大庆市高三年级第一次教学质量检测理科数学
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 8 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的
1.设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选 A.
【点睛】本题考查集合的运算交，属于基础题.
2.已知 ( 为虚数单位)，则复数 的共轭复数等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由复数的运算法则，化简复数 ，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，复数满足 ，即 ，
所以复数 的共轭复数等于 ，故选 A．
【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复
数的运算法则，准确求解复数 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3.已知 ,且 ，则 （ ）
{ } { }2| , | 0 1A x x x B x x= ≤ = < ≤ A B = ( ]0,1 [ ]0,1 ( ],1−∞ ( ) ( ],0 0,1−∞ A A B [ ]0,1A = ( ]0,1A B = 2(1 i) =1 iz + - i z 1 i− − 1 i− 1 i− + 1 i+ 1z i= − + 2(1 ) =1i iz + - ( ) ( )( ) 2 2 1(1 ) 2= 11 1 1 1 i ii iz ii i i i × ++= = =- +- - - + z 1z i= − − z ( ) ( )2, 1 , ,2a b x= − = / /a b a b+ =
A. 4 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量共线的坐标形式可求 ，求出 的坐标后可求 .
【详解】因为 ，故 ，所以 ，
故 ，故 .
故选 C.
【点睛】如果 ，那么：（1）若 ，则 ；（2）若
，则 .
4.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，
日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具
体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将问题转化为等差数列问题，通过 ， ， ，构造方程组解出公差，从而得
到结果.
【详解】设每天所织布的尺数为 ，则数列 为等差数列
设公差为
由题意可知： ， ，
则 ，解得：
即每天比前一天少织 尺的布
5 10
x a b+ a b+
/ /a b 2 2 1 x× = − × 4x = −
( )2,1a b+ = − 5a b+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,a x y b x y= = / /a b
1 2 2 1x y x y=
a b⊥
1 2 1 2 0x x y y+ =
8
29
4
15
4
29
2
15
90nS = 1na = 1 5a =
na { }na
d
1 5a = 1na = 90nS =
( )
( )
5 1 1
15 902
n d
n nn d
+ − = −+ =
30
4
29
n
d
= = −
4
29
本题正确选项：
【点睛】本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列
基本量求解的问题.
5.设抛物线 的焦点在直线 上，则该抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线焦点 在 上，求得 ，进而得到抛物线的准线方程，得到答案.
【详解】由题意，抛物线 的焦点 ，又由焦点 在 上，
解得 ，所以抛物线的准线方程为 ，故选 D.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了推理与
运算能力，属于基础题.
6.若直线 和曲线 相切，则实数 的值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
分析】
设切点为 ，求出函数在 处的导数后可得切线的斜率，从而可用 表示
切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于 的方程，解该方程后可得实数 的值.
【详解】设切点为 ，因为 ，故切线的斜率 ，
所以 ，所以 ，因为 ，故 ，
故选 B.
【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线
的斜率，本题为基础题．
【
C
2 2y px= 2 3 8 0x y+ − =
1x = − 2x = − 3x = − 4x = −
F 2 3 8 0x y+ − = 8p =
2 2y px= ,02
pF
F 2 3 8 0x y+ − =
8p = 42
px = − = −
1y x= + ln 2y a x= + a
1
2
3
2
( )0 0, ln 2x a x + 0x x= a
a a
( )0 0, ln 2x a x + ay x
′ =
0
1ak x
= =
0x a= ln 2 1a a a+ = + 0a > 1a =
7.某公司安排甲、乙、丙 3 人到 两个城市出差，每人只去 1 个城市，且每个城市必须有
人去，则 城市恰好只有甲去的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，利用公式可求概率.
【详解】设事件 为“ 城市恰好只有甲去”，则基本事件的总数为 ，
事件 中含有 基本事件的总数为 1，所以 .
故选 B.
【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计
算，计算时应利用排列组合的方法来考虑，此类问题为基础题.
8.已知函数 为偶函数，将 图象上所有
点 横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为 ，若 最小
正周期为 ，且 ，则 （ ）
A. -2 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意根据三角函数的图象的对称性求出 φ，由周期求出 ω，由三角函数的值求出 A，可得
函数的解析式，从而求得 ．
【详解】∵ 为偶函数，故 ，
所以 ，
整理得到 ，
的
的
,A B
A
1
5
1
6
1
3
1
4
C A 2 2
3 2 6C A =
C ( ) 1
6P C =
( ) ( )( )sin 0, 0,0f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < < ( )f x ( )g x ( )g x 2π 24g π = 3 8f π = 2− 2 3 8f π ( ) ( )( )sin 0, 0,0f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < < ( ) ( )f x f x− = ( ) ( )sin sinA x A xω ϕ ω ϕ+ = − + sin cos cos sin sin cos cos sinx x x xω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ+ = − +
所以 对任意的 恒成立，所以 ，即 .
