2019 年高三年级 10 月联考
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设集合 ，集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，从而 可以表示成 ，或 ，这样代入集合 便可得到
，从而便可看出集合 是表达形式同集合 的相同，这样既可判
断集合 的关系.
【详解】因为 ，所以 ，或 ，
所以 或 ，
又 ，
所以 ，
故选 A.
【点睛】该题考查的是有关判断两集合关系的问题，涉及到的知识点有集合相等的条件，根
据题意，判断集合中元素特征，属于简单题目.
2.已知复数 满足 ，则共轭复数 的模为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可得结
{ }2 1,M x x k k Z= = + ∈ { 4 1, }N x x k k Z= = ± ∈
M N= M N≠
⊂ N M≠
⊂
ZN M=
k Z∈ k 2k n= 2 1,k n n Z= − ∈ M
{ }| 4 1,M x x n n Z= = ± ∈ M N
,M N
k Z∈ 2k n= 2 1,k n n Z= − ∈
{ | 4 1M x x n= = + } { }4 1, | 4 1,x n n Z x x n n Z= − ∈ = = ± ∈
{ }| 4 1,N x x k k Z= = ± ∈
M N=
z (1 2 ) 3z i i− = + z
7
5 2
果.
【详解】由 ，
得 ，
所以 ，
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复
数，复数的模，属于简单题目.
3.“ ”是“ 且 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】由题可知 ，可以解得 或 ，
则从 不能推出 且 ，
即不能满足其充分性，
而由 且 能推出 ，
即能证明其必要性满足，
所以“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断问题，涉及到的知识点有充分性与必要性
的定义，属于简单题目.
4.若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 .下
面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输
(1 2 ) 3z i i− = +
3 (3 )(1 2 ) 3 2 6 1 7
1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 5 5
i i i i iz ii i i
+ + + − + += = = = +− − +
1 49 225 25z z= = + =
( )( )1 2 0x y− − = 1x = 2y =
( )( )1 2 0x y− − = 1x = 2y =
( )( )1 2 0x y− − = 1x = 2y =
1x = 2y = ( )( )1 2 0x y− − =
( )( )1 2 0x y− − = 1x = 2y =
N m n (mod )N n m≡ 10 3(mod7)≡
出 的值等于（ ）
A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】
由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运
行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.
【详解】由题中的程序框图可知：
该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：
①被 除余 ，②被 除余 ，
所以应该满足是 的倍数多 ，
并且是比 大的最小的数，
故输出的 为 ，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取
程序框图的输出数据，属于简单题目.
5.已知 ，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
n
n
3 2 5 2
15 2
26
n 32
ln2 ln33 , 2 , 2x y z= = = ,x y
x y z> > y x z> > x y z= >
y z x> >
【分析】
首先对 分别取以 为底的对数，可以发现 ，利用指数函数的单调性，可知 ，
从而得到其大小关系.
【详解】因为 ，
所以 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关指数幂比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数
的单调性，属于简单题目.
6.设 为三角形三内角，且方程
有两相等的实根，那么角 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方程有两相等实根可得判别式 ，在依据正弦定理把角换成边，化简得 ，
代入余弦定理得 ，再根据 两边平方，得出 与 的关系，进而
推断出 的范围.
【详解】依题意有 ，
根据正弦定理得： ，
即 ，
化简得： ，
整理得： ，
即 ，
所以 ，
,x y e x y= y z>
ln2 ln33 , 2x y= =
ln2ln ln3 ln 2ln3x = = ln3ln ln 2 ln3ln 2y = = x y=
ln3 12 2 2y z= > = = x y z= >
A B C、 、
2(sin sin ) (sin sin ) sin sin 0B A x A C x C B− + − + − = B
60B > ° 60B ≥ ° 60B < ° 60B ≤ ° 0∆ = 2a c b+ = 23cos 12 bB ac = ⋅ − 2a c b+ = 2b ac cos B 2(sin sin ) 4(sin sin )(sin sin ) 0A C B A C B∆ = − − − − = 2( ) 4( )( ) 0a c b a c b− − − − = 2 2 22 4( ) 0a ac c bc ac b ab− + − − − + = 2 2 24 2 4 4 0a c b ac ab ac+ + + − − = 2( 2 ) 0a c b+ − = 2a c b+ = 2 2 2 2 2( ) 2cos 2 2 a c b a c ac bB ac ac + − + − −= = 2 23 2 3 12 2 b ac b ac ac −= = ⋅ −
因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方
程根的个数与判别式的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目.
