2019 年秋期高三第二次开学考试
理数试题
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上，
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大通共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
解一元二次不等式求得集合 ，求对数型函数定义域求得集合 ，进而求得两个集合的交集.
【详解】因为 ， ，所以 .故选 C.
【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力，属于基础题.
2.设复数 在复平面内对应的点为 ， ，若复数 z 的实部为 1，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ，代入 ，用复数乘法运算进行化简，根据复数 的实部为 求得正
确选项.
【详解】因为 ， ，所以 .故
【
{ }2| 2 0A x x x= + − { | ln(1 2 )}B x y x= = − A B =
1( ,1]2
1[ 2, )2
− − [ )12, 2
− [ ]12, 2
−
A B
{ }2 1A x x= −
1
2B x x
= c b a> > b a c> > c a b> >
0,1 0 0 ~1 1
01 0.6c > = 40 1 log 4b< < = 0a < c b a> >
1( ) e ex xf x x
−= − −
先求得函数的定义域，然后判断出函数为奇函数，再用特殊值确定正确选项.
【详解】首先函数 的定义域为 ，且 ，
所 以 函 数 为 奇 函 数 ， 图 象 应 该 关 于 原 点 对 称 ， 排 除 C 和 D ， 当 时 ，
，故 A 正确
【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，属于基础题.
5.如图，四边形 为正方形， 为等腰直角三角形，F 为线段 的中点，设向量
， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作 ，垂足为 G，利用平面向量的线性运算用 表示出 ，由此确定正确选项.
【详解】作 ，垂足为 G，如下图所示，则 ，又 ，
，所以 .故选 C.
【点睛】本题考查平面向量的线性表示，考查化归与转化的数学思想，属于基础题.
6.执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 （）
( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞
1( ) e e ( )x xf x f xx
−− = − + = −
( )f x 1x =
1(1) e 1 0ef = − − >
ABCD ADE∆ AE
BC a= BA b= CF =
1 3
4 2a b− + 3 3
4 2a b+ 3 5
4 4a b− + 1 5
4 4a b+
FG BC⊥ ,a b CF
FG BC⊥ CF CG GF= + 3
4CG CB=
5
4GF BA= 3 5
4 4CF CG GF a b= + = − +
6n = S =
A. 167 B. 168 C. 104 D. 105
【答案】B
【解析】
【分析】
通过分析得出程序框图所计算数值为数列 的前 6 项和，利用分组求和法求得输出
的值.
【详解】这个程序框图表示计算数列 的前 6 项和，所以
.
故选 B.
【点睛】本题考查算法与程序框图，考查运算求解能力，考查分组求和法，属于中档题.
7.在长方体 中， ， ， ，点 O 为长方形 对
{ }2 2nn + S
{ }2 2nn +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6
6 2 1 26 2 122 2 4 4 6 8 12 2 1682 1 2S =
−× += + + + + + + + + + =−
1 1 1 1ABCD A B C D− 3AB = 1AD = 1 2AA = ABCD
角线 交点，E 为棱 的中点，则异面直线 与 所成的角为（）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】
通过三角形中位线平移直线，作出线线角，解直角三角形求得线线角的正切值，由此求得线
线角的大小.
【详解】连接 ，如下图所示，因为 OE 为 的中位线，所以 ，所
以 为 异 面 直 线 与 OE 所 成 的 角 在 中 ， ， CD=3 ， 所 以
， .
故选 C
【点睛】本题考查几何体中点、线、面的位置关系以及夹角问题，考查空间想象能力和运算
求解能力，属于基础题.
8.十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、
卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物
各一件，甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢
马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率
的
.