因为 ，故 .所以 ，
将 y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函
数为 .
因为 最小正周期为 ，则有 ＝2π，∴ω＝2，g（x）＝Acos x，f（x）＝
Acos2x．
且 ，故 ，解得 ，所以 ，所以
.
故选:C.
【点睛】本题主要考查函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，
函数 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．
9.设 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题错误的是( )
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可.
【详解】逐一考查所给的选项：
由线面垂直的性质定理推论可知：若 ， ，则 ，选项 A 正确；
由线面垂直的性质定理推论可知：若 ， ，则 ，选项 B 正确；
由线面垂直的性质定理推论可知：若 ， ，则平面 内存在直线 ，满足 ，
则 ，然后利用面面垂直的判定定理可得 ，选项 C 正确；
sin cos 0xω ϕ = x∈R cos 0ϕ = ,2 k k Z
πϕ π= + ∈
0 ϕ π< < 2 ϕ π= ( ) cosf x A xω= ( ) cos 2Ag x xω= ( )g x 2π 2 2 π ω 24g π = 2 4cosA π= 2A = ( ) 2cos2f x x= 3 32cos 28 4f π π = = − m n α β m α⊥ / /n α m n⊥ n α⊥ / /n m m α⊥ m α⊥ / /m β α β⊥ α β⊥ / /m α m β⊥ m α⊥ / /n α m n⊥ n α⊥ / /n m m α⊥ m α⊥ / /m β β l //l m l α⊥ α β⊥
在如图所示的正方体 中，取平面 分别为平面 ，直线
为棱 ，
满足 ， ，但是不满足 ，选项 D 错误；
故选：D.
【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理及其推论，线面关系命题的判定，属于中等题.
10.已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，取 的中点，连接 ，可以证明 是异面直线 与 所成角，利
用余弦定理可求其余弦值.
【详解】
如图，取 的中点 ，连接 ，
在 中，因为 为中点，所以 ，
1 1 1 1ABCD A B C D− ,α β 1 1,ABCD ADD A
m 1 1B C
α β⊥ / /m α m β⊥
1 1 1ABC A B C− M 1 1AC AM
BC
5
10
5
3
6
4
15
3
1 1A B ,MN AN AMN∠ AM BC
1 1A B N ,MN AN
1 1 1A B C∆ ,M N 1 1MN B C
由直三棱柱 可得 ，故 ，
所以 或其补角是异面直线 与 所成角.
因为三棱柱 是直棱柱，所以 平面 ，
因为 平面 ，故 ，故 为直角三角形，
同理 为直角三角形.
设 ，则 ，
在 中，有 ，同理 ，又 ,
故 .
故选 A.
【点睛】求异面直线所成的角，一般需要平移空间直线后将空间角转化为平面角来处理，后
者可以利用平面几何的相关知识方法或利用解三角形的方法求平面角的大小或角的余弦值.
11.设函数 是定义在实数集上的奇函数，在区间 上是增函数，且 ，
则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得 ， ，再利用函
数在区间 上是增函数可得答案.
【详解】解： 为奇函数， ，
又
， ，
1 1 1ABC A B C− 1 1BC B C MN BC
AMN∠ AM BC
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ 1 1 1A B C
1 1AC ⊂ 1 1 1A B C 1 1 1AA AC⊥ 1AA M∆
1AA N∆
2AB a= 1A N a=
1Rt AA N∆ 2 24 5AN a a a= + = 5AM a= MN a=
2 2 25 5 5cos 102 5
a a aAMN
a a
+ −∠ = =
× ×
( )f x [ 1,0)− ( 2) ( )f x f x+ = −
1 3( ) ( ) (1)3 2f f f< < 3 1(1) ( ) ( )2 3f f f< < 1 3(1) ( ) ( )3 2f f f< < 3 1( ) (1) ( )2 3f f f< < 1 1f f ,f (1) f ( 1)3 3 = − − = − − 3 1 122 2 2f f f = − + = − − [ 1,0)− ( )f x ( ) ( )f x f x∴ − = − ( 2) ( )f x f x+ = − 1 1f f ,f (1) f ( 1)3 3 ∴ = − − = − − 3 1 122 2 2f f f = − + = − −
又 ，且函数在区间 上是增函数，
，
，
故选 A.