7.某同学研究曲线 的性质，得到如下结论：① 的取值范围是 ；②曲线
是轴对称图形；③曲线 上的点到坐标原点的距离的最小值为 . 其中正确的结论序号为
（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
把方程变形可得 的取值范围，在方程中 互换可判断对称性，利用公式可求得曲线上
的点到坐标原点的距离的最小值，从而得到结果.
【详解】因为曲线 的方程 ，所以 ，
式子中 的范围为 ，对应的 的范围为 ，所以命题①正确；
在 中，令 ，方程不变，
所以曲线 的图象关于直线 对称，所以命题②正确；
设曲线 上点的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
2 2(2 ) ( ) 4b a c ac= + ≥ 2b ac≥
23 3 11 12 2 2
b
ac
⋅ − ≥ − =
1 cos 1B− < < 1 cos 12 B≤ < 0 60B< ≤ 1 1 3 3: 1C x y+ = x y、 R C C 2 8 ,x y ,x y C 1 1 3 3 1x y+ = 1 1 3 31y x= − x R y R 1 1 3 3 1x y+ = ,x y y x= = C y x= C ( , )A x y 1 1 3 3 1x y+ = 1 1 33 3( ) 1x y+ = 2 1 1 2 3 3 3 33 3 1x y x y x y+ + + = 1 1 1 1 3 3 3 33 ( ) 1x y x y x y+ + + = 1 1 1 1 3 3 3 33 ( ) 1x y x y x y+ + + =
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以曲线 上的点到原点的距离的最小值是 ，所以命题③正确；
所以正确命题的序号是①②③，
故选 D.
【点睛】该题考查的是有关利用曲线的方程研究曲线的性质的问题，涉及到的知识点有范围、
对称性，以及利用基本不等式求距离的最值，属于中档题目.
8.若在直线 上存在不同的三点 ，使得关于 的方程 有解
（ ），则方程解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的运算法则将等式中的向量都用以 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出
方程求出 .
【详解】 ，即 ，
所以 ，
因为 三点共线，
所以 ，解得 ，
当 时， 等价于 ，不合题意，
所以 ，即解集 ，为
1 1
3 33 1x y x y+ + =
1 1 1 1
3 3 3 31 2x y x y= + ≥ ⋅
1 1
3 3 1
4x y⋅ ≤
1 1
3 3 11 3 4x y x y+ = − ≥
2
2 2 ( ) 1 2
2 2 16 8
x yOA d x y
+= = + ≥ ≥ =×
x y=
C 2
8
l A B C、 、 x 2 0x OA xOB BC+ + =
O l∉
∅ { }1−
{ }1,0− 1 5 1 5,2 2
− + − −
O
x
2 0x OA xOB BC+ + = 2 0x OA xOB OC OB+ + − =
2x OA xOB OB OC− − + =
, ,A B C
2 (1 ) 1x x− + − = 1 20, 1x x= = −
0x = 2 0x OA xOB BC+ + = 0BC =
1x = − { }1−
故选 B.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条
件对应的等量关系式，属于简单题目.
9.将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得的图象关于
轴对称，则 在 上的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求得平移后图象对应的函数解析式，根据其关于 轴对称，得到 ，
结 合 题 中 所 给 的 条 件 ， 求 得 ， 求 得 函 数 解 析 式 ， 利 用 时 ，
，从而确定出函数的最小值.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度后，
对应的解析式为 ，
因为其函数图象关于 轴对称，所以有 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，所以当 时， 取得最小值 ，
故选 A.
【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有函数图象的平移变换，图象
关于 轴对称的条件，正弦型函数在给定区间上的最值问题，属于简单题目.