1CC 1AD OE
1 1, ,AD OE AC 1ACC△ OE AC
1DAC∠ 1AD 1Rt DAC△ 1 3AD =
1 1
1 1
1
tan 3C DD AC AD
∠ = =
1 1 60D AC∠ = °
是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
基 本 事 件 总 数 ， 这 三 位 同 学 抽 取 的 礼 物 都 喜 欢 包 含 的 基 本 事 件 个 数
，由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率．
【详解】解：现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，
甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，
基本事件总数 ，
这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数 ，
这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是 ．
故选 ．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，
属于基础题．
9.若函数 的图象上存在与直线 垂直的切线，则实数 a 的取值范
围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点坐标，根据两条直线垂直斜率的关系求得切线的斜率，令 的导数等于这个斜率
建立方程，分离常数 后利用函数的值域求得 的取值范围.
3
88
3
44
1
20
9
44
3
12 1320n A= =
1 2 9 1 3 9 45m = × × + × × =
3
12 1320n A= =
1 2 9 1 3 9 45m = × × + × × =
∴ 45 3
1320 88
mp n
= = =
A
( ) lnf x ax x= − 3 4 0x y+ − =
[3, )+∞ (3, )+∞ [10 , )3
+∞
(10 ,3 )+∞
( )f x
a a
【详解】设切点为 ，切线的斜率为 ，由 ，
得 ，所以 ，而 ，所以 .
故选 B.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查推理论证能力，属于中档题.
10.从 A 地到 B 地有三条路线：1 号路线，2 号路线，3 号路线.小王想自驾从 A 地到 B 地，因
担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说:“2 号路线不堵车，3 号路线不堵车，”司机乙
说:“1 号路线不堵车，2 号路线不堵车，”司机丙说:“1 号路线堵车，2 号路线不堵车.”如
果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是（）
A. 1 号路线 B. 2 号路线 C. 3 号路线 D.2 号路线或
3 号路线
【答案】B
【解析】
【分析】
分别假设甲、乙、丙说得对，分析出有矛盾的说法，由此得出正确结论.
【详解】①若甲说得对，则 2 号路线，3 号路线都不堵，由于乙是错误的，所以 1 号路线堵车，
这样丙也说得对，这与只有一人说法正确矛盾；
②若乙说得对，则 1 号路线，2 号路线都不堵，由于甲是错误的，所以 3 号路线堵车，此时丙
也是错误的，符合条件；
③若丙说得对，则 1 号路线堵车，2 号路线不堵，由于甲是错误的，所以 3 号路线堵车，此时
乙也是错误的，符合条件综上所述，由于②③中都有 2 号路线不堵，所以小王最应该选择 2
号路线.
故选 B.
【点睛】本题考查逻辑与推理，考查推理论证能力和创新意识，属于基础题.
11.已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 作直线 l 交抛物线于 M，N 两点，则
的最小值为（）
( )0 0 0, lnx ax x−
1 31
3
k
−= =
−
1( ) ( 0)f x a xx
′ = − >
0
1 3a x
− =
0
1 3a x
= + 0 (0, )x ∈ +∞ (3, )a∈ +∞
2 16y x=
2| | 50
5 | |
NF
MF
−
A. 2 B. 1 C. 5 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得抛物线焦点坐标，设出 的坐标和直线 的方程，将直线方程代入抛物线方程，化简
后写出韦达定理，利用抛物线的定义化简 ，然后用基本不等式求出最小值.
【详解】由题意知，抛物线 的焦点坐标为 ，设 ， ，
，代入抛物线方程可得 ，所以 ， ，
所以
，又因为 ，由抛
物线的性质可得 ， ，故
，
由 可得 ，从而有 ，所以
，
当且仅当 时取等号
故选 D.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力和推理论证能力，考查基本
不等式求最值的方法，属于中档题.
12.设数列 的前 n 项和为 ，且满足 ， ，用 表示不超过 x 的
最大整数，设 ，数列 的前 2n 项和为 ，则使 成立的最小正整数 n
是（）
.
