 有且仅有一个实数解，
即 有且仅有一个实数解.
如图，设直线 与曲线 相切于点 ，因为 ，
所以 ，解得 .
由图可得，直线 与曲线 有且仅有一个交点，则 或 ，
所以实数 的取值范围是 ；
( )1y a x= + xy e= a
a
1
xea x
= − ( ) 1
xeh x x
= −
( )y h x= y a=
( )y h x= a
( ) ( ) ( )g x f x f x= + − [ ],x a a∈ − ( )y g x=
( )y g x= [ ),0a− ( ]0,a
( )y g x= ( ) ( )0 ,g g a a
0a = ( ) 1xf x e x= − − ( )1 2f e= − ( ) 1xf x e′ = −
( )1 1f e′ = −
( )y f x= ( )( )1, 1f ( ) ( )( )2 1 1y e e x− − = − −
( )1 1y e x= − −
( ) 2 12
af x x= −
( )1xe a x= +
( )1y a x= + xy e= ( )0 0,x y ( )x xe e
′ =
( )0
0
01
1
x
x
e a x
e a
= +
= +
0 1
1
x
a e
=
= −
( )1y a x= + xy e= 1a e+ = 1 0a + < a ( ) { }, 1 1e−∞ − −
（法二）将方程 整理可得 .
当 时，等式不成立；
当 时， ，令 ，
，在 上 ，函数 单调递增；
在 和 上 ，函数 单调递减.
结合图象可知，当 时，方程 有一解；
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，方程 有一解.
所以实数 的取值范围是 ；
（3）由题意知 .
( ) 2 12
af x x= − 0xe ax x− − =
0x =
0x ≠ 1
xea x
= − ( ) 1
xeh x x
= −
( ) ( )
2
1xe xh x x
−′ = ( )1,+∞ ( )h x′ ( )y h x=
( ),0−∞ ( )0,1 ( ) 0h x′ < ( )y f x= 1a e= − ( ) 2 12 af x x= − ( ),0x∈ −∞ ( ) 0h x < x → −∞ ( ) 1h x → − 1a < − ( ) 2 12 af x x= − a ( ) { }, 1 1e−∞ − − ( ) ( ) ( )( )2 1 12 x af x e x a x−− = + − − + − −
令 ，则 ，
易知 ，又 ，所以函数 是 上的偶函数.
对 求导，得 .
因为 ，当 时，易知 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 上的值域为 .
若不等式 对于任意的 恒成立，
则有 ，即 ，设 ，则 ，解得 ，
即 ，解得 .
又 ，所以 ，因此，实数 取值范围为 .
【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数
问题以及不等式问题，在解题时要利用导数分析函数的单调性，求出函数的最值，利用最值
构造不等式（组）进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
的
( ) ( ) ( )g x f x f x= + − ( ) 2 2x xg x e e ax−= + + −
( ) ( )g x g x− = [ ],x a a∈ − ( )y g x= [ ],a a−
( )y g x= ( ) 2x xg x e e ax−′ = − +
0a > ( )0,x a∈ ( ) 0g x′ >
( )y g x= ( ),0a− ( )0,a
( )y g x= [ ],a a− ( ) ( )0 ,g g a
( ) ( ) 3 812 10a f x f x a− ≤ + − < + [ ],x a a∈ − ( ) ( ) 3 0 2 81 10 0 g a g a a a ≥ − < + >
0 2
101
10
a a
a
e e−
≥ − +
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