10.已知 为 的外心，且 ，则 等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
( ) 2sin(2 )( )2f x x
πϕ ϕ= + < 12 π y ( )f x 0, 2 π 3− 1− 2− y ,6 2k k Z π πϕ π− = + ∈ 2 πϕ < 3 πϕ = − [0, ]2x π∈ π π 2π2 [ , ]3 3 3x − ∈ − ( ) 2sin(2 )f x x ϕ= + 12 π 2sin[2( ) ] 2sin(2 )12 6y x x π πϕ ϕ= − + = − + y ,6 2k k Z π πϕ π− = + ∈ 2 πϕ < 3 πϕ = − ( ) sin( )f x x π= −2 2 3 [0, ]2x π∈ π π 2π2 [ , ]3 3 3x − ∈ − 2 3 3x π π− = − ( )f x 3− y O ABC∆ 4, 2 3AC AB= = ( )AO AC AB⋅ −
【解析】
【分析】
根 据 点 为 的 外 心 ， 且 ， 所 以
，得到答案.
【详解】因为点 为 的外心，且 ，
所以
，
故选 A.
【点睛】该题考查的是有关向量数量积的运算问题，涉及到的知识点有三角形外心的性质，
向量数量积的定义式，属于简单题目.
11.已知实数 满足 （ 是自然对数的底数），则
的最小值为（ ）
A. 10 B. 18 C. 8 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
首先对式子进行分析，得出其与距离有关，并且是曲线上的点与直线上的点之间距离的平方，
分析得出什么时候距离取最小值，求解即可.
【详解】设 ，可得 ，
该题相当于求曲线 上的点与直线 上的点之间距离的平方的最
小值，
取最小值时是曲线 的切线与直线 平行时，
O ABC∆ 4, 2 3AC AB= =
( )AO AC AB AO AC AO AB⋅ − = ⋅ − ⋅
cos , cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO= < > − < >
O ABC∆ 4, 2 3AC AB= =
( )AO AC AB AO AC AO AB⋅ − = ⋅ − ⋅
cos , cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO= < > − < >
1 1 1 (4 4 2 3 2 3) 22 2 2AC AC AB AB= ⋅ − ⋅ = × − × =
a b c d、 、 、 2 1
3
aa e c
b d
− −= − e
2 2( ) ( )a c b d− + −
2 1 1
3
aa e c
b d k
− −= =− ( 2 ), 3 (1 )ab k a e d k c= − = + −
( 2 )xy k x e= − 3 (1 )y k x= + −
( 2 )xy k x e= − 3 (1 )y k x= + −
切点到直线的距离的平方即为所求，
对 求导，得 ，即 ，解得 ，
所以切点坐标为 ，
点 到直线 的距离 ，
则有 ；
当且仅当 时取等号，
故结果为 18，
故选 B.
【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，导数的
几何意义，曲线在某点处的切线方程，基本不等式，属于较难题目.
12.1777 年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用
随机模拟方法可以估算圆周率 π 的近似值. 请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上
画着一些平行线，它们之间的距离都等于 （ ），向此平面任投一根长度为 的针，
已知此针与其中一条线相交的概率是 ，则圆周率 的近似值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先应该明确投针试验与平行线相交的概率计算公式是 ，从中解出 ，从而得
出答案.
【详解】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是 ，
所以 ，
故选 C.
( 2 )xy k x e= − ' (1 2 )xy k e k= − = − 2 2 xk ke= 0x =
(0, 2 )k−
(0, 2 )k− 3 0kx y k+ − − =
2 2
0 2 3 3 3
1 1
k k kd
k k
− − − += =
+ +
2
2
2 2
9( 2 1) 29(1 ) 9(1 1) 181 1
k k kd k k
+ += = + ≤ + =+ +
1k =
a 0a > ( )l l a< p π 2p al 2 al p 2l pa 2 pa l 2lP aπ= 2l pa π = 2lP aπ= 2l pa π =
【点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交
的概率计算公式，属于简单题目.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知 为奇函数，函数 与 的图象关于直线 对称，若 ，则
_________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意确定出函数 的图象上的一点 ，从而确定出点 关于直线
的对称点在函数 的图象上，利用点关于直线的对称点的求法求得其对称点
的坐标，从而确定出 ，利用奇函数的定义求得 ，得到结果.