5
2
,M N l
2| | 50
5 | |
NF
MF
−
2 16y x= (4,0) ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
: 4l x my= + 2 16( 4)y my= + 1 2 16y y m+ = 1 2 64y y = −
( ) 2
1 2 1 2 1 24 4 8 16 8x x my my m y y m+ = + + + = + + = + 2 2
1 2
1 2 1616 16
y yx x = ⋅ =
1 4MF x= + 2 4NF x= +
( )( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
8 81 1 1 1 1
| | | | 4 4 4 4 4 16 4
x x x x
MF NF x x x x x x x x
+ + + ++ = + = = =+ + + + + + + (*)
( )* 1 1 1
4MF NF
= − 50 50 25
2MF NF
− = −
2 2 250 50 25 25 25 25 25 5 53 55 5 2 5 2 2 2 2
NF NF NF
MF NF NF NF
− = + − = + + − × − = =
5NF =
{ }na nS 1 2 2a a+ = 1
2
3n na S+ = + [ ]x
[ ]n nb a= { }nb 2nT 2 2000nT >
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用 求得数列 的通项公式以及前 项和 ，利用二项式展开式化
简 ，求得 ，利用分组求和法求得数列 的前 2n 项和
，由此求得使 成立的最小正整数 的值.
【详解】令 ，得 ，又 ，解得 ， ，又 ，
，所以 ，又 ，可求得 ， .所以
，
即 ，所以 ，即
，所以 ，因此 ，
当 时， ；当 时， .使 成立的最小正整数 n
是 6.
故选 B.
【点睛】本题考查等比数列通项公式及前 项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和
创新意识，属于难题.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡中的横线上.
13.已知函数 ，将 的图象上所有的点向左平移 个单位长度得到 的
1
1
, 1
, 2n
n n
S na S S n−
== − ≥
{ }na n nS
[ ]n nb a= 2 2 1 2 2 1 1n n n nb b a a− −+ = + − { }nb
2nT 2 2000nT > n
1n = 2 1
2
3a a= + 1 2 2a a+ = 1
2
3a = 2
4
3a = 1
2
3n na S+ = +
1
2
3n na S −= + 1 2 ( 2)n na a n+ = 2 12a a= 2
3
n
na = ( )2 2 13
n
nS = −
0 1 1 1 13 3 3 ( 1) ( 1)2 (3 1)
3 3 3
n n n n nn n
n n n
n
C C Cb
− − − ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ − + −−= = =
0 1 1 2 1 1 ( 1)C 3 C 3 C ( 1) 3
n
n n n n
n n n nb − − − − −= ⋅ − ⋅ + + − +
2 ( 1) ( 1)
3 3
n n n
nb
− − −= +
2 2 ,3
2 1,3
n
n n
n
b
n
−
= −
为奇数
为偶数
2 2 1 2 2 1 1n n n nb b a a− −+ = + − ( )2
2 2
2 2 13
n
n nT S n n= − = − −
5n = 10 67T = 6n = 12 2724 2000T = > 2 2000nT >
n
2( ) 2cosf x x= ( )f x
4
π
( )g x
图象，则函数 的最小正周期是______，最大值是______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用用降次公式化简 解析式，左移 个单位得到 的解析式，化简
的表达式为 的形式，由此求得其最小正周期和最大值.
【详解】因为 ，左移 个单位得到 ，
所以 ，所以 ，最大值为 .
故填：（1） ；（2） .
【点睛】本题考查三角函数降次公式，三角函数图像变换，辅助角公式，三角函数周期性和
最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
14.设 是公差不为 0 的等差数列 的前 n 项和，且 ，则 ______.
【答案】18
【解析】
【分析】
将已知 已知转化为 形式，化简后求得 ，利用等差数列前 公式化
简 ，由此求得表达式的值.
【详解】因为 ，所以 .
故填： .
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能
力，属于基础题.