【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的
能力.
12.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双曲线的左支上存在
一点 ，使得 与双曲线的一条渐近线垂直于点 ，且 ，则此双曲线的离
心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用 与双曲线的一条渐近线垂直于点 可求出 的坐标，再利用 求出
的坐标（用 表示），将 的坐标代入双曲线的方程后可求离心率.
【详解】
双曲线的渐近线为 ，取一条渐近线为 ，
1 11 1 02 3
− − < − < − ≤ [ 1,0)− 1 1f ( 1) f f 02 3 ∴ − < − < − − − > − −
3 1(1) 2 3f f f ∴ > >
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1 2,F F
P 2PF H 2 24PF F H=
2 6
3
4
3
13
2
5
3
2PF H H 2 24PF F H= P
, ,a b c P
by xa
= ± by xa
=
则直线 ，
由 得 ，故 .
因为 ，故 ，从而 ，
所以 ，将 的坐标代入双曲线的方程可以得到：
，化简可得 ，所以 ，
故选 D.
【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于 的一个等式关
系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于
的不等式或不等式组．
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13.若实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为____________.
【答案】5
【解析】
【分析】
由题意首先画出不等式组表示 平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最大值即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
的
( )2 : a a acF H y x c xb b b
= − − = − +
a acy xb b
by xa
= − +
=
2ax c
aby c
=
=
2
,a abH c c
2 24PF F H=
2 24PF F H= − ( ) 2
, 4 ,p p
a abc x y cc c
− − = − −
24 3
4
p
p
ax cc
aby c
= −
=
P
2 22
2 2
4 43
1
a abcc c
a b
− − =
29 25 0e − = 5
3e =
, ,a b c
, ,a b c
x y
2 2 0
1 0
2
x y
x y
y
+ + ≥
+ − ≤
≥ −
z x y= −
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 C 处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：5．
【点睛】求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上截
距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上
截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.
14.若函数 ，且 ，则 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先 求 出 ， 再 根 据 、 分 类 讨 论 并 求 出 相 应 的 ， 根 据
可求实数 的值.
【详解】 ，
若 ，则 ，令 ，故 ；
1 0
2
x y
y
+ − =
= −
( )3, 2C −
( )max 3 2 5z = − − =
( ) 2 22 , 0
, 0
x mx m xf x
x m x
− + ≤= + >
( )( )1 2f f = m
1
2
( )1f ( )1 0f > ( )1 0f ≤ ( )( )1f f
( )( )1 2f f = m
( )1 1f m= +
1m > − ( )( )1 2 1f f m= + 2 1 2m + = 1
2m =
若 ，则 ，故 无解，
综上， .
故答案为： .
【点睛】分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，
故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，
从而考虑与分段函数相关的不等式问题、方程的解等问题.
15.若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
先逆用两角和的正弦得到 ，令 ，则 的值即为
的值，利用二倍角的余弦值可求此值.
【详解】由 可以得到 ，
所以 ，设 ，则
则 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差
异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互
化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角
去表示未知的角.
1m ≤ − ( )( ) ( ) ( )2 21 1 2 1 1f f m m m m= + − + + = ( )( )1 2f f =
1
2m =
1
2m =
2 23 cos sin 3
α α+ = cos 23
π α − =
5
9
−
2sin 3 3
πα + = 3
πα θ= − cos 23
π α −
cos2θ−
2 23 cos sin 3
α α+ = 3 1 2 22 cos sin2 2 3
α α + =
2sin 3 3
πα + = 3
πθ α= +
3
πα θ= −
2 2 23 3 3
π π πα θ π θ − = − − = −
( ) 2 4 5cos 2 cos 2 cos2 2sin 1 13 9 9
π α π θ θ θ − = − = − = − = − = −
5
9
−
16.已知 为自然对数的底数，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得
成立，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
令 ， ， .利用导数可求前者的值域
和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数 的取值范围.
【详解】令 ， ， .
当 时， ，故 在 为增函数，
故 在 上的值域为 .
又当 时， ，当 时， ，
所以 在 上 减函数，在 上为增函数.
令 ，因为对任意的 ，总存在唯一的 ，使得
成立，
故对直线 与函数 的图象有且只要一个公共点，
而 ，且 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，所以 ，即 .