【详解】根据题意有，点 在函数 的图象上，
且点 关于直线 的对称点在函数 的图象上，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则有 ，解得 ，所以有 ，
因为函数 是奇函数，所以有 ，
故答案是： .
【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求
法，奇函数的定义，属于简单题目.
14.已知 ，若关于 的方程 有四个实根 ，
则这四根之和 的取值范围是_________.
( )f x ( )g x ( )f x 2y x= + (1) 7g =
( 5)f − =
3−
( )y g x= (1,7) (1,7)
2y x= + ( )y f x=
(5) 3f = ( 5) 3f − = −
(1,7) ( )y g x=
(1,7) 2y x= + ( )y f x=
(1,7) 2y x= + ( , )m n
7 11
7 1 22 2
n
m
n m
− = − − + + = +
5
3
m
n
=
= (5) 3f =
( )f x ( 5) 3f − = −
3−
sin , 2 0( ) 2
ln , 0
x xf x
x x
π− − ≤ ≤=
>
x ( )f x k= 1 2 3 4, , ,x x x x
1 2 3 4x x x x+ + +
【答案】
【解析】
【分析】
作出 的函数图象，根据图象得出各零点的关系及范围，得出 关于 的函
数，从而得出答案.
【详解】作出 的函数图象，如图所示：
设 ，则 ，且 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 的取值范围是： ，
故答案是： .
【点睛】该题考查的是有关函数图象交点横坐标的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函
数图象的基本功，利用函数图象解决交点问题，函数图象对称性的应用，利用导数研究函数
的值域问题，属于简单题目.
15.已知 中，角 所对边分别为 ， ， ，
10, 2e e
+ −
( )f x 1 2 3 4x x x x+ + + 3x
( )f x
1 2 3 4x x x x< < < 1 2 2x x+ = − 3 4 1 1x x ee < < < < 3 4ln lnx x− = 3 4ln 0x x = 3 4 1x x = 1 2 3 4 3 4 3 3 12 2x x x x x x x x + + + = − + + = + − 1 1( ) 2, ( ,1)g x x xx e = + − ∈ 2 1'( ) 1 0g x x = − < ( )g x 1( ,1)e 10 ( ) 2g x e e < < + − 1 2 3 4x x x x+ + + 1(0, 2)e e + − 1(0, 2)e e + − ABC∆ 、 、A B C a b c、 、 sin 1 cos sin 2 cos A A B B += − 4cos 5A =
，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，由正弦定理可得
，利用同角三角函数基本关系式可求 的值，根据三角形的面积公式可求 的
值，进而根据余弦定理即可解得 的值.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
所以
所以由正弦定理可得： ，
并且有 ， ，所以 ，
由余弦定理可得
，
整理得 ，解得 （负值舍去），
故答案是： .
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，正弦定理，
同角三角函数关系式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目.
16.定义在区间 上函数 使不等式 恒成立，（ 为
的导数），则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
令 ，求出 的导数，得到 的单调性，可得
6ABCS∆ = a =
2 6
2sin sin sinA B C= +
2a b c= + sin A bc
a
sin 1 cos
sin 2 cos
A A
B B
+= −
4cos 5A = 6ABCS∆ =
2sin sin cos sin sin cosA A B B B A− = +
2sin sin sin cos sin cos sin sin( ) sin sinA B A B B A B A B B C= + + = + + = +
2a b c= +
2 3sin 1 cos 5A A= − = 16 sin2 bc A= 20bc =
2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 4 2 3 2 3 40 4cos 2 2 2 2 40 5
b c a b c bc a a bc a a bc aA bc bc bc bc
+ − + − − − − − −= = = = = =
2 24a = 2 6a =
2 6
(0, )+∞ ( )f x 2 ( ) '( ) 3 ( )f x xf x f x< < '( )f x ( )f x (2) (1) f f ( )4,8 3 2 ( ) ( )( ) , ( )f x f xg x h xx x = = ( ), ( )g x h x ( ), ( )g x h x
，由 ，即可得到 ，得到结果.