15.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设
的
( ) ( )y f x g x= +
π 2+ 2
( )f x π
4
( )g x ( ) ( )y f x g x= +
( )cosA x Bω ϕ+ +
( ) 1 cos2f x x= + π
4
π( ) 1 cos 2 1 sin 24g x x x
= + + = −
( ) ( ) 2 2 cos 2 4
πy f x g x x = + = + + T π= 2+ 2
π 2 2+
nS { }na 7 12a a= − 9
5 4
S
S a
=+
7 12a a= − 1,a d 1 2a d= − n
9
5 4
S
S a+
7 12a a= − ( )19 5
1
5 4 3 4 1
9 49 9 22 , 185 6 13 12 13
a dS a da d S a a a a d d d
+ ×= − = = = =+ + + − +
18
李某智商较高，他独自一人解决项目 的概率为 ；同时，有 个水平相同的人也在
研究项目 ，他们各自独立的解决项目 的概率都是 0.5．现在李某单独研究项目 ，且
这 个人组成的团队也同时研究项目 ，且这 个人研究项目 的结果相互独立．设这 个
人团队解决项目 的概率为 ，若 ，则 的最小值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
这 个 人 组 成 的 团 队 不 能 解 决 项 目 的 概 率 为 ， 所 以
，所以 ，解不等式即可．
【详解】解：依题意，这 个人组成的团队不能解决项目 的概率为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
故答案为 4
【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，指数不等式的解法，属于基础题．
16.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 A 是双曲线右支上的
一点，若直线 与直线 平行且 的周长为 9a，则双曲线的离心率为
______.
【答案】2
【解析】
【分析】
利 用 双 曲 线 的 定 义 和 三 角 形 的 周 长 列 方 程 ， 用 表 示 出 ，，结 合
求得 并化简，由此解出离心率.
M 1 0.9P = n
M M M
n M n M n
M 2P 2 1P P≥ n
n M 1 1(1 ) ( )2 2
n nP = − =
2
11 1 ( )2
nP P= − = − 11 ( ) 0.92
n−
n M 1 1(1 ) ( )2 2
n nP = − =
2
11 1 ( )2
nP P= − = −
11 ( ) 0.92
n−
1 1( )10 2
n
4n
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F
2AF by xa
= − 1 2AF F∆
1 2AF F ,a c 1 2,AF AF
1 2tan bF F A a
∠ = 1 2cos F F A∠
【详解】如图，设 ， ，则 ，解得 ，因为直线
与直线 平行，所以 ，所以 ，
所 以 ， 把 ， 代 入 上 式 得 ， 所 以
，得 .
故填：2.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思
想与运算求解能力，属于中档题..
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17〜21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共 60 分.
17.已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 .
(1)求角 C；
(2)若 ，求当 的面积最大时 a，b 的长，并求出最大面积.
【答案】（1） （2）当 时， 的面积的最大值为
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理化简已知条件，求得 的值，进而求得角 的大小.（2）利用余弦定
理和基本不等式求得 的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形 面积的最大值.
1 1AF r= 2 2AF r= 1 2
1 2
2
9 2
r r a
r r a c
− =
+ = −
1
2
11
2
7
2
r a c
r a c
= −
= −
2AF by xa
= − 1 2tan bF F A a
∠ =
2 2 2
2 1
1 2
2
4cos 2 2
c r raF F A c c r
+ −∠ = = × ×
2 2 2
2 1 24 4c r r ar+ − = 1r 2r 2 28 2 0a ac c− − =
( )( )2 4 0a c a c− + = 2e =
ABC∆ 2 2( )a b c ab+ = +
4c = ABC∆
2
3C
π= 4 3
3a b= = ABC△ 4 3
3
cosC C
ab ABC
【 详 解 】 解 ： （ 1 ） 因 为 ， 所 以 ， 所 以
，所以 .
（2）由 ，得 ，所以 ，当且仅
当 时取等号，所以 的面积 ，当且仅当 时取等
号，即当 时， 的面积的最大值为 .
【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查利用基本不
等式求最大值，属于中档题.
18.如图，已知四棱锥 的底面是梯形， ， ，且
， .
(1)若 O 为 的中点，证明： 平面 .
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）通过 证得 ,连接 ，通过勾股定理计算证明证得 ，由
此证得 平面 .（2）以 D 为原点建立空间直角坐标系，利用平面 和平面
的的法向量，计算出二面角的余弦值.