故答案为： .
为
e 1 ,1x e
∈
[ ]1,2y∈ −
2ln 1 yx x a y e− + + = a
22 ,4ee
( ) ln 1f x x x a= − + + 1 ,1x e
∈
( ) [ ]2 , 1,2xg x x e x= ∈ −
a
( ) ln 1f x x x a= − + + 1 ,1x e
∈
( ) [ ]2 , 1,2xg x x e x= ∈ −
1 ,1x e
∈
( ) 1 11 0xf x x x
−′ = − = > ( )f x 1 ,1e
( )f x 1 ,1e
1 ,a ae
−
( )1,0x∈ − ( ) ( )2 2 0xg x x x e′ = + < ( )0,2x∈ ( ) ( )2 2 0xg x x x e′ = + >
( )g x [ ]1,0− [ ]0,2
( )t f x= 1 ,1x e
∈
[ ]1,2y∈ − 2ln 1 yx x a y e− + + =
s t= ( )s g y=
( ) ( ) ( ) 211 , 0 0, 2 4g g g ee
− = = = ( )g x [ ]1,0− [ ]0,2
21 4t ee
< ≤ 2 1 1 4 a e e a e − >
≤
22 4a ee
< ≤ 22 ,4ee
【点睛】本题以多元方程解的性质为载体，考查导数在函数性质研究中的应用，在解决问题
的过程中，注意把解的个数合理地转化为动直线与函数图象的位置关系，此类问题为难题.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.
17.已知各项均为正数的数列 的前 项和 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用 把递推关系转化为 ，再利用等差数列的通项公式可求
的通项；
（2）利用等比数列的求和公式可求 的前 项和 .
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 是以 为首项， 为公差的等差数列，
∴ .
（2）由（1）的 ，则 ，
∴ .
【点睛】数列的通项 与前 项和 的关系式 ，我们常利用这个关
系式实现 与 之间的相互转化. 而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数
{ }na n nS 22 2n n nS a a= + −
{ }na
2 na
nb = { }nb n nT
1na n= + 22 4n
nT += −
1n n na S S −= − 1 1n na a −− =
{ }na
{ }nb n nT
1n = 1 2a =
2n ≥ ( ) ( ) ( )2 2
1 1 12 2 2 2n n n n n n na S S a a a a− − −
= − = + − − + −
( )( )1 1 1 0n n n na a a a− −+ − − =
0na > 1 1n na a −− =
{ }na 1 2a = 1d =
1na n= +
1na n= + 12n
nb +=
( )2
22 1 2
2 41 2
n
n
nT +
−
= = −−
{ }na n nS 1
1
, 1
, 2n
n n
S na S S n−
== − ≥
{ }na nS
列或等比数列的通项，则用公式直接求和；如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组
求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个
数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
18.微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各
样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈
里好友的步数. 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能，他随机选取了其中
40 名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：
步
数
性
别
男 3 4 5 4 3 1
女 3 5 3 2 5 2
（1）以样本估计总体，视样本频率为概率，在 先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取
3 名，其中走路步数不低于 6000 步的有 名，求 的分布列和数学期望；
（2）如果某人一天的走路步数不低于 8000 步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，
否则为“运动懒人”.根据题意完成下面的 2×2 列联表，并据此判断能否有 90%以上的把握认
为“评定类型”与“性别”有关？
运动达人 运动懒人 总计
男
女
总计
附： ，其中
A
( )0,2000 [ )2000,6000 [ )4000,6000 [ )6000,8000 [ )8000,10000 [ )10000,+∞
A
X X
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【答案】（1）分布列见解析， ；（2）没有.
【解析】
【分析】
（1）利用二项分布可求 的分布列和数学期望.
（2）根据题设中的数据可得列联表，再由公式可计算得到 的观察值，最后根据临界值表
可得没有 90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
【详解】（1）在 先生的男性好友中任意选取 1 名，其中走路步数不低于 6000 的概率为
， 可能取值分别为 0，1，2，3，
∴ ， ，
， ，
的分布列为
0 1 2 3
则 ，
（也可写成 ），∴ .