【详解】令 ，
则 ，
因为 ，即 ，
所以 在 恒成立，
即 在 上单调递减，
可得 ，即 ，
由 ，可得 ，则 ；
令 ， ，
因为 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，
即 ，则 ，
即有 ，
故答案是： .
【点睛】该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究
函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.
三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知 是圆 （ 为坐标原点）的内接三角形，其中 ，角
所对的边分别是 .
(2) (1), (2) (1)g g h h< > (1) 0f > (2)4 8(1)
f
f
< < 3 ( )( ) f xg x x = 3 2 6 4 '( ) 3 ( ) '( ) 3 ( )'( ) f x x x f x xf x f xg x x x − −= = '( ) 3 ( )xf x f x< '( ) 3 ( ) 0xf x f x− < )'( 0g x < (0, )+∞ ( )g x (0, )+∞ (2) (1)g g< (2) (1) 8 1 f f< 2 ( ) 3 ( )f x f x< ( ) 0f x > (2) 8(1)
f
f
< 2 ( )( ) f xh x x = 2 4 3 '( ) 2 ( ) '( ) 2 ( )'( ) f x x xf x xf x f xh x x x ⋅ − −= = '( ) 2 ( )xf x f x> '( ) 2 ( ) 0xf x f x− >
'( ) 0h x > (0, )+∞ (2) (1)h h>
(2) (1)4
f f> (2) 4(1)
f
f
>
(2)4 8(1)
f
f
< < (4,8) ABC∆ O O 1 3(1,0) , ( , )2 2A B − − , ,A B C , ,a b c
（1）若点 的坐标是 ，求 的值；
（2）若点 在优弧 上运动，求 周长的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由点 的坐标可得 的坐标，利用向量的夹角公式求得结果；
（2）根据题意，可求得 ， ， ，利用正弦定理可得
，由题意求得角 A 的范围，从而可求得
，进而得到三角形的周长的取值范围.
【详解】
（1）根据题意可得 ， ，
（2）∵ ， ，∴
∴
C 3 4( , )5 5
− cos COB∠
C AB ABC∆
3 4 3
10
−
2 3 3 3a b c< + + ≤ ,C B ,OC OB 120AOB∠ = ° 3AB = 60ACB∠ = ° 22sin 2sin 2 3sin3 6a b A A A π π + = + − = + 3 2 3a b< + ≤ 3 4( , )5 5OC = − 1 3( , )2 2OB = − − 3 4 3 3 4 3cos cos , 10 10 10 OC OBCOB OC OB OC OB ⋅ −∠ = = = − = 120AOB∠ = ° 3AB = 60ACB∠ = ° 3 2sin sin sin 60 a b A B = = =°
∴ ，
，
∴ .
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用点的坐标得向量的坐标，
向量数量积坐标公式，向量夹角余弦值，正弦定理，三角形的周长的取值范围，属于简单题
目.
18.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ，
，且 交于点 ， 是 上任意一点.
（1）求证 ；
（2）已知二面角 的余弦值为 ，若 为 的中点，求 与平面 所成角
的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的性质得 ，利用菱形的性质得 ，利用线面垂直的判
定定理得 平面 ，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到 ；
（2）分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 ，
用坐标表示点，求得平面 的法向量为 ，平面 的法向量为
，根据二面角 的余弦值为 ，可求出 ，从而得到点 的
坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得 与平面 所成角的正弦值.
22sin 2sin 2 3sin3 6a b A A A
π π + = + − = +
20 3A
π< < 3 2 3a b< + ≤ 2 3 3 3a b c< + + ≤ P ABCD− PD ⊥ ABCD ABCD 2AC = 2 3BD = AC BD、 O E PB AC DE⊥ A PB D− − 3 4 E PB EC PAB 3 1313 PD AC⊥ BD AC⊥ AC ⊥ PBD AC DE⊥ OA OB OE x y z PD t= PBD ( )1 1,0,0n = PAB 2 2 33,1,n t = A PB D− − 3 4 3t = P EC PAB
【详解】（1）∵ 平面 ，∴
又∵四边形 为菱形，∴
又 ，∴ 平面
平面 ，∴
（2）连 ，在 中， ，∴ 平面
分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系.
设 ，则 ， ，
， ， .