【 详 解 】（ 1 ） 证 明 ： 因 为 ， ， 所 以 ， ， 又
2 2( )a b c ab+ = + 2 2 2a b c ab+ − = −
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= = − 2
3C
π=
4c = 2 2 2 2 22 cos 3c a b ab C a b ab ab= + − = + +
2 16
3 3
cab =
a b= ABC△ 1 4 3sin2 3S ab C=
4 3
3a b= =
4 3
3a b= = ABC△ 4 3
3
P ABCD− / /AB CD AD AB⊥
2 4AD CD AB= = = 3PA PD PC= = =
AC PO ⊥ ABCD
D BC P− −
2
3
PA PC= PO AC⊥ OD PO OD⊥
PO ⊥ ABCD DBC
PBC
AB CD∥ AD AB⊥ AD CD⊥ 4 2AC =
，O 为 AC 的中点，所以 ， ，连接 OD，在
中，O 为 AC 的中点所以 ，因为 ，所以
，又 ，所以 平面 ABCD.
（2）解：如图，以 D 为原点，别以 DA，DC 所在直线为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系
，则 ， ， ， ， ，设平
面 BCP 的一个法向量为 ，由 ，得 ，令 ，可得
，又平面 BCD 的一个法向量为 ，易知二面角 为锐角，设
其为 ，则 .
【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查
空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
19.设椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，上顶点为 B，右焦点为 F，
已知直线 的倾斜角为 120°， .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 P 为椭圆 C 上不同于 ， 的一点，O 为坐标原点，线段 的垂直平分线交 于 M
点，过 M 且垂直于 的直线交 y 轴于 Q 点，若 ，求直线 的方程.
3PA PC= = PO AC⊥ 2 23 (2 2) 1PO = − =
Rt ACD△ 1 2 22OD AC= = 2 2 2OD OP PD+ =
PO OD⊥ OD AC O= PO ⊥
D xyz− ( )4,2,0B ( )0,4,0C ( )2,2,1P ( )4,2,0BC = − ( )2, 2,1CP = −
( , , )n x y z= 0
0
n BC
n CP
⋅ =
⋅ =
4 2 0
2 2 0
x y
x y z
− + =
− + = 1x =
, ,(1 )2 2n = (0,0,1)m = D BC P− −
θ 2 2cos cos , 1 3 3θ m n= 〈 〉 = =×
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1A 2A
BF 2 1A F =
1A 2A 2OA 2A P
2A M FP FQ⊥ 2A P
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用直线 的倾斜角、 的值列方程，结合 ，求得 的值，进而求
得椭圆的方程.（2）设出直线 的方程，由此求得 点坐标，由此求得直线 的方程，
进而求得 点坐标，联立直线 的方程和椭圆方程，求得 点坐标，将 转化为两
条直线斜率乘积等于 列方程，解方程求得直线 的斜率，进而求得直线 的方程.
【 详 解 】 解 ： （ 1 ） 设 焦 距 为 2c， 因 为 直 线 BF 的 倾 斜 角 为 120° ， 所 以 ， 即
，又因为 ，所以 ，即 ，代入 ，并化简得
，解得 ，所以 ， ，椭圆 C 的方程为 .
（2）设 ，直线 的方程为 ，令 ，得 ，即 ，
则 ，直线 ，令 ，得 ，联立方程组
，并消去 y 得 ，由 ，得
，把 代入 ，得 ，得
.又 ，则 ，同理 ，
，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为
.