（2）完成 2×2 列联表
( )2
0P K k≥
0k
6
5
X
2K
A
8 2
20 5
= X
( ) 3 0
0
3
3 2 270 5 5 125P X C = = =
( ) 2 1
1
3
3 2 541 5 5 125P X C = = =
( ) 1 2
2
3
3 2 362 5 5 125P X C = = =
( ) 0 3
3
3
3 2 83 5 5 125P X C = = =
X
X
P
27
125
54
125
36
125
8
125
( ) 27 54 36 8 60 1 2 3125 125 125 125 5E X = × + × + × + × =
23 5X B
, ( ) 2 63 5 5E X = × =
运动达人 运动懒人 总计
男 4 16 20
女 7 13 20
总计 11 29 40
∴ 的观测值 ，
∴据此判断没有 90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和独立性检验，计算分布列时要弄清
随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见
的分布列来帮助计算（如 0-1 分布、二项分布、超几何分布等），而独立性检验一般地依据给
定的列联表计算 的观察值，再结合临界值表得到是否有把握认定结论.
19.如图，在四棱锥 中， ， ， ，
为等边三角形，且平面 平面 ， 为 中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
2K
( )2
0
40 4 13 7 16 1.129 2.70611 29 20 20k
× × − ×= ≈ > F 2 3 1
2
E
B E y l l E ,M N
F BMN∆ l
2 2
14 3
x y+ = 3 16 3
3 21y x= −
, ,a b c
l 3
3k = l 3
3y x m= +
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y F ( ) 2
1 2 1 2
3 41 3 03 3m x x x x m m
− + − − + =
y m
C ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
+ = > > 2 2 3b =
3b =
2
2
11 2
be a
= − = 2 4a = C
2 2
14 3
x y+ =
E
2 2
14 3
x y+ = ( ) ( )0, 3 , 1,0B F
所以直线 的斜率 ，假设存在直线 ，使得 是 的垂心，则
.
设 的斜率为 ，则 ，所以 .
设 的方程为 , .
由 ，得 ，
由 ，得 ，
.
因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，
所以 ，
BF 3BFk = − l F BMN∆
BF MN⊥
l k 1BFk k = −
3
3k =
l 3
3y x m= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
2 2
3
3
14 3
y x m
x y
= +
+ =
( )2 213 8 3 12 3 0x mx m+ + − =
( ) ( )2 28 3 4 13 12 3 0m m∆ = − × × − > 39 39
3 3m− < < ( )2 1 2 1 2 12 38 3 ,13 13 mmx x x x − + = − = MF BN⊥ 0MF BN = ( ) ( )1 1 2 21 , , , 3MF x y BN x y= − − = − ( ) ( )1 2 1 21 3 0x x y y− − − = ( )1 2 1 2 1 3 3 31 3 03 3 3x x x m x m x m − − + + + + = ( ) 2 1 2 1 2 3 41 3 03 3m x x x x m m − + − − + = ( )2 212 33 8 3 41 3 03 13 3 13 mmm m m − − − − − + =
整理得 ，解得 或 ，
当 时，直线 过点 ，不能构成三角形，舍去；
当 时，满足 ，
所以存在直线 ，使得 是 的垂心， 的方程为 .
【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆
锥曲线的位置关系中的几何量的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于 或 的一
元二次方程，再把题设中的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关
系中含有 或 ，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程，
从而可得欲求的几何量的值.
21.已知函数 .
（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）若函数 的两个零点分别为 ，且 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数在 处的导数，求出切点坐标后可得切线的方程.
（2）利用 可得 ，因此只
需证明 即 即可，令 ，构建新函数
221 5 3 48 0m m− − = 3m = 16 3
21m = −
3m = MN B
16 3
21m = − 39 39
3 3m− < < l F BMN∆ l 3 16 3 3 21y x= − x y 1 2 1 2,x x x x+ 1 2 1 2,y y y y+ ( ) ( ) 2ln 1 ,2 xf x ax b g x ax bxx = − − = + 2, 3a b= = − ( )f x x e= ( )y f x= 1 2,x x 1 2x x≠ 1 2 12 x xg + >
1 3 0x y e
+ − − =
x e=
( ) ( )1 2 0f x f x= = ( )
( )
1
21 2
2 1 2 1 2
1 2
ln
02 2 2
xx x x x x x xa bx x
+ + + − − = −
( )
( )
1
1 2
2
1 2
ln
12
xx x x
x x
+
>−
1 1
2 2
1
2
1 ln
1
2 1
x x
x x
x
x
+ > −
1
2
xt x
=
可证该不等式成立.
【详解】（1）当 时， ，
，
则 ，切点为 ，
故函数 在 处的切线方程为 .