由（1）知，平面 一个法向量为
设平面 的一个法向量为 ，则由
即 ，令 ，则
因二面角 的余弦值为 ，
∴ ，∴
设 与平面 所成角为 ，∵ ， ，
的
PD ⊥ ABCD PD AC⊥
ABCD BD AC⊥
BD PD D= AC ⊥ PBD
DE ⊂ PBD AC DE⊥
OE PBD∆ / /OE PD OE ⊥ ABCD
OA OB OE x y z
PD t= ( )1,0,0A ( )0, 3,0B
( )1,0,0C − 0,0, 2
tE
( )0, 3,P t−
PBD ( )1 1,0,0n =
PAB ( )2 , ,n x y z= 2
2
0
0
n AB
n AP
⋅ = ⋅ =
3 0
3 0
x y
x y tz
− + =
− − + =
1y = 2
2 33,1,n t
=
A PB D− − 3
4
1 2
2
3 3cos , 4124
n n
t
= =
+
3t =
EC PAB θ 31,0, 2EC = − −
2
2 33,1, 3n
=
∴ .
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直
的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.
19.若 ，函数 在区间 上的最大值记为 ，求 的表达式并求
当 为何值时， 的值最小.
【答案】 ，当 时， 取最小值.
【解析】
【分析】
分类讨论，分 时和 时两种情况，当 时， 在区间 上为增函
数，求出最大值，当 时，结合函数 图象，再进一步分类，确定出函数的最大值点，进
而求得 ，然后确定 的最小值点.
【详解】（1） 时，∵ ，∴ ， 单调递增.
∴
（2）当 ，如图所示，
令 ，得 或
的
2
3 3 2 3 3sin cos , 13139 4 13 41 44 3 2 3
EC nθ
− −
= = = =
+ + ⋅
a R∈ 2( )f x x ax= − [ ]0,1 ( )g a ( )g a
a ( )g a
( )
( )
( )2
1 , 2 2 1
,2 2 1 24
1, 2
a a
ag a a
a a
− ≤ −
= − < 0a ≤ ( ) 2f x x ax= − [0,1]
0a >
( )
( )
( )2
1 , 2 2 1
,2 2 1 24
1, 2
a a
ag a a
a a
− ≤ −
= − <
( ) 2
4
af x =
2
ax = 2 1
2x a
+=
①当 ，即 时，
②当 ，即 时，
③当 ，即 时，
综上，
显然当 时， 取最小值.
【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上的最值问题，涉及到的知识点有绝对值函数的
化简，分类讨论思想的应用，分段函数的最小值，属于简单题目.
20.已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别与椭圆交于点 和 .
记得到的平行四边形 的面积为 .
（1）设 ，用 的坐标表示 ；
（2）设 与 的斜率之积与直线 的斜率之积均为 ，求面积 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先利用题中的条件确定直线 的方程 ，利用点到直线的距离公式求得点 C
到直线 的距离 ，利用面积公式求得 ，得到结果；
（2）设出直线方程 ， ，利用两点斜率坐标公式求得
12
a ≥ 2a ≥ ( ) ( )1 1g a f a= = −
2 112 2
a a
+< < ( )2 2 1 2a− < < ( ) 2 2 4 a ag a f = = 2 1 12 a + ≤ ( )0 2 2 1a< ≤ − ( ) ( )1 1g a f a= = − ( ) ( ) ( )2 1 , 2 2 1 ,2 2 1 24 1, 2 a a ag a a a a − ≤ − = − < 1l 2l A B、 C D、
ACBD S
1 1 2 2( , ) , ( , )A x y C x y ,A C S
1l 2l CA CB、 1
2
− S
1 2 2 12 x y x y− 2 2S =
1l 1 1 0xy yx− =
1l d 2 ABCS S∆= 1 2 2 12 x y x y= −
1 1:l y K x= 2 2:l y K x=
，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，可得 ，利
用已知条件可得 ，从而求得 ，从而确定出椭圆的方程，联立方
程组，进一步应用面积公式求得 ，从而得到 ，
得到结果.
【详解】
（1）直线 .