2 2
14 3
x y+ = 6 ( 2)4y x= ± −
BF 2A F 2 2 2a b c= + ,a b
2A P M QM
Q 2A P P FP FQ⊥
1− 2A P 2A P
3b
c
=
3b c= 2 1A F = 1a c− = 1a c= + 2 2 2a b c= +
23 2 1 0c c− − = 1c = 2a = 3b =
2 2
14 3
x y+ =
( )1 1,P x y 2A P ( )2y k x= − 1x = y k= − ( )1,M k−
1
QMk k
= − 1: ( 1)QM y k xk
+ = − − 0x = 10,Q kk
−
2 2
( 2)
14 3
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 24 3 16 16 12 0k x k x k+ − + − = 2
1 2
16 122 4 3
kx k
−= +
2
1 2
8 6
4 3
kx k
−= +
2
1 2
8 6
4 3
kx k
−= +
( )2y k x= − 1 2
12
4 3
ky k
= − +
2
2 2
8 6 12,4 3 4 3
k kP k k
− − + +
(1,0)F
2
2 2
2
12
124 3
8 6 4 914 3
PF
k
kkk k k
k
− += = −− −−+
1
QFk k k
= −
FP FQ⊥
2
12 1 14 9
k kk k
− − = − −
6
4k = ± 2A P
6 ( 2)4y x= ± −
【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的交
点坐标的求法，考查直线垂直时斜率的关系，考查直线的点斜式方程，考查运算求解能力，
属于中档题.
20.2019 超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不
断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，
得到其 100 家加盟超市 3 天内进货总价的统计结果如下表所示：
组别(单位：百
元）
频数 3 11 20 27 26 13
(1)由频数分布表大致可以认为，被抽查超市 3 天内进货总价 ，μ 近似为这
100 家超市 3 天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态
分布，求 ；
(2)在(1)的条件下，该公司为增加销售额，特别为这 100 家超市制定如下抽奖方案：
①令 m 表示“超市 3 天内进货总价超过μ 的百分点”，其中 .若 ，
则该超市获得 1 次抽奖机会； ，则该超市获得 2 次抽奖机会； ，则
该超市获得 3 次抽奖机会； ，则该超市获得 4 次抽奖机会； ，则该
超市获得 5 次抽奖机会； ，则该超市获得 6 次抽奖机会.另外，规定 3 天内进货总价低
于 μ 的超市没有抽奖机会；
②每次抽奖中奖获得的奖金金额为 1000 元，每次抽奖中奖的概率为 .
设超市 A 参加了抽查，且超市 A 在 3 天内进货总价 百元.记 X（单位：元)表示超市
A 获得的奖金总额，求 X 的分布列与数学期望.
附参考数据与公式： ，若 ，则 ，
， .
【答案】（1） （2）详见解析
[20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,120) [120,140]
~ ( ,202)W N µ
(76 132.8)P W< 100Wm µ µ −= × [0,10)m∈ [10,20)m∈ [20,30)m∈ [30,40)m∈ [40,50)m∈ 50m 1 3 122.5W = 202 14.2≈ 2~ ( , )W N µ σ ( ) 0.6827P Wµ σ µ σ− < + = ( 2 2 ) 0.9545P Wµ σ µ σ− < + = ( 3 3 ) 0.9973P Wµ σ µ σ− < + = 0.84
【解析】
【分析】
（1）利用频数分布表，计算出平均数 ，根据题目所给参考数据求得 ，根据正态分布的对
称性以及题目所给参考数据，求得指定区间的概率.（2）先计算出 的值，由此确定抽奖次
数，根据二项分布概率计算公式，计算出概率，结合抽奖中奖获得的奖金金额求得分布列和
数学期望.
【详解】解：（1）由题意得
，因为 ，
所以 ，
，
所以， ，
，
所以， ，
（2）因为 ，所以 ，
所以，超市 A 获得 4 次抽奖机会，
从而，X 的可能取值为 0，1000，2000，3000，4000，
又因为每次抽奖不中的概率为 ，所以
， ，
，
， .