（2）证明：∵ 是 的两个零点，不妨设 ，
∴ ，即 ， ，
∴ ， ，
相减得：
故 ，
整理得到 ，
则 ，
∴ 即 ，
令 ，即证 ， 也就是 ，
( ) ( ) ( )2 1ln , 0,11
tm t t tt
−= − ∈+
2, 3a b= = − ( ) ( )ln 3 0xf x x xx
= − + >
( ) 2
2
1 ln x xf x x
− −′ =
( ) 1f e′ = − 1, 3e ee
− +
( )f x x e= 1 3 0x y e
+ − − =
1 2,x x ( )f x 1 2x x< ( ) ( )1 2 0f x f x= = 1 1 1 ln 1 02 x ax bx − − = 2 2 2 ln 1 02 x ax bx − − = 2 1 1 1 1ln 02x ax bx− − = 2 2 2 2 1ln 02x ax bx− − = ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1ln ln 02x x a x x b x x− − − − − = ( ) 1 2 1 2 1 2 ln 1 02 x x a x x bx x − + − =− ( ) ( ) ( ) 1 1 2 22 1 2 1 2 1 2 ln 1 02 xx x x a x x b x xx x + − + − + =− ( ) ( ) 1 21 2 2 1 2 1 2 1 2 ln 02 2 2 xx x x x x x xa bx x + + + − − = − ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 ln 2 2 xx x x x xgx x + + = − ( ) ( ) 1 11 1 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 lnln 2 2 2 1 x xxx x x xx x xg x x x x ++ + = = − − 1 2 xt x = 0 1t< < ( ) ( ) 1 ln 12 1 t t t + >−
( )2 1ln 01
tt t
−−
+ +
( ) ( )2 1ln 1
tm t t t
−= − +
( )0,1
( )1 0m = ( )0,1t ∈ ( ) 0m t < xOy C 2 2 2( 3) ( 1) ( 0)x y r r− + − = > O
x l sin 13
πρ θ − =
l C
r
C M N， 6MON
π∠ = M N， O
OMN∆ OMN∆
2 3+
( )1,M ρ θ 2 , 6N
πρ θ +
2sin 2 33OMNS
πθ∆
= + +
sin 13
πρ θ − = sin 3 cos 2ρ θ ρ θ− =
3 2y x= +
又圆 C 是圆心为 ，半径为 r 的圆，直线 与曲线 C 相切，
可得： ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）圆 C 的极坐标方程为 ，
不妨设 ， ，
则
，
当 时， ，
所以 面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，面积的最大值，利用极坐标方程可以简化运算.
选修 4-5：不等式选讲
23.设函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集为实数集 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段讨论可求不等式的解；
（2）利用分段讨论化简函数 并画出其图象，再根据
可得 的值和 的范围.
【详解】（1）
( )3,1 l
| 3 3 1 2 | 22r
⋅ − += =
4sin 3
πρ θ = +
( )1,M ρ θ ( )2 1 2, 0, 0, [0,2 ]6N
πρ θ ρ ρ θ π + > > ∈
1 2
1 1 1| || |sin sin 4sin 4sin2 2 6 4 3 3 6OMNS OM ON MON
π π π πρ ρ θ θ∆
= ∠ = = ⋅ + ⋅ + +
22sin cos 2 3cos sin2 3cos2 3 2sin 2 33
πθ θ θ θ θ θ = + = + + = + +
12
πθ = S 2 3OMN∆ = +
MON∆ 2 3+
( ) 2f x x= +
( ) ( ) 6f x f x+ − ≥
( ) ( )4 1f x f x kx m− − + > + R k m+
( ] [ ), 3 3,−∞ − +∞ 5k m+ < − ( ) ( )4 1y f x f x= − − + ( ) ( )4 1f x f x kx m− − + > + k m
( ) ( )
2 , 2
2 2 4, 2 2
2 , 2
x x
f x f x x x x
x x
− < − + − = + + − + = − ≤ ≤ >
由 ，则 .
（2） ，
的图象如图所示：
由 的解集为实数集 ，可得 ， ，
即 .
【点睛】解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用
公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉
绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画.
( ) 6f x ≥ ( ] [ ), 3 3,x∈ −∞ − +∞
( ) ( )
5, 3
4 1 2 3 2 1, 2 2
5, 2
x
f x f x x x x x
x
< − − − + = − − + = − − − ≤ ≤ − >
( ) ( )4 1y f x f x= − − +
( ) ( )4 1f x f x kx m− − + > + R 0k = 5m < − 5k m+ < −
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