，则
∴
（2）设 ， ；
∵
又∵ ，∴
∴ ∴
∴椭圆方程为
2 2
2 1
2 2
2 1
CA CB
y yK K x x
−⋅ = −
2 2
2 1
2 2 2
2 1
1y y
x x a
− = −−
2
1 1
2CA CBK K a
⋅ = − = − 2 2a =
( )
( )
22 2
12 1
22 21 1
2 1 84 84 1 2
K KS K K
+
= ⋅ × =
+ 2 2S =
1 1 1: 0l xy yx− =
1 2 2 1
2 2
1 1
x y x yd
x y
−=
+
2 2
1 12 2AB AO x y= = +
2 ABCS S AB d∆= = ⋅
1 2 2 12 2
1 1 2 2
1 1
2 x y x yx y
x y
−= + ⋅
+
1 2 2 12 x y x y= −
1 1:l y K x= 2 2:l y K x=
2 2
2 1 2 1 2 1
2 2
2 1 2 1 2 1
CA CB
y y y y y yK K x x x x x x
− + −⋅ = ⋅ =− + −
2 2
2 21 2
1 22 2
x xy ya a
+ = +
2 2
2 1
2 2 2
2 1
1y y
x x a
− = −−
2
1 1
2CA CBK K a
⋅ = − = − 2 2a =
2
2 12
x y+ =
联立
∴ ，同理可得
又∵
∴
∴
将 代入 得
，
∴ .
【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆内接平行四边形面
积的求解，点到直线的距离公式，椭圆方程的求解问题，属于较难题目.
21.有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第 0 站（出发地），在第 1 站，第 2
站，……，第 100 站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，
若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第 99 站（失败
收容地）或跳到第 100 站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第 站的概率为 .
（1）求 ， ， ；
（2）写出 与 、 的递推关系 ）；
（3）求玩该游戏获胜的概率.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
1
2 2 22 12 2 2
12
y K x
x K xx y
= ⇒ + = + =
2
1 2
1
2
1 2x K
= +
2
2 2
2
2
1 2x K
= +
1 2 2 1 2 1 1 22 2S x y x y K K x x= − = −
( )22 2 2
2 1 1 24S K K x x= −
( ) ( )( )22
2 1 2 2
1 2
44
1 2 1 2
S K K
K K
= − ⋅
+ +
2
1
1
2K K
= − ( )
2
2
1
21
1 2
1
1 44 2 11 2 1 2
S K K K K
= + ⋅ + +
( )
( )
22 2
12 1
22 21 1
2 1 84 84 1 2
K KS K K
+
= ⋅ × =
+
2 2S =
n nP
0P 1P 2P
nP 1nP − 2nP − 2 99n≤ ≤
3
4
( )1 2
1 1 2 992 2n n nP P P n− −= + ≤ ≤ 99
1 113 2
+
（1）结合题设条件能够求出 ， ， ；
（2）依题意，棋子跳到第 站有两种可能：第一种，棋子先到 站，又掷出反面，其概率
为 ；第二种，棋子先到 站，又掷出正面，其概率为 ，由此能够得到 与
的递推关系；
（3）由 ，知数列 是以 为首项， 为公比的等比
数列，由此利用等比数列求和公式得到结果.
【详解】（1）依题意得 ， ，
（2）依题意知，棋子跳到第 站有两种情况：
第一种，棋子先到 站，又掷出反面，其概率为 ；
第二种，棋子先到 站，又掷出正面，其概率为 .
∴
（3）由（2）知， ，且
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列.
又 ∴ 或
0 1P = 1
1
2P = 2
1 1 1 3
2 2 2 4P = + × =
n 2n −
2
1
2 nP − 1n − 1
1
2 nP − nP
1 2,n nP P− −
( )1 1 2
1
2n n n nP P P P− − −− = − − { }1n nP P −− 1
2
− 1
2
−
0 1P = 1
1
2P = 2
1 1 1 3
2 2 2 4P = + × =
n
2n − 2
1
2 nP −
1n − 1
1
2 nP −
( )1 2
1 1 2 992 2n n nP P P n− −= + ≤ ≤
( )1 1 2
1
2n n n nP P P P− − −− = − − 1 0
1
2P P− = −
{ }1n nP P −− 1
2
− 1
2
−
( ) ( ) ( ) ( )99 0 1 0 2 1 3 2 99 98P P P P P P P P P P= + − + − + − + + −
2 991 1 11 2 2 2
= + − + − + + −
100
100
11 2 12 11 3 21 2
− − = = − +
99 100 1P P+ = 100 99
1 113 2P = + 100 98 99
1 1 112 3 2P P = ⋅ = +
∴玩该游戏获胜的概率为 .