所以，X 的分布列为
µ σ
m
30 3 50 11 70 20 90 27 110 26 130 13 90.2100μ
× + × + × + × + × + ×= = 202 14σ = ≈
(90.2 14.2 90.2 14.2) (76 104.4) 0.6827P W P W− < + = < = (90.2 3 14.2 90.2 3 14.2) (47.6 132.8) 0.9973P W P W− × < + × = < = 1(76 90.2) (76 104.4) 0.341352P W P W< = < = 1(90.2 132.8) (47.6 132.8) 0.498652P W P W< = < = (76 132.8) (76 90.2) (90.2 132.8) 0.84P W P W P W< = < + < = 122.5W = [ )122.5 90.2 100 36 30,4090.2m −= × ≈ ∈ 2 3 42 16( 0) 3 81P X = = = 3 1 4 1 2 32( 1000) C 3 3 81P X = = × × = 2 2 2 4 1 2 24( 2000) C 3 3 81P X = = × × = 3 3 4 1 2 8( 3000) C 3 3 81P X = = × × = 41 1( 4000) 3 81P X = = =
X 0 1000 2000 3000 4000
P
所以，X 的数学期望为
元.
【点睛】本小题主要考查利用样本均值估计正态分布均值，考查正态分布对称性的应用，考
查二项分布概率计算公式，考查实际问题的期望计算.
21.已知函数 .
(1)证明：当 时， 有且仅有一个零点.
(2)当 ，函数 的最小值为 ，求函数 的值域.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）利用导数求得函数 的单调区间和最小值，结合零点存在性定理，证得结论成立.
（2）先求得 得到解析式和导函数.根据（1）的结论，求得导函数的零点 ，根据
将 转化为 的形式，进而求得 最小值的表达式，利用构造函数法和导数作
为工具，求得 最小值的取值范围，进而求得 的取值范围.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 .
令 ，解得 ；令 ，解得 ，则 在区间 上单调递
减，在 上单调递增，故 ，因为 ，所以
，所以当 时， ，故 在 上没有零
点，因为 ，所以当 时， ，因为 在
16
81
32
81
24
81
8
81
1
81
16 32 24 8 1 40000 1000 2000 3000 400081 81 81 81 81 3EX = × + × + × + × + × =
( ) exf x x a= +
0a < ( )f x 2[ 2e ,0)a∈ − ( ) ( 1) exg x x ax= − ⋅ + ( )h a ( )h a )23e , 1− − ( )f x ( )g x 1x ( )' 1 0g x = a 1x ( )g x ( )g x ( )h a ( ) exf x x a= + ( ) ( 1) exf x x′ = + ⋅ ( ) 0f x′ < 1x < − ( ) 0f x′ > 1x > − ( )f x ( , 1)−∞ −
( 1, )− +∞ 1
min( ) ( 1) ef x f a−= − = − + 0a < 1 min( ) e 0f x a−= − + < 0x ( ) e 0xf x x a= + < ( )f x ( ],0−∞ 0a < 0x > ( )( ) e e 1 0a af a a a a− −− = − ⋅ + = − − > ( )f x
上单调递增，所以 有且仅有一个零点综上，当 时， 有且仅有一个
零点.
（2）解：因为 ，所以 .
由（1）知当 时， 有且仅有一个零点，因为 ，
，所以存在唯一 ，使得 ，且当 时，
；当 时， .
故 在区间 上单调递减，在 上单调递增，所以
，又 ，即 ，
代入上式得，
， ，设函数 ，
，则 在 上单调递减，故
，因为函数 在 上单调递减，
故对任意 ，存在唯一的 ， ，使得 ，
所以 的值域是 ，综上，当 时，函数 的最小值 的值域
为
【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关函数零点个数问题，考查利用导数研究函数的单
调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.
(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
22.在直角坐标系 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数).以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程 .