【点睛】该题考查 是有关概率的问题，涉及到的知识点有事件之间的关系，概率对应的关
系，等比数列求和公式，属于简单题目.
22.已知函数 .
（1）若 是定义域上的增函数，求 的取值范围；
（2）设 ， 分别为 的极大值和极小值，若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先写出函数的定义域，对函数求导， 是定义域上的增函数，转化为 ，即
恒成立，从而求出 的取值范围；
（2）将 表示为关于 的函数，由 且 ，得 ，设方程
，即 得两根为 ， ，且 ，利用韦达定理可得
， ，由 ，从而得到 ，根据题意可得
，由 得 ，将其代入上边式子可
得 ，之后令 ，则 ，从而有 ，
，则 ，利用导数研究函数可得结果.
【详解】（1） 的定义域为 ，
∵ 定义域内单调递增，∴ ，即 对 恒成立.
则 恒成立.
的
在
99
1 113 2
+
( ) 2ln ( )af x ax x a Rx
= − − ∈
( )f x a
3
5a > ,m n ( )f x S m n= − S
[ )1,+∞ 160 4ln3 5S< < − ( )f x ( ) 0f x′ ≥ 2 2 1 xa x ≥ + a S 1x 24 4 0a∆ = − > 3
5a > 3 15 a< < ( ) 0f x′ = 2 2 0ax x a− + = 1x 2x 1 20 x x< < 1 2 1=x x 1 2 2x x a + = 1 1 1 2 102 3x x a < + = < 1 1 13 x< < S m n= − 1 1 1 2 2lnaax xx = − − 2 1 12 0ax x a− + = 1 2 1 2 1 xa x = + 2 21 12 1 1 14 ln1 2 xS xx −= − + 2 1x t= 1 19 t< < ( ) 1 1 ln1 2 tg t tt −= −+ 1 19 t< < ( )4S g t= ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 2 2 2 2 2a ax x af x a x x x − +′ = + − = ( )f x ( ) 0f x′ ≥ 2 2 0ax x a− + ≥ 0x >
2
2
1
xa x
≥ +
∴ ∵ ∴
所以， 的取值范围是
（2）将 表示为关于 的函数，
由 且 ，得
设方程 ，即 得两根为 ， ，且 .
则 ， ，∵ ，
∴ ∴
∵
∴ 代入得
令 ，则 ，得 ， ，则
∴ 而且 上递减，从而
即 ∴ .
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数是定义域
上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于
较难题目.
2
max
2
1
xa x
≥ + 2
2 11
x
x
≤+ 1a ≥
a [ )1,+∞
S 1x
24 4 0a∆ = − > 3
5a > 3 15 a< < ( ) 0f x′ = 2 2 0ax x a− + = 1x 2x 1 20 x x< < ( )1m f x= ( )2n f x= 1 2 1=x x 1 2 2x x a + = 1 1 1 2 102 3x x a < + = < 1 1 13 x< < 1 1 2 2 1 2 2ln 2lna aS m n ax x ax xx x = − = − − − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2ln 2ln 2 2lna a aax x ax x ax xx x x = − − − − + = − − 2 1 12 0ax x a− + = 1 2 1 2 1 xa x = + 2 2 21 1 1 12 2 1 1 1 1 14 ln 4 ln1 1 2 x xS x xx x − −= − = − + + 2 1x t= 1 19 t< < ( ) 1 1 ln1 2 tg t tt −= −+ 1 19 t< < ( )4S g t= ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 2 1 tg t t t − −′ = < + ( )g t 1 ,19 ( ) ( ) 11 9g g t g < < ( ) 40 ln3 5g t< < − 160 4ln3 5S< < −
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