(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
( 1, )− +∞ ( )f x 0a < ( )f x ( ) ( 1) xg x x e ax= − ⋅ + ( ) exg x x a′ = ⋅ + )22e ,0a ∈ − ( )g x′ (0) 0g a′ = < 2(2) 2e 0g a′ = + 1 (0,2]x ∈ ( )1 0g x′ = ( )10,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )1,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ >
( )g x 1(0, )x 1( , )x +∞
( ) ( ) 1
min 1 1 1( ) ( ) 1 exh a g x g x x ax= = = − + ( )1 0g x′ = 1
1 1 1e 0 exxx a a x⋅ + = ⇒ = − ⋅
( ) ( ) ( )1 1 12 2
1 1 1 1 11 e e 1 ex x xg x x x x x= − − = − + − ( ]1 0,2x ∈ ( )2( ) 1 exF x x x= − + − ⋅
( )2( ) e 0xF x x x′ = − − ⋅ < ( )F x ( ]0,2 ( ) ( ) )12 2 1 1 1 1 e 3e , 1xg x x x = − + − ∈ − − ( )2 1 exy x x= − + − ⋅ ( ]0,2 )23e , 1λ ∈ − − 1 (0,2]x ∈ )2 1 1e 2e ,0xa x = − ⋅ ∈ − ( )h a λ= ( )h a )23 , 1e− − )22e ,0a ∈ − ( )g x ( )h a )23e , 1− − xOy 3 2 x t y t = − − = + ， 4 2 cos( )4 πρ θ= +
(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点， 为直线 l 上一点，求 .
【 答 案 】（ 1 ） 直 线 l 的 普 通 方 程 为 ， 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法消去参数 ，求得直线 的普通方程，利用两角和的余弦公式以及极坐标
和直角坐标相互转化的公式，求得曲线 的直角坐标方程.（2）写出直线 标准参数方程，代
入曲线 的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数方程中参数的几何意义求得所求表
达式的值.
【 详 解 】 解 ： （ 1 ） 直 线 l 的 普 通 方 程 为 ， 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为
.
（2）将直线 l 的参数方程化为 （t 为参数），代入曲线 C 的方程
，得 ，所以 ， ，所以
.
【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程的
方法，考查直线参数方程中参数 的几何意义的运用，属于中档题.
23.已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若不等式 对 成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） ，或 （2）
【解析】
(2, 3)P − 1 1
| | | |PA PB
+
1 0x y+ + =
2 2( 2) ( 2) 8f x y− + + = 30
7
t l
C l
C
1 0x y+ + =
2 2( 2) ( 2) 8x y− + + =
22 2
23 2
x t
y t
= −
= − +
2 2( 2) ( 2) 8x y− + + = 2 2 7 0t t− − = 1 2 2t t+ = 1 2 7t t = −
( )2
1 2 1 21 2
1 2 1 2
| 4|1 1 30
| || 7|
t t t tt t
PA PB t t t t
+ −−+ = = =
t
( ) | 2 3| | 2 |f x x x= + − −
( ) 2f x >
( ) | 3 6 |f x a x> − − x∈R
{ | 7x x < − 1 3x > ( 7),−∞
【分析】
（1）利用零点分段法去绝对值符号，由此解出不等式 的解集.（2）将不等式
等 价 变 形 为 ， 利 用 绝 对 值 不 等 式 求 得
的最小值，进而求得 的取值范围.
【详解】解：（1）当 时，不等式可化为 ，解得 ，故
；当 时，不等式可化为 ，解得 ，故 ，当
时，不等式可化为 ，解得 ，故 ，综上可得，原不等式的解集为
，或 .
（2） ，即 ，
因为 ，所以 ，即实数 a 的取值范围是
【点睛】本小题主要考查零点分段法求解含有绝对值的不等式，考查绝对值三角不等式，考
查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
( ) 2f x >
( ) 3 6f x a x> − − 2 3 2 4x x a+ + − >
2 3 2 4x x+ + − a
3
2x < − 2 3 2 2x x− − + − > 7< −x 7< −x 3 22 x− 2 3 2 2x x+ + − > 1
3x > 1 23 x< 2x >
2 3 2 2x x+ − + > 3x > − 2x >
{ | 7x x < − 1 3x >
( ) 3 6f x a x> − − 2 3 2 4x x a+ + − >
2 3 2 4 2 3 2 4 7x x x x+ + − + − + = 7a < ( 7),−∞
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